Як порахувати пропорцію з однією невідомою. Записи з позначкою "вирішення задач на пропорцію"

Скласти пропорцію. У цій статті хочу поговорити з вами про пропорцію. Розуміти, що таке пропорція, вміти складати її – це дуже важливо, вона справді рятує. Це начебто маленька і незначна «літерка» у великому алфавіті математики, але без неї математика приречена бути кульгавою та неповноцінною.Спочатку нагадаю, що таке пропорція. Це рівність виду:

що те саме (це різна формазаписи).

Приклад:

Кажуть – один відноситься до двох так само, як чотири відноситься до восьми. Тобто це рівність двох відносин (у даному прикладівідносини числові).

Основне правило пропорції:

a:b=c:d

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

тобто

a∙d=b∙c

*Якщо будь-яка величина в пропорції невідома, її можна знайти.

Якщо розглядати форму запису виду:

то можна використовувати наступне правило, його називають «правило хреста»: записується рівність творів елементів (чисел або виразів), що стоять по діагоналі

a∙d=b∙c

Як бачите результат той самий.

Якщо три елементи пропорції відомі, томи завжди можемо знайти четверте.

Саме в цьому суть користі та необхідністьпропорції під час вирішення завдань.

Давайте розглянемо всі варіанти, де невідома величина х знаходиться в будь-якому місці пропорції, де a, b, c - числа:

Величина, що стоїть по діагоналі від х, записується в знаменник дробу, а відомі величинистоять по діагоналі записуються в чисельник, як твір. Його запам'ятовувати не обов'язково, ви і так все правильно обчислите, якщо засвоїли головне правило пропорції.

Тепер головне питання, пов'язаний із назвою статті. Коли пропорція рятує та де використовується? Наприклад:

1. Насамперед це завдання відсотки. Ми розглядали їх у статтях "" та "".

2. Багато формул задані у вигляді пропорцій:

> теорема синусів

> відношення елементів у трикутнику

> теорема тангенсів

> теорема Фалеса та інші.

3. У завданнях з геометрії в умові часто задається відношення сторін (інших елементів) або площ, наприклад, 1:2, 2:3 та інші.

4. Переклад одиниць виміру, причому пропорція використовується для переведення одиниць як в одній мірі, так і для переведення з одного заходу до іншого:

- Годинник у хвилини (і навпаки).

- Одиниці об'єму, площі.

- Довжини, наприклад милі в кілометри (і навпаки).

- градуси в радіани (і навпаки).

тут без складання пропорції не обійтися.

Ключовий момент у тому, що потрібно правильно встановити відповідність, розглянемо прості приклади:

Необхідно визначити число, що становить 35% від 700.

У завдання на проценти за 100% приймається та величина, з якою порівнюємо. Невідоме числопозначимо як х. Встановимо відповідність:

Можна сміливо сказати, що сімсот тридцяти п'яти відповідає 100 відсотків.

Ікс відповідає 35 відсотків. Значить,

700 – 100%

х – 35%

Вирішуємо

Відповідь: 245

Переведемо 50 хвилин на годину.

Ми знаємо, що одній годині відповідає 60 хвилин. Позначимо відповідність -x годин це 50 хвилин. Значить

1 – 60

х – 50

Вирішуємо:

Тобто 50 хвилин це п'ять шостих годин.

Відповідь: 5/6

Микола Петрович проїхав 3 кілометри. Скільки це буде за милі (врахувати, що 1 миля це 1,6 км)?

Відомо, що 1 миля – це 1,6 кілометра. Число миль, які проїхав Микола Петрович приймемо за х. Можемо встановити відповідність:

Однією милі відповідає 1,6 км.

Ікс миль це три кілометри.

1 – 1,6

х – 3

Відповідь: 1,875 миль

Ви знаєте, що для переведення градусів у радіани (і назад) існують формули. Я їх не записую, тому що запам'ятовувати їх вважаю зайвим, і так вам у пам'яті доводиться тримати багато інформації. Ви завжди зможете перевести градуси у радіани (і назад), якщо скористаєтеся пропорцією.

Переведемо 65 градусів у радіальну міру.

Головне це запам'ятати, що 180 градусів – це Пі радіан.

Позначимо шукану величину як х. Встановлюємо відповідність.

Ста вісімдесяти градусів відповідає Пі радіан.

Шістдесят п'ять градусів відповідає х радіан. вивчити статтю на цю тему на блозі. Матеріал у ній викладено трохи інакше, але принцип той самий. На цьому закінчу. Обов'язково буде ще щось цікавеньке, не пропустіть!

Якщо згадати саме визначення математики, то в ньому є такі слова: математика вивчає кількісні ВІДНОСИНИ (ВІДНОСИНИ- тут ключове слово). Як бачите у самому визначенні математики закладено пропорцію. Втім, математика без пропорції це не математика!

Всього найкращого!

З повагою, Олександр

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 аркушів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають у тестові завданнядля випускників, які зазвичай записують рішення у такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній членпропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1

Пропорція - це математичне вираз, у якому два чи більше числа порівнюються один з одним. У пропорціях можуть порівнюватися абсолютні величинита кількості абочастини більшого цілого. Пропорції можна записувати і обчислювати кількома різними способами, проте в основі лежить той самий загальний принцип.

Кроки

Частина 1

Дізнайтеся, навіщо служать пропорції.Пропорції використовуються як у наукових дослідженнях, так і в повсякденному життідля порівняння різних величин та кількостей. У найпростішому випадку порівнюються два числа, але пропорція може включати будь-яку кількість величин. При порівнянні двох або більшої кількостівеличин завжди можна застосувати пропорцію. Знання того, як величини співвідносяться одна з одною, дозволяє, наприклад, записати хімічні формулиабо рецепти різних страв. Пропорції знадобляться вам для різних цілей.

1. Ознайомтеся з тим, що означає пропорція.Як зазначено вище, пропорції дозволяють визначити співвідношення між двома та більше величинами. Наприклад, якщо для приготування печива необхідно 2 склянки борошна та 1 склянка цукру, ми говоримо, що між кількістю борошна та цукру існує пропорція (ставлення) 2 до 1.

   • За допомогою пропорцій можна показати, як різні величиниставляться друг до друга, навіть якщо вони пов'язані між собою безпосередньо (на відміну рецепту). Наприклад, якщо в класі п'ять дівчаток і десять хлопчиків, відношення кількості дівчаток до хлопчиків становить 5 до 10. У цьому випадку одне число не залежить від іншого і не пов'язане з ним безпосередньо: пропорція може змінитися, якщо хтось залишить клас або навпаки , до нього прийдуть нові учні Пропорція легко дозволяє порівняти дві величини.

2. Зверніть увагу на різні способивирази пропорцій.Пропорції можна записати словами або використати математичні символи.

   • У повсякденному життіпропорції найчастіше виражають словами (як наведено вище). Пропорції використовуються в самому різних областях, і якщо ваша професія не пов'язана з математикою чи іншою наукою, найчастіше вам траплятиметься саме такий спосіб запису пропорцій.
   • Пропорції часто записують за допомогою двокрапки. При порівнянні двох чисел за допомогою пропорції їх можна записати через двокрапку, наприклад 7:13. Якщо порівнюється більше двох чисел, двокрапка ставиться послідовно між кожними двома числами, наприклад 10:2:23. У наведеному вище прикладі для класу ми порівнюємо кількість дівчаток та хлопчиків, причому 5 дівчаток: 10 хлопчиків. Таким чином, пропорцію можна записати у вигляді 5:10.
   • Іноді під час запису пропорцій використовують знак дробу. У прикладі з класом ставлення 5 дівчаток до 10 хлопчикам запишеться як 5/10. І тут слід читати знак “ділити” і пам'ятати, що це дріб, а співвідношення двох різних чисел.

   Частина 2

   Операції із пропорціями

   1. Наведіть пропорцію до найпростішої форми.Пропорції можна спрощувати, як і дроби, за рахунок скорочення членів, що входять до них, на спільний дільник . Щоб спростити пропорцію, поділіть всі числа, що входять до неї, на спільні дільники. Однак при цьому не слід забувати про початкові величини, що призвели до цієї пропорції.

      • У наведеному вище прикладі з класом із 5 дівчаток і 10 хлопчиків (5:10) обидві сторони пропорції мають спільний дільник 5. Поділивши обидві величини на 5 (найбільший загальний дільник), отримуємо відношення 1 дівчинка на 2 хлопчики (тобто 1:2) . Однак при використанні спрощеної пропорції слід пам'ятати про початкові числа: у класі не 3 учні, а 15. Скорочена пропорція лише показує відношення між кількістю дівчаток та хлопчиків. На кожну дівчинку припадає два хлопчики, але це аж ніяк не означає, що в класі 1 дівчинка та 2 хлопчики.
      • Деякі пропорції не піддаються спрощенням. Наприклад, відношення 3:56 не можна скоротити, оскільки величини, що входять у пропорцію, не мають спільного дільника 3 є простим числом, а 56 не ділиться на 3.

   2. Для “масштабування” пропорції можна множити чи ділити.Пропорціями часто користуються у тому, щоб збільшити чи зменшити числа пропорції друг до друга. Множення або розподіл всіх величин, що входять в пропорцію, на одне і те ж число зберігає незмінним відношення між ними. Отже, пропорції можна множити чи ділити на “масштабний” чинник.

      • Припустимо, пекарю необхідно потроїти кількість печива, що випікається. Якщо борошно та цукор беруться у пропорції 2 до 1 (2:1), для збільшення кількості печива втричі цю пропорцію слід помножити на 3. У результаті вийде 6 склянок борошна на 3 склянки цукру (6:3).
      • Можна чинити і навпаки. Якщо пекарю необхідно зменшити кількість печива вдвічі, слід обидві частини пропорції поділити на 2 (або помножити на 1/2). В результаті вийде 1 склянка борошна на півсклянки (1/2, або 0,5 склянки) цукру.

   3. Навчіться за двома еквівалентними пропорціями знаходити невідому величину.Ще одним поширеним завданням, для вирішення якої широко використовуються пропорції, є знаходження невідомої величини в одній із пропорцій, якщо дана аналогічна їй друга пропорція. Правило множення дробів значно спрощує це завдання. Запишіть кожну пропорцію у вигляді дробу, потім прирівняйте ці дроби один одному і знайдіть потрібну величину.

      • Припустимо, у нас є невелика групаучнів з 2 хлопчиків та 5 дівчаток. Якщо ми хочемо зберегти співвідношення між хлопчиками та дівчатками, скільки хлопчиків має бути у класі, до якого входить 20 дівчаток? Для початку складемо обидві пропорції, одна з яких містить невідому величину: 2 хлопчики: 5 дівчаток = х хлопчиків: 20 дівчаток. Якщо ми запишемо пропорції у вигляді дробів, у нас вийде 2/5 та x/20. Після множення обох частин рівності знаменники отримуємо рівняння 5x=40; ділимо 40 на 5 і в результаті знаходимо x = 8.

   Частина 3

   Виявлення помилок

   1. При операціях з пропорціями уникайте складання та віднімання.Багато завдань із пропорціями звучать подібно до наступної: “Для приготування страви потрібно 4 картоплини та 5 морквин. Якщо ви хочете використовувати 8 картоплин, скільки морквин вам знадобиться? Багато хто припускається помилки і намагається просто скласти відповідні величини. Проте задля збереження колишньої пропорції слід множити, а чи не складати. Ось помилкове і правильне рішенняданої задачі:

      • Неправильний метод: “8 - 4 = 4, тобто у рецепті додалося 4 картоплини. Значить, необхідно взяти попередні 5 морквин і додати до них 4, щоб... щось не те! Із пропорціями діють по-іншому. Спробуємо ще раз".
      • Правильний метод: “8/4 = 2, тобто кількість картоплин зросла вдвічі. Це означає, що число морквин слід помножити на 2. 5 x 2 = 10, тобто у новому рецепті необхідно використовувати 10 морквин“.

   2. Переведіть усі значення в однакові одиницівимірювання.Іноді проблема виникає через те, що величини мають різні одиницівимірювання. Перш ніж записувати пропорцію, переведіть усі величини в однакові одиниці виміру. Наприклад:

      • Дракон має 500 грамів золота і 10 кілограмів срібла. Яким є співвідношення золота до срібла в драконьих запасах?
      • Грами та кілограми є різними одиницями виміру, тому їх слід уніфікувати. 1 кілограм = 1 000 грамів, тобто 10 кілограмів = 10 кілограмів x 1 000 грамів/1 кілограм = 10 x 1 000 грамів = 10 000 грамів.
      • Отже, дракон має 500 г золота і 10 000 г срібла.
      • Відношення маси золота до маси срібла становить 500 г золота/10 000 г срібла = 5/100 = 1/20.

   3. Записуйте у розв'язанні задачі одиниці виміру.У задачах із пропорціями набагато легше знайти помилку у тому випадку, якщо записувати після кожної величини її одиниці виміру. Пам'ятайте про те, що якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові одиниці виміру, вони скорочуються. Після всіх можливих скорочень у відповіді мають вийти правильні одиницівимірювання.

      • Наприклад: дано 6 коробок, і в кожних трьох коробках знаходиться 9 кульок; скільки всього кульок?
      • Неправильний метод: 6 коробок х 3 коробки/9 кульок = ... Хм, нічого не скорочується, і у відповіді виходить “коробки x коробки/кульки“. Це не має сенсу.
      • Правильний метод: 6 коробок х 9 кульок/3 коробки = 6 коробок х 3 кульки/1 коробка = 6 х 3 кульки/1 = 18 кульок.

Пропорціярівність двох відносин, тобто рівність виду a: b = c: d , або, в інших позначеннях, рівність

Якщо a : b = c : d, то aі dназивають крайніми, а bі c - середнімичленами пропорції.

Від «пропорції» нікуди не дітись, без неї не обійтися в багатьох завданнях. Вихід тільки один – розібратися з цим ставленням та користуватися пропорцією як паличкою-виручалочкою.

Перш ніж розпочинати розгляд завдань на пропорцію, важливо згадати основне правило пропорції:

У пропорції

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

Якщо якась величина у пропорції невідома, її легко буде знайти, спираючись на це правило.

Наприклад,

Тобто невідома величина пропорції – значення дробу, у знаменнику якої – те число, яке стоїть навпроти невідомої величини , у чисельнику – твір членів пропорції, що залишилися (незалежно від того, де ця невідома величина стоїть ).

Завдання 1.

З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Рішення:

Ми розуміємо, що зменшення ваги насіння у скільки разів, тягне за собою зменшення ваги одержуваної олії у стільки ж разів. Тобто величини пов'язані прямою залежністю.

Заповнимо таблицю:

Невідома величина – значення дробу , у знаменнику якої – 21 – величина, що стоїть навпроти невідомого в таблиці, у чисельнику – твір членів таблиці-пропорції, що залишилися.

Тому отримуємо, що з 7 кг насіння вийде 1,7 кг олії.

Щоб правильно заповнювати таблицю, важливо пам'ятати правило:

Однакові назви потрібно записувати один під одним. Відсотки записуємо під відсотками, кілограми під кілограмами тощо

Завдання 2.

Перевести в радіани.

Рішення:

Ми знаємо, що . Заповнимо таблицю:

Завдання 3.

на картатий папірзображено коло. Яка площа кола, якщо площа заштрихованого сектора дорівнює 27?

Рішення:

Добре видно, що незаштрихований сектор відповідає куту (наприклад, тому, що сторони сектора утворені бісектрисами двох суміжних прямих кутів). А оскільки все коло складає, то на зафарбований сектор доводиться.

Складемо таблицю:

Звідки площа кола – є.

Завдання 4. Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення:

Все поле становить 100%, і оскільки зорено 82%, то залишилося зорати 100%-82% = 18% поля.

Заповнюємо таблицю:

Звідки одержуємо, що все поле складає (га).

А наступне завдання – із засідкою.

Завдання 5.

Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 години. За скільки годин товарний потягпройде та сама відстань зі швидкістю 60 км/год?

Якщо ви вирішуватимете це завдання аналогічно попередньому, то отримаєте наступне:

час, який буде потрібний товарному поїзду, щоб пройти ту ж відстань, що й пасажирським, є години. Тобто, виходить, що йдучи з меншою швидкістю, він долає (за один і той же час) відстань швидше, ніж поїзд із більшою швидкістю.

У чому помилка міркувань?

Досі ми розглядали завдання, де величини були прямопропорційні один одному , тобто зрістоднієї величини в кілька разів, дає зрістпов'язаної з нею другої величини в стільки ж разів (аналогічно зі зменшенням, звичайно). А тут у нас інша ситуація: швидкість пасажирського поїзда більшешвидкості товарного у скільки разів, тоді як час, необхідний подолання однієї й тієї ж відстані, потрібно пасажирському поїзду меншеу стільки ж разів, ніж товарного поїзда. Тобто величини одна одній назад пропорційні .

Схему, якою ми користувалися досі, треба трохи змінити у цьому випадку.

Рішення:

Розмірковуємо так:

Пасажирський поїзд зі швидкістю 80 км/год їхав 3 год, отже він проїхав км. Отже товарний поїзд цю ж відстань подолає за год.

Тобто, якби ми становили пропорцію, нам слід було б поміняти місцями осередки правої колонки заздалегідь. Отримали б: год.

Тому, будь ласка, будьте уважні при складанні пропорції. Розберіться спочатку, з якою залежністю маєте справу – із прямою чи зворотною.

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

1. Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
2. Перемноження заданих членівпропорції хрест-навхрест. У буквеному вираженніце має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добуткусередніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
3. При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
4. Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
5. Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
   • (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
   • (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
6. Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові або великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
7. Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.