Монотонні та строго монотонні послідовності. III

Мета: Дати поняття, визначення послідовності, кінцевої, нескінченної, різні способи завдання послідовностей, їхню відмінність, навчити застосовувати при вирішенні прикладів.

Обладнання: Таблиці.

Хід заняття

I. Організаційний момент.

ІІ. Фронтальна перевірка домашнього завдання:

1) учень на дошці завдання № 2.636 (з ІІ частини “Збірника завдань для письмового іспитуо 9 кл.)

2) учень. Побудувати графік

3) фронтально з усім класом № 2.334(а).

ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

Шкільна лекція – це така форма організації навчального процесу, яка орієнтує учнів щодо тієї чи іншої теми на головне і передбачає широку демонстрацію особистісного ставлення вчителя та учнів до навчального матеріалу. Т.к. урок-лекція передбачає великоблочний виклад учителем матеріалу, то мовленнєве спілкування вчителя та учнів є головним у її технології. Слово вчителя має емоційний, естетичний вплив і створює певне ставлення до предмета. За допомогою лекції здійснюється керівництво різними видами діяльності учнів на занятті, а через знання, вміння та навички формується пізнання як основа навчальної діяльності.

I. Випишіть у порядку зростання двоцифрові числа, що закінчуються цифрою 3.

13; 23; 33;………….93.

кожному порядковому номерувід 1 до 9 поставте у відповідність певне двозначне число:

1->13; 2->23;………9->93.

Між множиною перших дев'яти натуральних чисел і множиною двоцифрових чисел, що закінчуються цифрою 3, встановилася відповідність. Ця відповідність є функцією.

Областю визначення служить (1; 2; 3;……..9)

Безліч значень (13; 23; 33;…….93).

Якщо відповідність позначити f, то

Цю послідовність можна поставити за допомогою пар.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

б) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Таблиця №1

а)

б)

ІІ.

О.о.ф. (1; 2; 3; 4;…..)

М.З.Ф. g(1) = ;

g(3) =; …

g(60) =

Функція, задана на множині натуральних чисел, називається нескінченною послідовністю.

в 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- Члени послідовності.

Примітка: слід розрізняти поняття множини та поняття послідовності.

а) (10; 20; 30; 40)

Одна й та сама безліч.

{40; 30; 20; 10}

б) однак, послідовності 10; 20; 30; 40

Різні:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

ІІІ. Розглянемо послідовність:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> нескінченна, зростаюча

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> кінцева, спадна.

а)

Послідовність називається зростаючою, якщо кожен член її, починаючи з другого, більший за свій попередній.

б)

Дається визначення спадної послідовності.

Зростаючі чи спадні послідовності називаються монотонними.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - вагається;

5; 5; 5; 5; ….. – постійна.

IV. Послідовності можна зобразити геометрично. Т.к. послідовності – це функція, областю визначення якої є безліч N, то графіком, певне, є безліч точок площини (х; у).

Приклад: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Побудуємо графік цієї послідовності

Малюнок 1.

Приклад: Доведіть, що послідовність, задана у такому вигляді

99; 74; 49; 24; -1;……………

є спадною.

V. Методи завдання послідовностей.

Т.к. послідовність – це функція, визначена на безлічі N, існує п'ять способів завдання послідовностей:

I. Табличний

ІІ. Спосіб опису

ІІІ. Аналітичний

IV. Графічний

V. Рекурентний

I. Табличний – дуже незручний. Складаємо таблицю та по ній визначаємо, який член? яке місце він займає……..

ІІ. Спосіб опису.

Приклад: Послідовність така, що кожен член записується за допомогою цифри 4, і число цифр дорівнює номеру числа послідовності.

ІІІ. Аналітичний спосіб(за допомогою формули).

Формула, що виражає кожен член послідовності через номер n, називається формулою n члена послідовності.

наприклад:

і учні складають ці послідовності, і навпаки: підберіть формулу для членів послідовностей:

а) 1; ; ;…………..
б) ...
в)
г)
буд) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Графічний спосіб- теж не дуже зручний, зазвичай ним і не користуються.

Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n то кажуть, що задана числова послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 називають членом послідовності з номером 1 або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2 або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n.

Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули.

Завдання послідовності за допомогою формули спільного членапослідовності- Це завдання послідовності

x 1 , x 2 , … x n , …

за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n .

приклад 1 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана за допомогою формули загального члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули.

x 1 , x 2 , … x n , …

називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n

x n + 1 >x n

Приклад 3 . Послідовність натуральних чисел

1, 2, 3, … n, …

є зростаючою послідовністю.

Визначення 2. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

x n + 1 < x n

Приклад 4 . Послідовність

задана формулою

є спадною послідовністю.

Приклад 5 . Числова послідовність

1, - 1, 1, - 1, …

задана формулою

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю.

Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями.

Обмежені та необмежені послідовності

Визначення 4. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою зверху, якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 5. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою знизу,якщо існує таке число m, кожен член цієї послідовності більшечисла m.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 6. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу.

Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

m< x n < M

Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями.

Приклад 6 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана формулою

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху.

Приклад 7 . Послідовність

задана формулою

є обмеженою послідовністю , оскільки для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ та ОДЕ з математики.

Для школярів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи російської мовина високий бал, навчальний центр"Резольвента" проводить

Теорема Вейєрштраса про межу монотонної послідовності

Будь-яка монотонна обмежена послідовність ( x n )має кінцева межа, рівний точної вірнішій межі, sup ( x n )для незабутньої та точної нижньому кордоні, inf ( x n )для зростаючої послідовності.
Будь-яка монотонна необмежена послідовністьмає нескінченна межа, рівний плюс нескінченності, для незменшуючої і мінус нескінченності, для послідовності, що не зростає.

Доказ

1) неубутньою обмеженою послідовністю.

(1.1) .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну верхню границю
.
Це означає, що:

• для всіх n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Тут ми також використали (1.3). Комбінуючи з (1.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Першу частину теореми доведено.

2) Нехай тепер послідовність є незростаючою обмеженою послідовністю:
(2.1) всім n .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну нижню границю
.
Це означає таке:

• для всіх n виконуються нерівності:
  (2.2) ;
• для будь-кого позитивного числаіснує такий номер, що залежить від ε, для якого
  (2.3) .

.
Тут ми також використали (2.3). Враховуючи (2.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Це означає, що число є межею послідовності .
Другу частину теореми доведено.

Тепер розглянемо необмежені послідовності.
3) Нехай послідовність є необмеженою неубутньою послідовністю.

Оскільки послідовність неубутня, то для всіх n виконуються нерівності:
(3.1) .

Оскільки послідовність є неубутньою і необмеженою, вона необмежена з правого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(3.2) .

Оскільки послідовність неубутня, то маємо:
.
Тут ми також використали (3.2).

.
Це означає, що межа послідовності дорівнює плюс нескінченності:
.
Третя частина теореми доведена.

4) Нарешті розглянемо випадок, коли є необмеженою незростаючою послідовністю.

Аналогічно попередньому, оскільки послідовність незростаюча, то
(4.1) всім n .

Оскільки послідовність є незростаючою і необмеженою, вона необмежена з лівого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(4.2) .

Оскільки послідовність незростаюча, то маємо:
.

Отже, для будь-якого числа M існує таке натуральне число, що залежить від M , так що для всіх номерів виконуються нерівності:
.
Це означає, що межа послідовності дорівнює мінус нескінченності:
.
Теорему доведено.

Приклад розв'язання задачі

Користуючись теоремою Вейєрштраса, довести збіжність послідовності:
, , . . . , , . . .
Після чого знайти її межу.

Подаємо послідовність у вигляді рекурентних формул:
,
.

Доведемо, що задана послідовність обмежена згори значенням
(П1) .
Доказ виконуємо методом математичної індукції.
.
Нехай. Тоді
.
Нерівність (П1) доведено.

Доведемо, що послідовність монотонно зростає.
;
(П2) .
Оскільки , то знаменник дробу і перший множник у чисельнику позитивні. З огляду на обмеженість членів послідовності нерівністю (П1), другий множник також позитивний. Тому
.
Тобто послідовність є строго зростаючою.

Оскільки послідовність зростає і обмежена зверху, вона є обмеженою послідовністю. Тому, за теоремою Вейєрштраса, вона має межу.

Знайдемо цю межу. Позначимо його через a:
.
Скористаємося тим, що
.
Застосуємо це до (П2), використовуючи арифметичні властивості меж послідовностей, що сходяться :
.
Умові задовольняє корінь.

Монотонність послідовності

Монотонна послідовність- Послідовність, що задовольняє одній з наступних умов:

Серед монотонних послідовностей виділяються суворо монотонніпослідовності, що задовольняють одну з таких умов:

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «невипадна послідовність», а термін «зменшується послідовність» - як синоніму терміну «незростаюча послідовність». У такому разі зростаючі та спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадаючими», відповідно.

Деякі узагальнення

Може виявитися, що вищезазначені умови виконуються не для всіх номерів, а лише для номерів з певного діапазону

(тут допускається звернення правого кордону N+ у нескінченність). У цьому випадку послідовність називається монотонної на проміжку I , а сам діапазон Iназивається проміжком монотонностіпослідовності.

Приклади

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Монотонність послідовності" в інших словниках:

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних функцій. Теорія функцій розпадається на дві області: теорію функцій дійсного змінного та теорію функцій комплексного змінного, відмінність між якими настільки велика, що… Енциклопедія Кольєра

Тестування псевдовипадкових послідовностей сукупність методів визначення міри близькості заданої псевдовипадкової послідовності до випадкової. Як такий захід зазвичай виступає наявність рівномірного розподілу, великого… … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Міра. Міра множини невід'ємна величина, інтуїтивно інтерпретована як розмір (обсяг) множини. Власне, міра це деяка цифрова функція, Що ставить у відповідність кожному ... ... Вікіпедія

Відомий письменник. Рід. в Орлі 1871 р.; батько його був землемір. Навчався в Орловській гімназії та в університетах С. Петербурзькому та Московському, з юридичного факультету. Студентам дуже потребував. Тоді ж він написав перше своє оповідання "про… … Велика біографічна енциклопедія

Чисельні методи розв'язання методи, що замінюють рішення крайової задачі рішенням дискретної задачі (див. Лінійне крайове завдання; численні методи розв'язання та Нелінійне рівняння; чисельні методи розв'язання). У багатьох випадках, особливо при розгляді… Математична енциклопедія

Манускрипт Войнича написано за допомогою невідомої системилисти Рукопис Войнича (англ. Voyni … Вікіпедія

Написано за допомогою невідомої системи листа Рукопис Войнича (англ. Voynich Manuscript) таємнича книга, написана близько 500 років тому невідомим автором, на невідомою мовоюз використанням невідомого алфавіту. Рукопис Войнича… … Вікіпедія

Сіджизмондо д'Індія (італ. Sigismondo d India, бл. 1582, Палермо? до 19 квітня 1629, Модена) італійський композитор. Зміст 1 Біографія 2 Творчість … Вікіпедія

Модернізація- (Modernization) Модернізація це процес зміни чогось відповідно до вимог сучасності, перехід до більш досконалих умов, за допомогою введення різних нових оновлень Теорія модернізації, типи модернізації, органічна… Енциклопедія інвестора

Одне з основних математичних понять, Зміст якого з розвитком математики піддавався ряду узагальнень. I. Ще в «Початках» Евкліда (3 ст. до н. е.) були виразно сформульовані властивості Ст, званих тепер, на відміну від ... Велика Радянська Енциклопедія