Знайти наближене значення збільшення функції при зміні. Наближені обчислення за допомогою диференціалу

Поняття диференціала

Нехай функція y = f(x) диференційована при деякому значенні змінної x. Отже, у точці xіснує кінцева похідна

Тоді за визначенням межі функції різниця

є нескінченно малою величиною при . Виразивши з рівності (1) збільшення функції, отримаємо

(2)

(величина залежить від , т. е. залишається постійної при ).

Якщо , то правої частини рівності (2) перший доданок лінійно щодо . Тому при

воно є нескінченно малою того ж порядку малості, що і . Другий доданок - нескінченно мала більш високого порядкутрохи, ніж перше, тому що їх відношення прагне до нуля при

Тому кажуть, що перший доданок формули (2) є головною, лінійною щодо частиною збільшення функції; чим менше, тим велику часткузбільшення становить ця частина. Тому при малих значеннях (і при ) збільшення функції можна приблизно замінити його головною частиною, тобто.

Цю головну частинузбільшення функції називають диференціалом цієї функції в точці xі позначають

Отже,

(5)

Отже, диференціал функції y = f(x) дорівнює творуїї похідною на збільшення незалежної змінної.

Зауваження. Потрібно пам'ятати, що якщо x– вихідне значення аргументу,

Нарощене значення, то похідна у виразі диференціала береться в вихідній точці x; у формулі (5) це видно із запису, у формулі (4) – ні.

Диференціал функції можна записати в іншій формі:

Геометричний зміст диференціала. Диференціал функції y = f(x) дорівнює прирощеннюординати дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці ( x; y), при зміні xна величину.

Властивості диференціалу. Інваріантність форми диференціалу

У цьому й наступному параграфах кожну з функцій вважатимемо диференційованою за всіх аналізованих значеннях її аргументів.

Диференціал має властивості, аналогічні властивостям похідної:

(С – постійна величина) (8)

(9)

(10)

(12)

Формули (8) – (12) виходять з відповідних формул для похідної множенням обох частин кожної рівності на .

Розглянемо диференціал складної функції. Нехай - складна функція:

Диференціал

цією функцією, використовуючи формулу для похідної складної функції, можна записати у вигляді

Але є диференціал функції, тому

(13)

Тут диференціал записаний у тому вигляді, як й у формулі (7), хоча аргумент не незалежної змінної, а функцією . Отже, вираз диференціала функції як твори похідної цієї функції на диференціал її аргументу справедливо незалежно від цього, є аргумент незалежної змінної чи функцією інший змінної. Цю властивість називають інваріантністю(незмінністю) форми диференціала.

Підкреслимо, що у формулі (13) не можна замінити на , оскільки

для будь-якої функції, крім лінійної.

приклад 2.Записати диференціал функції

двома способами, виражаючи його: через диференціал проміжної змінної та через диференціал змінної x. Перевірити збіг отриманих виразів.

Рішення. Покладемо

а диференціал запишеться у вигляді

Підставляючи в цю рівність

Отримуємо

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Встановлена ​​у першому параграфі наближена рівність

дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.

Запишемо наближену рівність докладніше. Так як

приклад 3.Користуючись поняттям диференціала, обчислити приблизно ln 1,01.

Рішення. Число ln 1,01 є одним із значень функції y= ln x. Формула (15) даному випадкунабуде вигляду

Отже,

що є дуже добрим наближенням: табличне значення ln 1,01 = 0,0100.

приклад 4.Користуючись поняттям диференціала, обчислити приблизно

Рішення. Число
є одним із значень функції

Оскільки похідна цієї функції

то формула (15) набуде вигляду

отримуємо

(табличне значення

).

Користуючись наближеним значенням числа, необхідно мати можливість судити про ступінь його точності. З цією метою обчислюють його абсолютну та відносну похибки.

Абсолютна похибка наближеного числа дорівнює абсолютної величинирізниці між точним числом та його наближеним значенням:

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до абсолютної величини відповідного точного числа:

Помножуючи на 4/3, знаходимо

Приймаючи табличне значення кореня

за точне число, оцінимо за формулами (16) та (17) абсолютну та відносну похибки наближеного значення:

Наближені обчислення за допомогою диференціалу

на даному уроціми розглянемо поширене завдання про наближене обчислення значення функції за допомогою диференціалу. Тут і далі мова піде про диференціали першого порядку, для стислості я часто говоритиму просто «диференціал». Завдання про наближені обчислення за допомогою диференціала має жорсткий алгоритм рішення, і, отже, особливих труднощів виникнути не повинно. Єдине, є невелике підводне каміння, яке теж буде підчищене. Тож сміливо пірнайте головою вниз.

Крім того, на сторінці присутні формули знаходження абсолютної та відносної похибки обчислень. Матеріал дуже корисний, оскільки похибки доводиться розраховувати й інших завданнях. Фізики, де ваші оплески? =)

Для успішного освоєння прикладів необхідно вміти знаходити похідні функції хоча б на середньому рівні, тому якщо з диференціюванням зовсім негаразди, будь ласка, почніть з уроку Як знайти похідну?Також рекомендую прочитати статтю Найпростіші завдання з похідною, а саме параграфи про знаходження похідної в точціі знаходження диференціала в точці. З технічних засобівпотрібен мікрокалькулятор з різними математичними функціями. Можна використовувати Ексель, але в цьому випадку він менш зручний.

Практикум складається із двох частин:

– Наближені обчислення за допомогою диференціала функції однієї змінної.

– Наближені обчислення за допомогою повного диференціалуфункції двох змінних.

Кому що потрібне. Насправді можна було розділити багатство на дві купи, тому що другий пункт відноситься до додатків функцій декількох змінних. Але що вдієш, ось люблю я довгі статті.

Наближені обчислення
за допомогою диференціала функції однієї змінної

Розглянуте завдання та його геометричний зміствже освітлено на уроці Що таке похідна? І зараз ми обмежимося формальним розглядом прикладів, чого цілком достатньо, щоб навчитися їх вирішувати.

У першому параграфі керує функція однієї змінної. Як знають, вона позначається через чи через . Для цього завдання набагато зручніше використовувати друге позначення. Відразу перейдемо до популярного прикладу, який часто зустрічається на практиці:

Приклад 1

Рішення:Будь ласка, перепишіть у зошит робочу формулу для наближеного обчислення за допомогою диференціалу:

Починаємо розбиратись, тут все просто!

На першому етапі необхідно скласти функцію. За умовою запропоновано обчислити кубічний коріньу складі: , тому відповідна функція має вигляд: . Нам потрібно за допомогою формули знайти наближене значення.

Дивимося на ліву частину формули , і на думку спадає думка, що число 67 необхідно подати у вигляді . Як найпростіше це зробити? Рекомендую наступний алгоритм: обчислимо дане значенняна калькуляторі:
- Вийшло 4 з хвостиком, це важливий орієнтир для вирішення.

Як підбираємо «хороше» значення, щоб корінь витягувався націло. Звичайно, це значення має бути якомога ближчедо 67. У разі: . Дійсно: .

Примітка: Коли з підбором все одно виникає складність, просто подивіться на скалькульоване значення (в даному випадку ), Візьміть найближчу цілу частину (в даному випадку 4) і зведіть її потрібну в ступінь (в даному випадку). У результаті буде виконаний необхідний підбір: .

Якщо , то збільшення аргументу: .

Отже, число 67 представлено у вигляді суми

Спочатку обчислимо значення функції у точці. Власне, це вже зроблено раніше:

Диференціал у точці знаходиться за формулою:
- Також можете переписати до себе в зошит.

З формули випливає, що потрібно взяти першу похідну:

І знайти її значення в точці:

Таким чином:

Все готово! Відповідно до формули:

Знайдене наближене значення досить близько до значення , обчисленому за допомогою мікрокалькулятора

Відповідь:

Приклад 2

Обчислити приблизно , замінюючи збільшення функції її диференціалом.

Це приклад для самостійного рішення. Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку. Початківцям спочатку рекомендую обчислити точне значенняна мікрокалькуляторі, щоб з'ясувати, скільки прийняти за , а яке – за . Слід зазначити, що в даному прикладібуде негативним.

У деяких, можливо, постало питання, навіщо потрібне це завдання, якщо можна все спокійно і точніше підрахувати на калькуляторі? Згоден, завдання дурне і наївне. Але спробую трохи її виправдати. По-перше, завдання ілюструє сенс диференціалу функції. По-друге, у давнину, калькулятор був чимось на зразок особистого вертольота в наш час. Сам бачив, як із місцевого політехнічного інституту року десь у 1985-86 викинули комп'ютер розміром з кімнату (з усього міста збіглися радіоаматори з викрутками, і за кілька годин від агрегату залишився лише корпус). Антикваріат водився і в нас на фізматі, щоправда, меншим розміром – десь з парту. Ось так і мучилися наші предки з методами наближених обчислень. Кінний віз – теж транспорт.

Так чи інакше, завдання залишилося у стандартному курсі вищої математики, І вирішувати її доведеться. Це основна відповідь на ваше запитання =)

Приклад 3

у точці. Обчислити більш точне значення функції в точці за допомогою мікрокалькулятора, оцінити абсолютну та відносну похибкуобчислень.

Фактично те саме завдання, його запросто можна переформулювати так: «Обчислити наближене значення за допомогою диференціалу»

Рішення:Використовуємо знайому формулу:
В даному випадку вже дана готова функція: . Ще раз звертаю увагу, що для позначення функції замість «Ігрека» зручніше використовувати .

Значення необхідно подати у вигляді . Ну, тут легше, бачимо, що число 1,97 дуже близько до «двійки», тому напрошується . І, отже: .

Використовуючи формулу , обчислимо диференціал у цій самій точці.

Знаходимо першу похідну:

І її значення в точці:

Таким чином, диференціал у точці:

В результаті, за формулою:

Друга частина завдання полягає в тому, щоб знайти абсолютну та відносну похибку обчислень.

Абсолютна та відносна похибка обчислень

Абсолютна похибка обчисленьзнаходиться за формулою:

Знак модуля показує, що нам не має значення, яке значення більше, а яке менше. Важливо, наскільки далеконаближений результат відхилився від точного значення у той чи інший бік.

Відносна похибка обчисленьзнаходиться за формулою:
, або, те саме:

Відносна похибка показує, на скільки відсотківнаближений результат відхилився від точного значення. Існує версія формули і без домноження на 100%, але на практиці я майже завжди бачу наведений вище варіант з відсотками.

Після короткої довідки повернемося до нашого завдання, в якому ми вирахували наближене значення функції за допомогою диференціалу.

Обчислимо точне значення функції за допомогою мікрокалькулятора:
, Строго кажучи, значення все одно наближене, але ми вважатимемо його точним. Такі завдання зустрічаються.

Обчислимо абсолютну похибку:

Обчислимо відносну похибку:
, Отримані тисячні частки відсотка, таким чином, диференціал забезпечив просто відмінне наближення.

Відповідь: абсолютна похибка обчислень, відносна похибка обчислень

Наступний прикладдля самостійного вирішення:

Приклад 4

Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції у точці. Обчислити більш точне значення функції у цій точці, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.

Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Багато хто звернув увагу, що у всіх розглянутих прикладах фігурує коріння. Це не випадково, в більшості випадків у завданні, що розглядається, дійсно пропонуються функції з корінням.

Але для читачів я розкопав невеликий приклад з арксинусом:

Приклад 5

Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції у точці

Цей коротенький, але пізнавальний приклад для самостійного рішення. А я трохи відпочив, щоби з новими силами розглянути особливе завдання:

Приклад 6

Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до двох знаків після коми.

Рішення:Що нового у завданні? За умовою потрібно округлити результат до двох знаків після коми. Але справа не в цьому, шкільне завдання округлення, думаю, не є для вас складнощами. Справа в тому, що у нас дано тангенс з аргументом, який виражений у градусах. Що робити, коли вам пропонується для вирішення тригонометричної функції з градусами? Наприклад, і т.д.

Алгоритм рішення принципово зберігається, тобто необхідно, як і попередніх прикладах, застосувати формулу

Записуємо очевидну функцію

Значення потрібно у вигляді . Серйозну допомогу надасть таблиця значень тригонометричних функцій. До речі, хто її не роздрукував, рекомендую це зробити, оскільки заглядати туди доведеться на протязі всього курсу вивчення вищої математики.

Аналізуючи таблицю, помічаємо «хороше» значення тангенсу, яке близько розташовується до 47 градусів:

Таким чином:

Після попереднього аналізу градуси необхідно перевести в радіани. Так і тільки так!

У цьому прикладі безпосередньо з тригонометричної таблиціможна з'ясувати, що . За формулою переведення градусів у радіани: (Формули можна знайти в тій же таблиці).

Подальше шаблонно:

Таким чином: (При обчислення використовуємо значення ). Результат, як і вимагалося за умовою, заокруглений до двох знаків після коми.

Відповідь:

Приклад 7

Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до трьох знаків після коми.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, нічого складного, градуси переводимо в радіани і дотримуємося звичайного алгоритму розв'язання.

Наближені обчислення
за допомогою повного диференціалу функції двох змінних

Все буде дуже і дуже схоже, тому якщо ви зайшли на цю сторінку саме цим завданням, то спочатку рекомендую переглянути хоча б пару прикладів попереднього пункту.

Для вивчення параграфа необхідно вміти знаходити приватні похідні другого порядкукуди ж без них. На вищезгаданому уроці функцію двох змінних я позначав через букву. Що стосується розглянутого завдання зручніше використовувати еквівалентне позначення.

Як і для випадку функції однієї змінної, умова завдання може бути сформульована по-різному, і я постараюся розглянути всі формулювання, що зустрічаються.

Приклад 8

Рішення:Як би не було записано умова, у самому рішенні для позначення функції, повторюся, краще використовувати не букву «зет», а .

А ось і робоча формула:

Перед нами, фактично, старша сестра формули попереднього параграфа. Змінна тільки додалася. Та що казати, сам алгоритм рішення буде принципово таким самим!

За умовою потрібно знайти наближене значення функції у точці.

Число 3,04 представимо у вигляді. Колобок сам проситься, щоб його з'їли:
,

Число 3,95 представимо у вигляді. Дійшла черга і до другої половини Колобка:
,

І не дивіться на всякі лисячі хитрощі, Колобок є – треба його з'їсти.

Обчислимо значення функції в точці:

Диференціал функції у точці знайдемо за формулою:

З формули випливає, що потрібно знайти приватні похідніпершого порядку і обчислити їх значення у точці.

Обчислимо приватні похідні першого порядку в точці:

Повний диференціал у точці:

Таким чином, за формулою наближене значення функції в точці:

Обчислимо точне значення функції в точці:

Це значення є абсолютно точним.

Похибки розраховуються за стандартним формулам, про які вже йшлося у цій статті.

Абсолютна похибка:

Відносна погрішність:

Відповідь:, абсолютна похибка: , відносна похибка:

Приклад 9

Обчислити наближене значення функції у точці за допомогою повного диференціалу, оцінити абсолютну та відносну похибку.

Це приклад самостійного рішення. Хто зупиниться докладніше цьому прикладі, той зверне увагу, що похибки обчислень вийшли дуже і дуже помітними. Це сталося з наступної причини: у запропонованій задачі досить великі збільшення аргументів: . Загальна закономірністьтака – що більше ці збільшення по абсолютній величині, то нижча точність обчислень. Так, наприклад, для схожої точки збільшення будуть невеликими: , і точність наближених обчислень вийде дуже високою.

Ця особливість справедлива й у випадку функції однієї змінної (перша частина уроку).

Приклад 10

Рішення: Обчислимо цей вираз приблизно за допомогою повного диференціала функції двох змінних:

На відміну від Прикладів 8-9 полягає в тому, що нам спочатку необхідно скласти функцію двох змінних: . Як складено функцію, думаю, всім інтуїтивно зрозуміло.

Значення 4,9973 близько до «п'ятірки», тому: , .
Значення 0,9919 близько до «одиниці», отже, вважаємо: , .

Обчислимо значення функції в точці:

Диференціал у точці знайдемо за формулою:

Для цього обчислимо приватні похідні першого порядку в точці.

Похідні тут не найпростіші, і слід бути обережним:

;

.

Повний диференціал у точці:

Таким чином, наближене значення даного виразу:

Обчислимо більш точне значення за допомогою мікрокалькулятора: 2,998899527

Знайдемо відносну похибку обчислень:

Відповідь: ,

Саме ілюстрація вищесказаному, у розглянутому завданні збільшення аргументів дуже малі, і похибка вийшла фантастично мізерною.

Приклад 11

За допомогою повного диференціалу функції двох змінних обчислити наближено значенняданого виразу. Обчислити цей вираз за допомогою мікрокалькулятора. Оцінити у відсотках відносну похибку обчислень.

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Як уже зазначалося, найбільш приватний гість у даному типізавдань – це якесь коріння. Але іноді зустрічаються й інші функції. І останній простий приклад для релаксації:

Приклад 12

За допомогою повного диференціалу функції двох змінних обчислити наближено значення функції, якщо

Рішення ближче до дна сторінки. Ще раз зверніть увагу на формулювання завдань уроку, різних прикладахпрактично формулювання можуть бути різними, але це принципово не змінює суті та алгоритму рішення.

Якщо чесно, трохи стомився, оскільки матеріал був нудний. Непедагогічно це було говорити на початку статті, але зараз уже можна =) Дійсно, завдання обчислювальної математики зазвичай не дуже складні, не дуже цікаві, найважливіше, мабуть, не припуститися помилки у звичайних розрахунках.

Нехай не зітруться клавіші вашого калькулятора!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,

Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4: Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,

Наближене значення збільшення функції

При досить малих збільшення функції приблизно дорівнює її диференціалу, тобто. Dy » dy і, отже,

приклад 2.Знайти наближене значення збільшення функції y= за зміни аргументу x від значення x 0 =3 до x 1 =3,01.

Рішення. Скористаємося формулою (2.3). Для цього обчислимо

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тоді

Dу » .

Наближене значення функції у точці

Відповідно до визначення збільшення функції y = f(x) у точці x 0 при збільшенні аргументу Dx (Dx®0) Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) і формулою (3.3) можна записати

f(x 0 + Dx) f (x 0) + . (3.4)

Окремими випадками формули (3.4) є вирази:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Тут, як і раніше, передбачається, що Dx®0.

приклад 3.Знайти наближене значення функції f(x) = (3x -5) 5 у точці x 1 =2,02.

Рішення. Для обчислень скористаємося формулою (3.4). Представимо x 1 як x 1 = x 0 + Dx. Тоді x0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

приклад 4.Обчислити (1,01) 5 ln(1,02) ln .

Рішення

1. Скористаємося формулою (3.4а). Для цього представимо (1,01) 5 у вигляді (1+0,01) 5 .

Тоді, вважаючи Dх = 0,01, n = 5, отримаємо

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представивши у вигляді (1 - 0,006) 1/6 згідно (3.4а), отримаємо

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Враховуючи, що ln(1,02) = ln(1 + 0,02) і вважаючи Dx=0,02, за формулою (3.4б) отримаємо

ln(1,02) = ln(1 + 0,02)» 0,02.

4. Аналогічно

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Знайти наближені значення збільшення функцій

155. y = 2x 3 + 5 за зміни аргументу x від значення x 0 = 2 до x 1 = 2,001

156. у = 3x 2 + 5x + 1 при x 0 = 3 та Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 при x 0 = 2 та Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 та Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 та Dx = 0,01

Знайти наближені значення функцій

160. у = 2x 2 - x + 1 у точці x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 у точці x 1 = 3,02

162. y = у точці x 1 = 1,1

163. y= у точці x 1 = 3,032

164. y = у точці x 1 = 3,97

165. y = sin 2x у точці x 1 = 0,015

Обчислити приблизно

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05) 5 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e 2 ×0,97)

Дослідження функцій та побудова графіків

Ознаки монотонності функції

Теорема 1 (необхідна умовазростання (зменшення) функції) . Якщо функція, що диференціюється y = f(x), xÎ(a; b) зростає (зменшується) на інтервалі (a; b), то для будь-якого x 0 Î(a; b).

Теорема 2 (достатня умовазростання (зменшення) функції) . Якщо функція y = f(x), xÎ(a; b) має позитивну (негативну) похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то ця функція зростає (зменшується) на цьому інтервалі.

Екстремуми функції

Визначення 1.Точка x 0 називається точкою максимуму (мінімуму) функції у = f(x), якщо для всіх x з деякої d-околиці точки x 0 виконується нерівність f(x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) при x x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (Необхідна умова існування екстремуму) . Якщо точка x 0 є точкою екстремуму функції y = f(x) і в цій точці існує похідна ,

Теорема 4 (Перша достатня умова існування екстремуму) . Нехай функція y = f(x) диференційована в деякій d-околиці точки x 0 . Тоді:

1) якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює знак з (+) на (-), то x 0 є точкою максимуму;

2) якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює знак з (-) на (+), то x 0 є точкою мінімуму;

3) якщо похідна під час переходу через точку x 0 не змінює знак, то точці x 0 функція немає екстремуму.

Визначення 2.Точки, у яких похідна функції перетворюється на нуль чи немає, називаються критичними точками першого роду.

за допомогою першої похідної

1. Знайти область визначення D(f) функції у = f(x).

3. Знайти критичні точкипершого роду.

4. Розставити критичні точки в області визначення D(f) функції y = f(x) та визначити знак похідної у проміжках, на які критичні точки ділять область визначення функції.

5. Виділити точки максимуму та мінімуму функції та обчислити в цих точках значення функції.

приклад 1.Дослідити на екстремум функцію у = x3-3x2.

Рішення. Відповідно до алгоритму знаходження екстремуму функції за допомогою першої похідної маємо:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критичні точки першого роду.

Похідна під час переходу через точку x = 0

змінює знак з (+) на (-), отже це точка

Максимуму. При переході через точку х = 2 змінює знак із (-) на (+), отже це точка мінімуму.

5. ymax = f(0) = 03×3×02 = 0.

Координати максимуму (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Координати мінімуму (2; -4).

Теорема 5 (Друга достатня умова існування екстремуму) . Якщо функція у = f(x) визначена і двічі диференційована в околиці точки x 0 , причому , то в точці x 0 функція f(x) має максимум, якщо і мінімум, якщо .

Алгоритм знаходження екстремуму функції

за допомогою другої похідної

1. Знайти область визначення D(f) функції y = f(x).

2. Обчислити першу похідну

Розглянемо поширене завдання про наближене обчислення значення функції за допомогою диференціалу.

Тут і далі мова піде про диференціали першого порядку, для стислості часто говоритимемо просто «диференціал». Завдання про наближені обчислення за допомогою диференціала має жорсткий алгоритм рішення, і, отже, особливих труднощів виникнути не повинно. Єдине, є невелике підводне каміння, яке теж буде підчищене. Тож сміливо пірнайте головою вниз.

Крім того, у розділі присутні формули знаходження абсолютної та відносної похибок обчислень. Матеріал дуже корисний, оскільки похибки доводиться розраховувати й інших завданнях.

Для успішного освоєння прикладів необхідно вміти знаходити похідні функцій хоча б на середньому рівні, тому якщо з диференціюванням зовсім негаразди, будь ласка, почніть з знаходження похідної в точціі з знаходження диференціала у точці. З технічних засобів буде потрібно мікрокалькулятор з різними математичними функціями. Можна використовувати можливості MS Excel, але в цьому випадку він менш зручний.

Урок складається із двох частин:

– Наближені обчислення за допомогою диференціала значення функції однієї змінної у точці.

– Наближені обчислення за допомогою повного диференціала значення функції двох змінних у точці.

Завдання, що розглядається, тісно пов'язане з поняттям диференціала, але, оскільки уроку про сенс похідної і диференціала у нас поки немає, обмежимося формальним розглядом прикладів, чого цілком достатньо, щоб навчитися їх вирішувати.

Наближені обчислення за допомогою диференціалу функції однієї змінної

У першому параграфі керує функція однієї змінної. Як всі знають, вона позначається через yабо через f(x). Для цього завдання набагато зручніше використовувати друге позначення. Відразу перейдемо до популярного прикладу, який часто зустрічається на практиці:

Приклад 1

Рішення:Будь ласка, перепишіть у зошит робочу формулу для наближеного обчислення за допомогою диференціалу:

Починаємо розбиратись, тут все просто!

На першому етапі необхідно скласти функцію. За умовою запропоновано обчислити кубічний корінь у складі: , тому відповідна функція має вид: .

Нам потрібно за допомогою формули знайти наближене значення.

Дивимося на ліву частинуформули , і на думку спадає думка, що число 67 необхідно подати у вигляді . Як найпростіше це зробити? Рекомендую наступний алгоритм: обчислимо це значення на калькуляторі:

- Вийшло 4 з хвостиком, це важливий орієнтир для вирішення.

В якості x 0 підбираємо «хороше» значення, щоб корінь витягувався націло. Звичайно, це значення x 0 має бути якомога ближчедо 67.

В даному випадку x 0 = 64. Справді, .

Примітка: Коли з підборомx 0 все одно виникає скрута, просто подивіться на скалькульоване значення (в даному випадку ), візьміть найближчу цілу частину (у разі 4) і зведіть її потрібну ступінь (у разі ). В результаті і буде виконано потрібний підбір x 0 = 64.

Якщо x 0 = 64, то збільшення аргументу: .

Отже, число 67 представлено у вигляді суми

Спочатку обчислимо значення функції у точці x 0 = 64. Власне, це вже зроблено раніше:

Диференціал у точці знаходиться за формулою:

- Цю формулу теж можете переписати до себе в зошит.

З формули випливає, що потрібно взяти першу похідну:

І знайти її значення у точці x 0:

.

Таким чином:

Все готово! Відповідно до формули:

Знайдене наближене значення є досить близьким до значення 4,06154810045, обчисленого за допомогою мікрокалькулятора.

Відповідь:

Приклад 2

Обчислити приблизно , замінюючи збільшення функції її диференціалом.

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку. Початківцям спочатку рекомендую обчислити точне значення на мікрокалькуляторі, щоб з'ясувати, яке число прийняти x 0 а яке – за Δ x. Слід зазначити, що Δ xу цьому прикладі буде негативним.

У деяких, можливо, постало питання, навіщо потрібне це завдання, якщо можна все спокійно і точніше підрахувати на калькуляторі? Згоден, завдання дурне і наївне. Але спробую трохи її виправдати. По-перше, завдання ілюструє сенс диференціалу функції. По-друге, у давнину калькулятор був чимось на зразок особистого вертольота в наш час. Сам бачив, як з одного з інститутів року десь у 1985-86 викинули комп'ютер розміром із кімнату (з усього міста збіглися радіоаматори з викрутками, і за кілька годин від агрегату залишився лише корпус). Антикваріат водився і в нас на фізфаку, щоправда, меншим розміром – десь з парту. Ось так і мучилися наші предки з методами наближених обчислень. Кінний віз – теж транспорт.

Так чи інакше, завдання залишилося в стандартному курсі вищої математики, і вирішувати її доведеться. Це основна відповідь на ваше запитання =).

Приклад 3

Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції у точці x= 1,97. Обчислити більш точне значення функції у точці x= 1,97 за допомогою мікрокалькулятора, оцінити абсолютну та відносну похибку обчислень.

Фактично, це завдання можна переформулювати так: «Обчислити наближене значення за допомогою диференціалу»

Рішення:Використовуємо знайому формулу:

В даному випадку вже дана готова функція: . Ще раз звертаю увагу, що для позначення функції замість «гравця» зручніше використовувати f(x).

Значення x= 1,97 необхідно подати у вигляді x 0 = Δ x. Ну, тут легше, бачимо, що число 1,97 дуже близько до «двійки», тому напрошується x 0 = 2. І, отже: .

Обчислимо значення функції у точці x 0 = 2:

Використовуючи формулу , обчислимо диференціал у цій самій точці.

Знаходимо першу похідну:

І її значення у точці x 0 = 2:

Таким чином, диференціал у точці:

В результаті, за формулою:

Друга частина завдання полягає в тому, щоб знайти абсолютну та відносну похибку обчислень.