Знайти похідну: алгоритм та приклади рішень. Похідні вищих порядків логарифму на основі a

Взагалі кажучи, для вирішення задачі B15 з логарифмом треба знати дві формули:

Перша формула – класична похідна натурального логарифму, друга - похідна складної функції. Зверніть увагу: у чисельнику стоїть число k, це не друкарська помилка.

Додайте до цих формул стандартні правилаобчислення похідних - та завдання B15 вирішено:

(f ± g ) ' = f ' ± g ';
(c · f) ' = c · f ', c ∈ R.

У реальних завданнях логарифми будь-коли зустрічаються власними силами. Тому обов'язково наводьте всю похідну до спільному знаменнику. Чому це важливо, дізнаєтесь із прикладів.

Завдання. Знайдіть найменше значенняфункції на відрізку:

y = 2x 2 − 4 ln x + 5

Знаходимо похідну:

З'ясовуємо, коли похідна дорівнює нулю. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю. Маємо:

4(x 2 − 1) = 0;
x 2 = 1;
x = ±1.

Корінь x = −1 не належить відрізку , тому нас цікавить тільки x = 1. Крім того, розглянемо кінці відрізка – числа 0,5 та 4. Разом три числа: 0,5; 1; 4. Оскільки потрібно знайти найменше значення функції, підставляємо ці числа у вихідну функцію:

y (0,5) = 2 · 0,5 2 − 4 ln 0,5 + 5 = 0,5 − 4 ln 0,5 + 5 = 5,5 − 4 ln 0,5;
y (1) = 2 · 1 2 − 4 ln 1 + 5 = 2 − 0 + 5 = 7;
y (4) = 2 · 4 2 − 4 ln 4 + 5 = 32 − 4 ln 4 + 5 = 37 − 4 ln 4.

Загалом, вибирати особливо нема з чого. Відповідь: 7. Тому що числа 5,5 − 4ln 0,5 та 37 − 4ln 4 ірраціональні, їх не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.

Завдання. Знайдіть точку мінімуму функції:

y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3

Знову вважаємо похідну:

Під логарифмом стоїть лінійна функція y = x − 7. Коефіцієнт при змінній x дорівнює k = 1, тому в чисельнику ніяких додаткових множників не виникне – лише множник 5, який стоїть перед логарифмом.

Оскільки потрібно знайти точку мінімуму, вважаємо нулі чисельника та знаменника:

2x − 19 ⇒ x = 19: 2 = 9,5;
x − 7 = 0 ⇒ x = 7.

Зазначаємо ці точки на прямій, розставляємо похідні знаки між точками:

Отже, у точці x = 9,5 похідна змінює знак з мінусу на плюс, якщо рахувати ліворуч – праворуч, у напрямку стрілки. Це і є точка мінімуму.

Завдання. Знайдіть найбільше значенняфункції на відрізку [-1,5; 1]:

y = 3 ln (x + 2) − 3x + 10

Вважаємо похідну:

Знаходимо нулі чисельника:

−3x − 3 = 0;
x = -1.

Нулі знаменника нас цікавлять, оскільки потрібно знайти значення функції. Коли знаменник дорівнює нулю, значення функції не визначено.

Оскільки корінь x = −1 ∈ [−1,5; 1], отримуємо три точки: −1,5; −1; 1. Підставляємо їх у вихідну функцію:

y(−1,5) = 3 ln (−1,5 + 2) − 3 · (−1,5) + 10 = 3 ln 0,5 + 14,5;
y(−1) = 3 ln (−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 ln 1 + 13 = 0 + 13 = 13;
y(1) = 3 ln (1 + 2) − 3 · 1 + 10 = 3 ln 3 + 7.

Зрозуміло, що числа 3 ln 0,5 + 14,5 та 3 ln 3 + 7 не можна записати у відповідь. Залишається тільки число 13 - це буде найбільше значення.

Винесення ступеня за знак логарифму

Ще одна корисна фішка, яка позбавить вас від складних похідних:

ln (f (x)) k = k · ln f (x)

Зверніть увагу: у першому випадку всередині логарифму стоїть ступінь, для якого буде потрібна похідна складної функції. У другому випадку все набагато простіше, оскільки найчастіше f(x) – це звичайна лінійна функція.

Цей прийом часто зустрічається у завданнях на обчислення максимального та мінімального значення. У завдання на точки екстремуму його майже не застосовують. Перш ніж вирішувати таке завдання, обов'язково знайдіть ОДЗ логарифму. Якщо забули, що це таке, див. Що таке логарифм.

Завдання. Знайдіть найменше значення функції на відрізку [−4; 1]:

y = 5x − ln (x + 5) 5

Отже, область допустимих значеньлогарифма - аргумент має бути більше нуля. Маємо:

(x + 5) 5> 0;
x + 5> 0;
x > −5;
x ∈ (−5; +∞).

Тепер розв'язуємо завдання. Спочатку трохи перетворимо вихідний вираз:

y = 5x − 5 ln (x + 5)

Це є винесення ступеня за знак логарифму. Вважаємо похідну:

5x + 20 = 0;
x = -4.

Отримане число x = −4 ∈ [−4; 1] збігається з кінцем відрізка, тому кандидатів на найменше значення всього два: −4 та 1. Обидва числа підходять за ОДЗ. Оскільки потрібно знайти найменше значення, підставляємо ці числа у вихідну функцію:

y (−4) = 5 · (−4) − 5 · ln (−4 + 5) = −20 − 5 · ln 1 = −20;
y (1) = 5 · 1 - 5 · ln (1 + 5) = 5 - 5 ln 6.

Друге число - точно не відповідь, оскільки його не можна уявити у вигляді десяткового числа. Отже, найменше значення функції −20.

Завдання. Знайдіть точку максимуму функції:

y = 18 ln x − x 2 + 5

ОДЗ логарифму: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞). Вважаємо похідну:

Оскільки потрібно знайти точку максимуму, нас цікавить і чисельник, і знаменник. Прирівнюємо їх до нуля:

2 · (9 − x 2) = 0 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3 - чисельник;
x = 0 – знаменник.

Отримали три крапки. Зазначаємо ці точки та знаки похідної на числовій прямій:

Потрібно знайти точку максимуму – там, де плюс змінюється на мінус. Таких точок дві: x = −3 та x = 3. Але згадаємо ОДЗ: x ∈ (0; +∞). Отже, точка x = -3 не підходить. Залишається точка x = 3 - це буде відповідь.

Доказ та виведення формул похідної натурального логарифму та логарифму на підставі a. Приклади обчислення похідних від ln 2x, ln 3x та ln nx. Доказ формули похідної логарифму n-го порядку методом математичної індукції.

Виведення формул похідних натурального логарифму та логарифму на підставі a

Похідна натурального логарифму від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (ln x)′ =.

Похідна логарифма на основі a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a :
(2) (log a x)′ =.

Доведення

Нехай є деяке додатне число, не рівну одиниці. Розглянемо функцію, яка залежить від змінної x , яка є логарифмом на підставі:
.
Ця функція визначена за . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичним властивостямта правил. Для цього нам потрібно знати такі факти:
а)Властивості логарифму. Нам знадобляться такі формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
в)Значення другої чудової межі:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо властивості (4) та (5).

.

Скористаємося властивістю (7) та другою чудовою межею (8):
.

І, нарешті, застосуємо властивість (6):
.
Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
Тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідної логарифму.

Похідна натурального логарифму

Ще раз випишемо формулу похідної логарифму на підставі a:
.
Ця формула має найпростіший вид для натурального логарифму, для якого . Тоді
(1) .

Через таку простоту, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичний аналізта в інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним обчисленням. Логарифмічні функціїз іншими підставами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифму з основи можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи підтвердження похідної логарифму

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідної експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифму з огляду на те, що логарифм є зворотною функцією до експоненти.

Доведемо формулу похідної натурального логарифму, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонент:
.
Її похідна визначається за такою формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9) замінимо змінну x на y:
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Формулу доведено.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифму за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції і є оберненими другдо друга, то
.
Диференціюємо це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікса дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставимо в (10):
.
Звідси
.

приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Рішення

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція складена з функцій та:
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми, що похідна залежить від n . Цей результат є цілком природним, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифму від твору:
.
– це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

Відповідь

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції- натурального логарифму від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли у наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
Тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифму на підставі a маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифму

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доведення

Підставимо у формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки , то за n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується за n = k . Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива за n = k + 1 .

Справді, за n = k маємо:
.
Диференціюємо по змінній x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) за n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива за n = k випливає, що формула (14) справедлива за n = k + 1 .

Тому формула (14) для похідної n-го порядку справедлива для будь-яких n .

Похідні вищих порядків логарифму на основі a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифму на підставі a потрібно виразити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій за визначенням похідноїяк межі відношення збільшення до збільшення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правиладиференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функційзнаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твори, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто
2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної у ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенсу
10. Похідна арксинусу
11. Похідна арккосинусу
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифму
15. Похідна логарифмічна функція
16. Похідна експоненти
17. Похідна показової функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми чи різниці
2. Похідна робота
2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

причому

тобто. похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній суміпохідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.

Правило 2Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

причому

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому

тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твору та приватного реальних задачахзавжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладівна ці похідні – у статті"Похідна твори та приватного функцій " .

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У випадку доданку її похідна дорівнює нулю, а у випадку постійного множникавона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студентцю помилку вже не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка- механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами.

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття " Похідна суми дробів зі ступенями та корінням ".

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо наступні значенняпохідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:

Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій".

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значенняпохідної квадратного кореня отримуємо:

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .