Хтось придумав диференційне числення. Основні формули диференціального обчислення функції однієї змінної

Диференційне численняфункції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Визначення. Похідної функції f(x) у точці x = x 0 називається межа відношення збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу, якщо він існує.

де - кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) у точці(x 0 , f(x 0 )).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у будь-якій точці.

Фактично похідна функції показує швидкість зміни функції, як функція змінюється при зміні змінної.

Фізичний зміст похідної функції f(t) , де t – час, а f(t) – закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції швидкість зміни швидкості, тобто. прискорення.

Основні правила диференціювання.

Позначимо f(x) = u, g(x) = v - функції, що диференціюються у точці х.

1) (u±v)¢ = u¢±v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.

Похідні основних елементарних функцій.

1) С ¢ = 0;

2) (x n )¢ = nxn-1;

Похідна складної функції.

Теорема. Нехай y = f(u); u = g(x), причому область значень функції u входить у область визначення функції f.

Тоді y '= f '(u )× u '

Логарифмічне диференціювання.

Відношення f′(x) називається логарифмічної похідноїфункції f(x).

f(x)

Спосіб логарифмічного диференціюванняполягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою

f ¢ (x )= (lnf (x ))¢ × f (x )

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показових і показово ступеневих функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання є трудомістким.

Похідна показово статечної функції.

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить у показник ступеня, і статечною, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа та показник ступеня залежать від змінної, то така функція буде показово – статечною.

Нехай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точках ,f(x)>0.

Знайдемо похідну функції y = u v. Логарифмуючи, отримаємо:

f ?

Похідна зворотних функцій.

Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для розв'язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) пох :

dy = 1 dx dx

тобто. похідна зворотної функціїобернена за величиною похідної цієї функції.

приклад. Знайти формулу для похідної функції y=arctgx.

Функція arctgx є функцією, зворотної функціїtgx, тобто. її похідна може бути знайдена таким чином:

Так само отримані всі формули для похідних арксинусу, арккосинусу та інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.

Диференціал функції.

Нехай функція y = f(x) має похідну в точках:

Визначення. Диференціалом функції f(x) у точках називається головна лінійна частина збільшення функції.

Позначається dy або df(x).

З визначення слідує, що dy = f ¢ (x) D x або dy = f ′ (x) dx

Можна також записати: f ′(x) =dy dx

Геометричний зміст диференціала.

З трикутника MKL: KL = dy = tg a×D x = y ¢×D x

Таким чином, диференціал функції f(x) в точках дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в точці, що розглядається.

Властивості диференціалу.

Якщо u = f(x) і v = g(x) ‒ функції, що диференціюються в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала слідують такі властивості:

1) d(u±v) = (u±v)¢ dx = u¢ dx± v¢ dx = du± dv

2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u ¢ v + v u) dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

Похідні та диференціали вищих порядків.

Нехай функція f(x) ‒ диференційована на певному інтервалі. Тоді, диференціюючи її, отримуємо першу похідну

y ¢ =f ¢(x ) =df (x ) dx

Якщо знайти похідну функції f ′(x) , отримаємо другу похіднуфункції f(x).

y ¢¢ =f ¢¢(x ) =d 2 f (x ) dx 2

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то

1) (Сu) (n) = Cu (n);

2) (u ± v) (n) = u (n) ± v (n);

3) (u × v ) (n )= vu (n )+ nu (n −1)v ¢ + n (n − 1) u (n −2)v ¢¢ + ... + n (n − 1 )...[ n − (k − 1)] u (n −k )v (k )+ ...

2! k!

Uv (n).

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також за формулою dn y = f (n) (x) dx n може бути знайдений диференціал n-го порядку.

Розкриття невизначеностей.

Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661-1704) – французький математик)

До розряду невизначеностей прийнято відносити такі

співвідношення:

0 ;∞ ;¥ × 0;¥ 0 ; 1∞ ;¥ - ¥ 0¥

Теорема (правило Лопіталя).Якщо функції f(x) та g(x)

диференційовані поблизу точки а, безперервні в точці а, g′(x) відмінна від нуля поблизу а та f(a) = g(a) = 0, то межа відношення функцій при х→ а дорівнює межівідносини їх похідних, якщо ця межа (кінцева або нескінченна) існує.

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення межі

виходить невизначеність виду 0 . Функції, що входять до чисельника

та знаменник дробу задовольняють вимоги теореми Лопіталя.

- Визначення похідної функції f (x) у точці x 0  ;

- Диференціал функції f (x) у точці x 0 .

Похідні найпростіших елементарних функцій:

- правило диференціювання складної функції у точці x 0  , тут;

- Правило диференціювання зворотної функції в точці;

- Формула Лагранжа, ;

- Формула Коші, ;

1. Берман Г.М. Збірник завдань з курсу математичного аналізу. М: Наука, 1975.

2. Бермант А.Ф., Арамонович І.І. Короткий курсматематичного аналізуМ: Наука, 1967.

3. Болгов В.А., Демидович Б.П., Єфімов А.В. та ін. Збірник задач з математики для втузів.Ч. 1, М: Наука, 1986.

4. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т.Я. Вища математика у прикладах та завданнях.М.: вища школа, 1986.

5. Завдання та вправи з математичного аналізу для ВТНЗ.За ред. Демидовича Б.П., М: Наука, 1968.

6. Запорожець Г.І. Керівництво до вирішення задач з математичного аналізу.М: Вища школа, 1964.

7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М: Наука, 1985.

8. Математика в технічному університеті. Випуск ІІ. Диференціальне обчислення функцій одного змінного.За ред. Зарубіна В.С. та Крищенко А.П., М.: Вид-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2001.

9. Мінорський В.П. Збірник завдань із вищої математики.М: Наука, 1987.

10. Піскунов Н.С. Диференційне та інтегральне числення.М: Наука, Т. 1,2, 1976.

11. Збірник задач з математики для ВТНЗ.За ред. Єфімова А.В., М: Наука, Ч. 1-4, 1993-1994.

12. Щіпачов В.С. Вища математика.М: Вища школа, 1996.

13. Щіпачов В.С. Завдання з вищої математики.М: Вища школа, 1997.

Тюменського державного нафтогазового університету

Укладачі: Мусакаєв Н.Г., доцент, к.ф.-м.н.

Сметаніна І.А., ст. викладач

Мусакаєва М.Ф., помічник

Алтунін Є.А., асистент

© Державне освітня установавищого професійної освіти

"Тюменський державний нафтогазовий університет"

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ, розділ математичного аналізу, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування до дослідження функцій. Диференціальне обчислення склалося як самостійна дисциплінау 2-й половині 17 століття під впливом праць І. Ньютона та Г. В. Лейбніца, в яких вони сформулювали основні положення диференціального обчислення та відзначили взаємно зворотний характер диференціювання та інтегрування. З цього часу диференціальне літочислення розвивалося в тісному зв'язку з інтегральним літочисленням, становлячи разом з ним основну частину математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Створення диференціального та інтегрального обчислень відкрило нову епохуу розвитку математики, спричинило появу низки нових математичних дисциплін(теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії, варіаційного обчислення, функціонального аналізу) та суттєво розширило можливості додатків математики до питань природознавства та техніки.

Диференціальне обчислення ґрунтується на таких фундаментальних поняттях, як дійсне число, функція, межа, безперервність. Ці поняття набули сучасного вигляду в ході розвитку диференціального та інтегрального обчислень. Основні ідеї та поняття диференціального обчислення пов'язані з вивченням функцій у малому, тобто в малих околицях окремих точок, для чого потрібне створення математичного апаратудля дослідження функцій, поведінка яких у досить малій околиці кожної точки області їх визначення близька до поведінки лінійної функції або багаточлена. Цей апарат заснований на поняттях похідної та диференціала. Поняття похідної виникло у зв'язку з великою кількістю різних завданьприродознавства та математики, що призводять до обчислення меж одного й того самого типу. Найважливішими з цих завдань є визначення швидкості руху матеріальної точки вздовж прямої лінії та побудова дотичної до кривої. Поняття диференціала пов'язане з можливістю наближення функції в малій околиці розглянутої точки лінійною функцією. На відміну від поняття похідної функції дійсної змінної, поняття диференціала легко переноситься на функції загальної природи, у тому числі на відображення одного евклідового простору в інше, на відображення банахових просторів в інші банахові простори і служить одним з основних понять функціонального аналізу.

Похідна. Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі Оу, а х позначає час, що відраховується від деякого початкового моменту. Опис цього руху дає функція у = f(х), що ставить у відповідність кожному моменту часу х координату у точки, що рухається. Цю функцію у механіці називають законом руху. Важливою характеристикою руху (особливо якщо воно є нерівномірним) є швидкість точки, що рухається в кожен момент часу х (цю швидкість називають також миттєвою швидкістю). Якщо точка рухається по осі Оу згідно із законом у = f(х), то в довільний момент часу х вона має координату f(х), а в момент часу х + Δх - координату f(х + Δх), де Δх - збільшення часу . Число Δy = f(х + Δх) - f(х), зване збільшенням функції, являє собою шлях, пройдений точкою, що рухається, за час від х до х + Δх. Ставлення

зване різнисним ставленням, являє собою середню швидкість руху точки в проміжку часу від х до х + Δх. Миттєвою швидкістю (або просто швидкістю) точки, що рухається в момент часу х називається межа, до якого прагне середня швидкість (1) при прагненні до нуля проміжку часу Δх, тобто межа (2)

Концепція миттєвої швидкостіпризводить до поняття похідної. Похідної довільної функції у = f(х) у цій фіксованій точці х називається межа (2) (за умови, що ця межа існує). Похідну функції у = f(х) у цій точці х позначають одним із символів f'(х), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Операцію знаходження похідної (чи переходу від функції до її похідної) називають диференціюванням.

До межі (2) наводить і завдання побудови дотичної до плоскої кривої, що визначається в декартовій системікоординат Оху рівнянням у = f(х), у певній її точці М(х, у) (рис.). Задавши аргументу х приріст Δх і взявши на кривій точку М' з координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), визначають дотичну в точці М як граничне положення січе ММ' при прагненні точки М' до М (т. .при прагненні Δх до нуля). Т. до. точка М, якою проходить дотична, задана, побудова дотичної зводиться до визначення її кутового коефіцієнта (тобто. тангенса кута її нахилу до осі Ох). Провівши пряму МР паралельно осі Ох, одержують, що кутовий коефіцієнт січної ММ дорівнює відношенню

У межі при Δх → 0 кутовий коефіцієнт січної переходить у кутовий коефіцієнт дотичної, який виявляється рівним межі (2), тобто похідної f'(х).

До поняття похідної приводить і низку інших завдань природознавства. Наприклад, сила струму у провіднику визначається як межа lim Δt→0 Δq/Δt, де Δq - позитивний електричний заряд, що переноситься через переріз провідника за час Δt, швидкість хімічної реакціївизначається як lim Δt→0 ΔQ/Δt, де ΔQ - зміна кількості речовини за час Δt і, взагалі, похідна деякою фізичної величиниу часі є швидкістю зміни цієї величини.

Якщо функція у = f(х) визначена як у самій точці х, так і в деякій її околиці, і має похідну у точці х, то ця функція безперервна у точці х. Приклад функції у= |х|, визначеної в будь-якій околиці точки х = 0, безперервної в цій точці, але не має похідної при х = 0, показує, що з безперервності функції в цій точці, взагалі кажучи, не випливає існування в цій точці похідною. Більше того, існують функції, безперервні в кожній точці своєї області визначення, але не мають похідної в жодній точці цієї області визначення.

У випадку, коли функція у = f(х) визначена лише праворуч або лише зліва від точки х (наприклад, коли х є граничною точкою відрізка, на якому задана ця функція), вводяться поняття правої та лівої похідних функції у = f(х) у точці х. Права похідна функції у = f(х) у точці х визначається як межа (2) за умови, що Δх прагне до нуля, залишаючись позитивним, а ліва похідна - як межа (2) за умови, що Δх прагне до нуля, залишаючись негативним . Функція у = f(х) має у точці х похідну тоді і лише тоді, коли вона має у цій точці рівні другдругу праву та ліву похідні. Вказана вище функція у = | х | має в точці х = 0 праву похідну, рівну 1, і ліву похідну, рівну -1, і оскільки права і ліва похідні не рівні один одному, ця функція не має похідної в точці х = 0. У класі функцій, що мають похідну операцію диференціювання є лінійною, тобто (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), і (αf(x))' = αf'(x) для будь-якого числа α. Крім того, справедливі наступні правиладиференціювання:

Похідні деяких елементарних функцій суть:

α – будь-яке число, х > 0;

n = 0, ±1, ±2,

n = 0, ±1, ±2,

Похідна будь-якої елементарної функції знову є елементарною функцією.

Якщо похідна f'(х), у свою чергу, має похідну в даній точці х, то похідну функції f'(х) називають другою похідною функції у = f(х) у точці х і позначають одним із символів f''(х ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Для матеріальної точки, що рухається вздовж осі Оу згідно із законом у = f(х), друга похідна є прискоренням цієї точки в момент часу х. Аналогічно визначаються похідні будь-якого цілого порядку n, що позначаються символами f (n) (x), y (n), d (n) f/dx (n), d (n) y/dx (n), D (n) f (x).

Диференціал. Функція у = f(х), область визначення якої містить деяку околицю точки х, називається диференційованою в точці х, якщо її приріст у цій точці, що відповідає прирощенню аргументу Δх, тобто величину Δy = f(x + Δх) - f (x) можна уявити у вигляді Δy = AΔх + αΔх, де А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При цьому вираз АΔх називається диференціалом функції f(х) у точці х та позначається символом dy або df(х). Геометрично при фіксованому значенні х і мінливому прирощенні Δх диференціал є прирощення ординати дотичної, тобто відрізок РМ" (рис.). Диференціал dy є функцією як точки х, так і прирощення Δх. Диференціал називають головною лінійною частиною фіксованому значенні х величина dy є лінійною функцією від Δх, а різниця Δу - dy - нескінченно малою щодо Δх при Δх → 0. Для функції f(х) = х за визначенням dx = Δх, тобто диференціал незалежної змінної dx збігається з її збільшенням Δх Це дозволяє переписати вираз для диференціала у вигляді dy = Adx.

Для функції однієї змінної поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної: щоб функція у = f(х) мала в точці х диференціал, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну f'(х), при цьому справедлива рівність dy = f '(х) dx. Наочний зміст цього твердження полягає в тому, що дотична до кривої у = f(х) у точці з абсцисою х є не тільки граничним положенням січної, але також і прямої, яка в нескінченно малій околиці точки х примикає до кривої у = f(х ) тісніше, ніж будь-яка інша пряма. Таким чином, завжди А(х) = f'(х) та запис dy/dx можна розуміти не тільки як позначення для похідної f'(х), але і як відношення диференціалів функції та аргументу. У силу рівності dy = f'(х)dx правила знаходження диференціалів безпосередньо випливають із відповідних правил для похідних. Розглядаються також диференціали другого та вищих порядків.

Програми. Диференціальне обчислення встановлює зв'язок між властивостями функції f(х) та її похідних (чи його диференціалів), складові зміст основних теорем диференціального обчислення. Серед цих теорем - твердження у тому, що це точки екстремуму диференційованої функції f(х), які усередині її області визначення, перебувають серед коренів рівняння f'(х) = 0, і часто використовувана формула кінцевих прирощений (формула Лагранжа) f(b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), де a<ξ0 тягне у себе суворе зростання функції, а умова f '' (х) > 0 - її сувору опуклість. Крім того, диференціальне обчислення дозволяє обчислювати різного родумежі функцій, зокрема межі відносин двох функцій, які є невизначеності виду 0/0 чи виду ∞/∞ (дивись Розкриття невизначеностей). Особливо зручно диференціальне обчислення на дослідження елементарних функцій, похідні яких виписуються у вигляді.

Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних.Методи диференціального обчислення застосовуються на дослідження функцій кількох змінних. Для функції двох змінних u = f(х, у) її приватної похідної по х у точці М (х, у) називається похідна цієї функції по х при фіксованому у, яка визначається як

і позначається одним із символів f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x або ∂f(x,y)'/∂x. Аналогічно визначається та позначається приватна похідна функції u = f(x, y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) називається повним збільшенням функції та у точці М (х, у). Якщо цю величину можна подати у вигляді

де А і В не залежать від Δх і Δу, а α прагне до нуля при

то функція u = f(х, у) називається диференційованою у точці М (х, у). Суму А?х + В?у називають повним диференціалом функції u = f(х, у) у точці М(х, у) і позначають символом du. Так як А=f'х(х, у), В = f'у(х,у), а збільшення Δх і Δу можна взяти рівними їх диференціалам dx і dy, то повний диференціал du можна записати у вигляді

Геометрично диференційованість функції двох змінних u = f(х, у) в даній точці М (х, у) означає існування у її графіка в цій точці дотичної площини, а диференціал цієї функції є приростом аплікати точки дотичної площини, що відповідає приростам dx і dy незалежних змінних. Для функції двох змінних поняттядиференціала є значно важливішим і природнішим, ніж поняття приватних похідних. На відміну від функції однієї змінної, для диференційованості функції двох змінних u = f(х, у) у цій точці М(х, у) мало існування у цій точці кінцевих приватних похідних f'х(х, у), і f' у(х, у). Необхідна і достатня умова диференційованості функції u = f(х, у) у точці М (х, у) полягає у існуванні кінцевих приватних похідних f'х(х, у) та f'у(х, у) та у прагненні до нуля при

величини

Чисельник цієї величини виходить, якщо спочатку взяти збільшення функції f(х, у), що відповідає приросту Δх її першого аргументу, а потім взяти приріст отриманої при цьому різниці f(х + Δх, у) - f(х, у), що відповідає прирощенню Δу її других аргументів. Простою достатньою умовою диференційованості функції u = f(х, у) у точці М(х, у) є існування безперервних у цій точці приватних похідних f'х(х, у) та f'у(х, у).

Аналогічно визначаються похідні вищих порядків. Приватні похідні ? - Змішаними. У кожній точці, в якій обидві змішані похідні приватні безперервні, вони рівні один одному. Ці визначення та позначення переносяться на випадок більшого числазмінних.

Історичний нарис. Окремі завдання щодо визначення дотичних до кривих і знаходження максимальних і мінімальних значень змінних величинбули вирішені математиками Стародавню Грецію. Наприклад, були знайдені способи побудови дотичних до конічних перерізів та деяких інших кривих. Однак розроблені античними математиками методи були далекі від ідей диференціального обчислення і могли застосовуватися лише в окремих випадках. До середини 17 століття стало ясно, що багато згаданих завдань разом з іншими (наприклад, завдання визначення миттєвої швидкості) можуть бути вирішені за допомогою одного і того ж математичного апарату, при використанні похідних і диференціалів. Близько 1666 року І. Ньютон розробив метод флюксій (дивися Флюксій обчислення). Ньютон розглядав, зокрема, два завдання механіки: задачу про визначення миттєвої швидкості руху по відомої залежностішляхи від часу та завдання про визначення пройденого за даний часшляхи за відомою миттєвою швидкістю. Безперервні функціїчасу Ньютон називав флюентами, а швидкості їхньої зміни - флюксиями. Таким чином, у Ньютона головними поняттями були похідна (флюкс) і невизначений інтеграл (флюента). Він намагався обґрунтувати метод флюксій за допомогою теорії меж, яка на той час була недостатньо розвинена.

У 1670-х років Г. В. Лейбніц розробив зручні алгоритми диференціального обчислення. Основними поняттями у Лейбніца були диференціал як нескінченно мале збільшення функції та визначений інтеграляк сума нескінченно великої кількостідиференціалів. Він увів позначення диференціала та інтеграла, термін «диференціальне обчислення», отримав низку правил диференціювання, запропонував зручну символіку. Подальший розвитокдиференціального обчислення в 17 столітті йшло переважно шляхом, наміченому Лейбніцем; Велику роль цьому етапі зіграли роботи Я. і І. Бернуллі, Б. Тейлора та інших.

Наступний етап у розвитку диференціального обчислення пов'язаний з роботами Л. Ейлера та Ж. Лагранжа (18 століття). Ейлер вперше став викладати диференційне числення як аналітичну дисципліну, незалежно від геометрії та механіки. Він знову використовував як основне поняття диференціального обчислення похідну. Лагранж намагався будувати диференціальне алгебраїчне обчислення, користуючись розкладаннями функцій в статечні ряди; він ввів термін «похідна» та позначення у' і f'(х). На початку 19 століття було вирішено завдання обгрунтування диференціального обчислення з урахуванням теорії меж, переважно завдяки роботам О. Коші, Б. Больцано і До. Гаусса. Глибокий аналіз вихідних понять диференціального обчислення був із розвитком теорії множин і теорії функцій дійсних змінних наприкінці 19 - початку 20 століття.

Історія математики: У 3 т. М., 1970-1972; Рибніков К. А. Історія математики. 2-ге вид. М., 1974; Микільський С. М. Курс математичного аналізу. 6-те вид. М., 2001: Зорич В. А. Математичний аналіз: У 2 частина 4-тє вид. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу: У 3 т. 5-тє вид. М., 2003–2006; Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення: У 3 т. 8-е вид. М., 2003–2006; Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу. 7-е вид. М., 2004. Ч. 1. 5-те вид. М., 2004. Ч. 2; Ільїн Ст А., Садовничий Ст А., Сендов Бл. Х. Математичний аналіз. 3-тє вид. М., 2004. Ч. 1. 2-ге вид. М., 2004. Ч. 2; Ільїн Ст А., Куркіна Л. В. Вища математика. 2-ге вид. М., 2005.

ДЕРЖАВНЕ БЮДЖЕТНЕ

ПРОФЕСІЙНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА МІСТА

МОСКВИ

"КОЛЕДЖ ПОЛІЦІЇ"

Реферат з дисципліни

на тему: "Історія диференціального обчислення"

Виконав

Курсант 11 взводу

Пастухова А.В.

Викладач

Зайцева О.М.

Ø Поняття диференціальне обчисленнястор 3

Ø Виникнення диференціального числення як початок науки нового часустор 3

Ø Ісаак Ньютонстор 8

Ø Готфрід Вільгельм Лейбніцстор. 10

Ø Історія застосування диференційованого обчисленнястор. 12

Ø Лейбніц та диференціальне численнястор 14

Виникнення диференціального числення як початок науки нового часу.

Диференційне числення- Розділ математичного аналізу, в якому вивчаються поняття похідної та диференціала та способи їх застосування до дослідження функцій.

У сучасному науковому співтовариствіприйнято однозначно розділяти науку на античний періодта період нового часу. Але в чому полягає відмінність цих періодів? Чим принципово відрізнявся науковий підхідПлатона, Арістотеля та інших відомих вчених античності від підходу великих діячів науки нового часу? Насправді, у поділу на два періоди існує безліч підстав. У рамках цієї статті ми розглянемо одне, найбільш фундаментальне та показова основа- Виникнення диференціального обчислення. Через передумови появи цього найвідомішого методу в сучасній науці в працях філософів і математиків ми зможемо простежити точний кордон між античним і сучасним поглядомна науку, однозначно відповівши на поставлені на початку статті питання.

Рубіж XVI-XVIIст. в історії науки справді був переломним моментом, коли європейська науказробила якісний стрибок. У цей час було здійснено перехід від античної науки до науки нового часу. Ні для кого не секрет, що «локомотивами» прогресу в цей період були такі великі вчені як Рене Декарт, Галілео Галілей, Йоганн Кеплер, Бонавентура Кавальєрі, Ісаак Ньютон. Кожен із них сказав своє нове слово в механіці, математиці, астрономії та інших дисциплінах. Але не так важливі їхні заслуги окремих науках, що важливий внесок у формування методології науки нового часу Плоди праць цих відомих учених у галузі методології науки мали широке поширення, і багато хто з них досі залишається основними принципами сучасної науки. Але що пов'язує дослідження названих раніше великих розумів між собою? Найлегше зв'язок методологічних досягнень найбільших діячів науки XVI-XVIIст. можна простежити саме через історію виникнення диференціального обчислення і «принцип безперервності», який так чи інакше зустрічається в працях Кеплера, Кавальєрі, Декарта, а пізніше Ньютона і Лейбніца. Диференціальне обчислення, що формувалося спочатку як прикладний метод, що не має відношення до науки, було присутнім у багатьох фундаментальних наукових працяху вигляді приватних положень, базових принципів і пізніше сформувалося повноцінний науковий метод. П.П. Гайденко в монографії «Історія новоєвропейської філософії у її зв'язку з наукою» бере за точку відліку відокремленого формування диференціального обчислення працю Йоганна Кеплера «Нова стереометрія винних бочок», що відноситься до 1615 року. Як зазначалося, Кеплер не розглядав диференційне числення як новий методу математиці; скоріше як метод так званої логістики, що відповідала за вирішення прикладних завдань. Кеплер не вважав диференціальне обчислення, що відноситься до суворої науки через свою неточність і малу теоретичну обґрунтованість, що суперечило його розумінню про строгу науку. Пізніше, зазначає П.П. Гайденко, Бонавентурою Кавальєрі було зроблено спробу перетворити технічний метод, Запропонований Кеплером, у повноцінний науковий метод у своїй праці «Геометрія, викладена новим способом за допомогою неподільних безперервного» 1635-го року. Однак, як зазначається в монографії, не можна вважати працю Кеплера як однозначний початок диференціального обчислення.

Формуванню диференціального обчислення як прикладного, а пізніше і наукового методу, Передувала поява стрункої філософської теорії, створеної Миколою Кузанським. П.П. Гайденко пише: «Вивчаючи роботи Кузанца з цього погляду, можна дійти висновку, що створення диференціального обчислення не тільки стимулювалося практичними потребами техніки розрахунку, а й готувалося філософсько-теоретичними роздумами, прагненням по-новому вирішити проблеми континууму та числа, безперервного , простору та руху». Справді, роботи Миколи Кузанського можна вважати еволюційним розвиткомсуджень античної науки. Беручи до уваги той факт, що Микола Кузанський не був математиком, не можна переоцінити його внесок у розвиток математичного методу. Він уперше уникнув розгляду арифметики як найточнішої науки, тим самим поставивши античну математику під сумнів. Античні математики вважали універсальним критерієм "єдине", "одиницю". Кузанський ж у свою чергу пропонує іншу точку зору, наводячи як міру нескінченність, а не конкретне число. Таким чином, він інвертує розуміння точності математики. Розділяючи наукове знанняна «розсудливе» (до якого відносить античну арифметику) та «інтелектуальне», найточнішим Микола Кузанський називає друге, коли як перше, на його думку, є лише приблизним. У своїй праці «Про припущення» він пише: «Якщо звернешся до єдності розуму, інтелекту, де число п'ять не більше числа три або числа два і немає розрізнення парних, непарних, великих і малих чисел, тому що всяке розумове число дозволяється там, в найпростіша єдність, то виявиться, що рівність двох і трьох п'яти істинно тільки у сфері розуму» . Ці міркування є основними ідеями «принципу безперервності», згаданого раніше, який надалі став ідейною основою для формування диференціального обчислення як наукового методу.

Неважко простежити вплив суджень, висунутих Миколою Кузанським у працях Кавальєрі та Галілея, які також поєднували поняття нескінченності та одиниці. Однак праця «Про припущення» є не єдиною роботою Миколи Кузанського, яка має відсилання до диференціального обчислення. Як приклад можна навести працю під назвою «Про можливість-буття», в якій філософ розглядає світ не як сукупність речей, а як процес. Тут він виводить важливий термін- «Можливість-буття». В.Ф. Шаповалов у статті «Філософія науки і техніки: про сенс науки та техніки та про глобальних загрозахнауково-технічної епохи» визначає цей термін як «диференціал світового буття» і розкриває його наступним чином: «Це стислий (або стягнутий) максимум, і як такий він є подобою вищого, божественного максимуму» . Дійсно, при прочитанні роботи Миколи Кузанського ми можемо зустріти таке твердження: «Справді, якщо хтось звернеться до лінії і застосує можливість буття, щоб побачити можливість-буття лінії, тобто щоб побачити, що лінія насправді є те, чим вона може бути, і що вона є все те, чим, за його розумінням, вона може зробитися, то принаймні з одного того міркування, що вона є можливість-буття, він вбачає, що вона є і лінія найбільша і найменша. Адже оскільки вона є те, чим вона може бути, вона не може бути більше – так вона виявляється найбільшою; і вона не може бути меншою – так вона виявляється найменшою. І оскільки вона є те, чим може статися лінія, вона є межею всіх поверхонь». Ця цитата підтверджує вірність трактування терміна «можливість-буття» як такої собі подібності диференціала, що застосовується в загальносвітовому розумінні.

Принципи, викладені Миколою Кузанським, знайшли собі більше широке застосування, ніж як один із математичних методів. Рене Декарт, у праці «Про метод», бере принцип безперервності за основу розуміння методології науки, отже, позначаючи зв'язок між своїми фундаментальними судженнями та ідеями, лежать основою диференціального обчислення. Проте, зв'язок вчення Декарта про метод із принципами диференціального обчислення значно глибше. У його розуміння методу лежить математика. По Декарту природа розуміється через величину, фігуру та рух. Кожне з цих визначень предмет математичного знання, отже, математика здатна описати саму природу через порівняння цих елементів. Однак для порівняння потрібна одиниця виміру. Декарт визначає одиницю виміру як «то загальне властивість, якого мають бути долучені всі речі, порівнювані між собою». Цей вислів, очевидно, є посиланням на розуміння нескінченності як заходи. Декарт, також, зробив істотний внесок у розвиток диференціального обчислення як наукового методу. Адже саме він увів поняття руху в математику, таким чином, нехай не безпосередньо, але ввівши поняття математичної функції, і надалі успішно оперуючи цим поняттям. Таким чином, як пише Гайденко, «Математика в руках Декарта стає формально-раціональним методом, за допомогою якого можна вважати будь-яку реальність, встановлюючи в ній міру і порядок за допомогою нашого інтелекту» . Тобто бачимо, що у працях Декарта однозначно завершився перехід від античної науки до науки нового часу, започаткований Миколою Кузанським. І вкотре ми переконуємося, що це перехід значною мірою визначався збільшенням значення принципів, які у основі диференціального обчислення.

Говорячи про розвиток диференціального обчислення не можна обминути дві персоналії, які зробили, можливо, найважливіший внесок у процес становлення цього методу: Ісаака Ньютона і Готфріда Лейбніца. Математичний інструментарій, створений цими великими вченими, є основою сучасної математики. Яскравим прикладом є так звана формула Ньютона-Лейбніца або основна теорема аналізу, що фактично є сполучною ланкою диференціального та інтегрального обчислення. Особливо цікавим фактому зв'язку й те, що Ньютон і Лейбніц створювали апарат диференціального обчислення паралельно незалежно приблизно в один і той самий час. Д.А. Граве у статті «Диференціальне обчислення» з Енциклопедичного словника Брокгауза і Ефрона пише: «Ідеї нового обчислення вже настільки дозріли і, так би мовити, носилися в умах, що цілком природно, що Ньютон і Лейбніц могли зробити відкриття абсолютно незалежно, не перемовляючись і не запозичуючи один в одного». Дійсно, як уже раніше зазначалося в цій статті, плоди працею багатьох вчених протягом тривалого часу складалися в велику теорію, формалізовану, систематизовану та розвинену в результаті двома найбільш видатними математиками кінця XVIIстоліття. Таким чином, даний прикладв історії математики є вагомим доказом того, що великі відкриттяв науці відбуваються на основі цілого ряду попередніх пошуків.

Розглянемо філософські принципи, закладені теоретично Ньютона і Лейбніца, і спробуємо простежити у яких спадщина вчених попередників, що вже обговорювалося у цій статті. Готфрід Лейбніц, як і Ісаак Ньютон, у своїй теорії проектує виведені ним законоположення та математичний апарат на питання про будову світу, формуючи, таким чином, свій філософський поглядчерез методологію диференціального обчислення. Цікаве судження Б. Ердмана, дослідника праць Лейбніца, наводиться у згаданій раніше монографії «Історія новоєвропейської філософії у зв'язку з наукою» П.П. Гайденко: «Згідно з Ердманом, математичні роботи Лейбніца були «пунктом кристалізації його філософії». З одного боку, вони були «вирішальними для всієї будівлі його метафізики», де монади суть «гіпостазовані диференціали», а Всесвіт – «гіпостазований інтеграл». З іншого боку, на ґрунті цих робіт виросли. загальна наука» та «універсальна характеристика», що надали сильний впливу XVIII та XIX ст. . Справді, тут ми важливим було диференціальне обчислення для філософської моделі світу, запропонованої Лейбніцем.

Найбільш конкретно роль диференціального обчислення простежується в так званій теорії «малих сприйняттів», що розвивається паралельно з його теорією «нескінченних сприйняттів». П.П. Гайденко наводить досить ємний приклад Лейбніца, який він використав для пояснення згаданих теорій: «Щоб пояснити мою думку про малі сприйняття, яких ми не можемо розрізнити в масі, я зазвичай користуюся прикладом шуму моря... Шум цей можна почути, лише почувши складові це ціле частини, тобто. почувши шум кожної хвилі, хоча кожен з цих малих шумів сприймається лише невиразно в сукупності всіх інших шумів, хоча кожен з них не був би помічений, якби хвиля, що видає його, була одна. Справді, якби на нас не діяло слабкий рухцієї хвилі і якби ми не мали якогось сприйняття кожного з цих шумів, якими б малими вони не були, то ми не мали б сприйняття шуму ста тисяч хвиль, тому що сто тисяч ніщо не можуть скласти щось». Це судження, зараз зрозуміле кожному, однозначно показує всю глибину впливу методу диференціального обчислення на розуміння світу і, відповідно, на формування нової науки як такої, тобто повний і остаточний відхід від античних постулатів.

Проте, не можна применшувати ролі Ісаака Ньютона у процесі математизації науки та її переході у час. Моріс Клайн у своїй праці «Втрата визначеності» відгукувався про роль робіт Ньютона так: «Якщо переконання, що математичні закониприродознавства є істини, органічно включені богом богом у створений ним план Всесвіту, і піддавалося якимось сумнівам, всі вони остаточно розвіяні Ісааком Ньютоном» . Окрім переломного для природознавства закону про всесвітнє тяжіння, виведеного не без впливу з боку законів руху Галілея, Ньютон також запропонував безліч інших законів механіки, спираючись саме на математику, створений ним для цього математичний апарат. Таким чином, математичний підхід Ньютона до фізичним явищам, ядром якого є диференціальне обчислення як найперспективніший метод, дав початок цілій плеяді фундаментальних робіт не менш відомих послідовників великого вченого: Тейлора, Маклорена, Лапласа, Лагранжа, Даламбера.

Підбиваючи підсумки наведених міркувань, можна стверджувати, що диференціальне обчислення та його основні засади – це межа між античною наукою та наукою нового часу. Адже саме у рамках розвитку даного методубула здійснена переоцінка поглядів на математику, яка перетворила не тільки окремо взяту наукову дисципліну, а й методологію науки загалом. Однією з самих значимих особливостейісторії розвитку диференціального обчислення як найважливішого наукового методу було його споконвічне виникнення як прикладного методуу багатьох відомих вчених XVI-XVII ст., більшість з яких тим чи іншим чином продовжували ідеї Миколи Кузанського, викладені ще у XV столітті. Таке початок дозволило сформувати величезний пласт знань і суджень, що призвело до оформлення диференціального обчислення як повноцінного, а згодом і найважливішого наукового математичного методу пізнання світу.

ІСААК НЬЮТОН
(1643-1727)

У 1665 р. Ісаак Ньютон закінчив Кембриджський університет і збирався розпочати роботу там же, у його рідному Трініті-коледжі. Однак чума, що вирувала в Англії, змусила Ньютона усамітнитися на своїй фермі, у Вулсторпі. "Чумні канікули" затяглися майже на два роки. «Я на той час був у розквіті моїх винахідницьких сил і думав про математику та філософію більше, ніж будь-коли пізніше», - писав Ньютон. Тоді й зробив молодий вчений майже всі свої відкриття у фізиці та математиці. Він відкрив закон всесвітнього тяжінняі почав з його допомогою до вивчення планет. Він виявив, що третій закон Кеплера про зв'язок між періодами обігу планет і відстанню до Сонця з необхідністю слід, якщо припустити, що сила тяжіння Сонця обернено пропорційна квадрату відстані до планети.

Але щоб досліджувати та виражати закони фізики, Ньютону доводилося займатися і математикою. У Вулсторпі Ньютон, вирішуючи завдання проведення дотичних до кривим, обчислюючи площі криволінійних постатей, створює загальний методвирішення таких завдань – метод флюксій (похідних) та флюент, які у Г. В. Лейбниця називалися диференціалами. Ньютон обчислив похідну та інтеграл будь-якої статечної функції. Про диференціальне та інтегральне обчислення вчений докладно пише у своїй найзначнішій роботі з математики «Метод флюксій» (1670-1671), яка була опублікована вже після його смерті. У ній було закладено основи математичного аналізу. Ньютон також знаходить формулу для різних ступенівсуми двох чисел (див. Ньютона біном), причому не обмежується натуральними показниками і приходить до сум нескінченних рядівчисел (див. Ряди). Ньютон показав, як застосовувати ряди у математичних дослідженнях.

Коли Ньютон повернувся до Кембриджу в 1666 р., він привіз незліченні та безцінні результати своїх математичних занятьу Вулсторпі. Він поки не мав часу привести їх у форму, придатну для публікації, і він не поспішає з цим. Справ у нього додається, 1669 р. він отримує фізико-математичну кафедру. У 1672 р. його обирають членом Лондонського королівського товариства(Англійська Академія наук).

У 1680 р. Ньютон починає роботу над основним своїм твором «Математичні початки натуральної філософії», у якому він задумав викласти свою систему світу. Вихід книги був великою подією в історії природознавства. У ньому весь величний будинок механіки будується виходячи з аксіом руху, які тепер відомі під назвою законів Ньютона.

У «Початках» Ньютон чисто математично виводить усі основні відомі на той час факти механіки земних та небесних тіл, закони руху точки та твердого тіла, кеплерові закони руху планет.

Багато математичних робіт Ньютона так і не були своєчасно опубліковані. Перші його порівняно докладні публікації ставляться до 1704 р. Це «Перерахування кривих третього порядку», де описані властивості цих кривих, і «Міркування про квадратуру кола», присвячені диференційному та інтегральному обчисленням.

У 1688 р. І. Ньютона обирають до парламенту, а 1699 р. він переїжджає до Лондона, де отримує довічне місце директора монетного двору.

Роботи І. Ньютона надовго визначили шляхи розвитку фізики та математики. Значна частина класичної механікинадовго збереглася у вигляді, створеному Ньютоном. Закон всесвітнього тяжіння поступово усвідомлювався єдиним принципом, що дозволяє будувати досконалу теорію руху небесних тіл. Створений ним математичний аналіз відкрив нову епоху у математиці.

ГОТФРІД ВІЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦЬ
(1646-1716)

Математика була його єдиною пристрастю. З юних роківйому хотілося пізнати природу загалом, і математика мала стати вирішальним засобом у цьому пізнанні. Він був філософом та лінгвістом, істориком та біологом, дипломатом та політичним діячем, математиком та винахідником. Наукові та суспільні плани Лейбніца були грандіозними. Він мріяв про створення всесвітньої академії наук, про побудову «універсальної науки». Він хотів виділити найпростіші поняття, з яких за певними правилами можна сформувати всі складні поняття. Лейбніц мріяв про універсальну мову, що дозволяє записувати будь-які думки у вигляді математичних формул, причому логічні помилкиповинні виявлятися як математичних помилок. Він думав про машину, яка виводить теореми з аксіом, про перетворення логічних тверджень на арифметичні (ця ідея була втілена в життя у нашому столітті).

Але грандіозність задумів уживалася у Лейбніца з розумінням те, що може бути здійснено. Він може організувати всесвітню академію, але у 1700 р. організує академію у Берліні, рекомендує Петру I організувати академію у Росії. При організації Петербурзької Академії наук 1725 р. користувалися планами Лейбніца. Він чудово вміє вирішувати конкретні завданнята в математиці: створює новий типарифмометра, який не тільки складає і віднімає числа, а й множить, ділить, зводить у ступінь і витягує квадратні та кубічні корені, вирішує важкі геометричні завдання. Вводить поняття визначника та закладає основи теорії визначників. І все-таки Лейбніц завжди прагнув розглянути будь-яке питання під самим загальним кутомзору. Скажімо, X. Гюйгенс помічає збереження енергії з прикладу деяких механічних завдань, а Лейбніц намагається перетворити це твердження на загальний закон природи, він розглядає Всесвіт загалом як вічний двигун (попереднє формулювання закону збереження енергії).

Але особливо яскраво виявилися ці якості Лейбніца, коли він, дізнавшись про різноманітні математичні та механічні завдання, вирішені Гюйгенсом, за порадою останнього знайомиться з роботою Б. Паскаля про циклоїд. Він починає розуміти, що у вирішенні цих різних завдань захований загальний, універсальний метод розв'язання широкого колазадач і що Паскаль зупинився перед вирішальним кроком, «ніби на його очах була пелена». Лейбніц створює диференціальне та інтегральне обчислення, які в іншому варіанті були побудовані, але не опубліковані І. Ньютоном.

Вчений, який займався розробкою універсальної мови, розуміє, яку роль новому обчисленні має відігравати символіка (див. Знаки математичні). Без символіки (яка збереглася донині у формі, запропонованої Лейбницем) метод математичного аналізу не вийшов би межі вузького кола обраних (як і було з алгеброю до символіки Вієта-Декарта). До речі, Лейбніц запропонував кілька інших математичних знаків, наприклад (рівність), (множення). На відміну від Ньютона Лейбніц витратив багато сил на передачу свого методу іншим математикам, серед яких виділялися брати Якоб та Йоганн Бернуллі. З його ініціативи створюється журнал, у якому група математиків відточує методи нового математичного аналізу.

Сенс свого життя Лейбніц бачив у пізнанні природи, у створенні ідей, які допомагають розкрити її закони.

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-04-11

розділ математики, в якому вивчаються похідні та диференціали функцій та їх застосування до дослідження функцій. Оформлення Д. в. у самостійну математичну дисципліну пов'язано з іменами І. Ньютона та Г. Лейбніца (друга половина 17 ст). Вони сформулювали основні тези Д. і. і чітко вказали на взаємно зворотний характер операцій диференціювання та інтегрування. З цього часу Д. в. розвивається в тісному зв'язку з інтегральним обчисленням, разом з яким воно складає основну частину математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Створення диференціального та інтегрального обчислень відкрило нову епоху у розвитку математики. Воно спричинило появу низки математичних дисциплін: теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії та варіаційного обчислення. Методи математичного аналізу знайшли застосування у всіх розділах математики. Незмірно розширилася сфера додатків математики до питань природознавства та техніки. «Лише диференціальне числення дає природознавству можливість зображати математично як стану, а й процеси: рух» (Енгельс Ф., див. Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20, з. 587).

Д. в. ґрунтується на наступних найважливіших поняттяхматематики, визначення та дослідження яких становлять предмет введення в математичний аналіз: дійсні числа (числова дійсна кількість) (числова пряма), функція, межа, безперервність. Всі ці поняття викристалізувалися та отримали сучасний зміст у ході розвитку та обґрунтування диференціального та інтегрального обчислень. Основна ідея Д. в. полягає у вивченні функцій у малому. Точніше: Д. в. дає апарат на дослідження функцій, поведінка яких у досить малої околиці кожної точки близько до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом служать центральні поняття Д. і.: похідна та диференціал. Поняття похідної виникло з великої кількості завдань природознавства та математики, що призводять до обчислення меж того самого типу. Найважливіші з них – визначення швидкості прямолінійного рухуточки та побудова дотичної до кривої. Поняття диференціала є математичним виразом близькості функції до лінійної в малій околиці досліджуваної точки. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного Евклідов простору в інше і на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу (Див. Функціональний аналіз).

Похідна.Нехай потрібно визначити швидкість матеріальної точки, що прямолінійно рухається. Якщо рух рівномірний, то пройдений точкою шлях пропорційний часу руху; швидкість такого руху можна визначити як шлях, пройдений за одиницю часу, або як відношення шляху, пройденого за деякий проміжок часу, до тривалості цього проміжку. Якщо ж рух нерівномірний, то шляхи, пройдені точкою в однакові за тривалістю проміжки часу, будуть, взагалі кажучи, різними. приклад нерівномірного рухудає тіло, що вільно падає в порожнечі. Закон руху такого тіла виражається формулою s = gt 2/2, де s- пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t- час падіння (у секундах), g- Постійна величина, прискорення вільного падіння, g ≈ 9,81 м/сек 2. За першу секунду падіння тіло пройде близько 4,9 м, за другу – близько 14,7 м, а за десяту - близько 93,2 м, Т. е. Падіння відбувається нерівномірно. Тому наведене вище визначення швидкості тут неприйнятне. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту t; вона визначається як відношення довжини шляху, пройденого за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не тільки від моменту t, а й від вибору проміжку часу. У нашому прикладі середня швидкість падіння за проміжок часу від tдо t + Δ tдорівнює

Це вираз при необмеженому зменшенні проміжку часу Δ tнаближається до величини gt, яку називають швидкістю руху в момент часу t. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент часу визначається як межа середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

У загальному випадкуці обчислення треба проводити для будь-якого моменту часу t, проміжок часу від tдо t + Δ tта закону руху, що виражається формулою s = f(t). Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від tдо t + Δ tдається формулою Δs/Δ t, де Δ s = f(t + Δ t) - f(t), а швидкість руху в момент часу tдорівнює

Основна перевага швидкості в Наразічасу, або миттєвої швидкості, перед середньою швидкістюполягає в тому, що вона, як і закон руху, є функцією часу t, а не функцією інтервалу ( t, t + Δ t). З іншого боку, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому виміру піддається середня, а не миттєва швидкість.

До виразу типу (*) приводить і завдання (див. Рис. ) побудови дотичної до плоскої кривої в деякій її точці М. Нехай крива Г є графік функції у = f(x). Положення дотичної буде визначено, якщо буде знайдено її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута α, утвореного дотичною з віссю Ox. Позначимо через x 0абсцису точки М, а через x 1 = x 0 + Δ х- абсцису крапки M 1. Кутовий коефіцієнтсічучої MM 1дорівнює

де Δ y = M 1 N = f(x 0 + Δ x) - f(x 0) - збільшення функції на відрізку [ x 0, x 1]. Визначаючи дотичну в точці Мяк граничне становище сіючої MM 1, коли x 1прагнути до x 0, отримуємо

Відволікаючись від механічного чи геометричного змісту наведених завдань, і виділяючи загальний їм прийом рішення, дійшли поняття похідної. Похідної функції у = f(x) у точці хназивається межа (якщо вона існує) відношення прирощення функції до прирощення аргументу, коли останнє прагне до нуля, так що

де Δ q- позитивний електричний заряд, який переноситься через переріз ланцюга за час Δ t; швидкість хімічної реакції визначається як межа

де Δ Q- Зміна кількості речовини за час Δ t; взагалі, похідна за часом є міра швидкості процесу, що застосовується до найрізноманітніших фізичних величин.

Похідну функції y = f(x) позначають f"(x), у", dy/dx, df/dxабо Df (х). Якщо функція y = f(x) має в точці х 0похідну, то вона визначена як у самій точці x 0, так і в околиці цієї точки і безперервна в точці x 0. Зворотний висновок був би, однак, невірним. Наприклад, безперервна в кожній точці функція

графіком якої служать бісектриси першого та другого координатних кутів, при х= 0 немає похідної, т.к. відношення Δ у/Δ хне має межі при Δ x→ 0: якщо Δ х> 0, це відношення дорівнює +1, а якщо Δ x

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція є лінійною.

Таблиця формул та правил диференціювання

(C)´ = 0; ( x n)´ = nx n-1;

(a х)´ = a x ln aі ( e x)´ = e x;

(log a x) '= 1/ x ln aі (ln x) '= 1/ x;

(sin x)' = cos x; (cos x)´ = – sin x;

(tg x)´ = 1/cos 2 x; (ctg x)´ = – 1/sin 2 x;

(arc tg x) '= 1/(1 + x 2).

[f(x) ± g(x)]´ = f´( x) ± g´( x);

[Cf(x)]´ = Cf´( x);

[f(x) g(x)]´ = f´´( x) g(x) + f(x) g´( x);

якщо y = f(u) та u = φ( x), тобто. y = f[φ( x)], то dy/dx = (dy/du)․(du/dx) = f" (u)φ"( x).

Якщо похідна f"(x), у свою чергу, має похідну, то її називають другою похідною функцією у = f(x) і позначають

у", f"(x), d 2 y/dx 2, d 2 f/dx 2або D 2 f(x).

Для точки, що прямолінійно рухається, друга похідна характеризує її прискорення.

Аналогічно визначаються і похідні вищого (цілого) порядку. Похідна система nпозначається

y n, f n(x), d n y/dx n, d n f/dx nабо D n f(x).

Диференціал.Функція у = f(x), область визначення якої містить деяку околицю точки х 0називається диференційованою в точці x 0, якщо її збільшення

Δ y = f(x 0 + Δ x) - f(x 0)

можна записати у формі

Δ у = АΔ х + αΔ х,

де А = А(x 0), α = α( х, x 0) → 0 при х → x 0. В цьому і тільки в цьому випадку вираз AΔ xназивається диференціалом функції f(x) у точці x 0і позначається dyабо df(x 0). Геометрично диференціал (при фіксованому значенні x 0та мінливому прирощенні Δ x) зображує збільшення ординати дотичної, тобто відрізок NT(Див. Рис. ). Диференціал dyє функцією як від точки х 0, так і від збільшення Δ х. Кажуть, що диференціал є головна лінійна частина збільшення функції, розуміючи під цим, що, при фіксованому х 0, dyє лінійна функціявід Δ хта різниця Δ y - dyє нескінченно мала щодо Δ x. Для функції f(x) ≡ хмаємо dx = Δ х, Т. е. диференціал незалежного змінного збігається з його збільшенням. Тому зазвичай пишуть dy = Adx. Є тісний зв'язокміж диференціалом функції та її похідною. Для того щоб функція від одного змінного y = f(x) мала у точці x 0диференціал, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці (кінцеву) похідну f"(x 0), і справедлива рівність dy = f"(x 0) dx. Наочний зміст цієї пропозиції полягає в тому, що стосується кривої y = f(x) у точці з абсцисою x 0як граничне положення сіючої є також такою прямою, яка в нескінченно малій околиці точки x 0примикає до кривої тісніше, ніж будь-яка інша пряма. Таким чином, завжди А(х 0) = f"(x 0); запис dy/dxможна розуміти не лише як позначення для похідної f"(x 0), а й як ставлення диференціалів залежного і незалежного змінних. В силу рівності dy = f"(x 0) dxправила знаходження диференціалів безпосередньо випливають із відповідних правил знаходження похідних.

Розглядаються також диференціали найвищих порядків. Насправді з допомогою диференціалів часто виробляють наближені обчислення значень функції, і навіть оцінюють похибки обчислень. Нехай, наприклад, треба визначити значення функції f(x) у точці хякщо відомі f(x 0) та f"(x 0). Замінюючи збільшення функції її диференціалом, набувають наближену рівність

f(x 1) ≈ f(x 0) + df(x 0) = f(x 0) + f"(x 0) (x 1 - x 0).

Похибка цієї рівності приблизно дорівнює половині другого диференціала функції, тобто.

1/2 d 2 f = 1/2 f"(x 0)(x 1 – x 0) 2 .

Програми.У Д. в. встановлюються зв'язки між властивостями функції та її похідних (або диференціалів), що виражаються основними теоремами Д. і. До них відносяться Роль теорема, формула Лагранжа f(a) - f(b) = f"(c)(b - а), де aз b (докладніше див. Кінцевих збільшень формула), і Тейлора формула.

Ці пропозиції дозволяють методами Д. в. провести докладне дослідження поведінки функцій, що мають достатню гладкість (тобто мають похідні досить високого порядку). Таким шляхом вдається дослідити ступінь гладкості, опуклість і увігнутість, зростання і спадання функцій, їх екстремуми, знайти їх асимптоти, точки перегину, обчислити кривизну. Кривизна) кривою, з'ясувати характер її особливих точок. Особлива точка) і т.д. Наприклад, умова f"(x) > 0 тягне за собою (суворе) зростання функції у = f(x), а умова f"(x) > 0 - її (сувору) опуклість. Всі точки екстремуму функції, що диференціюються, належать нутрощі її області визначення, знаходяться серед коренів рівняння f"(x) = 0.

Дослідження функцій за допомогою похідних складає основний додаток Д. в. Крім того, Д. в. дозволяє обчислювати різного роду межі функцій, зокрема межі виду 0/0 та ∞/∞ (див. Невизначений вираз). Невизначені вирази), Лопіталя правило). Д. в. особливо зручно вивчення елементарних функцій, т.к. у цьому випадку їх похідні виписуються у явній формі.

Д. в. функцій багатьох змінних.Методи Д. в. застосовуються вивчення функцій кількох змінних. Для функції двох незалежних змінних z = f (х, у) приватної похідної по хназивається похідна цієї функції за хпри постійному у. Ця приватна похідна позначається z" x, f" x(x, y), ∂z/∂хабо ∂ f(x, y)/∂x, так що

Аналогічно визначається та позначається приватна похідна zпо у. Величина

Δ z = f(x + Δ x, y + Δ y) - f(x, y)

називається повним збільшенням функції z = f(x, y). Якщо його можна подати у вигляді

Δ z = AΔ x + УΔ у + α,

де α - нескінченно мала більш високого порядку, ніж відстань між точками ( х, у) та ( х + Δ х, у + Δ у), то кажуть, що функція z = f(x, y) диференційована. доданки АΔ х + УΔ уутворюють повний диференціал dzфункції z = f(x, y), причому А = z" x, B = z" y. Замість Δ xта Δ yзазвичай пишуть dxі dy, так що

Геометрично диференційованість функції двох змінних означає існування у її графіка дотичної площини, а диференціал є збільшення аплікати дотичної площини, коли незалежні змінні отримують прирощення dxі dy. Для функції двох змінних поняття диференціала значно важливішим і природнішим, ніж поняття приватних похідних. На відміну від функцій одного змінного, для функцій двох змінних існування обох похідних приватних першого порядку ще не гарантує диференційності функції. Однак, якщо приватні похідні ще безперервні, то функція диференційована.

Аналогічно визначаються похідні вищих порядків. Приватні похідні ∂ 2 f/∂х 2та ∂ 2 f/∂у 2, В яких диференціювання ведеться по одному змінному, називають чистими, а приватні похідні ∂ 2 f/∂x∂yта ∂ 2 f/∂у∂х- Змішаними. Якщо змішані приватні похідні безперервні, вони між собою рівні. Всі ці визначення та позначення переносяться на випадок більшої кількості змінних.

Історична довідка.Окремі завдання визначення дотичних до кривим і знаходження максимальних і мінімальних значень змінних величин було вирішено ще математиками Стародавню Грецію. Наприклад, були знайдені способи побудови дотичних до конічних перерізів та деяких інших кривих. Проте розроблені античними математиками методи були застосовні лише у дуже окремих випадках і далекі від ідей Д. і.

Епохою створення Д. в. як самостійного розділу математики слід вважати той час, коли було зрозуміло, що зазначені спеціальні завдання разом з низкою інших (особливо із завданням визначення миттєвої швидкості) вирішуються за допомогою того самого математичного апарату - за допомогою похідних і диференціалів. Це розуміння було досягнуто І. Ньютоном та Г. Лейбніцем.

Близько 1666 р. І. Ньютон розробив метод флюксій (див. Флюксій обчислення). Основні завдання Ньютон формулював у термінах механіки: 1) визначення швидкості руху за відомою залежністю від часу; 2) визначення пройденого за цей час шляху відомої швидкості. Безперервну змінну Ньютон називав флюентою (поточною), її швидкість - флюксією. Т. о., у Ньютона головними поняттями були похідна (флюкс) і невизначений інтеграляк первісна (флюента). Він прагнув обґрунтувати метод флюксій за допомогою теорії меж, хоча остання була лише намічена.

У середині 70-х років. 17 ст. Р. Лейбніц розробив дуже зручний алгоритм Д. в. Основними поняттями у Лейбніца з'явилися диференціал як нескінченно мале збільшення змінного і певний інтеграл як сума нескінченно великої кількості диференціалів. Лейбницю належать позначення диференціалу dxта інтеграла ∫ ydx, ряд правил диференціювання, зручна та гнучка символіка і, нарешті, сам термін «диференціальне літочислення». Подальший розвиток Д. в. йшло спочатку шляхом, наміченому Лейбніцем; Велику роль цьому етапі зіграли роботи братів Я. і І. Бернуллі, Б. Тейлора та інших.

Наступним етапом у розвитку Д. в. були роботи Л. Ейлера та Ж. Лагранжа (18 ст). Ейлер вперше почав викладати його як аналітичну дисципліну, незалежно від геометрії та механіки. Він знову висунув як основне поняття Д. і. похідну. Лагранж намагався будувати Д. в. алгебраїчно, користуючись розкладанням функцій у статечні ряди; йому, зокрема, належить запровадження терміна «похідна» та позначення у"або f"(x). На початку 19 ст. було задовільно вирішено завдання обґрунтування Д. в. з урахуванням теорії меж. Це було виконано головним чином завдяки роботам О. Коші, Б. Больцано та К. Гаусса. Більш глибокий аналіз вихідних понять Д. в. був пов'язаний з розвитком теорії множин та теорії функцій дійсного змінного наприкінці 19 – початку 20 ст.

Літ.: Історія.Вілейтнер Р., Історія математики від Декарта до середини 19 століття, пров. з ньому., 2 видавництва, М., 1966; Будок Д. Я., Короткий нарисісторії математики, пров. з ньому., 2 видавництва, М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - Ст, 1901-24.

Роботи основоположників та класиків Д. в.Ньютон І., Математичні роботи, пров. з латин., М. - Л., 1937; Лейбніц Р., Вибрані уривки з математичних творів, пров. з латин., "Успіхи математичних наук", 1948, т. 3, ст. 1; Л"Опіталь Р. Ф. де, Аналіз нескінченно малих, пер. з франц., М. - Л., 1935; Ейлер Л., Введення в аналіз нескінченних, пер. з латин., 2 видавництва, т. 1, М., 1961; його ж, Диференціальне обчислення, пер., з латин., М. - Л., 1949; Коші О. Л., Короткий викладуроків про диференціальне та інтегральне обчислення, пров. з франц., СПБ, 1831; його ж, алгебраїчний аналіз, пров. з франц., Лейпциг, 1864.

Підручники та навчальні посібникиза Д. в.Хінчін А. Я., Короткий курс математичного аналізу, 3 видавництва, М., 1957; його ж, Вісім лекцій з математичного аналізу, 3 видавництва, М. - Л., 1948; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 22 видавництва, т. 1, М., 1967; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального та інтегрального обчислення, 7 видавництво, т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс аналізу нескінченно малих, пров. з франц., т. 1, Л. – М., 1933; Курант Р., Курс диференціального та інтегрального обчислення, пров. з ним. та англ., 4 видавництва, т. 1, М., 1967; Банах С., Диференціальне та інтегральне обчислення, пров. з польськ., 2 видавництва, М., 1966; Рудін У., Основи математичного аналізу, пров. з англ., М., 1966.

За редакцією С. Б. Стечкіна.

• - багатозначне диференціальне рівняння, диференціальне рівняння з багатозначною правою частиноюю,- співвідношення де x=x- невідома вектор-функція на деякому інтервалі, F-множина в n-мірному просторі, залежить...

  Математична енциклопедія

• - на аналітичних просторах- Узагальнення класич. обчислення диференціальних формта диференціальних операторів на випадок аналітич. ространств...

  Математична енциклопедія

• - кільце, в якому відзначено одне або кілька диференцій. Якщо d = 0 всім цих диференцій, то аназ. константою. Л. А. Кушнірів...

  Математична енциклопедія

• - нерівність, що пов'язує аргумент, невідому функцію та її похідні, напр., де у-невідома функція аргументу х. Основна проблема теорії Д. н. - за заданим Д. н. та додатковим умовам...

  Математична енциклопедія

• - диференціальне кільце, що є полем. Безліч констант Д. п. є підполем, воно зв. полем констант...

  Математична енциклопедія

• - у нафтовій гідрогеології тиск, під яким нафту і газ переміщуються з пласта в свердловину, він дорівнює різниці між гідродинамічним і пластовим тиском.

  Геологічна енциклопедія

• - у нафтовій гідрогеології - тиск, під яким нафта і газ переміщуються з пласта в свердловину і який дорівнює різниці між динамічним і пластовим тиском, тобто тиском на вибої свердловини при її...

  Словник з гідрогеології та інженерної геології

• - Differential coating - . Різні покриття на різних ділянках поверхні виробів.

  Словник металургійних термінів

• - рівняння, що пов'язує потрібну функцію, її похідні і незалежні змінні, напр. dy = 2xdx. Рішенням чи інтегралом Д. в. зв. ф-ція, при підстановці якої в Д. в. останнє перетворюється на тотожність...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - Рівняння, що визначає залежність змінної від її власних похідних з урахуванням часу, що розглядається як безперервна змінна...

  Економічний словник

• - Обчислення нескінченно малих, що включає так зване Д. обчислення, а також йому зворотне інтегральне, належить до найбільш плідних відкриттів людського розуму і склало епоху в історії точних...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - розділ математики, в якому вивчаються похідні та диференціали функцій та їх застосування до дослідження функцій...

  Велика Радянська Енциклопедія

• - ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ОБЛІЧЕННЯ - розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування до дослідження властивостей функцій...

  "Диференційне числення" у книгах

ЗЛІЧЕННЯ