Середнє арифметичне крайніх чисел. Як знаходити та обчислювати для двох середнє арифметичне значення

Що таке середнє арифметичне число? Як знайти середнє арифметичне? Де і навіщо застосовується це значення?

Щоб повністю вникнути у суть завдання, потрібно кілька років вивчати алгебру в школі, а потім і в інституті. Але в повсякденному житті, Щоб знати, як знайти середнє арифметичне чисел, не обов'язково знати про нього досконально все. Пояснюючи простою мовою, Це сума чисел, поділена на кількість цих доданків.

Оскільки обчислити середнє арифметичне який виходить без залишку, то величина може навіть вийти дробової, навіть за обчисленні середньої кількості людина. Це пов'язано з тим, що середнє арифметичне - поняття абстрактне.

Ця абстрактна величина зачіпає безліч сфер сучасного життя. Вона використовується у математиці, бізнесі, статистиці, часто навіть у спорті.

Наприклад, багатьох цікавить всіх учасників будь-якого колективу або середня кількість з'їдених продуктів за місяць у перерахунку на одну добу. А дані про те, скільки в середньому було витрачено на будь-який дорогий захід, зустрічаються у всіх джерелах коштів масової інформації. Найчастіше, звичайно, подібні дані використовуються в статистиці: щоб точно знати, яке явище занепало, а яке зросло; який продукт найбільше має попит і який саме період; для простоти усунення небажаних показників.

У спорті ми можемо зустріти поняття середньої кількості, коли нам, наприклад, оголошують середній вікспортсменів або забитих голів у футболі. А яким чином вираховують зароблений середній балпід час змагань чи на всіма нами улюбленому КВК? Та для цього нічого іншого і не потрібно робити, як знайти середнє арифметичне всіх виставлених суддями оцінок!

До речі, часто й у шкільного життядеякі педагоги вдаються до такого способу, виводячи четверті та річні оцінки своїм учням. Так само часто використовують у вищих навчальних закладах, Нерідко і в школах, для обчислення середнього балу успішності учнів, щоб визначити ефективність викладача або розподілити студентів за їх можливостями. Ще існує безліч сфер життя, в яких використовується ця формула, але мета в основному одна – дізнатися та проконтролювати.

У бізнесі середнє арифметичне можна використовувати для підрахунку та контролю доходів та збитків, зарплат та інших витрат. Наприклад, при подачі довідок у деякі організації про доходи потрібна саме середньомісячна за останні півроку. Дивним є такий факт, що деякі співробітники, до обов'язків яких входить збір подібної інформації, отримавши довідку не із середньомісячним заробітком, а просто про доходи за півроку, не знає, як знайти середнє арифметичне, тобто обчислити середньомісячну зарплату.

Середня арифметична величина - це будь-якої ознаки (ціни, зарплати, населення та ін), обсяг якого при обчисленні не змінюється. Простими словамиКоли обчислюється середнє число яблук, з'їдених Петей і Машею, вийде те число, яке дорівнюватиме половині всієї кількості яблук. Навіть якщо Маша з'їла десять, а Петі дісталося лише одне, то коли ми поділимо їх Загальна кількістьнавпіл, тоді ми й отримаємо середню арифметичну величину.

Сьогодні багато хто жартує з приводу висловлювання Путіна про те, що середня зарплата тих, хто живе в Росії, дорівнює 27 тисячам рублів. Жарти дотепників здебільшого звучать так: «Чи я не росіянин? Чи я вже не живе?» А питання все якраз у тому, що ці дотепники теж, мабуть, не знають, як знайти середню арифметичну зарплату жителів Росії.

Потрібно просто скласти доходи олігархів, керівників підприємств, бізнесменів з одного боку та заробітні платиприбиральниць, двірників, продавців та кондукторів з іншого. А потім отриману суму поділити на кількість людей, доходи яких увійшли цю суму. Ось і вийде дивовижна цифра, яка виражається 27 000 рублями.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання в базовій статистиці потрібні здачі ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мисленняніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричним чисел називається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу були взяті спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

Що таке середнє арифметичне

Середнім арифметичним кількох величин є відношення суми цих величин до їхньої кількості.

Середнє арифметичне певного рядучисел називається сума всіх цих чисел, поділена на кількість доданків. Таким чином, середнє арифметичне є середнім значенням числового ряду.

Чому дорівнює середнє арифметичне кількох чисел? А одно вони сумі цих чисел, яка поділена на кількість доданків у цій сумі.

Як знайти середнє арифметичне число

У обчисленні чи знаходженні середнього арифметичного кількох чисел немає нічого складного, достатньо скласти всі представлені числа, а отриману суму розділити на кількість доданків. Отриманий результат і буде середнім арифметичним цих чисел.

Розглянемо цей процес докладніше. Що ж нам потрібно зробити для обчислення середнього арифметичного та отримання кінцевого результатуцього числа.

По-перше, для його обчислення потрібно визначити набір чисел чи їх кількість. У цей набір можуть входити великі і невеликі числа, і їх кількість може бути будь-яким.

По-друге, всі ці числа потрібно скласти та отримати їхню суму. Звичайно, якщо числа нескладні та їх невелика кількість, то обчислення можна зробити, записавши від руки. А якщо набір чисел вражаючий, то краще скористатися калькулятором або електронною таблицею.

І, по-четверте, отриману від складання суму необхідно поділити на кількість чисел. У результаті ми отримаємо результат, який буде середнім арифметичним числом цього ряду.

Для чого потрібне середнє арифметичне

Середнє арифметичне може стати в нагоді не тільки для вирішення прикладів і завдань на уроках математики, але для інших цілей, необхідних у повсякденному житті людини. Такими цілями може бути підрахунок середнього арифметичного для розрахунку середньої витрати фінансів на місяць, або для підрахунку часу, який ви витрачаєте на дорогу, також для того, щоб дізнатися відвідуваність, продуктивність, швидкість руху, врожайність та багато іншого.

Так, наприклад, спробуємо розрахувати, скільки часу ви витрачаєте на дорогу до школи. Йдучи до школи або повертаючись, додому ви щоразу витрачаєте на дорогу різний частому що коли ви поспішаєте, то ви йдете швидше, і тому дорога займає менше часу. А ось, повертаючись, додому ви можете йти поспішаючи, спілкуючись із однокласниками, милуючись природою і тому часу на дорогу займе більше.

Тому точно визначити час, витрачений на дорогу у вас не вийти, але завдяки середньому арифметичному ви зможете приблизно дізнатися час, який ви витрачаєте на дорогу.

Припустимо, що в перший день після вихідних, ви витратили на шлях від дому до школи п'ятнадцять хвилин, на другий день ваш шлях зайняв двадцять хвилин, у середу ви пройшли відстань за двадцять п'ять хвилин, за такий же час склав ваш шлях і в четвер, а в п'ятницю ви нікуди не поспішали і поверталися цілу півгодини.

Давайте знайдемо середнє арифметичне, додавши час, за п'ять днів. Отже,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Тепер розділимо цю суму на кількість днів

Завдяки такому способу ви дізналися, що шлях від дому до школи приблизно витрачаєте двадцять три хвилини свого часу.

Домашнє завдання

1.Шляхом нехитрих обчислень знайдіть середню арифметичну кількість відвідуваності учнів вашого класу протягом тижня.

2. Знайдіть середнє арифметичне:

3. Розв'яжіть задачу:

У обчисленні середнього значення губиться.

Середнє значеннянабору чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної кількість цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

Зверніть увагу

Якщо знадобиться середнє геометричне всього для двох чисел, то інженерний калькулятор вам не знадобиться: витягти корінь другого ступеня ( квадратний корінь) з будь-якого числа можна за допомогою самого звичайного калькулятора.

Корисна порада

На відміну від середнього арифметичного, на геометричне середнє не так сильно впливають великі відхилення та коливання між окремими значеннямиу досліджуваному наборі показників.

Джерела:

• Онлайн-калькулятор, що розраховує середнє геометричне
• середня геометрична формула

СереднєЗначення – це одна з характеристик набору чисел. Є числом, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннямиу цьому наборі чисел. Середнє арифметичне значення- Найчастіше використовуваний різновид середніх.

Інструкція

Складіть усі числа множини та розділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від конкретних умов обчислення іноді простіше ділити кожне з чисел на кількість значень множини та підсумовувати результат.

Використовуйте, наприклад, Windows, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі неможливо. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "гарячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть у головному меню команду "Виконати". Потім надрукуйте в полі введення calc і натисніть клавішу Enter або клацніть кнопку «OK». Це можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть у розділ «Всі програми» і в секції «Стандартні» і виберіть рядок «Калькулятор».

Введіть послідовно всі числа множини, натискаючи після кожного (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа також можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

Натисніть клавішу з косою (слеш) або клацніть в інтерфейсі калькулятора після введення останнього значеннямножини і надрукуйте кількість чисел у послідовності. Потім натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

Можна з цією ж метою використовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення кожного числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте випадаючий із зображенням грецької сигма (Σ) команд «Редагування» на вкладці «Головна». Виберіть у ньому рядок « Середнєі редактор вставить потрібну формулу для обчислення середньоарифметичного значення у виділену комірку. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної тенденції, що широко використовується в математиці та статистичних розрахунках. Знайти середнє арифметичне число для кількох значень дуже просто, але у кожного завдання є свої нюанси, знати які для виконання вірних розрахунків просто необхідно.

Що таке середнє арифметичне число

Як знайти середнє арифметичне число

Особливості роботи з негативними числами

1. Знаходження загальної середньої арифметичної кількості стандартним методом;
2. Знаходження середнього арифметичного негативного числа.
3. Обчислення середнього арифметичного позитивного числа.

Відповіді кожної з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

При роботі з натуральними дробамиїх слід призвести до спільному знаменникущо множиться на кількість чисел у масиві. У чисельнику відповіді буде сума наведених чисельників вихідних дробових елементів.

Інженерний калькулятор.

Інструкція

Враховуйте, що в загальному випадкусередня геометричних чиселзнаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає кількості чисел. Наприклад, якщо потрібно знайти середнє геометричне п'ять чисел, то з твору потрібно буде видобувати корінь ступеня.

Для знаходження середнього геометричного двох чисел використовуйте головне правило. Знайдіть їх добуток, після чого витягніть із нього квадратний корінь, оскільки числа два, що відповідає ступеню кореня. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 16 і 4, знайдіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, вийміть квадратний корінь √64=8. Це і буде потрібна величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до потрібного порядку.

Щоб знайти середнє геометричне більше двох чисел, теж використовуйте основне правило. Для цього знайдіть добуток усіх чисел, для яких потрібно знайти середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, який дорівнює кількості чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 2, 4 та 64, знайдіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Оскільки потрібно знайти результат середнього геометричного трьох чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку "x^y", після чого наберіть число 3 і натисніть кнопку "1/х", щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку "=". Отримаємо результат зведення 512 ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

За допомогою інженерного калькулятораможна знайти середнє геометричне іншим способом. Знайдіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для кожного з чисел, знайдіть їхню суму та поділіть її на кількість чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі набір операцій. Наберіть число 2, після чого натисніть кнопку log, натисніть кнопку "+", наберіть число 4 і натисніть log і "+", наберіть 64, натисніть log і "=". Результатом буде число, рівну сумі десяткових логарифмівчисел 2, 4 і 64. Отримане число розділіть на 3, оскільки це кількість чисел, якими шукається середня геометрична. З результату візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є шукане середнє геометричне.

Під поняттям середнього арифметичного чисел мається на увазі результат нескладної послідовності розрахунків середньої величинидля низки чисел, визначених заздалегідь. Необхідно відзначити, що таке значення в даний часшироко застосовується фахівцями низки галузей. Наприклад, відомі формули під час проведення розрахунків економістами чи працівниками статистичної галузі, де потрібно мати значення даного типу. Крім цього, цей показник активно використовують і в інших галузях, які є суміжними з вищевказаними.

Однією з особливостей розрахунків даного значенняє простота процедури. Провести розрахункизможе будь-хто. Для цього не треба мати спеціальна освіта. Часто немає необхідності застосовувати та обчислювальну техніку.

Як відповідь на питання як знайти середнє арифметичне розглянемо низку ситуацій.

Самим простим варіантомрозрахунку даної величини є підрахунок для двох чисел. Процедура проведення розрахунку у разі є дуже простой:

1. Спочатку потрібно провести операцію складання вибраних чисел. Це часто можна зробити, як-то кажуть, вручну, не використовуючи електронну техніку.
2. Після того як додавання зроблено і отримано його результат необхідно зробити поділ. Ця операціяпередбачає поділ суми двох складених чисел на два – кількість складених чисел. Саме така дія дозволить отримати необхідну величину.

Формула

Таким чином, формула для підрахунку необхідної величини у випадку з двома буде виглядати так:

(А+В)/2

У цій формулі застосовується таке позначення:

А і В – це заздалегідь обрані числа, котрим необхідно знаходити значення.

Знаходження значення для трьох

Проведення розрахунку даної величини в ситуації, коли вибрано три числа, не сильно відрізнятиметься від попереднього варіанту:

1. Для цього слід вибрати числа, необхідні в розрахунку, та скласти їх для отримання загальної суми.
2. Після того як дана суматрьох буде знайдено, потрібно знову здійснити процедуру поділу. При цьому отриману суму треба розділити вже на три, що відповідає кількості вибраних чисел.

Формула

Тим самим формула, необхідна при проведенні розрахунків арифметичного трьох, виглядатиме так:

(А+В+С)/3

У цій формуліприйнято таке позначення:

А, В та С – це числа, до яких необхідно буде знаходити середнє арифметичне.

Обчислення середнього арифметичного чотирьох

Як уже видно за аналогією з попередніми варіантами обчислення даного значення для кількості, що дорівнює чотирьом, буде мати такий порядок:

1. Вибираються чотири цифри, котрим треба обчислити середнє арифметичне значення. Далі проводиться підсумовування та знаходження кінцевого результату цієї процедури.
2. Тепер, щоб отримати остаточний результат, слід взяти отриману суму чотирьох і поділити її на чотири. Отримані дані та будуть необхідним значенням.

Формула

З описаної вище послідовності дій щодо знаходження середнього арифметичного для чотирьох можна отримати таку формулу:

(А+В+З+Є)/4

У цій формулізмінні мають наступне значення:

А, В, С та Е – це ті, до яких необхідно знайти значення середнього арифметичного.

Застосовуючи цю формулу, завжди можна буде обчислювати потрібне значення для цієї кількості чисел.

Підрахунок середнього арифметичного п'яти

Виконання цієї операції вимагатиме проведення певного алгоритмудій.

1. Насамперед, треба вибрати п'ять чисел, котрим буде проходити обчислення середнього арифметичного. Після даного підборуці числа, як і в попередніх варіантах, необхідно просто скласти та отримати кінцеву суму.
2. Отриману суму треба буде поділити за їх кількістю на п'ять, що дозволить отримати необхідне значення.

Формула

Тим самим аналогічно з раніше розглянутими варіантами отримуємо таку формулу для підрахунку середнього арифметичного:

(А+В+З+Е+Р)/5

У цій формулі змінні мають таке позначення:

А, В, С, Е та Р – це числа, для яких необхідно отримати середнє арифметичне.

Універсальна формула обчислення

Проводячи розгляд різних варіантівформул для обчислення середнього арифметичного, можна звернути увагу на те, що вони мають загальна закономірність.

Тому практичніше застосовуватиме загальну формулу для знаходження середнього арифметичного. Адже бувають ситуації, коли кількість та величина розрахунків може бути дуже великою. Тому розумніше використовуватиме універсальну формулуі не виводити щоразу індивідуальну технологіюдля розрахунку цієї величини.

Головним щодо формули є принцип розрахунку середнього арифметичногоо.

Цей принципяк було видно з наведених прикладів, виглядає так:

1. Здійснюється підрахунок кількості чисел, які задані для отримання необхідного значення. Ця операція може бути проведена як вручну за невеликої кількості чисел, так і за допомогою обчислювальної техніки.
2. Проводиться підсумовування вибраних чисел. Ця операція у більшості ситуацій виконується за допомогою обчислювальної техніки, оскільки числа можуть складатися з двох, трьох і більше цифр.
3. Сума, отримана в результаті складання вибраних чисел, повинна бути поділена на їх кількість. Ця величинавизначається на початковому етапі розрахунку середнього арифметичного.

Таким чином, загальна формуладля розрахунку середнього арифметичного рядупідібраних чисел виглядатиме так:

(А+В+…+N)/N

Ця формула міститьнаступні змінні:

А і В – це числа, які заздалегідь обрані для розрахунку їх середнього арифметичного.

N - це кількість чисел, які були взяті з метою проведення розрахунку необхідного значення.

Підставляючи щоразу в цю формулу вибрані числа, ми завжди зможемо отримати необхідне значення середнього арифметичного.

Як видно, знаходження середнього арифметичногоє простою процедурою. Однак треба уважно ставитися до обчислень, що проводяться, і проводити перевірку отриманого результату. Такий підхід пояснюється тим, що навіть у самих простих ситуаціяхІснує можливість отримання помилки, яка може вплинути потім на подальші розрахунки. У зв'язку з цим рекомендується застосовувати обчислювальну техніку, яка може зробити підрахунки будь-якої складності.