Перемножувати числа з різними ступенями. Як множити ступені, множення ступенів з різними показниками

Початковий рівень

Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)

Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?

Щоб дізнатися все про ступеня, про те для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному життічитай цю статтю.

І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачіОДЕ або ЄДІ та до вступу до ВНЗ твоєї мрії.

Let"s go... (Поїхали!)

Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).

ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ

Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Зараз поясню все людською мовоюна дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Почнемо зі складання.

Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього коли? Правильно – 16 пляшок.

Тепер множення.

Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...

Ось таблиця множення. Повторюй.

І інший, красивіший:

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.

Зведення числа до ступеня

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це дуже полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже гарне питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1

Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучуєшся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що Шахова дошка- це квадрат зі стороною, то можна звести вісім квадратів. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і вважаєш пальцем, значить ти дуже працелюбна людинаі.. дурний. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, бо ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені - мільйон! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття... щоб не заплутатися

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі рисунок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати …

Ступінь числа з натуральним показником

Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби - це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Кілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чиселдля виміру довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченна десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Резюме:

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе:
3. Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

Подивимося: що таке і ?

За визначенням:

Скільки тут множників всього?

Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: що і потрібно довести.

приклад: Спростіть вираз

Рішення:

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

тільки для створення ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. то й є -а ступінь числа

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?

Але це не так, адже.

Ступінь з негативною основою

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.

Але якою має бути підстава?

У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.

Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Впорався?

Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.

Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий!

6 прикладів для тренування

Розбір рішення 6 прикладів

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, вчинимо як у Минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативною мірою:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число в негативному ступені назад такому ж числу в позитивного ступеня. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, не рівне нулю, негативною мірою назад такому ж числу позитивно: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене в парний ступінь- Число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дробовий ступіньз парним знаменником, тобто вираз немає сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показникомдуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;

...ступінь з цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивостіступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що й потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Від'ємне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, Вирішимо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показникступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якої - нескінченний десятковий дріб або корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль будь-якою мірою дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!

Розподіл ступенів з однаковою основою. Основне властивість ступеня з урахуванням властивостей множення можна узагальнити добуток трьох і більшого числаступенів з однаковими основами та натуральними показниками.

3.a-3 є a0 = 1, другий чисельник. У більш складних прикладахможуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними підставами та різними показниками. Тепер розглянемо їх на конкретні прикладита спробуємо довести.

Таким чином ми довели, що при розподілі двох ступенів з однаковими підставами їх показники треба віднімати. Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня.

Тут ми наведемо докази всіх властивостей ступеня, і навіть покажемо, як застосовуються ці властивості під час вирішення прикладів. Наприклад, основна властивість дробу am·an=am+n при спрощенні виразів часто застосовується у вигляді am+n=am·an. Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо зміст додаткових умову формулюванні.

Властивості ступенів із натуральними показниками

Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. З отриманої рівності am−n·an=am і зі зв'язку множення з поділом випливає, що am−n є окремим ступенем am та an. Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами. Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p, q, r і s справедлива рівність. Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Складання та віднімання одночленів

Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь an є нуль. Справді, 0n=0·0·…·0=0. Наприклад, 03=0 та 0762=0. Переходимо до негативним підставамступеня. Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне.

Переходимо до підтвердження цієї якості. Доведемо, що з m>n і 0Залишилося довести другу частину властивості. Отже, am−an>0 і am>an, що потрібно було довести. Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами.

Якщо p=0, маємо (a0)q=1q=1 і a0·q=a0=1, звідки (a0)q=a0·q. За таким самим принципом можна довести решту властивостей ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей. Умовами p 0 у разі будуть еквівалентні умови m 0 відповідно.

При цьому умові p>q відповідатиме умова m1>m2, що випливає із правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками. Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і. А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно.

Основні властивості логарифмів

Обчислення значення ступеня називають дією зведення ступінь. Тобто при обчисленні значення виразу, що не містить дужки, спочатку виконують дію третього ступеня, потім другий (множення та розподіл) і, нарешті, першої (додавання та віднімання). Операції з корінням.

Розширення поняття ступеня. До цих пір ми розглядали ступеня тільки з натуральним показником; дробовим показникам. Усі ці показники ступенів вимагають додаткового визначення. Якщо хочемо, щоб формула a m: a n=a m — n була справедлива при m = n, нам необхідне визначення нульового ступеня.

Збільшення ступенів чисел з однаковими показниками. Далі ми сформулюємо теорему про поділ ступенів з однаковими підставами, розв'яжемо роз'яснювальні завдання та доведемо теорему в загальному випадку. Перейдемо тепер до визначення негативних ступенів. Ви можете в цьому легко переконатися, підставивши формулу з визначення інших властивостей. Для розв'язання цього завдання згадайте, що: 49 = 7^2, а 147 = 7^2 * 3^1. Якщо Ви тепер акуратно скористаєтеся властивостями ступенів (при зведенні ступеня показники…

Тобто показники ступеня дійсно віднімаються, але оскільки в знаменнику у ступеня показник негативний, при відніманні мінус на мінус дає плюс, і показники складаються. Згадаймо, що називається одночленом і які операції можна робити з одночленами. Нагадаємо, що для приведення одночлена до стандартного виглядунеобхідно спочатку отримати чисельний коефіцієнт, перемноживши всі чисельні множники, та був перемножити відповідні ступеня.

Перехід до нової основи

Тобто ми маємо навчитися розрізняти подібні і не подібні одночлени. Зробимо висновок: подібні одночлени мають однакову буквену частину, і такі одночлени можна складати та віднімати.

Дякую Вам за відгук. Якщо наш проект вам сподобався і ви готові допомогти або взяти участь у ньому, надішліть інформацію про проект знайомим і колегам. У попередньому відео говорилося, що в прикладах з одночленами може бути тільки множення: Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх.

Саме поняття одночлена як математичної одиниці передбачає лише множення чисел і змінних, якщо є інші операції, вираз не буде одночленом. Але водночас між собою одночлени можна складати, віднімати, ділити… Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Зверніть увагу: ключовий моменттут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють! Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a1·a2·...·ak)n=a1n·a2n·...·akn. Правил щодо складання та віднімання ступенів з однаковими підставами не існує. Підстава та аргумент першого логарифму – точні ступені. 4. Зменшіть показники ступенів 2a4/5a3 та 2/a4 та приведіть до спільного знаменника.

Минулого відеоуроку ми дізналися, що ступенем якоїсь підстави називається такий вираз, який є твір основи на самого себе, взятого в кількості, рівному показникуступеня. Вивчимо тепер деякі найважливіші властивостіта операції ступенів.

Наприклад, помножимо два різні ступені з однаковою основою:

Представимо цей твір у повному вигляді:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Обчисливши значення цього виразу, ми отримаємо число 32. З іншого боку, як очевидно з цього прикладу, 32 можна як твори однієї й тієї підстави (двійки), взятого у кількості 5 раз. Якщо перерахувати, то:

Таким чином, можна з упевненістю дійти висновку, що:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Подібне правило успішно працює для будь-яких показників та будь-яких підстав. Ця властивість множення ступеня випливає із правила безпеки значення виразів при перетвореннях у творі. За будь-якої підстави а добуток двох виразів (а)х і (а)у дорівнює а(х + у). Інакше кажучи, при добутку будь-яких виразів з однаковою основою, підсумковий одночлен має сумарний ступінь, що утворюється додаванням ступеня першого та другого виразів.

Представлене правило чудово працює і при множенні кількох виразів. Головна умова - щоб підстави у всіх були однаковими. Наприклад:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Не можна складати ступеня, та й взагалі проводити якісь статечні спільні діїз двома елементами виразу, якщо підстави вони різні.
Як показує наше відео, через схожість процесів множення та поділу правила складання ступенів при творі чудово передаються і на процедуру поділу. Розглянемо такий приклад:

Зробимо почленное перетворення виразу в повний вигляді скоротимо однакові елементи в ділимому та дільнику:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Кінцевий результат цього прикладу не такий цікавий, адже вже в ході його рішення ясно, що значення виразу дорівнює квадрату двійки. І саме двійка виходить при відніманні ступеня другого виразу зі ступеня першого.

Щоб визначити ступінь приватного необхідно від діленого ступеня відняти ступінь дільника. Правило працює при однаковій підставі для всіх його значень та для всіх натуральних ступенів. У вигляді абстракції маємо:

(а) х / (а) у = (а) х - у

З правила поділу однакових підстав зі ступенями випливає визначення для нульового ступеня. Очевидно, що такий вираз має вигляд:

(а) х / (а) х = (а) (х - х) = (а) 0

З іншого боку, якщо ми зробимо поділ більш наочним способом, то отримаємо:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При скороченні всіх видимих ​​елементів дробу завжди виходить вираз 1/1, тобто одиниця. Тому прийнято вважати, що будь-яка основа, зведена в нульовий ступінь, дорівнює одиниці:

Незалежно від значення а.

Однак буде абсурдно, якщо 0 (при будь-яких перемноженнях дає все одно 0) буде якимось чином дорівнює одиницітому вираз виду (0) 0 (нуль в нульовому ступені) просто не має сенсу, а до формули (а) 0 = 1 додають умову: «якщо а не дорівнює 0».

Вирішимо вправу. Знайдемо значення виразу:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так як підстава скрізь однакова і дорівнює 34, то підсумкове значення матиме таку ж підставу зі ступенем (відповідно до вищевказаних правил):

Інакше кажучи:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Відповідь: вираз дорівнює одиниці.

Урок на тему: "Правила множення та поділу ступенів з однаковими та різними показниками. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича

Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.

Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.

Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ця рівність називається "запис ступеня у вигляді твору". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Підстава ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= 1$.
Якщо n = 0, то $ a ^ 0 = 1 $.

Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та поділу ступенів.

Правила множення

приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Якщо множаться ступеня з різною основоюале однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.

приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила розподілу

Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.

Запишемо ступеня у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Тепер скоротимо дріб.

Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа в нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число на ступінь, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.

Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення у додавання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4х4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.

А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , чи 2 4 , 64=4 3 , чи 2 6 , до того ж час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .

Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і щоразу ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.

Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Таким чином, 2 5:2 3 =2 2 , що в звичайних числаходно 32:8=4, тобто 2 2 . Підведемо підсумки:

a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 23 і 24, але як це зробити з числами 7 і 17? Або як чинити в тих випадках, коли число можна подати в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.