При множенні плюс плюс дає. Події з мінусом

Чи правильно ми розуміємо множення?

- А і Б сиділи на трубі. А впало, Б пропало, що залишилося на трубі?
- Залишилась ваша буква І".

(З до/ф "Отроки у Всесвіті")

Чому при множенні числа на нуль виходить нуль?

7 * 0 = 0

Чому при перемноженні двох від'ємних чисел виходить позитивне число?

7 * (-3) = + 21

Що тільки не вигадують педагоги, щоби дати відповіді на ці два питання.

Але нікому не вистачає сміливості визнати, що у формулюванні множення три смислові помилки!

Чи можливі помилки в основі арифметики? Адже математика позиціонує себе точною наукою.

Шкільні підручникиматематики не дають відповіді на ці питання, замінюючи пояснення набором правил, які слід запам'ятати. Можливо, вважають цю тему важкою для пояснення в середніх класах школи? Спробуємо розібратися у цих питаннях.

7 - множинне. 3 – множник. 21-твір.

За офіційним формулюванням:

• помножити число на інше число - значить скласти стільки множин, скільки наказує множник.

За прийнятим формулюванням множник 3 говорить нам про те, що в правій частині рівності має бути три сімки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Але це формулювання множення не може пояснити поставлені вище питання.

Виправимо формулювання множення

Зазвичай у математиці багато мають на увазі, але про це не говорять і не записують.

Мається на увазі знак плюс перед першою сімкою у правій частині рівності. Запишемо цей плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Але до чого додається перша сімка. Мається на увазі, що до нуля, очевидно. Запишемо і нуль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А якщо ми множитимемо на три мінус сім?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Ми записуємо додавання множини -7, насправді ми проводимо багаторазове віднімання з нуля. Розкриємо дужки.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Тепер можна дати уточнене формулювання множення.

• Множення - це багаторазове додавання до нуля (або віднімання з нуля) множини (-7) стільки разів, скільки вказує множник. Множник (3) та його знак (+ або -) вказує кількість операцій додавання до нуля або віднімання з нуля.

За цим уточненим і дещо зміненим формулюванням множення легко пояснюються "правила знаків" при множенні, коли множник негативний.

7 * (-3) - має бути після нуля три знаки "мінус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - знову має бути після нуля три знаки "мінус" =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Множення на нуль

7 * 0 = 0 + ... немає операцій додавання до нуля.

Якщо множення це додаток до нуля, а множник показує кількість операцій додавання до нуля, то множник нуль показує, що до нуля нічого не додається. Тому залишається нуль.

Отже, у існуючому формулюванні множення ми знайшли три смислові помилки, які блокують розуміння двох "правил знаків" (коли множник негативний) та множення числа на нуль.

1. Потрібно не складати множинне, а додавати його до нуля.
2. Множення це не тільки додаток до нуля, але й віднімання з нуля.
3. Множник і його знак показують не кількість доданків, а кількість знаків плюс або мінус при розкладанні множення на доданки (або віднімаються).

Дещо уточнивши формулювання, нам вдалося пояснити правила знаків при множенні та множенні числа на нуль без допомоги переміщувального закону множення, без розподільчого закону, без залучення аналогій з числовою прямою, без рівнянь, без доказів від зворотного тощо.

Правила знаків уточненого формулювання множення виводяться дуже просто.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Множник та його знак (+3 або -3) вказує на кількість знаків "+" або "-" у правій частині рівності.

Змінена формулювання множення відповідає операції зведення числа у ступінь.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (одиниця ні на що не множиться і не ділиться, тому залишається одиницею)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Математики згодні, що зведення числа в позитивний ступінь- це багаторазове множення одиниці. А зведення числа в негативний ступінь- це багаторазовий поділодиниці.

Операція множення має бути аналогічною операції зведення в ступінь.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 = 0 (до нуля нічого не додається і з нуля нічого не віднімається)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Змінена формулювання множення нічого не змінює в математиці, але повертає первісний зміст операції множення, пояснює "правила знаків", множення числа на нуль, погоджує множення зі зведенням у ступінь.

Перевіримо, чи узгоджується наше формулювання множення з операцією поділу.

15: 5 = 3 (зворотна операціямноження 5 * 3 = 15)

Частка (3) відповідає кількості операцій додавання до нуля (+3) при множенні.

Розділити число 15 на 5 - значить знайти, скільки разів потрібно відняти 5 з 15-ти. Робиться це послідовним відніманням до отримання нульового результату.

Щоб знайти результат поділу, слід підрахувати кількість знаків "мінус". Їх три.

15: 5 = 3 операції віднімання п'ятірки з 15 до отримання нуля.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (поділ 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (множення 5*3)

Поділ із залишком.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 і 2 залишок

Якщо є поділ із залишком, чому немає множення із придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Дивимося різницю формулювань на калькуляторі

Існуюче формулювання множення (три доданків).

10 + 10 + 10 = 30

Виправлене формулювання множення (три операції додавання до нуля).

0 + 10 = = = 30

(Три рази натискаємо "рівняється".)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник 3 вказує, що до нуля потрібно додати множину 10 тричі.

Спробуйте виконати множення (-10) * (-3) шляхом додавання доданку (-10) мінус три рази!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Що означає мінус у трійки? Може так?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Опс... Не вдається розкласти твір на суму (або різницю) доданків (-10).

За допомогою зміненого формулювання це виконується правильно.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник (-3) вказує, що з нуля потрібно відняти множину (-10) три рази.

Правила знаків при додаванні та відніманні

Вище було показано простий спосіб виведення правил знаків при множенні шляхом зміни змісту формулювання множення.

Але для виведення ми використовували правила знаків при складанні та відніманні. Вони майже такі самі, як і для множення. Створимо візуалізацію правил знаків для складання та віднімання, щоб і першокласнику було зрозуміло.

Що таке "мінус", "негативний"?

Нічого негативного у природі немає. Немає негативної температури, немає негативного спрямування, немає негативної маси, немає негативних зарядів... Навіть синус за своєю природою може бути лише позитивним.

Але математики вигадали негативні числа. Для чого? Що означає мінус?

Мінус означає протилежний напрямок. Лівий правий. Верх низ. За годинниковою стрілкою - проти годинникової стрілки. Вперед назад. Холодно – гаряче. Легкий – важкий. Повільно – швидко. Якщо подумати, можна навести багато інших прикладів, де зручно використовувати від'ємні значеннявеличин.

У відомому нам світі нескінченність починається з нуля і йде в плюс нескінченність.

"Мінус нескінченності" в реальному світіне існує. Це така сама математична умовність, як і поняття "мінус".

Отже, "мінус" означає протилежний напрямок: руху, обертання, процесу, множення, складання. Проаналізуємо різні напрямипри складанні та відніманні позитивних і негативних (що збільшуються в іншому напрямку) чисел.

Складність розуміння правил знаків при додаванні та відніманні пов'язана з тим, що зазвичай ці правила намагаються пояснити на числовій прямій. На числовій прямій поєднуються три різні складові, з яких виводяться правила. І через змішування, через звалювання різних понятьв одну купу, створюються проблеми розуміння.

Для розуміння правил нам потрібно розділити:

• перше доданок і суму (вони будуть на горизонтальної осі);
• другий доданок (воно буде на вертикальній осі);
• напрямок операцій складання та віднімання.

Такий поділ наочно показано малюнку. Подумки уявіть, що вертикальна вісь може обертатися, накладаючись на горизонтальну вісь.

Операція докладання завжди виконується обертанням вертикальної осі за годинниковою стрілкою (знак "плюс"). Операція віднімання завжди виконується шляхом обертання вертикальної осі проти годинникової стрілки (знак "мінус").

приклад. Схема у нижньому правому кутку.

Видно, що два поряд стоять знакмінуса (знак операції віднімання та знак числа 3) мають різний сенс. Перший мінус показує напрямок віднімання. Другий мінус – знак числа на вертикальній осі.

Знаходимо перший доданок (-2) на горизонтальній осі. Знаходимо другий доданок (-3) на вертикальній осі. Подумки обертаємо вертикальну вісьпроти годинникової стрілки до суміщення (-3) із числом (+1) на горизонтальній осі. Число (+1) є результатом додавання.

Операція віднімання

дає такий самий результат, як операція додавання на схемі у верхньому правому кутку.

Тому два знаки, що стоять поряд, "мінус" можна замінити одним знаком "плюс".

Ми всі звикли користуватися готовими правилами арифметики, не замислюючись про їхній зміст. Тому ми часто навіть не помічаємо, чим правила знаків при складанні (відніманні) відрізняються від правил знаків при множенні (розподілі). Здається, вони однакові? Майже... Незначна різниця помітна на наступній ілюстрації.

Тепер ми маємо все необхідне, щоб вивести правила знаків для множення. Послідовність виводу така.

1. Наочно показуємо, як виходять правила знаків для складання та віднімання.
2. Вносимо смислові зміни до існуючого формулювання множення.
3. На основі зміненого формулювання множення та правил знаків для складання виводимо правила знаків для множення.

Примітка.

Нижче написані п равила знаків при додаванні та відніманніотримані з візуалізації. І червоним кольором, для порівняння, ті ж правила знаки з підручника математики. Сірий плюс у дужках – це плюс-невидимка, який не записується у позитивного числа.

Між доданками завжди два знаки: знак операції та знак числа (плюс ми не записуємо, але маємо на увазі). Правила знаків наказують заміну однієї пари знаків іншу пару без зміни результату складання (віднімання). Фактично, правил лише два.

Правила 1 і 3 (з візуалізації) - дублюють правила 4 і 2. Це якісь інші правила...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Шкільне правило 1. (червоний колір) дозволяє заміняти два плюси поспіль одним плюсом. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Шкільне правило 3. (червоний колір) дозволяє не записувати знак плюс у позитивного числа після операції віднімання. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Сенс правил знаків при додаванні-заміна однієї ПАРИ знаків іншою ПАРОЮ знаків без зміни результату складання.

Шкільні методисти змішали в одному правилі два правила:

Два правила знаків при додаванні та відніманні позитивних і негативних чисел (заміна однієї пари знаків іншою парою знаків);

Два правила, якими можна писати знак " плюс " у позитивного числа.

Два різних правил, змішаних в одне, схожі на правила знаків при множенні, де з двох символів випливає третій. Схожі один на один.

Здорово заплутали! Ще раз те саме, для кращого розплутування. Виділимо червоним кольором символи операцій, щоб відрізняти їх від символів чисел.

1. Додавання та віднімання. Два правила знаків, якими взаємозамінюються пари знаків між доданками. Операція знак і знак числа.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Два правила, якими знак плюс у позитивного числа дозволяється не писати. Це правила форми запису. До складання не належать. Для позитивного числа записується лише символ операції.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Чотири правила символів при множенні. Коли із двох знаків множників випливає третій знак твору. У правилах знаків для множення лише знаки чисел.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Тепер, коли ми відокремили правила форми запису, має бути добре видно, що правила знаків для складання та віднімання зовсім не схожі на правила знаків при множенні.

В.Козаренко

1) Чому мінус один помножити на мінус один і плюс один?
2) Чому мінус один помножити на плюс один і мінус один?

«Ворог мого ворога - мій друг».

Найпростіше відповісти: «Бо такі правила дій над негативними числами». Правила, які ми навчаємо у школі та застосовуємо все життя. Однак, підручники не пояснюють, чому правила саме такі. Ми спочатку намагатимемося зрозуміти це, виходячи з історії розвитку арифметики, а потім відповімо на це питання з погляду сучасної математики.

Давним-давно людям були відомі лише натуральні числа: 1, 2, 3, ... Їх використовували для підрахунку начиння, видобутку, ворогів і т. д. Але числа самі по собі досить марні - потрібно вміти з ними поводитися. Додавання наочно і зрозуміло, до того ж сума двох натуральних чисел - теж натуральне число (математик сказав би, що безліч натуральних чисел замкнено щодо операції додавання). Множення - це, по суті, те саме додавання, якщо ми говоримо про натуральні числа. У житті ми часто робимо дії, пов'язані з цими двома операціями (наприклад, роблячи покупки, ми складаємо та множимо), і дивно думати, що наші предки стикалися з ними рідше – додавання та множення були освоєні людством дуже давно. Часто доводиться і ділити одні величини на інші, але тут результат не завжди виражається натуральним числом – так з'явилися дробові числа.

Без віднімання, звичайно, теж не обійтися. Але на практиці ми, як правило, віднімаємо з більшої кількості менше, і немає потреби використовувати негативні числа. (Якщо у мене є 5 цукерок і я віддам сестрі 3, то у мене залишиться 5 – 3 = 2 цукерки, а ось віддати їй 7 цукерок я за всього бажання не можу.) Цим можна пояснити, чому люди довго не користувалися негативними числами.

В індійських документах негативні числа фігурують із VII століття н.е.; китайці, мабуть, почали вживати їх трохи раніше. Їх застосовували для обліку боргів або у проміжних обчисленнях для спрощення розв'язання рівнянь – це був лише інструмент для отримання позитивної відповіді. Той факт, що негативні числа, на відміну від позитивних, не виражають наявність будь-якої сутності, викликав сильна недовіра. Люди в прямому значенніслова уникали негативних чисел: якщо завдання виходив негативний відповідь, вважали, що відповіді немає зовсім. Ця недовіра зберігалася дуже довго, і навіть Декарт – один із «засновників» сучасної математики – називав їх «хибними» (у XVII столітті!).

Розглянемо для прикладу рівняння 7x - 17 = 2x - 2. Його можна вирішувати так: перенести члени з невідомим у ліву частину, а решта - у праву, вийде 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. За такого рішення нам навіть не зустрілися негативні числа.

Але можна було випадково зробити і по-іншому: перенести доданки з невідомим у праву частинуі отримати 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Щоб знайти невідоме, потрібно поділити одне негативне число на інше: x = (-15) / (-5). Але правильна відповідь відома, і залишається зробити висновок, що (–15)/(–5) = 3 .

Що показує цей нехитрий приклад? По-перше, стає зрозумілою логіка, якою визначалися правила дій над негативними числами: результати цих дій повинні збігатися з відповідями, що виходять іншим шляхом, без негативних чисел. По-друге, допускаючи використання негативних чисел, ми позбавляємося стомливого (якщо рівняння виявиться складнішим, з більшим числомдоданих) пошуку того шляху рішення, при якому всі дії здійснюються тільки над натуральними числами. Більше того, ми можемо більше не думати щоразу про свідомість перетворюваних величин - а це вже крок у напрямку перетворення математики на абстрактну науку.

Правила дій над негативними числами сформувалися не відразу, а стали узагальненням численних прикладів, що виникали під час вирішення прикладних завдань. Взагалі розвиток математики можна умовно розбити на етапи: кожен наступний етап відрізняється від попереднього новим рівнем абстракції при вивченні об'єктів. Так, у XIX столітті математики зрозуміли, що у цілих чисел і багаточленів, за всієї їхньої зовнішньої несхожості, є багато спільного: і ті, й інші можна складати, віднімати та перемножувати. Ці операції підпорядковуються тим самим законам - як у випадку з числами, так і у випадку з багаточленами. А от поділ цілих чисел один на одного, щоб у результаті знову виходили цілі числа, можливо не завжди. Те саме і з багаточленами.

Потім виявилися інші сукупності математичних об'єктів, над якими можна здійснювати такі операції: формальні статечні ряди, безперервні функції... Зрештою, прийшло розуміння, що якщо вивчити властивості самих операцій, то потім результати можна буде застосовувати до всіх цих сукупностей об'єктів (такий підхід характерний для всієї сучасної математики).

У результаті з'явилося нове поняття: кільце. Це всього-на-всього безліч елементів плюс дії, які можна над ними виробляти. Основними тут є якраз правила (їх називають аксіомами), яким підкоряються дії, а не природа елементів множини (ось він, новий рівеньабстракції!). Бажаючи підкреслити, що важлива саме структура, яка виникає після введення аксіом, математики кажуть: кільце цілих чисел, кільце багаточленів тощо.

Ми сформулюємо аксіоми кільця (які, звичайно, схожі на правила дій з цілими числами), а потім доведемо, що в будь-якому кільці при множенні мінуса на мінус виходить плюс.

Кільцемназивається безліч з двома бінарними операціями (тобто в кожній операції задіяні два елементи кільця), які за традицією називають додаванням та множенням, і наступними аксіомами:

• складання елементів кільця підпорядковується переміщувальному ( A + B = B + Aдля будь-яких елементів Aі B) та комбінаційному ( A + (B + C) = (A + B) + C) законам; у кільці є спеціальний елемент 0 (нейтральний елемент за додаванням) такий, що A + 0 = A, і для будь-якого елемента Aє протилежний елемент (що позначається (-A)), що A + (-A) = 0 ;
• множення підпорядковується сполучному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
• додавання та множення пов'язані такими правилами розкриття дужок: (A + B) C = A C + B Cі A · (B + C) = A · B + A · C .

Зауважимо, що кільця, в самій загальної конструкції, Не вимагають ні перестановки множення, ні його оборотності (тобто ділити можна не завжди), ні існування одиниці - нейтрального елемента по множенню. Якщо вводити ці аксіоми, то виходять інші структури алгебри, але в них будуть вірні всі теореми, доведені для кілець.

Тепер доведемо, що для будь-яких елементів Aі Bдовільного кільця вірно, по-перше, (–A)·B = –(A·B), а по-друге (–(–A)) = A. З цього легко випливають твердження про одиниці: (–1)·1 = –(1·1) = –1і (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Для цього нам потрібно встановити деякі факти. Спочатку доведемо, що у кожного елемента може бути лише один протилежний. Справді, нехай елемент Aє два протилежні: Bі З. Тобто A + B = 0 = A + C. Розглянемо суму A+B+C. Користуючись сполучним та переміщувальним законами та властивістю нуля, отримаємо, що, з одного боку, сума дорівнює B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а з іншого боку, вона дорівнює C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значить, B = C .

Зауважимо тепер, що й A, і (–(–A))є протилежними до одного і того ж елементу (-A)тому вони повинні бути рівними.

Перший факт виходить так: 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B, тобто (–A)·Bпротилежно ABотже, воно одно –(A·B) .

Щоб бути математично строгими, пояснимо ще, чому 0 · B = 0для будь-якого елемента B. Справді, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Тобто додаток 0·Bне змінює суму. Значить, цей твір дорівнює нулю.

А те, що в кільці рівно один нуль (адже в аксіомах сказано, що такий елемент існує, але нічого не сказано про його єдиність!), ми залишимо читачеві як нескладну вправу.

Відповів: Євген Єпіфанов

Показати коментарі (37)

Згорнути коментарі (37)

Гарна відповідь. Але для рівня старшокласника-першокурсника. Мені здається можна пояснити простіше і наочніше, з прикладу формули "відстань = швидкість * час" (2 клас).

Припустимо, ми йдемо вздовж дороги, нас обганяє машина і починає віддалятися. Час зростає – і відстань до неї зростає. Швидкість такої машини вважатимемо позитивною, вона може бути, наприклад, 10 метрів за секунду. До речі, а скільки це кілометрів за годину? 10/1000 (км) * 60 (сек) * 60 (хв) = 10 * 3,6 = 36 км / год. Небагато. Напевно, дорога погана...

А ось машина, що йде нам назустріч, не видаляється, а наближається. Тому швидкість її зручно вважати негативною. Наприклад -10 м/с. Відстань зменшується: 30, 20, 10 метрів до зустрічної машини. Кожна секунда – мінус 10 метрів. Тепер зрозуміло, чому швидкість з мінусом? Ось вона пролетіла повз. Яка до неї відстань за секунду? Правильно -10 метрів, тобто. "за 10 метрів позаду".

Ось ми отримали перше твердження. (-10 м / сек) * (1 сек) = -10 м.
Мінус (негативна швидкість) на плюс ( позитивний час) дав мінус (негативна відстань, машина у мене за спиною).

А тепер увага – мінус на мінус. Де зустрічна машина була за секунду ДО того, як проїхала повз? (-10 м / сек) * (- 1 сек) = 10 м.
Мінус (негативна швидкість) на мінус ( негативний час) = плюс (позитивна відстань, машина була за 10 метрів у мене перед носом).

Так зрозуміло, чи хтось знає приклад ще простіше?

Відповісти

Так можна простіше довести! 5*2-це два рази відкласти на числовій прямій, позитивний бік, Число 5, і тоді отримаємо число 10. якщо 2 * (-5), то відраховуємо два рази за числом 5, але вже в негативний бік, і отримаємо число(-10), тепер представимо 2*(-5), як
2*5*(-1)=-10, відповідь переписуємо з попереднього обчислення, а чи не отриманого цьому, Значить можна сказати, що з множенні числа на (-1), є перевертання числової двох полярної осі, тобто. зміна полярності на протилежну. Те, що ми відклали в позитивну частину, стало негативним і навпаки. Тепер (-2)*(-5), запишемо як (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), відклавши число (-10), і змінивши полярність осі, т.к . множимо на (-1), отримаємо +10, не знаю, чи вийшло чи простіше?

Відповісти

З математичними мінусами все зрозуміло. А ось у мові, коли задається питання із запереченням як на нього відповідати? Ось, наприклад, мене завжди ставило таке питання в глухий кут: "Ви не хотіли чаю?". Як на нього відповісти за умови, що я хочу чай? Начебто якщо сказати "Так", то чаю не дадуть (це як + та -), якщо ні то повинні дати (- і -), а якщо "Ні, не хочу"???

Відповісти

Для того, щоб відповісти на такий дитяче питання, потрібно спочатку відповісти на кілька дорослих питань: "Що таке мінус в математиці?" і "Що таке множення та розподіл?". Наскільки розумію я, саме там починаються проблеми, які в результаті призводять до каблучок та іншої ахіні при відповіді на таке просте дитяче питання.

Відповісти

Відповідь не для простих школярів!
У молодших класахчитала чудову книжку - ту що про Карликанію та Аль-Джебру, а може і в математичному гуртку наводили приклад - ставили по різні сторонизнака дорівнює двох людей з яблуками різних квітіві пропонували давати один одному яблука. Потім між учасниками гри ставили й інші знаки – плюс, мінус, більше, менше.

Відповісти

Дитяча відповідь, так??))
Може прозвучить жорстоко, але автор сам не розуміє, чому мінус на мінус дає плюс:-)
Все у світі можна пояснити наочно, адже абстракції потрібні лише пояснення світу. Вони прив'язані до дійсності, а чи не живуть самі собою у марних підручниках.
Хоча для пояснення потрібно як мінімум знати фізику, а іноді й біологію в поєднанні з основами нейрофізіології людини.

Проте перша частина дала надію зрозуміти, і дуже доступно пояснила необхідність негативних чисел.
Але друга традиційно з'їхала у шизофренію. А і В – це мають бути реальні об'єкти! так навіщо ж їх називати цими літерами, коли можна взяти наприклад буханці хліба чи яблука
Якщо ... якщо було б можна ... так?))))))

І... навіть користуючись правильною основоюз першої частини (що множення це те саме додавання) - з мінусами виходить суперечність))
-2 + -2 = -4
але
-2 * -2 =+4))))
і навіть якщо вважати, що це мінус два, взяте мінус два рази, то вийде
-2 -(-2) -(-2) = +2

Варто просто зізнатися, що коли числа віртуальні, то щодо правильного обліку довелося придумати віртуальні правила.
І це було б ПРАВДОЮ, а не окольцованной нісенітницею.

Відповісти

У своєму прикладі Academon припустився помилки:
Насправді (-2) + (-2) = (-4) - це 2 рази (-2), тобто. (-2) * 2 = (-4).
Що ж до множення двох негативних чисел, без суперечностей, це те саме додавання, тільки з іншого боку від «0» на числовій прямій. А саме:
(-2) * (-2) = 0 - (-2) - (-2) = 2 + 2 = 4. Так що все сходиться.
Ну а щодо реальності негативних чисел, як вам такий приклад?
Якщо у мене в кишені, припустимо, 1000 $, настрій мій можна назвати «позитивним».
Якщо 0$, відповідно стан буде «ніяким».
А якщо (-1000) $ - борг, який треба повертати, а грошей немає ...?

Відповісти

Мінус на мінус - завжди буде плюс,
Чому так буває – сказати не беруся.

Чому-на-=+ здивував ще в школі, в 7 класі (1961 р). Я спробував вигадати іншу, більш "справедливу" алгебру, де +на+=+, а -на-=-. Так мені здалося чесніше. Але як бути з +на- і -на+? Втратити комутативність xy=yx не хотілося, а інакше не виходить.
А якщо взяти не 2 знаки а три, наприклад +, - і *. Рівноправні та симетричні.

ДОДАТОК
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складаються(!), як дійсна та уявна частини комплексного числа.
Але за те (+a)+(-a)+(*a)=0.

Наприклад, чому дорівнює (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Не просто, але звикнути можна.

Тепер УМНОЖЕННЯ.
Постулюємо:
+на+=+ -на-=- *на*=* (справедливо?)
+на-=-на+=* +на*=*на+=- -на*=*на-=+ (справедливо!)
Здається все добре, але множення не асоціативно, тобто.
а(bс) не дорівнює (аb)с.

А якщо так
+на+=+ -на-=* *на*=-
+на-=-на+=- +на*=*на+=* -на*=*на-=+
Знову несправедливо, виділений як особливий. АЛЕ народилася Нова Алгебра з трьома знаками. Комутативна, асоціативна та дистрибутивна. У неї є геометрична інтерпретація. Вона ізоморфна Комплексним числам. Її можна розширювати далі: чотири знаки, п'ять...
Такого ще не було. Беріть, люди, користуйтесь.

Відповісти

Дитяче питання – взагалі дитяча відповідь.
Є наш світ, де все "плюс": яблука, іграшки, кішки та собаки, вони справжні. Яблуко можна з'їсти, кішку можна погладити. А ще є придуманий світ, дзеркало. Там теж є яблука та іграшки, задзеркальні, ми можемо їх уявити, але доторкнутися не можемо – вони вигадані. Потрапити з одного світу до іншого ми можемо за допомогою знака "мінус". Якщо у нас є два справжні яблука (2 яблука), і ми поставимо знак мінус (-2 яблука) - отримаємо два придумані яблука в дзеркалі. Знак мінус переносить нас з одного світу в інший, туди-назад. Задзеркальних яблук у нашому світі немає. Ми можемо їх уявити цілу купу навіть мільйон (мінус мільйон яблук). Ось тільки з'їсти їх не вийде, бо мінус яблук у нас немає, усі яблука у наших магазинах – це плюс яблука.
Помножити означає розставити якісь предмети у вигляді прямокутника. Візьмемо дві точки ":" і помножимо їх на три, отримаємо: ":::" - всього шість точок. Можна взяти справжнє яблуко (+Я) і помножити його на три, отримаємо: "+ЯЯЯ" - три справжні яблука.
А тепер помножимо яблуко на мінус три. Ми знову отримаємо три яблука "+ЯЯЯ", але знак мінус перенесе нас у задзеркалля, і у нас виявиться три задзеркальні яблука (мінус три яблука -ЯЯЯ).
А тепер помножимо мінус яблуко на мінус три. Тобто беремо яблуко, а коли перед ним мінус – переносимо у задзеркалля. Там ми примножуємо його на три. Тепер у нас три дзеркальні яблука! Але лишився ще один мінус. Він перемістить отримані яблука назад у наш світ. У результаті отримаємо три справжні смачні яблука + ЯЯЯ, які можна з'їсти.

Відповісти

• Все гаразд до останнього кроку. При множенні на мінус одиницю трьох дзеркальних яблук ми повинні відобразити ці яблука ще в одному дзеркалі. Вони за розташуванням збігатимуться з реальними, але будуть такими ж уявними, як і перші дзеркальні і такими ж неїстівними. Тобто (-1) * (-1) = -1<> 1.

  Насправді мене бентежить інший момент, пов'язаний з множенням негативних чисел, а саме:

  Чи правильна рівність:
  ((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?

  Це питання виникло зі спроби усвідомити поведінку графіка функції y=x^n, де x і n - дійсні числа.
  Виходить, що графік функції розташований буде в 1 і 3 чвертях завжди, крім тих випадків, коли n - парне. У цьому змінюється лише кривизна графіка. Але парність n - величина відносна, адже ми можемо прийняти іншу систему відліку, в якій n = 1,1 * k, далі ми отримуємо
  y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
  і парність тут буде вже інша...

  І на додаток я пропоную додати до міркування те, що відбувається з графіком функції y = x^(1/n). Я не без підстав припускаю, що графік функції повинен бути симетричний графіку y = x^n щодо графіка функції y = x.

  Відповісти

Є кілька способів пояснення правила "мінус на мінус дає плюс". Ось найпростіший. Розмноження на натур. число n - це розтяг відрізка (розташованого на числовій осі) в n разів. Множення на -1 це відбиток відрізка щодо початку координат. Як найкоротше пояснення, чому (-1)*(-1) = +1 цей спосіб придатний. Вузьке місце цього підходу в тому, що потрібно ще окремо визначити суму таких операторів.

Відповісти

Можна йти під час пояснення від комплексних чисел
як більше загальної формиуявлення чисел
Тригонометрична форма комплексного числа
Формула Ейлера
Знак у цьому випадку це просто аргумент (кут повороту)
При множенні кути складаються
0 градусів відповідає +
180 градусів відповідає -
Множення - на - еквівалентно 180+180=360=0

Відповісти

Таке покотить?

Заперечення – це зворотна річ. Для простоти, щоб тимчасово відійти від мінусів, замінимо затвердження та зробимо точку відліку більше. Почнемо відлік не з нуля, а з 1000.

Припустимо, мені дві людини повинні дати по два рублі: 2_людини*2_рубля=4_рубля мені повинні в сумі. (Мій баланс 1004)

Тепер зворотні (негативні числа, але зворотні/позитивні твердження):

мінус 2 людини = значить не мені винні, а я винен (я винен більшій кількості людей, ніж мені винні). Наприклад, я маю 10-ти людям, а мені всього 8. Взаємні розрахунки можна скоротити і не враховувати, але можна мати на увазі, якщо зручніше працювати з позитивними числами. Тобто, всі один одному видають гроші.

мінус 2 рублі = аналогічний принцип – має забрати більше, ніж дати. Значить я кожному винен по два рублі.

-(2_человека)*2_рубля=я_должен_каждому_по_2=-4 в мене. Мій баланс 996 рублів.

2_человека*(-2_рубля)=двое_должи_забрать_по_2_рубля_у_меня=- 4 у мене. Мій баланс 996 рублів.

-(2_людини)*(-2_рубля)= кожен_повинен_взяти_у_меня_менше_ніж_повинен_дати_на_2_рубля

Взагалі, якщо уявити, що все крутиться не близько 0, а близько, наприклад, 1000, а видають грошей по 10, забираючи по 8. То можна послідовно виконуючи всі операції видачі комусь грошей або відбирання, дійти висновку, що якщо двоє зайвих (інших скороченим взаємозаліком) заберуть у мене на два карбованці менше, ніж повернуть, то мій добробут виросте на позитивну цифру 4.

Відповісти

У пошуках ПРОСТОГО ( зрозумілою дитині) відповіді на поставлене запитання ("Чому мінус на мінус дає плюс") я старанно прочитала і запропоновану автором статтю, і всі коментарі. Вважаю найбільш вдалою відповіддю той, який винесений в епіграф: "Ворог мого ворога - мій друг". Куди зрозуміліше! Просто та геніально!

Якийсь мандрівник прибуває на острів, про мешканців якого йому відомо лише одне: деякі з них говорять лише правду, інші – лише брехня. Зовнішньо їх розрізнити неможливо. Мандрівник висадився на берег і бачить дорогу. Він хоче дізнатися, чи веде ця дорога до міста. Побачивши на дорозі місцевого жителя, він ставить йому ТІЛЬКИ ОДИН питання, що дозволяє йому дізнатися, що дорога до міста веде. Як він спитав про це?

Рішення - трьома рядками нижче (просто щоб зробити паузу і дати вам, дорослим, шанс зупинитися та подумати над цією чудовим завданням!) Моєму онукові-третій класнику завдання виявилося поки не по зубах, але осмислення відповіді, без сумніву, наблизило його до розуміння майбутніх математичних премудростей типу "мінус на мінус дає плюс".

Отже, відповідь:

"Якби я запитав вас, чи веде ця дорога до міста, що б ви мені відповіли?"

"Алгебраїчне" пояснення не змогло похитнути ні моєї гарячої любові до батька, ні глибокої поваги до його науки. Але я назавжди зненавидів аксіоматичний методз його невмотивованими визначеннями.

Цікаво, що ця відповідь І.В.Арнольда на дитяче питання практично збіглася за часом з появою його книги "Негативні числа в курсі алгебри". Там (в розділі 7) наводиться зовсім інша відповідь, як на мене, дуже наочна. Книга доступна в електронному вигляді http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Відповісти

Якщо є парадокс, слід шукати помилки в основах. У формулюванні множення три помилки. Звідси й виходить "парадокс". Потрібно просто додати нуль.

(-3) х (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення - це багаторазовий додаток до нуля (або віднімання з нуля).

Множник (4) показує кількість операцій додавання або віднімання (кількість знаків "мінус" або "плюс" при розкладанні множення на додавання).

Знаки "мінус" і "плюс" у множника (4) наказують або віднімати множимо з нуля, або додавати множ до нуля.

Саме в цьому прикладі (-4) показує, що необхідно відняти ("-") з нуля множинне (-3) чотири рази (4).

Виправте формулювання (три логічні помилки). Просто додайте нуль. Правила арифметики від цього не зміняться.

Детально на цю тему тут:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Що за звичка механічно вірити підручникам? Потрібно і власні мізкимати. Особливо якщо зустрічаються парадокси, білі плями, явні протиріччя. Усе це наслідок помилок теоретично.

Розкласти на доданок добуток двох негативних чисел, за існуючим зараз формулюванням множення (без нуля), неможливо. Це нікого не напружує?

Що ж це за формулювання множення, за яким неможливо виконати множення? :)

Проблема ще й суто психологічна. Сліпа довіра до авторитетів, небажання думати самостійно. Якщо в підручниках так написано, якщо в школі так навчають, то це істина в останньої інстанції. Все змінюється, зокрема й науки. Інакше не було б розвитку цивілізації.

Виправте формулювання множення у всіх підручниках! Правила арифметики від цього не зміняться.

Більше того, як випливає зі статті за посиланням вище, виправлене формулювання множення стане аналогічним формулюванням зведення числа в ступінь. Там теж не записують одиницю при зведенні у позитивний ступінь. Однак записують одиницю при зведенні числа негативний ступінь.

Панове математики, вашу матір, потрібно завжди записувати нуль і одиницю, навіть якщо результат від їхньої відсутності не змінюється.

Змінюється (чи навіть зникає) сенс скорочених записів. І виникають проблеми з розумінням у школярів.

Відповісти

Написати коментар

Інструкція

Математичних дій існує чотири види: додавання, віднімання, множення та розподіл. Тому прикладів буде чотири типи. Негативні числа всередині прикладу виділяються для того, щоб не переплутати математична дія. Наприклад, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) або 34:(-17).

Додавання. Ця діяможе мати вигляд:1) 3+(-6)=3-6=-3. Заміна дії: спочатку розкриваються дужки, знак "+" змінюється на протилежний, далі з більшого (за модулем) числа "6" забирається менше - "3", після чого відповіді надається знак більшого, тобто "-".
2) -3+6=3. Цей можна записати по-("6-3") або за принципом "з більшого віднімати менше і надавати відповіді знак більшого".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При розкритті заміна дії додавання на віднімання, потім підсумовуються модулі та результату ставиться знак "мінус".

Віднімання.1) 8-(-5)=8+5=13. Розкриваються дужки, знак дії змінюється на протилежний, виходить приклад до додавання.
2) -9-3 = -12. Елементи прикладу складаються та отримує загальний знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При розкритті дужок знову змінюється знак на "+", далі з більшого числа віднімається менше і відповідь - знак більшого числа.

При виконанні множення або поділу знак не впливає на саму дію. При добутку чи розподілі чисел з відповіді надається знак "мінус", якщо числа з однаковими знаками- у результату завжди знак "плюс".1) -4 * 9 = -36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Джерела:

• таблиця з мінусами

Як вирішувати приклади? З таким запитанням часто звертаються діти до батьків, якщо уроки потрібно зробити вдома. Як правильно пояснити дитині рішення прикладів на додавання та віднімання багатозначних чисел? Спробуємо розібратися в цьому.

Вам знадобиться

• 1. Підручник з математики.
• 2. Папір.
• 3. Ручка.

Інструкція

Прочитайте приклад. Для цього кожне багатозначне розбити на класи. Починаючи з кінця числа, відраховуємо по три цифри та ставимо крапку (23.867.567). Нагадаємо, що перші три цифри з кінця числа до одиниць, наступні три - до класу, далі йдуть мільйони. Читаємо число: двадцять три вісімсот шістдесят сім тисяч шістдесят сім.

Запишіть приклад. Зверніть увагу, що одиниці кожного розряду записуються строго один під одним: одиниці під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями тощо.

Виконайте додавання або віднімання. Починайте діяти з одиниць. Результат записуйте під тим розрядом, з яким виконували. Якщо вийшло число(), то одиниці записуємо дома відповіді, а число десятків додаємо до одиниць розряду. Якщо кількість одиниць будь-якого розряду в меншому менше, ніж у віднімається, займаємо 10 одиниць наступного розряду, виконуємо дію.

Прочитайте відповідь.

Відео на тему

Зверніть увагу

Забороніть дитині використовувати калькулятор навіть для перевірки рішення прикладу. Додавання перевіряється відніманням, а віднімання - додаванням.

Корисна порада

Якщо дитина добре засвоїть прийоми письмових обчислень у межах 1000, то дії з багатозначними числами, виконані за аналогією, не викличуть труднощів.
Влаштуйте дитині змагання: скільки прикладів може вирішити за 10 хвилин. Такі тренування допоможуть автоматизувати обчислювальні прийоми.

Множення - одна з чотирьох основних математичних операцій, яка лежить в основі багатьох складних функцій. При цьому фактично множення ґрунтується на операції додавання: знання про це дозволяє правильно вирішити будь-який приклад.

Для розуміння сутності операції множення необхідно взяти до уваги, що в ній беруть участь три основні компоненти. Один з них носить назву першого множника і є числом, яке піддається операції множення. З цієї причини у нього є друга, дещо менш поширена назва - «множинне». Другий компонент операції множення прийнято називати другим множником: він є числом, на яке множиться множимое. Таким чином, обидва ці компоненти звуться множників, що підкреслює їх рівноправний статус, а також те, що їх можна поміняти місцями: результат множення від цього не зміниться. Нарешті, третій компонент операції множення, що у її результаті, зветься твори.

Порядок операції множення

Рішення прикладів на множення

Відео на тему

Джерела:

• Розмноження у 2019

Множення - одна з чотирьох основних арифметичних операцій, яка часто зустрічається як у навчанні, так і повсякденному житті. Як можна швидко перемножити два числа?

Основу найскладніших математичних обчисленьстановлять чотири основні арифметичні операції: віднімання, додавання, множення та розподіл. При цьому, незважаючи на свою самостійність, ці операції при найближчому розгляді є пов'язаними між собою. Такий зв'язок існує, наприклад, між складанням та множенням.

Операція множення чисел

При цьому слід пам'ятати, що сутність операції множення фактично ґрунтується на додаванні: для її здійснення необхідно скласти між собою певну кількістьперших множників, причому кількість доданків цієї суми має дорівнювати другому множнику. Крім обчислення самого твору двох аналізованих множників, цей алгоритм можна використовувати також для перевірки результату, що вийшов.

Приклад рішення завдання на множення

Крім того, необхідно пам'ятати, що щодо операції множення діє так званий переміщувальний закон, який встановлює, що від зміни місць множників у первісному прикладі його результат не зміниться. Таким чином, можна 8 разів скласти цифру 4, отримавши в результаті той же твір - 32.

Таблиця множення

Відео на тему

1) Чому мінус один помножити на мінус один і плюс один?

2) Чому мінус один помножити на плюс один і мінус один?

Ворог мого ворога – мій друг

Найпростіше відповісти: «Бо такі правила дій над негативними числами». Правила, які ми навчаємо у школі та застосовуємо все життя. Однак, підручники не пояснюють, чому правила саме такі. Ми спочатку намагатимемося зрозуміти це, виходячи з історії розвитку арифметики, а потім відповімо на це питання з погляду сучасної математики.

Давним-давно людям були відомі лише натуральні числа: 1, 2, 3, ... Їх використовували для підрахунку начиння, видобутку, ворогів і т. д. Але числа самі по собі досить марні - потрібно вміти з ними поводитися. Додавання наочно і зрозуміло, до того ж сума двох натуральних чисел - теж натуральне число (математик сказав би, що безліч натуральних чисел замкнено щодо операції додавання). Множення - це, по суті, те саме додавання, якщо ми говоримо про натуральні числа. У житті ми часто робимо дії, пов'язані з цими двома операціями (наприклад, роблячи покупки, ми складаємо та множимо), і дивно думати, що наші предки стикалися з ними рідше – додавання та множення були освоєні людством дуже давно. Часто доводиться і ділити одні величини на інші, але тут результат не завжди виражається натуральним числом – так з'явилися дробові числа.

Без віднімання, звичайно, теж не обійтися. Але на практиці ми, як правило, віднімаємо з більшої кількості менше, і немає потреби використовувати негативні числа. (Якщо у мене є 5 цукерок і я віддам сестрі 3, то у мене залишиться 5 – 3 = 2 цукерки, а ось віддати їй 7 цукерок я за всього бажання не можу.) Цим можна пояснити, чому люди довго не користувалися негативними числами.

В індійських документах негативні числа фігурують із VII століття н.е.; китайці, мабуть, почали вживати їх трохи раніше. Їх застосовували для обліку боргів або у проміжних обчисленнях для спрощення розв'язання рівнянь – це був лише інструмент для отримання позитивної відповіді. Той факт, що негативні числа, на відміну від позитивних, не виражають наявність якоїсь сутності, викликав сильну недовіру. Люди у буквальному значенні слова уникали негативних чисел: якщо завдання виходив негативний відповідь, вважали, що відповіді немає зовсім. Ця недовіра зберігалася дуже довго, і навіть Декарт – один із «засновників» сучасної математики – називав їх «хибними» (у XVII столітті!).

Розглянемо для прикладу рівняння 7x - 17 = 2x - 2. Його можна вирішувати так: перенести члени з невідомим у ліву частину, а решта – у праву, вийде 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. За такого рішення нам навіть не зустрілися негативні числа.

Але можна було випадково зробити і по-іншому: перенести доданки з невідомим у праву частину та отримати 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Щоб знайти невідоме, потрібно поділити одне негативне число на інше: x = (-15) / (-5). Але правильна відповідь відома, і залишається зробити висновок, що (–15)/(–5) = 3 .

Що показує цей нехитрий приклад? По-перше, стає зрозумілою логіка, якою визначалися правила дій над негативними числами: результати цих дій повинні збігатися з відповідями, що виходять іншим шляхом, без негативних чисел. По-друге, допускаючи використання негативних чисел, ми позбавляємося від утомливого (якщо рівняння виявиться складнішим, з більшою кількістю доданків) пошуку того шляху рішення, при якому всі дії проводяться тільки над натуральними числами. Більше того, ми можемо більше не думати щоразу про свідомість перетворюваних величин - а це вже крок у напрямку перетворення математики на абстрактну науку.

Правила дій над негативними числами сформувалися не відразу, а стали узагальненням численних прикладів, що виникали під час вирішення прикладних завдань. Взагалі розвиток математики можна умовно розбити на етапи: кожен наступний етап відрізняється від попереднього новим рівнем абстракції при вивченні об'єктів. Так, у XIX столітті математики зрозуміли, що у цілих чисел і багаточленів, за всієї їхньої зовнішньої несхожості, є багато спільного: і ті, й інші можна складати, віднімати та перемножувати. Ці операції підпорядковуються тим самим законам - як у випадку з числами, так і у випадку з багаточленами. А от поділ цілих чисел один на одного, щоб у результаті знову виходили цілі числа, можливо не завжди. Те саме і з багаточленами.

Потім виявилися інші сукупності математичних об'єктів, над якими можна робити такі операції: формальні статечні ряди, безперервні функції... Нарешті, прийшло розуміння, що якщо вивчити властивості самих операцій, то потім результати можна буде застосовувати до всіх цих сукупностей об'єктів (такий підхід характерний для всієї сучасної математики).

У результаті з'явилося нове поняття: кільце. Це всього-на-всього безліч елементів плюс дії, які можна над ними виробляти. Основними тут є якраз правила (їх називають аксіомами), яким підкоряються дії, а чи не природа елементів множини (ось він, новий рівень абстракції!). Бажаючи підкреслити, що важлива саме структура, яка виникає після введення аксіом, математики кажуть: кільце цілих чисел, кільце багаточленів тощо.

Ми сформулюємо аксіоми кільця (які, звичайно, схожі на правила дій з цілими числами), а потім доведемо, що в будь-якому кільці при множенні мінуса на мінус виходить плюс.

Кільцемназивається безліч з двома бінарними операціями (тобто в кожній операції задіяні два елементи кільця), які за традицією називають додаванням та множенням, і наступними аксіомами:

• складання елементів кільця підпорядковується переміщувальному ( A + B = B + Aдля будь-яких елементів Aі B) та комбінаційному ( A + (B + C) = (A + B) + C) законам; у кільці є спеціальний елемент 0 (нейтральний елемент за додаванням) такий, що A + 0 = A, і для будь-якого елемента Aє протилежний елемент (що позначається (-A)), що A + (-A) = 0;
• множення підпорядковується сполучному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
• додавання та множення пов'язані такими правилами розкриття дужок: (A + B) C = A C + B Cі A · (B + C) = A · B + A · C.

Зауважимо, що кільця, у найзагальнішої конструкції, не вимагають ні перестановки множення, ні його оборотності (тобто ділити можна не завжди), ні існування одиниці - нейтрального елемента по множенню. Якщо вводити ці аксіоми, то виходять інші структури алгебри, але в них будуть вірні всі теореми, доведені для кілець.

Тепер доведемо, що для будь-яких елементів Aі Bдовільного кільця вірно, по-перше, (–A)·B = –(A·B), а по-друге (–(–A)) = A. З цього легко випливають твердження про одиниці: (–1)·1 = –(1·1) = –1і (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для цього нам потрібно встановити деякі факти. Спочатку доведемо, що у кожного елемента може бути лише один протилежний. Справді, нехай елемент Aє два протилежні: Bі З. Тобто A + B = 0 = A + C. Розглянемо суму A+B+C. Користуючись сполучним та переміщувальним законами та властивістю нуля, отримаємо, що, з одного боку, сума дорівнює B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а з іншого боку, вона дорівнює C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значить, B = C.

Зауважимо тепер, що й A, і (–(–A))є протилежними до одного і того ж елементу (-A)тому вони повинні бути рівними.

Перший факт виходить так: 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B, тобто (–A)·Bпротилежно ABотже, воно одно –(A·B).

Щоб бути математично строгими, пояснимо ще, чому 0 · B = 0для будь-якого елемента B. Справді, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Тобто додаток 0·Bне змінює суму. Значить, цей твір дорівнює нулю.

А те, що в кільці рівно один нуль (адже в аксіомах сказано, що такий елемент існує, але нічого не сказано про його єдиність!), ми залишимо читачеві як нескладну вправу.

Слухаючи вчителя математики, більшість учнів сприймають матеріал як аксіому. При цьому мало хто намагається дістатись суті та розібратися, чому "мінус" на "плюс" дає знак "мінус", а при множенні двох негативних чисел виходить позитивне.

Закони математики

Більшість дорослих не в змозі пояснити ні собі, ні своїм дітям, чому так виходить. Вони твердо засвоїли цей матеріал у школі, але навіть не спробували з'ясувати, звідки взялися такі правила. А даремно. Найчастіше сучасні діти менш довірливі, їм необхідно докопатися до самої суті і зрозуміти, скажімо, чому " плюс " на " мінус " дає " мінус " . А іноді шибеники спеціально задають каверзні питання, щоб насолодитися моментом, коли дорослі не можуть дати зрозумілої відповіді. І зовсім біда, якщо в халепу потрапляє молодий учитель...

До речі, слід зазначити, що згадане вище правило дієво як множення, так поділу. Твір негативного та позитивного числа дасть лише "мінус. Якщо мова йдепро дві цифри зі знаком "-", то в результаті вийде позитивне число. Те саме стосується і поділу. Якщо одне із чисел буде негативним, то приватне теж буде зі знаком "-".

Для пояснення правильності цього закону математики необхідно сформулювати аксіоми кільця. Але спочатку слід зрозуміти, що це таке. У математиці кільцем прийнято називати безліч, у якому задіяні дві операції із двома елементами. Але розбиратися з цим краще на прикладі.

Аксіома кільця

Існує кілька математичних законів.

• Перший їх переміщувальний, відповідно до нього, C + V = V + C.
• Другий називається комбінаційним (V + C) + D = V + (C + D).

Їм підпорядковується і множення (V x C) x D = V x (C x D).

Ніхто не скасовував і правил, за якими відкриваються дужки (V + C) x D = V x D + C x D, також вірно, що C x (V + D) = C x V + C x D.

Крім того, встановлено, що в кільце можна ввести спеціальний, нейтральний за додаванням елемент, при використанні якого буде вірно наступне: C + 0 = C. Крім того, для кожного C є протилежний елемент, який можна позначити, як (-C). У цьому C + (-C) = 0.

Виведення аксіом для негативних чисел

Прийнявши наведені вище твердження, можна відповісти на запитання: "Плюс" на "мінус" дає якийсь знак?" Знаючи аксіому для збільшення негативних чисел, потрібно підтвердити, що дійсно (-C) х V = -(C х V). А також, що така рівність: (-(-C)) = C.

Для цього доведеться спочатку довести, що у кожного з елементів існує лише один протилежний йому "собрат". Розглянемо наступний прикладдокази. Спробуймо уявити, що для C протилежними є два числа - V і D. З цього випливає, що C + V = 0 і C + D = 0, тобто C + V = 0 = C + D. Згадуючи про переміщувальні закониі про властивості числа 0 можна розглянути суму всіх трьох чисел: C, V і D. Спробуємо з'ясувати значення V. Логічно, що V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, адже значення C + D, як було прийнято вище, дорівнює 0. Отже, V = V + C + D.

Так само виводиться і значення для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Виходячи з цього, стає ясно, що V = D.

Для того щоб зрозуміти, чому все ж таки "плюс" на "мінус" дає "мінус", необхідно розібратися з наступним. Так, елемента (-C) протилежними є C і (-(-C)), тобто між собою вони рівні.

Тоді очевидно, що 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. З цього випливає, що C x V протилежно (-) C x V, значить, (- C) x V = -(C x V).

Для повної математичної суворості потрібно ще підтвердити, що 0 х V = 0 будь-якого елемента. Якщо слідувати логіці, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А це означає, що додаток твору 0 х V не змінює встановлену суму. Адже цей твір дорівнює нулю.

Знаючи всі ці аксіоми, можна вивести не тільки скільки "плюс" на "мінус" дає, але і що виходить при множенні негативних чисел.

Множення та розподіл двох чисел зі знаком "-"

Якщо не заглиблюватися в математичні нюанси, можна спробувати більше простим способомпояснити правила дій із негативними числами.

Припустимо, що C - (-V) = D, виходячи з цього, C = D + (-V), тобто C = D - V. Переносимо V і отримуємо, що C + V = D. Тобто C + V = C - (-V). Цей приклад пояснює, чому у виразі, де йдуть два "мінуси" поспіль, згадані знаки слід поміняти на "плюс". Тепер розберемося з множенням.

(-C) х (-V) = D, у вираз можна додати і відняти два однакових твори, які не змінить його значення: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.

Згадуючи правила роботи з дужками, отримуємо:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) х 0 + C х V = D;

З цього випливає, що C x V = (-C) x (-V).

Аналогічно можна довести, що й у результаті розподілу двох негативних чисел вийде позитивне.

Загальні математичні правила

Звичайно, таке пояснення не підійде для школярів молодших класівякі тільки починають вивчати абстрактні негативні числа. Їм краще пояснювати видимих ​​предметахманіпулюючи знайомим їм терміном задзеркалля. Наприклад, вигадані, але не існуючі іграшки знаходяться саме там. Їх і можна відобразити зі знаком "-". Множення двох задзеркальних об'єктів переносить їх у ще один світ, який прирівнюється до сьогодення, тобто в результаті ми маємо позитивні числа. А ось множення абстрактного негативного числана позитивне лише дає знайомий усім результат. Адже "плюс" помножити на "мінус" дає "мінус". Щоправда, у діти не надто намагаються вникнути у всі математичні нюанси.

Хоча, якщо дивитися правді в очі, для багатьох людей навіть з вищою освітоютак і залишаються загадкою багато правил. Всі приймають як даність те, що викладають їм вчителі, не важко вникати у всі складнощі, які таїть у собі математика. "Мінус" на "мінус" дає "плюс" - про це знають усі без винятку. Це вірно як для цілих, так і для дробових чисел.

• Методи сортування у програмуванні: сортування "бульбашкою"