Паралельні сторони паралелограма рівні. Визначення паралелограма та його властивості

Доведення

Насамперед проведемо діагональ AC. Виходять два трикутники: ABC і ADC.

Так як ABCD - паралелограм, то справедливо наступне:

AD | BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2як лежачи навхрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4як лежачи навхрест.

Отже, triangle ABC = triangle ADC (за другою ознакою: і AC — загальна).

І, отже, triangle ABC = triangle ADC , то AB = CD і AD = BC .

Доведено!

2. Протилежні кути тотожні.

Доведення

Згідно з доказом властивості 1Ми знаємо, що \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким чином сума протилежних кутівдорівнює: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Враховуючи, що \triangle ABC = \triangle ADC отримуємо \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доведено!

3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину.

Доведення

Проведемо ще одну діагональ.

за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: AB = CD. Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.

Таким чином видно, що \triangle AOB = \triangle COD за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, BO = OD (напроти кутів \angle 2 і \angle 1 ) і AO = OC (напроти кутів \angle 3 і \angle 4 відповідно).

Доведено!

Ознаки паралелограма

Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.

Для кращого запам'ятовування, Зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне запитання. "як дізнатися?". Тобто як дізнатися, що задана фігураце паралелограм.

1. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні.

AB = CD; AB || CD Rightarrow ABCD - паралелограм.

Доведення

Розглянемо докладніше. Чому AD | BC?

\triangle ABC = \triangle ADC за властивості 1: AB = CD , AC - загальна і \angle 1 = \angle 2 як навхрест лежать при паралельних AB і CD і січе AC .

Але якщо \triangle ABC = \triangle ADC , \angle 3 = \angle 4 (лежать навпроти AB і CD відповідно). І отже AD || BC (angle 3 і angle 4 - навхрест лежачі теж рівні).

Перша ознака вірна.

2. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD - паралелограм.

Доведення

Розглянемо цю ознаку. Ще раз проведемо діагональ AC.

за властивості 1\triangle ABC = \triangle ACD.

З цього виходить що: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BCі \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CDтобто ABCD - паралелограм.

Друга ознака вірна.

3. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні кути рівні.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Паралелограм.

Доведення

2 \ alpha + 2 \ beta = 360 ^ (\ circ)(оскільки ABCD - чотирикутник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D за умовою).

Виходить, \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) . Але \alpha і \beta є односторонніми внутрішніми при січній AB .

І те, що \alpha + \beta = 180^(\circ) говорить про те, що AD || BC.

При цьому \ alpha і beta - внутрішні односторонні при січній AD . І це означає AB | CD.

Третя ознака вірна.

4. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого діагоналі розділені точкою перетину навпіл.

AO = OC; BO = OD \Rightarrow паралелограм.

Доведення

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 як вертикальні \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, та \Rightarrow AB || CD.

Аналогічно BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, та \Rightarrow AD || BC.

Четверта ознака вірна.

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках ABDС та ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС та AB || CD;

ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм ABDС (рис. 225), в якому AB | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі ABDС діагональ СВ. Доведемо, що \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; ∠ABC = ∠BCD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних AB і СD та січній СВ; ∠ACB = ∠СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD та січній CB.

Звідси \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і ABD.

Наслідки:

1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

∠А = ∠D, це випливає з рівності трикутників CAB та СDВ.

Аналогічно і ∠С = ∠В.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

AB = СD та АС = ВD, так як це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма в точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай BC та AD - діагоналі паралелограма AВDС (рис. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = OB.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад \(\Delta\)AOB і \(\Delta\)СОD.

У цих трикутниках AB = СD як протилежні сторони паралелограма;

∠1 = ∠2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних AB і СD та січній AD;

∠3 = ∠4 з тієї ж причини, тому що AB || СD і СВ – їх січуча.

Звідси випливає, що \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в рівних трикутникахпроти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = OB.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до одного боку паралелограма, дорівнює 180 °.

У паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС та отримаємо два трикутника ABCта ADC.

Трикутники рівні, оскільки ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна.
З рівності \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC випливає, що AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад, кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих.

Муніципальне бюджетне загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивостіпаралелограма і показати, як їх можна застосувати для вирішення задач.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературуз досліджуваного питання;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

1. З історії паралелограма

У підручнику геометрії ми читаємо наступне визначенняпаралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як « паралельні лінії»(від грецьких слів Parallelos - паралельний і gramme - лінія), цей термін був введений Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теоріяПаралелограм І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелахпо геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доведення:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

2

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доведення:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

3

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доведення:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доведення:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доведення:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доведення: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

На рівних трикутниках відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доведення:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доведення: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

1. ПогореловА.В. Геометрія 7-9: підручник для загальноосвіт. установ-М.: Просвітництво, 2014р

   Л.С.Атанасян та ін. Геометрія. Дод. Розділи до підручника 8 кл.: навч. посібник для учнів шкіл та класів з поглибл. вивч.математики. - М.: Віта-прес, 2003

   Ресурси мережі Інтернет

   матеріали Вікіпедії

Це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельно паралельні.

1 . Будь-яка діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Доведення . За II ознакою (навхрест кути, що лежать, і загальна сторона).

Теорема доведена.

2 . У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення .
Аналогічно,

Теорема доведена.

Властивість 3. У паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 4 . Бісектриса кута паралелограма, перетинаючи протилежну сторону, ділить його на рівнобедрений трикутник і трапецію. (Ч. сл. - вершину - два рівнобедрених?-ка).

Доведення .

Теорема доведена.

5 . У паралелограмі відрізок з кінцями на протилежних сторонах, що проходить через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 6 . Кут між висотами, опущеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює гострому куту паралелограма.

Доведення .

Теорема доведена.

Властивість 7 . Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 °.

Доведення .

Теорема доведена.

Побудова бісектриси кута. Властивості бісектриси кута трикутника.

1) Побудувати довільний промінь DE.

2) На даному промені побудувати довільне коло з центром у вершині і таке саме
з центром на початку збудованого променя.

3) F і G - точки перетину кола зі сторонами даного кута, H - точка перетину кола з побудованим променем

Побудувати коло з центром у точці H та радіусом, рівним FG.

5) I - точка перетину кіл побудованого променя.

6) Провести пряму через вершину та I.

IDH – необхідний кут.
)

1 . Бісектриса кута трикутника розбиває протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.

Доведення . Нехай x, y відрізки сторони c. Продовжимо промінь BC. На промені BC відкладемо від C відрізок CK, що дорівнює AC.

При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмата відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:

1. Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
2. Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї із сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
3. Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
4. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
5. Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.

Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.

Завдання 1.

Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.

Рішення.

1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.

2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.

3. АD = АМ + МD = 7 див.

4. Периметр АВСD = 20 див.

Відповідь. 20 див.

Завдання 2.

У опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнюють. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.

Рішення.

1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Точки В і С розташовані по одну сторону щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)

3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL = BK.

4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону щодо прямої CD. АL = BK. Отже, пряма АВ|| СD (**)

5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.

Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.

Завдання 3.

На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,