Проходження променя світла через призму. Хід променів у трикутній призмі

Монохроматичне світлопадає на межу АВскляної призми (рис. 16.28), що знаходиться в повітрі, S 1 O 1 - падаючий промінь, \(~\alpha_1\) - кут падіння, O 1 O 2 - заломлений промінь, \(~\beta_1\) - кут заломлення. Оскільки світло переходить із середовища оптично менш щільного в оптично більш щільне, то \(~\beta_1<\alpha_1.\) Пройдя через призму, свет падает на ее грань АС. Тут він знову заломлюється \[~\alpha_2\] - кут падіння, \(~\beta_2\) - кут заломлення. На даній грані світло переходить із середовища оптично більш щільного в оптично менш щільне. тому \(~\beta_2>\alpha_2.\)

Грані ВАі СА, на яких відбувається заломлення світла, називаються заломлюючими гранями. Кут \(\varphi\) між заломлюючими гранями називається заломлюючим кутомпризми. Кут \(~\delta\), утворений напрямом променя, що входить у призму, та напрямком променя, що виходить з неї, називають кутом відхилення. Грань, що лежить проти заломлюючого кута, називається підставою призми.

Для призми справедливі такі співвідношення:

1) Для першої заломлюючої грані закон заломлення світла запишеться так:

\(\frac(\sin \alpha_1)(\sin \beta_1)=n,\)

де n - відносний показник заломлення речовини, з якої зроблена призма.

2) Для другої грані:

\(\frac(\sin \alpha_1)(\sin \beta_1)=\frac(1)(n).\)

3) Заломлюючий кут призми:

\(\varphi=\alpha_2 + \beta_1.\)

Кут відхилення променя призми від початкового напряму:

\(\delta = \alpha_1 + \beta_2 - \varphi.\)

Отже, якщо оптична щільність речовини призми більша, ніж довкілля, то промінь світла, що проходить через призму, відхиляється до її основи. Нескладно показати, що якщо оптична щільність речовини призми менша, ніж довкілля, то промінь світла після проходження через призму відхилиться до її вершини.

Література

Аксенович Л. А. Фізика в середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 469-470.

11.2. Геометрична оптика

11.2.2. Відображення та заломлення світлових променів у дзеркалі, плоскопаралельній платівці та призмі

Формування зображення в плоске дзеркалота його властивості

Закони відображення, заломлення та прямолінійного поширення світла використовуються при побудові зображень у дзеркалах, розгляді ходу світлових променів у плоскопаралельній платівці, призмі та лінзах.

Хід світлових променів у плоскому дзеркаліпоказано на рис. 11.10.

Зображення в плоскому дзеркалі формується за площиною дзеркала на тій самій відстані від дзеркала f на якій знаходиться предмет перед дзеркалом d :

f = d.

Зображення у плоскому дзеркалі є:

• прямим;
• уявним;
• рівним за величиною предмета: h = H .

Якщо плоскі дзеркала утворюють між собою деякий кут, вони формують N зображень джерела світла, поміщеного на бісектрису кута між дзеркалами (рис. 11.11):

N = 2 π γ − 1 ,

де - кут між дзеркалами (в радіанах).

Примітка. Формула справедлива для таких кутів, для яких відношення 2π/γ є цілим числом.

Наприклад, на рис. 11.11 показано джерело світла S, що лежить на бісектрисі кута π/3. Згідно з наведеною вище формулою формуються п'ять зображень:

1) зображення S1 формується дзеркалом 1;

2) зображення S2 формується дзеркалом 2;

Рис. 11.11

3) зображення S 3 є відображенням S 1 у дзеркалі 2;

4) зображення S 4 є відображенням S 2 у дзеркалі 1;

5) зображення S 5 є відображенням S 3 у продовженні дзеркала 1 або відображенням S 4 у продовженні дзеркала 2 (відображення у зазначених дзеркалах збігаються).

Приклад 8. Знайти число зображень точкового джерела світла, одержаних у двох плоских дзеркалах, що утворюють один з одним кут 90°. Джерело світла знаходиться на бісектрисі зазначеного кута.

Рішення . Виконаємо малюнок, який пояснює умову задачі:

• джерело світла S розташований на бісектрисі кута між дзеркалами;
• перше (вертикальне) дзеркало З1 формує зображення S1;
• друге (горизонтальне) дзеркало З2 формує зображення S2;
• продовження першого дзеркала формує зображення уявного джерела S 2, а продовження другого дзеркала - уявного джерела S 1; зазначені зображення збігаються і дають S3.

Число зображень джерела світла, поміщеного на бісектрису кута між дзеркалами, визначається формулою

N = 2 π γ − 1 ,

де γ - кут між дзеркалами (у радіанах), γ = π/2.

Число зображень складає

N = 2 π π / 2 − 1 = 3 .

Хід світлового променя в плоскопаралельній платівці

Хід світлового променя в плоскопаралельній платівцізалежить від оптичних властивостейсередовища, в якому знаходиться платівка.

1. Хід світлового променя в плоскопаралельній пластинці, що знаходиться в оптично однорідному середовищі(по обидва боки від платівки коефіцієнт заломлення середовища однаковий) показаний на рис. 11.12.

Світловий промінь, що падає на плоскопаралельну пластинку під деяким кутом i 1 після проходження плоскопаралельної пластинки:

• виходить із неї під тим самим кутом:

i 3 = i 1;

• зміщується на величину x від первісного напрямку (пунктир на рис. 11.12).

2. Хід світлового променя в плоскопаралельній пластинці, що знаходиться на межі двох середовищ(по обидва боки від платівки коефіцієнти заломлення середовищ різні), показаний на рис. 11.13 та 11.14.

Рис. 11.13

Рис. 11.14

Світловий промінь після проходження плоскопаралельної пластинки виходить із пластинки під кутом, що відрізняється від кута падіння його на пластинку:

• якщо показник заломлення середовища за платівкою менше показниказаломлення середовища перед платівкою (n 3< n 1), то:

i 3 > i 1 ,

тобто. промінь виходить під більшим кутом (див. рис. 11.13);

• якщо показник заломлення середовища за платівкою більше показниказаломлення середовища перед платівкою (n 3 > n 1), то:

i 3< i 1 ,

тобто. промінь виходить під меншим кутом (див. рис. 11.14).

Зміщення променя - довжина перпендикуляра між променем, що виходить з пластинки, і продовженням променя, що падає на плоскопаралельну пластинку.

Усунення променя при виході з плоскопаралельної пластинки, що знаходиться в оптично однорідному середовищі (див. рис. 11.12), розраховується за формулою

де d - Товщина плоскопаралельної пластинки; i 1 - кут падіння променя на плоскопаралельну пластинку; n - відносний показник заломлення матеріалу платівки (щодо того середовища, в яке вміщена платівка), n = n 2 /n 1 ; n 1 - абсолютний показник заломлення середовища; n 2 - абсолютний показник заломлення матеріалу платівки.

Рис. 11.12

Усунення променя при виході з плоскопаралельної пластинки може бути розраховане за допомогою наступного алгоритму (рис. 11.15):

1) обчислюють x 1 з трикутника ABC, користуючись законом заломлення світла:

де n 1 - абсолютний показник заломлення середовища, в яке вміщена платівка; n 2 - абсолютний показник заломлення матеріалу пластинки;

2) обчислюють x 2 з трикутника ABD;

3) розраховують їх різницю:

Δx = x 2 − x 1;

4) усунення знаходять за формулою

x = Δx  cos i 1 .

Час розповсюдження світлового променяу плоскопаралельній платівці (рис. 11.15) визначається формулою

де S – шлях, пройдений світлом, S = | A C | ; v - швидкість поширення світлового променя в матеріалі платівки, v = c/n; c - швидкість світла у вакуумі, c ≈ 3 ⋅ 10 8 м/с; n – показник заломлення матеріалу пластинки.

Шлях, пройдений світловим променем у платівці, пов'язаний з її товщиною виразом

S = d  cos i 2 ,

де d - Товщина пластинки; i 2 - кут заломлення світлового променя у платівці.

Приклад 9. Кут падіння світлового променя на плоскопаралельну платівку дорівнює 60°. Платівка має товщину 5,19 см та виготовлена ​​з матеріалу з показником заломлення 1,73. Знайти зсув променя при виході з плоскопаралельної пластинки, якщо вона знаходиться в повітрі.

Рішення . Виконаємо малюнок, на якому покажемо хід світлового променя в плоскопаралельній платівці:

• світловий промінь падає на плоскопаралельну пластинку під кутом i 1;
• на межі поділу повітря та платівки промінь заломлюється; кут заломлення світлового променя дорівнює i 2;
• на межі розділу платівки та повітря промінь переломлюється ще раз; кут заломлення дорівнює i 1 .

Зазначена платівка перебуває у повітрі, тобто. по обидва боки від платівки середовище (повітря) має однаковий показникзаломлення; отже, до розрахунку зміщення променя можна застосувати формулу

x = d sin i 1 (1 − 1 − sin 2 i 1 n 2 − sin 2 i 1) ,

де d – товщина пластинки, d = 5,19 см; n - показник заломлення матеріалу платівки щодо повітря, n = 1,73; i 1 - кут падіння світла на платівку, i 1 = 60 °.

Обчислення дають результат:

x = 5,19 ⋅ 10 − 2 ⋅ 3 2 (1 − 1 − (3/2) 2 (1,73) 2 − (3 / 2) 2) = 3,00 ⋅ 10 − 2 м = 3,00 див.

Зміщення променя світла при виході з плоскопаралельної платівки дорівнює 3 см.

Хід світлового променя у призмі

Хід світлового променя у призмі показано на рис. 11.16.

Грані призми, якими проходить промінь світла, називаються заломлюючими . Кут між заломлюючими гранями призми називається заломлюючим кутомпризми.

Світловий промінь після проходження через призму відхиляється; кут між променем, що виходить із призми, і променем, що падає на призму, називається кутом відхилення променяпризмою.

Кут відхилення променя призмою φ (див. рис. 11.16) є кутом між продовженнями променів I і II - на малюнку позначені пунктиром і символом (I), а також пунктиром і символом (II).

1. Якщо світловий промінь падає на заломлюючу грань призми під довільним кутом , то кут відхилення променя призмою визначається формулою

φ = i 1 + i 2 − θ,

де i 1 - кут падіння променя на заломлюючу грань призми (кут між променем і перпендикуляром до заломлюючої грані призми в точці падіння променя); i 2 - кут виходу променя із призми (кут між променем і перпендикуляром до грані призми у точці виходу променя); θ - заломлюючий кут призми.

2. Якщо світловий промінь падає на заломлюючу грань призми під малим кутом (практично перпендикулярнозаломлює грані призми), то кут відхилення променя призмою визначається формулою

φ = θ(n − 1),

де θ - заломлюючий кут призми; n - відносний показник заломлення матеріалу призми (щодо того середовища, в яке ця призма вміщена), n = n 2 / n 1; n 1 – показник заломлення середовища, n 2 – показник заломлення матеріалу призми.

Внаслідок явища дисперсії (залежність показника заломлення від частоти світлового випромінювання) призма розкладає білий світу спектр (рис. 11.17).

Рис. 11.17

Промені різного кольору (різної частоти чи довжини хвилі) відхиляються призмою по-різному. В разі нормальної дисперсії(Показник заломлення матеріалу тим вище, чим більша частота світлового випромінювання) призма найбільш сильно відхиляє фіолетові промені; найменш – червоні.

Приклад 10. Скляна призма, виготовлена ​​з матеріалу з коефіцієнтом заломлення 1,2 має заломлюючий кут 46° і знаходиться в повітрі. Промінь світла падає з повітря на заломлюючу грань призми під кутом 30 °. Знайти кут відхилення променя призмою.

Рішення . Виконаємо малюнок, на якому покажемо хід світлового променя у призмі:

• світловий промінь падає з повітря під кутом i 1 = 30° на першу заломлюючу грань призми і заломлюється під кутом i 2 ;
• світловий промінь падає під кутом i 3 на другу заломлюючу грань призми і заломлюється під кутом i 4 .

Кут відхилення променя призмою визначається формулою

φ = i 1 + i 4 − θ,

де θ - заломлюючий кут призми, θ = 46 °.

Для розрахунку кута відхилення світлового променя призмою необхідно обчислити кут виходу променя із призми.

Скористаємося законом заломлення світла для першої заломлюючої грані

n 1  sin i 1 = n 2  sin i 2 ,

де n 1 – показник заломлення повітря, n 1 = 1; n 2 – показник заломлення матеріалу призми, n 2 = 1,2.

Розрахуємо кут заломлення i 2:

i 2 = arcsin (n 1   sin  i 1 / n 2) = arcsin (sin 30 ° / 1,2) = arcsin (0,4167);

i 2 ≈ 25°.

З трикутника ABC

α + β + θ = 180 °,

де α = 90° - i 2; β = 90° − i 3; i 3 - кут падіння світлового променя на другу заломлюючу грань призми.

Звідси слідує що

i 3 = θ − i 2 ≈ 46° − 25° = 21°.

Скористаємося законом заломлення світла для другої заломлюючої грані

n 2  sin i 3 = n 1  sin i 4 ,

де i 4 - кут виходу променя із призми.

Розрахуємо кут заломлення i 4:

i 4 = arcsin(n 2  sin i 3 /n 1) = arcsin(1,2 ⋅ sin 21°/1,0) = arcsin(0,4301);

i 4 ≈ 26°.

Кут відхилення променя призмою складає

φ = 30 ° + 26 ° - 46 ° = 10 °.

Геометрична оптика

Геометричною оптикою називається розділ оптики, у якому вивчаються закони поширення світлової енергії в прозорих середовищах з урахуванням уявлення про світловому промені.

Світловий промінь - це не пучок світла, а лінія, що вказує напрямок поширення світла.

Основні закони:

1. Закон про прямолінійне поширення світла.

Світло в однорідному середовищі поширюється прямолінійно. Прямолінійністю поширення світла пояснюється утворення тіні, тобто місце, куди не проникає світлова енергія. Від джерел малих розмірів утворюється різко окреслена тінь, а великих розмірівстворюють тіні та півтіні, залежно від величини джерела та відстані між тілом та джерелом.

2. Закон відображення. Кут падіння дорівнює кутувідображення.

Падаючий промінь, відбитий промінь та перпендикуляр до межі розділу двох середовищ, відновлений у точці падіння променя, лежать в одній площині

б-кут падіння в-кут відбиття г-перпендикуляр опущений у точку падіння

3. Закон заломлення.

На межі розділу двох середовищ світло змінює напрямок свого поширення. Частина світлової енергії повертається у перше середовище, тобто відбувається відображення світла. Якщо друге середовище прозоре, то частина світла при певних умовможе пройти через кордон середовищ також змінюючи у своїй, зазвичай, напрям поширення. Це називається заломленням світла.

б-кут падіння в-кут заломлення.

Падаючий промінь, відбитий промінь та перпендикуляр до межі розділу двох середовищ, відновлений у точці падіння променя, лежать в одній площині. відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є постійна величина для двох даних середовищ.

Постійна n називається відносним показникомзаломлення або показником заломлення другого середовища щодо першого.

Хід променів у трикутній призмі

В оптичних приладах часто застосовується трикутна призмазі скла чи інших прозорих матеріалів.

Хід променів у перерізі трикутної призми

Промінь, що проходить через трикутну скляну призму, завжди прагне її заснування.

Кут цназивається заломлюючим кутом призми. Кут відхилення променя і залежить від показання заломлення n призми і кута падіння б. В оптичних приладах часто застосовують оптичні призми у вигляді рівнобедреного прямокутного трикутника. Їх застосування засноване на тому, що граничний кут повного відображеннядля скла дорівнює 0 = 45 0

24-05-2014, 15:06

Опис

Дія окулярів на зір ґрунтується на законах поширення світла. Наука про закони поширення світла та утворення зображень за допомогою лінз називається геометричною, чи променевою, оптикою.

Великий французький математик XVIIв. Ферма сформулював принцип, що лежить в основі геометричної оптики: світло завжди вибирає найкоротший за часом шлях між двома точками. З цього принципу випливає, що в однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно: шлях променя світла з точки 81 в точку 82 є відрізок прямий. З цього ж принципу виводяться два основні закони геометричної оптики - відображення та заломлення світла.

ЗАКОНИ ГЕОМЕТРИЧНОЇ ОПТИКИ

Якщо на шляху світла зустрічається інша прозоре середовище, Відокремлена від першої гладкою поверхнею, то промінь світла частково відбивається від цієї поверхні, частково проходить через неї, змінюючи свій напрямок. У першому випадку говорять про відображення світла, у другому – про його заломлення.

Щоб пояснити закони відбиття і заломлення світла, потрібно ввести поняття нормалі - перпендикуляра до поверхні, що відбиває або заломлює, в точці падіння променя. Кут між падаючим променем і нормаллю в точці падіння називається кутом падіння, а між нормаллю і відбитим променем - кутом відбиття.

Закон відображення світла свідчить: падаючий і відбитий промені лежать у одній площині з нормаллю у точці падіння; кут падіння дорівнює куту відбиття.

На рис. 1 показаний хід променя між точками S 1 і S 2 при його відображенні від поверхні А 1 А 2. Перенесемо крапку S 2 в S 2 " , що знаходиться за поверхнею, що відбиває. Очевидно, лінія S 1 S 2 " буде найкоротшою, якщо вона пряма. Ця умова виконується, коли кут u 1 = u 1 "і, отже, u 1 = u 2а також коли прямі OS 1,ВІДі OS 2знаходяться в одній площині.

Закон заломлення світла говорить: падаючий і заломлений промені лежать у одній площині з нормаллю у точці падіння; відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення для цих двох середовищ і для променів даної довжини хвилі є постійна величина.

Не наводячи розрахунків, можна показати, що ці умови забезпечують найкоротший час проходження світла між двома точками, що у різних середовищах (рис. 2).

Закон заломлення світла виражається такою формулою:

Величина n 2,1 називається відносним показником заломлення середовища 2 по відношенню до середовища 1 .

Показник заломлення даного середовища щодо порожнечі (практично до нього прирівнюють повітряне середовище) називається абсолютним показником заломлення даного середовища n.

Відносний показник заломлення n 2,1 пов'язаний з абсолютними показникамипершою ( n 1 ) та другий ( n 2 ) середовища відношенням:

Абсолютний показник визначається оптичною щільністюсередовища: що більше остання, то повільніше поширюється світло у цьому середовищі.

Звідси другий вираз закону заломлення світла: синус кута падіння так відноситься до синуса кута заломлення, як швидкість світла в першому середовищі до швидкості світла в другому середовищі:

Оскільки світло має максимальною швидкістюу порожнечі (і в повітрі), показник заломлення всіх середовищ 1 . Так, для води він складає 1,333 , для оптичного скла різних сортів - від 1,487 до 1,806 для органічного скла (метилметакрилату) - 1,490 , для алмазу- 2,417 . В оці оптичні середовищамають такі показники заломлення: рогівка- 1,376 , водяниста волога та склоподібне тіло - 1,336 , кришталик - 1,386 .

ХІД ПРОМІНЬ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ

Розглянемо деякі окремі випадки заломлення світла. Одним із найпростіших є проходження світла через призму. Вона є вузьким клином зі скла або іншого прозорого матеріалу, що знаходиться в повітрі.

На рис. 3 показаний перебіг променів через призму. Вона відхиляє промені світла до основи. Для наочності профіль призми обраний у вигляді прямокутного трикутника, а падаючий промінь паралельний його основі. При цьому заломлення променя відбувається лише на задній, косій грані призми. Кут w, на який відхиляється падаючий промінь, називається кутом призми, що відхиляє. Він практично не залежить від напрямку падаючого променя: якщо останній не перпендикулярний межі падіння, то кут, що відхиляє, складається з кутів заломлення на обох гранях.

Відхиляючий кут призми приблизно дорівнює творувеличини кута при її вершині на показник заломлення речовини призми мінус 1 :

Висновок цієї формули випливає з рис. 3. Проведемо перпендикуляр до другої грані призми у точці падіння на неї променя (штрихпунктирна лінія). Він утворює з падаючим променем кут ? . Цей кут дорівнює куту ? при вершині призми, тому що їхні сторони взаємно перпендикулярні. Так як призма тонка і всі кути, що розглядаються, малі, можна вважати їх синуси приблизно рівними самим кутам, вираженим в радіанах. Тоді із закону заломлення світла випливає:

У цьому виразі n стоїть у знаменнику, оскільки світло йдез більш щільного середовища в менш щільне.

Поміняємо місцями чисельник та знаменник, а також замінимо кут ? на рівний йому кут ? :

Оскільки показник заломлення скла, що зазвичай застосовується для очкових лінз, близький до 1,5 , що відхиляє кут призм приблизно вдвічі менше кута при їх вершині. Тому в окулярах рідко застосовуються призми з відхиляючим кутом. 5°; вони будуть надто товстими та важкими. В оптометрії відхиляюча дія призм (призматична дія) частіше вимірюють не в градусах, а в призмових діоптріях ( ? ) або в сантирадіанах (рад). Відхилення променів призмою силою 1 прдптр ( 1 срад) на відстані 1 м від призми складає 1 див. Це відповідає куту, тангенс якого дорівнює 0,01 . Такий кут дорівнює 34" (Рис. 4).

Це ж стосується і самого дефекту зору, косоокості, що виправляється призмами. Кут косоокості можна вимірювати в градусах і призмових діоптріях.

ХІД ПРОМІНЬ ЧЕРЕЗ ЛІНЗУ

Найбільше значення для оптометрії має проходження світла через лінзи. Лінзою називають тіло з прозорого матеріалу, обмежене двома заломлюючими поверхнями, з яких хоча б одна є поверхнею обертання.

Розглянемо найпростішу лінзу-тонку, обмежену однією сферичною та однією плоскою поверхнею. Таку лінзу називають сферичною. Вона є сегментом, відпиляним від скляної кулі (рис. 5, а). Лінія АТ, що з'єднує центр кулі із центром лінзи, називається її оптичною віссю. На розрізі таку лінзу можна як піраміду, складену з невеликих призм з наростаючим кутом при вершині (рис. 5, б).

Промені, що входять до лінзи та паралельні її осі, зазнають заломлення тим більше, чим далі вони відстоять від осі. Можна показати, що всі вони перетнуть оптичну вісь в одній точці ( F" ). Ця точка називається фокусом лінзи (точніше заднім фокусом). Таку ж точку має лінза з увігнутою заломлюючою поверхнею, але її фокус знаходиться з того ж боку, звідки входять промені. Відстань від фокусної точки до центру лінзи називається її фокусною відстанню ( f" ). Величина, обернена до фокусної відстані, характеризує заломлюючу силу, або рефракцію, лінзи ( D):

де D- Заломлююча сила лінзи, дптр; f" - фокусна відстань, м;

Заломлююча сила лінзи вимірюється у діоптріях. Це основна одиниця в оптометрії. За 1 діоптрію ( D, дптр) прийнята заломлююча сила лінзи з фокусною відстанню 1 м. Отже, лінза з фокусною відстанню 0,5 м має заломлюючу силу 2,0 дптр, 2 м - 0,5 дптр і т. д. Заломлююча сила опуклих лінз має позитивне значення, увігнутих - негативне.

Не тільки промені, паралельні оптичній осі, проходячи через опуклу сферичну лінзу, сходяться в одній точці. Промені, що виходять із будь-якої точки зліва від лінзи (не ближче фокусної), сходяться в іншу точку праворуч від неї. Завдяки цьому сферична лінза має властивість формувати зображення предметів (рис. 6).

Так само як плоскопуклі і плоскогнуті лінзи, діють лінзи, обмежені двома сферичними поверхнями, - двоопуклі, двоякогнуті і опукло-увігнуті. В очковій оптиці застосовуються головним чином опукло-увігнуті лінзи, або меніски. Від того, яка поверхня має велику кривизну, залежить загальна дія лінзи.

Дія сферичних лінз називають стигматичним (від грец. - Точка), так як вони формують зображення точки в просторі у вигляді точки.

Наступні види лінз - циліндричні та торичні. Випукла циліндрична лінза має властивість збирати пучок, що падає на неї. паралельних променіву лінію, паралельну осі циліндра (рис. 7). Пряму F 1 F 2 аналогії з фокусною точкою сферичної лінзи називають фокальною лінією.

Циліндрична поверхня при перетині її площинами, що проходять через оптичну вісь, утворює в перерізах коло, еліпси та пряму. Два таких перерізи називаються головними: один проходить через вісь циліндра, інший - перпендикулярно йому. У першому перерізі утворюється пряма, у другому – коло. Відповідно в циліндричній лінзі розрізняють два головні перерізи, або меридіана, - вісь і діяльний переріз. Нормальні промені, що падають на вісь лінзи, не зазнають заломлення, а падаючі на діяльний переріз, збираються на фокальній лінії, в точці її перетину з оптичною віссю.

Більш складною є лінза з торичною поверхнею, яка утворюється при обертанні кола або дуги радіусом. rнавколо осі. Радіус обертання Rне дорівнює радіусу r(Рис. 8).

Заломлення променів торичною лінзою показано на рис. 9.

Торична лінза складається як би з двох сферичних: радіус однієї з них відповідає радіусу обертового кола, радіус другий - радіусу обертання. Відповідно лінза має два головні перерізи ( А 1 А 2і В 1 В 2). Паралельний пучок променів, що падає на неї, перетворюється на фігуру, звану коноїдом Штурма. Замість фокусної точки промені збираються у два відрізки прямих, що лежать у площині головних перерізів. Вони називаються фокальними лініями - передньою ( F 1 F 1 ) та задньої ( F 2 F 2 ).

Властивість перетворювати пучок паралельних або променів, що йдуть від точки, в коноїд Штурма називають астигматизмом (буквально «безточність»), а циліндричні і торичні лінзи - астигматичними лінзами. Мірою астигматизму є різниця заломлюючої сили у двох головних перерізах (у діоптріях). Чим більша астигматична різниця, тим більша відстаньміж фокальними лініями у коноїді Штурма

Астигматичним дією характеризується будь-яка сферична лінза, якщо промені падають неї під великим кутом до оптичної осі. Це називають астигматизмом косого падіння (або косих пучків).

В оптометрії доводиться мати справу ще з одним видом лінз-з афокальними лінзами. Афокальною називається така лінза, обидві сферичні поверхні якої мають однаковий радіус, але одна з них увігнута, а інша опукла (рис. 10 а).

Така лінза не має фокусу і, отже, неспроможна формувати зображення. Але, перебуваючи на шляху світлового пучка, що несе зображення, вона його збільшує (якщо світло йде праворуч наліво) або зменшує (якщо світло йде зліва направо). Така дія афокальної лінзи називається ейконічною (від грец. - Зображення). Найчастіше при цьому застосовують не одиночні лінзи, які системи, наприклад телескопи. На рис. 10 б показана схема найпростішого телескопа, що складається з однієї негативної і однієї позитивної лінзи (система Галілея).

Ейконічна дія притаманна і звичайним сферичним лінзам: позитивні лінзи збільшують, а негативні - зменшують зображення. Вимірюють цю дію у відсотках, а при великих збільшеннях – у «крагах» ( х). Так, лупа, що збільшує зображення в 2 рази, називається дворазовою ( 2х).

Таким чином, лінзи здійснюють чотири види оптичної дії: призматичне, стигматичне, астигматичне та ейконічне. Далі буде показано, як вони використовуються для корекції дефектів зору.

Зазначимо, що в більшості випадків для лінз характерна не тільки та дія, для якої вони призначені: сферичним (стигматичним) лінзам властиво також і ейконічну дію, а на периферії скла, крім того, призматичну та астигматичну. Астигматичні лінзи характеризуються також стигматичним, призматичним та ейконічним дією.

СКЛАДНІ ОПТИЧНІ СИСТЕМИ

Досі йшлося про ідеальні лінзи, що ніби не мають товщини (за винятком афокальних). В оптометрії доводиться мати справу з лінзами, що мають реальну товщину, а ще частіше із системами лінз.

Особливий інтерес представляють центровані системи, тобто такі, що складаються із сферичних лінз, що мають загальну оптичну вісь. Для опису таких систем та розрахунку їх дії застосовують два способи: із введенням так званих кардинальних точок та площин; з використанням поняття збіжності променів та вершинної рефракції.

Перший спосіб, розроблений німецьким математиком Гаусом, полягає у наступному. На оптичній осі системи виділяють чотири Кардинальні точки: дві вузлові та дві головні (рис. 11).

Вузлові точки - передня та задня ( Nі N" ) - мають наступну властивість: промінь, що входить у передню точку ( S 1 N), виходить паралельно самому собі із задньої ( N'S 2 ). Їх застосовують при побудові зображень, що формуються оптичною системою.

Набагато більше значення мають основні точки ( Ні Н"). Перпендикулярні до оптичної осі площини, проведені через них, називаються головними площинами – передньою та задньою. Промінь світла, що входить в одну з них, проходить до іншої паралельно до оптичної осі. Інакше висловлюючись, зображення на задній головній площині повторює зображення на передній. Всі відстані на оптичній осі відраховують від головних площин: до об'єкта від передньої, до зображення - від задньої. Часто ці площини лежать так близько один до одного, що можуть бути замінені однією головною площиною.

Так, наприклад, в оптичній системі людського окапередня головна площина лежить у 1,47 мм, а задня - в 1,75 мм від вершини рогівки. При розрахунках приймають, що обидві вони розташовані приблизно в 1,6 мм від цієї точки.

Другий спосіб опису центрованих оптичних систем передбачає, що пучку променів у кожній точці на оптичній осі властиво особлива властивість- збіжність. Вона визначається величиною, зворотної відстані до точки сходження цього пучка, і вимірюється, як і і рефракція, в діоптріях. Дія кожної заломлюючої поверхні по дорозі пучка- це зміна збіжності. Випуклі поверхні збільшують збіжність, увігнуті – зменшують. Збіжність паралельного пучка променів дорівнює нулю.

Цей спосіб особливо зручний для розрахунку сумарної заломлюючої сили системи. Типовою складною оптичною системою є товста лінза (рис. 12), що має дві заломлюючі поверхні та однорідне середовище між ними.

Зміни збіжності падаючого на лінзу паралельного пучка променів визначаються заломлюючою силою цих поверхонь, відстанню між ними та показником заломлення матеріалу лінзи.

Приймемо такі позначення:

• L 0 - збіжність паралельного пучка, що падає на лінзу;
• L 1 - збіжність пучка після заломлення першої поверхні лінзи;
• L 2 - збіжність пучка при досягненні другої поверхні лінзи;
• L 3 - збіжність пучка після заломлення другої поверхні, т. е. під час виходу з лінзи;
• D 1 - Заломлююча сила першої поверхні;
• D 2 - Заломлююча сила другої поверхні;
• d- Відстань між поверхнями лінзи;
• n- Показник заломлення матеріалу лінзи.

При цьому величини Lі Dвимірюються в діоптріях, а d- b- За метрах.

Східність пучка на вході до лінзи L 0 = 0 .

Після заломлення на передній поверхні лінзи вона стає рівною L 1 = D 1 . При досягненні задньої поверхні вона набуває значення:

і, нарешті, при виході з лінзи

Цей вираз показує зміну збіжності пучка під час проходження через лінзу при відліку відстаней від передньої поверхні. Воно називається передньою вершинною рефракцією лінзи. Якщо розглядати хід променів від задньої поверхні до передньої, то у знаменнику D 1 заміниться на D 2 . Вираз

є величиною задньої вершинної рефракції товстої лінзи. Значення сили лінз у пробних наборах очкових стекол і є їх задні вершинні рефракції.

Чисельник цього виразу є формулою для визначення сумарної заломлюючої сили системи, що складається з двох елементів (поверхні або тонкі лінзи):

де D- Сумарна заломлююча сила системи;

D 1 і D 2 - Заломлююча сила елементів системи;

n- Показник заломлення середовища між елементами;

d- Відстань між елементами системи.

органів без хірургічного втручання (ендоскопи), і навіть на виробництві висвітлення недоступних ділянок.

5. На законах заломлення заснований принцип дії різноманітних оптичних пристроїв, що служать для завдання світлових променів. потрібного напряму. Для прикладу розглянемо хід променів у плоскопаралельній платівці та призмі.

1). Плоскопаралельна платівка- Виготовлена ​​з прозорої речовини пластинка з двома паралельними плоскими гранями. Нехай платівка виготовлена ​​з речовини, оптично більш щільної, ніж довкілля. Припустимо, що в повітрі ( n1 =1) знаходиться скляна

пластинка (n 2> 1), товщина якої d (рис.6).

Нехай промінь падає на верхню граньцієї платівки. У точці А він переломиться і піде у склі у напрямку АВ. У точці промінь знову переломиться і вийде зі скла в повітря. Доведемо, що промінь із платівки виходить під тим самим кутом, під яким падає на неї. Для точкиА закон заломлення має вигляд: sinα/sinγ=n 2 /n 1, і оскільки n 1 =1, тоn 2 = sinα/sinγ. Для

Точки закону заломлення наступний: sinγ/sinα1 =n 1 /n 2 =1/n 2 . Порівняння

формул дає рівність sinα=sinα1 , а значить, і α=α1 .Отже, промінь

вийде з плоскопаралельної платівки під таким же кутом, під яким на неї впав. Однак промінь, що вийшов з пластинки, зміщений щодо падаючого променя на відстань ℓ, яке залежить від товщини пластинки,

показника заломлення та кута падіння променя на платівку.

Висновок: плоскопаралельна пластинка не змінює напрям падаючих неї променів, лише змішає їх, якщо розглядати заломлені промені.

2). Трикутна призма– це виконана з прозорої речовини призма, переріз якої є трикутником. Нехай призма виготовлена ​​з матеріалу оптично більш щільного, ніж довкілля

(наприклад, вона зі скла, а довкола – повітря). Тоді промінь, що впав на її межу,

переломившись, відхиляється до заснування призми, оскільки він переходить в оптично більш щільне середовище і, отже, його кут падіння φ1 більший за кут

заломлення φ2. Хід променів у призмі показано на рис.7.

Кут ρ при вершині призми, що лежить між гранями на яких заломлюється промінь, називається заломлюючим кутом призми; а сторона,

що лежить проти цього кута, - основою призми. Кут δ між напрямками продовження променя, що падає на призму (АВ) і променя (CD)

що вийшов з неї, називається кутом відхилення променя призмою- Він показує, як сильно призма змінює напрямок падаючих на неї променів. Якщо відомий кут р і показник заломлення призмиn, то по заданому куткупадіння φ1 можна знайти кут заломлення на другій грані

φ4. Справді, кут φ2 визначається із закону заломлення sinφ1 /sinφ2 =n

(Призму з матеріалу з показником заломлення n поміщена в повітря). У

BCN сторони ВN і CN утворені прямими, перпендикулярними до граней призми, так що кут CNE дорівнює куту р. Тому φ2 +φ3 =р, звідки φ3 =р -φ2

стає відомим. Кут φ4 визначається законом заломлення:

sinφ3 /sinφ4 = 1/n.

Практично часто буває потрібно вирішувати таке завдання: знаючи геометрію призми (кут р) і визначаючи кути φ1 і φ4 знайти показник

заломлення призми n. Застосовуючи закони геометрії, отримуємо: кут МСВ = φ4 -φ3, кут МВС = φ1 -φ2; кут δ - зовнішній до BMC і, отже,

дорівнює сумі кутів МВС і МСВ: δ=(φ1 -φ2 )+(φ4 -φ3 )=φ1 +φ4 -р , де враховано

рівність φ3 + φ2 = р. Тому,

Отже, кутвідхилення променя призмою тим більше, ніж більше кутпадіння променя і що менше заломлює кут призми. Порівняно складними міркуваннямиможна показати, що при симетричному ході променя

крізь призму (промінь світла в призмі паралельний її основи) приймає найменше значення.

Припустимо, що заломлюючий кут (тонка призма) та кут падіння променя на призму малі. Запишемо закони заломлення на гранях призми:

sinφ1 /sinφ2 = n, sinφ3 /sinφ4 =1/n. Враховуючи, що для малих кутів sinφ≈ tgφ≈φ,

отримаємо: φ1 = n φ2 , φ4 = n φ3 . підставивши φ1 і φ3 у формулу (8) для δ отримаємо:

Підкреслимо, що ця формула для δ вірна лише тонкої призми і за дуже малих кутах падіння променів.

Принципи отримання оптичних зображень

Геометричні принципи отримання оптичних зображень ґрунтуються лише на законах відображення та заломлення світла, повністю відволікаючись від його фізичної природи. При цьому оптичну довжину світлового променя слід вважати позитивною, коли він проходить у напрямі поширення світла, та негативною у протилежному випадку.

Якщо пучок світлових променів, що виходить з будь-якої точки S ,

результаті відображення та/або заломлення сходиться в точці S , то S

вважається оптичним зображенням або просто зображенням точки S.

Зображення називається дійсним, якщо світлові променідійсно перетинаються в точці S?. Якщо ж у точці S ΄ перетинаються продовження променів, проведені в напрямку, зворотному розповсюдженню

світла, то зображення називається уявним. За допомогою оптичних пристроїв уявні зображення можуть бути перетворені на дійсні. Наприклад, у нашому оці уявне зображення перетворюється на дійсне, що виходить на сітківці ока. Наприклад розглянемо отримання оптичних зображень за допомогою 1)

плоского дзеркала; 2) сферичного дзеркалата 3) лінз.

1. Плоським дзеркалом називають гладку плоску поверхню, що дзеркально відображає промені . Побудову зображення у плоскому дзеркалі можна показати за допомогою наступного прикладу. Побудуємо, як видно у дзеркалі точкове джерело світла S(рис.8).

Правило побудови зображення таке. Оскільки від точкового джерела можна провести різні промені, виберемо два з них - 1 і 2 і знайдемо точку S, де ці промені сходяться. Очевидно, що самі відбиті 1 і 2 промені розходяться, сходяться лише їх продовження (див. пунктир на рис.8).

Зображення вийшло не від самих променів, а від їхнього продовження, і є уявним. Простим геометричною побудовоюлегко показати, що

зображення розташоване симетрично стосовно поверхні дзеркала.

Висновок: плоске дзеркало дає уявне зображення предмета,

розташоване за дзеркалом на такій відстані від нього, що і сам предмет. Якщо два плоских дзеркала розташовані під кутом один до одного,

то можна отримати кілька зображень джерела світла.

2. Сферичним дзеркаломназивається частина сферичної поверхні,

дзеркально відбиває світло.Якщо дзеркальною є внутрішня частинаповерхні, то дзеркало називають увігнутим, а якщо зовнішня, то опуклим.

На рис.9 показаний хід променів, що падають паралельним пучком на увігнуте сферичне дзеркало.

Вершина сферичного сегмента (точка D) називається полюс дзеркала.Центр сфери (точкаО), з якої утворено дзеркало, називається

оптичний центр дзеркала.Пряма, що проходить через центр кривизни дзеркала і його полюс D, називається головною оптичною віссю дзеркала.

Застосовуючи закон відбиття світла, у кожній точці падіння променів на дзеркал

відновлюють перпендикуляр до поверхні дзеркала (цим перпендикуляром є радіус дзеркала - пунктирна лінія на рис. 9) та

отримують перебіг відбитих променів. Промені, що падають на поверхню увігнутого дзеркала паралельно головній оптичній осі, після відображення збираються в одній точці F , яка називається фокус дзеркала,а відстань від фокусу дзеркала до його полюса - фокусною відстанню f. Оскільки радіус сфери спрямований за нормаллю до її поверхні, то, згідно із законом відображення світла,

фокусну відстань сферичного дзеркала визначають за формулою

де R-радіус сфери (ОD).

Для побудови зображення необхідно вибрати два промені та знайти їх перетин. У разі увігнутого дзеркала такими променями можуть бути промінь,

відбитий від точки D (він йде симетрично з падаючим щодо оптичної осі), і промінь, що пройшов через фокус і відбитий дзеркалом (він йде паралельно до оптичної осі); інша пара: промінь, паралельний головній оптичній осі (відбиваючись, він пройде через фокус), і промінь, що проходить через оптичний центр дзеркала (він відобразиться у зворотному напрямку).

Для прикладу побудуємо зображення предмета (стрілки АВ), якщо він знаходиться від вершини дзеркала D на відстані, більшій за радіус дзеркала

(радіус дзеркала дорівнює відстані OD = R). Розглянемо креслення, зроблене згідно з описаним правилом побудови зображення (рис.10).

Промінь 1 поширюється від точки До точкиD і відображається по прямій

DE так, що кут ADВ дорівнює куту ADE. Промінь 2 від тієї ж точки розповсюджується через фокус до дзеркала і відображається по лініїCB "||DA .

Зображення дійсне (утворене відбитими променями, а не їх продовженнями, як у плоскому дзеркалі), перевернуте та зменшене.

З простих геометричних розрахунків можна одержати співвідношення між такими характеристиками. Якщо а – відстань від предмета до дзеркала, що відкладається по головній оптичній осі (на рис.10 – це AD), b –

відстань від дзеркала до зображення (на рис.10 - це DA "), тоа/b =AB/A"B" ,

і тоді фокусну відстань f сферичного дзеркала визначають за формулою

Величина оптичної силивимірюється у діоптріях (дптр); 1 дптр = 1м-1.

3. Лінзою називають прозоре тіло, обмежене сферичними поверхнями, радіус, принаймні, однієї з яких не повинен бути нескінченним . Хід променів у лінзі залежить від радіусу кривизни лінзи.

Основними характеристиками лінзи є оптичний центр, фокуси,

фокальні площини. Нехай лінза обмежена двома сферичними поверхнями, центри кривизни яких 1 і 2 , а вершини сферичних

поверхонь О 1 і О 2 .

На рис.11 схематично зображена двоопукла лінза; товщина лінзи в середині більша, ніж у країв. На рис.12 схематично зображена двояковогнута лінза (в середині вона тонша, ніж у країв).

Для тонкої лінзивважають, що О 1 О 2<<С 1 О 2 иО 1 О 2 <<С 2 О 2 , т.е.

практично точки 1 і 2 . злиті в одну точку О , яка називається

оптичним центром лінзи. Пряма, що проходить через оптичний центр лінзи, називається оптичною віссю. Оптична вісь, що проходить через центри кривизни поверхонь лінзи, називаєтьсяголовною оптичною віссю(З 1 З 2 на рис.11 і 12). Промені, що йдуть через оптичний центр, не

заломлюються (не змінюють свого напряму). Промені, паралельні головній оптичній осі двоопуклої лінзи, після проходження через неї перетинають головну оптичну вісь у точці F (рис.13), яка називається головним фокусом лінзи, а відстань від цієї точки до лінзиf

є головна фокусна відстань. Побудуйте самостійно хід хоча б двох променів, що падають на лінзу паралельно головній оптичній осі

(скляна лінза розташована в повітрі, врахуйте це при побудові), щоб довести, що розташована в повітрі лінза є збирає, якщо вона двоопукла, і розсіює, якщо лінза двояковогнута.