Правила як знайти площу прямокутника. Як розрахувати площу кімнати: корисні методики та формули

З таким поняттям, як площа, нам доводиться стикатися у житті повсякденно. Так, наприклад, під час будівництва будинку її потрібно знати для того, щоб розрахувати кількість необхідного матеріалу. Розмір садової ділянки також характеризуватиметься площею. Навіть ремонт у квартирі неможливо зробити без цього визначення. Тому питання, як знайти площу прямокутника, на нашому життєвому шляхувстає дуже часто і є важливим не лише для школярів.

Для тих, хто не знає, прямокутник – це плоска фігура, у якої протилежні сторонирівні, а кути становлять 90 °. Для позначення площі в математиці використовують англійську букву S. Її вимірюють у квадратних одиницях: метрах, сантиметрах тощо.

Тепер спробуємо дати докладну відповідь на питання, як знайти площу прямокутника. Існує кілька способів визначення цієї величини. Найчастіше ми стикаємося зі способом визначення площі за допомогою ширини та довжини.

Візьмемо прямокутник із шириною b і довжиною k. Для обчислення площі прямокутника необхідно ширину помножити на довжину. Це все можна подати у вигляді формули, яка виглядатиме так: S = b * k

А тепер розглянемо цей спосіб на конкретному прикладі. Необхідно визначити площу садової ділянки з шириною 2 метри та завдовжки 7 метрів.

S = 2 * 7 = 14 м2

У математиці, особливо у старших класах, доводиться визначати площу іншими способами, оскільки у часто ні довжина, ні ширина прямокутника нам відомо. Водночас мають місце інші відомі величини. Як знайти площу прямокутника в цьому випадку?

Якщо нам відома довжина діагоналі і один із кутів, що становить діагональ з будь-якою стороною прямокутника, то в цьому випадку потрібно згадати про площу прямокутного трикутника. Адже якщо розібратися, то прямокутник складається із двох рівних прямокутних трикутників. Отже, повернемося до визначуваної величини. Для початку необхідно визначити косинус кута. Отриману величину помножити на довжину діагоналі. У результаті отримаємо довжину однієї із сторін прямокутника. Аналогічно, але за допомогою визначення синуса, можна визначити довжину другої сторони. А як знайти площу прямокутника тепер? Так дуже просто, перемножити отримані величини.

У вигляді формули це виглядатиме так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , де d-довжина діагоналі

Ще один спосіб визначення площі прямокутника - через вписане в нього коло. Він застосовується у тому випадку, якщо прямокутник є квадратом. Для використання даного способунеобхідно знати радіус кола. Як обчислити площу прямокутника у такий спосіб? Звісно ж, за формулою. Доводити ми її не будемо. А виглядає вона так: S = 4*r2, де r-радіус.

Трапляється так, що замість радіусу нам відомий діаметр вписаного кола. Тоді формула виглядатиме так:

S = d2, де d - Діаметр.

Якщо відома одна із сторін і периметр, то як дізнатися площу прямокутника в цьому випадку? Для цього необхідно зробити ряд простих обчислень. Як ми знаємо, протилежні сторони прямокутника рівні, тому від значення периметра необхідно відібрати відому довжину, помножену на два. Отриманий результат розділити на два та отримаємо довжину другої сторони. Ну, а далі стандартний прийом, перемножуємо обидві сторони та отримуємо площу прямокутника. У вигляді формули це виглядатиме так:

S = b * (P - 2 * b), де b - Довжина сторони, P - периметр.

Як бачимо площу прямокутника можна визначати у різний спосіб. Все залежить від того, які розміри нам відомі перед розглядом даного питання. Звичайно ж, останні методиобчислення в житті практично не зустрічаються, але можуть стати у нагоді для вирішення багатьох завдань у школі. Можливо, і для вирішення ваших завдань ця стаття виявиться корисною.

Урок на тему: "Формули визначення площі трикутника, прямокутника, квадрата"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 5 класу
Тренажер до підручника І.І.Зубарєвої та А.Г.Мордковича
Тренажер до підручника Г.В.Дорофєєва та Л.Г.Петерсона

Визначення та поняття площі фігури

Тоді площа фігури дорівнює 12 квадратних сантиметрів. У математиці площа позначається латинською літерою S.
Значить, площа нашої фігури дорівнює: S фігури = 12 см 2 .

Площа фігури дорівнює площі всіх маленьких квадратиків, у тому числі вона складається!

Хлопці, запам'ятайте!
Площа вимірюється квадратними одиницямидовжини. Одиниці виміру площі:
1. Квадратний кілометр - км 2 (коли площі дуже великі, наприклад, країна чи море).
2. Квадратний метр - м 2 (цілком підходить для того, щоб вимірювати площу ділянки або квартири).
3. Квадратний сантиметр - см 2 (зазвичай використовується під час уроків математики, коли малюють постаті у зошити).
4. Квадратний міліметр - мм2.

Площа трикутника

Щоб знайти площу прямокутного трикутника необхідно знати довжину основи та висоту. У прямокутному трикутнику висоту замінює одна із сторін. Тому у формулу площі трикутника замість висоти підставляємо одну із сторін.
У нашому прикладі сторони дорівнюють 7 см і 4 см. Формула для розрахунку площі трикутника записується так:
S прямокутного трикутника АВС= НД * СА: 2

S прямокутного трикутника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Тепер розглянемо довільний трикутник.

Для такого трикутника необхідно провести висоту до основи.
У нашому прикладі висота дорівнює 6 см, а основа дорівнює 8 см. Як і в попередньому прикладі, розраховуємо площу за формулою:
S довільного трикутникаАВС = НД * h: 2.

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S довільного трикутника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Площа прямокутника та квадрата

S прямокутника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .

Тепер розрахуємо площу квадрата. На відміну від прямокутника та трикутника, для знаходження площі квадрата необхідно знати лише одну сторону. У прикладі сторона квадрата ABCD дорівнює 9 див. S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .

Урок та презентація на тему: "Периметр та площа прямокутника"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 3 класу
Тренажер для 3 класу "Правила та вправи з математики"
Електронний навчальний посібник для 3 класу "Математика за 10 хвилин"

Що таке прямокутник та квадрат

Прямокутник- Це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Отже, протилежні сторони рівні одна одній.

Квадрат- Це прямокутник, у якого рівні і сторони, і кути. Його називають правильним чотирикутником.

приклад.

Читається так: чотирикутник ABCD; квадрат EFGH.

Що таке периметр прямокутника? Формула розрахунку периметра

Периметр позначається латинською літерою P. Оскільки периметр - це довжина всіх сторін прямокутника, він периметр записується в одиницях довжини: мм, див, м, дм, км.

Наприклад, периметр прямокутника АВСD позначається як P ABCD , де А, У, З, D - це вершини прямокутника.

Запишемо формулу периметра чотирикутника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Рішення:
1. Намалюємо прямокутник ABCD із вихідними даними.
2. Напишемо формулу для розрахунку периметра даного прямокутника:

P ABCD = 2 * (AB + BС)

P ABCD = 2* (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Формула розрахунку периметра квадрата

P ABCD = 2* (AB + BC)

P ABCD = 4 * AB

Рішення.
1. Намалюємо квадрат ABCD із вихідними даними.

2. Згадаймо формулу розрахунку периметра квадрата:

P ABCD = 4 * AB

P ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Відповідь: P ABCD = 24 см.

Завдання на знаходження периметра прямокутника

1. Виміряй ширину та довжину прямокутників. Визнач їх периметр.

2. Намалюй прямокутник ABCD зі сторонами 4 см та 6 см. Визнач периметр прямокутника.

3. Намалюй квадрат СЕОМ зі стороною 5 см. Визнач периметр квадрата.

Де використовується розрахунок периметра прямокутника?

У цій задачі необхідно точно розрахувати периметр ділянки, щоб не купити зайвий матеріал для забору.

2. Батьки вирішили зробити ремонт у дитячій кімнаті. Необхідно знати периметр кімнати та її площу, щоб правильно розрахувати кількість шпалер.
Визнач довжину та ширину кімнати, в якій ти живеш. Визнач периметр своєї кімнати.

Що таке площа прямокутника?

Для визначення площі прямокутника необхідно довжину прямокутника помножити з його ширину.
Площа прямокутника обчислюється множенням довжини АК ширину КМ. Запишемо це як формули.

S AKMO = AK * KM

S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Відповідь: 14 см 2 .

Формула обчислення площі квадрата

приклад.
У даному прикладіплоща квадрата обчислюється множенням сторони AB на ширину BC, але оскільки вони рівні, виходить множення сторони AB на AB.

S ABC = AB * BC = AB * AB

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Відповідь: 64 см 2 .

Завдання на знаходження площі прямокутника та квадрата

2. Була куплена дачна ділянка розміром 20 м на 30 м. Визнач площу дачної ділянки, відповідь запиши у квадратних сантиметрах

Знання про те, як виміряти Землю, з'явилися ще в давнину та поступово оформилися в науку геометрію. З грецької мовице слово так і перекладається – «землемірство».

Мірою протяжності плоскої ділянки Землі за довжиною та шириною є площа. У математиці вона зазвичай позначається латинською літерою S (від англ. "square" - "площа", "квадрат") або грецькою літероюσ (сигма). S позначає площу фігури на площині або площу поверхні тіла, а σ – площа поперечного перерізудроти у фізиці. Це основні символи, хоча можуть бути інші, наприклад, у сфері опору матеріалів, А - площа перерізу профілю.

Формули розрахунку

Знаючи площі простих фігур, можна знаходити параметри складніших. Античними математиками було виведено формули, якими можна легко їх обчислювати. Такими фігурами є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло.

Щоб знайти площу складною плоскої фігуриїї розбивають на безліч простих фігур, таких як трикутники, трапеції або прямокутники. Потім математичними методамививодять формулу для площі цієї постаті. Подібний метод використовують не тільки в геометрії, але і в математичний аналіздля обчислення площ фігур, обмежених кривими.

Трикутник

Почнемо з найпростішої фігури – трикутника. Вони бувають прямокутні, рівнобедрені та рівносторонні. Візьмемо будь-який трикутник ABCзі сторонами AB=a, BC=b та AC=c (∆ABC). Щоб знайти його площу, згадаємо відомі з шкільного курсуматематики теореми синусів та косінусів. Відпускаючи всі викладки, прийдемо до наступних формул:

• S=√ - відома всім формула Герона, де p=(a+b+c)/2 - напівпериметр трикутника;
• S=a h/2 де h - висота, опущена на бік a;
• S=a b (sin γ)/2, де γ - кут між сторонами a та b;
• S=a b/2, якщо ∆ ABC - прямокутний (тут a і b - катети);
• S=b² (sin (2 β))/2, якщо ∆ ABC - рівнобедрений (тут b - одне з «стегон», β - кут між «стегнами» трикутника);
• S=a² √¾, якщо ∆ ABC - рівносторонній (тут a - сторона трикутника).

Чотирикутник

Нехай є чотирикутник ABCD, який має AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Щоб знайти площу S довільного 4-кутника, потрібно розділити його діагоналлю на два трикутники, площі яких S1 та S2 в загальному випадкуне рівні.

Потім за формулами обчислити їх і скласти, тобто S = S1 + S2. Однак, якщо 4-кутник належить до певного класу, його площа можна знайти за заздалегідь відомими формулами:

• S=(a+c) h/2=e h, якщо 4-кутник - трапеція (тут a і c - основи, e - середня лініятрапеції, h - висота, опущена однією з підстав трапеції;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, якщо ABCD - паралелограм (тут φ - кут між сторонами a та b, h - висота, опущена на бік a, d1 та d2 - діагоналі);
• S=a b=d²/2, якщо ABCD - прямокутник (d - діагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, якщо ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один із його кутів, P - периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, якщо ABCD – квадрат.

Багатокутник

Щоб знайти площу n-кутника, математики розбивають його на найпростіші рівні фігури-трикутники, знаходять площу кожного їх потім складають. Але якщо багатокутник належить до класу правильних, використовують формулу:

S=a n h/2=a² n/=P²/, де n – кількість вершин (або сторін) багатокутника, a – сторона n-кутника, P – його периметр, h – апофема, тобто відрізок, проведений з центру багатокутника до однієї з сторін під кутом 90°.

Коло

Коло - це досконалий багатокутник, що має нескінченне числосторін. Нам необхідно обчислити межу виразу праворуч у формулі площі багатокутника при числі сторін n, що прагне нескінченності. У цьому випадку периметр багатокутника перетвориться на довжину кола радіуса R, яка буде межею нашого кола, і дорівнюватиме P=2 π R. Підставимо цей вираз у вказану вище формулу. Ми отримаємо:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Знайдемо межу цього виразу при n→∞. Щоб це зробити, врахуємо, що lim (cos (180°/n)) за n→∞ дорівнює cos 0°=1 (lim - знак межі), а lim = lim при n→∞ дорівнює 1/π (ми перевели градусну міру в радіальну, використовуючи співвідношення π рад=180°, і застосували перший чудовий межа lim(sin x)/x=1 при x→∞). Підставивши останній вираз для S отримані значення, прийдемо до відомою формулою:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Одиниці виміру

Застосовуються системні та позасистемні одиниці виміру. Системні одиниці відносяться до СІ (Система Міжнародна). Це квадратний метр (кв. метр, м²) та одиниці, похідні від нього: мм², см², км².

У квадратних міліметрах (мм²), наприклад, вимірюють площу перерізу проводів в електротехніці, квадратних сантиметрах (см²) - перерізу балки в будівельної механіки, в квадратних метрах(м²) - квартири або будинки, квадратних кілометрах(км²) – території у географії.

Однак іноді використовуються і позасистемні одиниці вимірювання, такі як: сотка, ар(а), гектар(га) та акр(ас). Наведемо такі співвідношення:

• 1 сотка = 1 а = 100 м ² = 0,01 га;
• 1 га = 100 а = 100 соток = 10000 м ² = 0,01 км ² = 2,471 ас;
• 1 ас = 4046.856 м ² = 40,47 а = 40,47 соток = 0,405 га.

Починаючи з 5 класу, учні починають ознайомлюватися з поняттям площ різних фігур. p align="justify"> Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як ця фігура одна з найбільш простих у вивченні.

Поняття площі

Будь-яка фігура має свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгого боку 1 мм, або 1 см, 1 дм і так далі. Площа такої фігури дорівнює $ 1 * 1 = 1мм ^ 2 $, або $ 1см ^ 2 $ і т. д. Площа, як правило, позначається буквою - S.

Площа показує розмір частини площини, що займає фігура, окреслена відрізками.

Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути однакові градусного заходуі рівні по 90 градусів, а протилежні сторони попарно паралельні та рівні.

Особливу увагу слід звертати на одиниці виміру довжини та ширини. Вони мають збігатися. Якщо одиниці не збігаються, їх переводять. Як правило переводять велику одиницюу меншу, наприклад, якщо довжина дається в дм, а ширина в см, то дм переводять у см, а результат вийде $см^2$.

Формула площі прямокутника

Для того, щоб знайти площу прямокутника без формули, необхідно порахувати кількість одиничних квадратів, на які розбита фігура.

Рис. 1. Прямокутник, розбитий на одиничні квадрати

Прямокутник розбитий на 15 квадратів, тобто площа дорівнює 15 см2. Варто звернути увагу, що завширшки фігура займає 3 квадрати, а завдовжки 5, тому щоб обчислити кількість одиничних квадратів, необхідно помножити довжину на ширину. Менша сторона чотирикутника – ширина, велика довжина. Таким чином, можна вивести формулу площі прямокутника:

S = a · b, де a, b – ширина та довжина фігури.

Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 см, а ширина 4 см, то площа дорівнюватиме 4*5=20 см 2 .

Розрахунок площі прямокутника з використанням його діагоналі

Для того, щоб розрахунку площі прямокутника через діагональ необхідно застосувати формулу:

$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Якщо завдання дано значення кута між діагоналями, і навіть значення самої діагоналі, можна обчислити площу прямокутника по загальною формулоюдовільних опуклих чотирикутників.

Діагональ – це відрізок, який поєднує протилежні точки фігури. Діагоналі прямокутника рівні, і точкою перетину діляться навпіл.

Рис. 2. Прямокутник із накресленими діагоналями

Приклади

Для закріплення теми розглянемо приклади завдань:

№1. Знайти площу городньої ділянки, такої форми як на малюнку.

Рис. 3. Малюнок завдання

Рішення:

Для того, щоб відняти площу, необхідно фігуру розбити на два прямокутники. Один з них матиме розміри 10 м та 3 м, інший 5 м та 7 м. Окремо знаходимо їх площі:

$ S_1 = 3 * 10 = 30 м ^ 2 $;

Це і буде площа городньої ділянки $ S = 65 м 2 $.

№2. Відняти площу прямокутник, якщо дано його діагональ d=6 см і кут між діагоналями α =30 0 .

Рішення:

Значення $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 см^2$

Таким чином, $ S = 9 см ^ 2 $.

Діагоналі розділяє прямокутник на 4 фігури – 4 трикутники. У цьому трикутники попарно рівні. Якщо провести діагональ у прямокутнику, то вона поділяє фігуру на два рівні прямокутні трикутники.Середня оцінка: 4.4. Усього отримано оцінок: 214.