Н у богомолів залікова робота. Практичні заняття з математики

З вищевказаної статті Ви зможете дізнатися, що ж таке межа, і з чим її їдять – це дуже важливо. Чому? Можна не розуміти, що таке визначники та успішно їх вирішувати, можна зовсім не розуміти, що таке похідна та знаходити їх на «п'ятірку». Але якщо Ви не розумієте, що таке межа, то з вирішенням практичних завдань доведеться туго. Також не зайвим буде ознайомитись із зразками оформлення рішень та моїми рекомендаціями щодо оформлення. Вся інформація викладена у простій та доступній формі.

А для цілей даного урокунам потрібні такі методичні матеріали: Чудові межіі Тригонометричні формули. Їх можна знайти на сторінці. Найкраще методички роздрукувати - це значно зручніше, до того ж до них часто доведеться звертатися в офлайні.

Чим чудові межі? Чудовість цих меж полягає в тому, що вони доведені найбільшими умамизнаменитих математиків, і вдячним нащадкам не доводиться мучитися страшними межами з нагромадженням тригонометричних функцій, логарифмів, ступенів. Тобто при знаходженні меж ми користуватимемося готовими результатами, що доведені теоретично.

Чудових меж існує кілька, але на практиці у студентів-заочників у 95% випадків фігурують дві чудові межі: Перший чудова межа , Друга чудова межа. Слід зазначити, що це назви, що історично склалися, і, коли, наприклад, говорять про «першу чудову межу», то мають на увазі під цим цілком певну річ, а не якусь випадкову, взяту зі стелі межу.

Перша чудова межа

Розглянемо наступну межу: (замість рідної літери «хе» я використовуватиму грецьку букву"Альфа", це зручніше з точки зору подачі матеріалу).

Згідно з нашим правилом знаходження меж (див. статтю Межі. Приклади рішень) Пробуємо підставити нуль у функцію: в чисельнику у нас виходить нуль (синус нуля дорівнює нулю), у знаменнику, очевидно, теж нуль. Таким чином, ми стикаємося з невизначеністю виду, яку, на щастя, не треба розкривати. В курсі математичного аналізу, доводиться, що:

Даний математичний фактносить назву Першої чудової межі. Аналітичний доказ межі наводити не буду, а ось його геометричний змістрозглянемо на уроці про нескінченно малих функціях.

Нерідко в практичних завданняхфункції можуть бути розташовані по-іншому, це нічого не змінює:

– та сама перша чудова межа.

Але самостійно переставляти чисельник та знаменник не можна! Якщо дана межа у вигляді , то і вирішувати його потрібно в такому вигляді, нічого не переставляючи.

Насправді як параметра може бути як змінна , а й елементарна функція, складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нуля.

Приклади:
, , ,

Тут , , , , і все гуд - перша чудова межа застосовується.

А ось наступний запис – єресь:

Чому? Тому що багаточлен не прагне нуля, він прагне п'ятірки.

До речі, питання на засипку, а чому дорівнює межа ? Відповідь можна знайти наприкінці уроку.

На практиці не все так гладко, майже ніколи студенту не запропонують вирішити халявну межу та отримати легкий залік. Хммм ... Пишу ці рядки, і спала на думку дуже важлива думка - все-таки «халявні» математичні визначенняі формули начебто краще пам'ятати напам'ять, це може надати неоціненну допомогу на заліку, коли питання вирішуватиметься між «двійкою» та «трійкою», і викладач вирішить поставити студенту якесь просте питання або запропонувати вирішити найпростіший приклад(«А може він (а) все-таки знає чого?!»).

Переходимо до розгляду практичних прикладів:

Приклад 1

Знайти межу

Якщо ми помічаємо в межі синус, то це нас відразу має наштовхувати на думку про можливість застосування першої чудової межі.

Спочатку пробуємо підставити 0 у вираз під знак межі (робимо це подумки або на чернетці):

Отже, у нас є невизначеність виду, її обов'язково вказуємов оформленні рішення. Вираз під знаком межі у нас схоже на першу чудову межу, але це не зовсім він, під синусом знаходиться , а в знаменнику.

У таких випадках першу чудову межу нам потрібно організувати самостійно, використовуючи штучний прийом. Хід міркувань може бути таким: "під синусом у нас, значить, у знаменнику нам теж потрібно отримати".
А робиться це дуже просто:

Тобто знаменник штучно множиться в даному випадкуна 7 і ділиться на ту ж сімку. Тепер запис у нас набув знайомих обрисів.
Коли завдання оформляється від руки, то перша чудова межа бажано помітити простим олівцем:

Що сталося? По суті, обведений вираз у нас перетворився на одиницю і зник у творі:

Тепер тільки залишилося позбутися триповерховості дробу:

Хто забув спрощення багатоповерхових дробів, будь ласка, освіжіть матеріал у довіднику Гарячі формули шкільного курсу математики .

Готово. Остаточна відповідь:

Якщо не хочеться використовувати позначки олівцем, то рішення можна оформити так:

“

Використовуємо першу чудову межу

“

Приклад 2

Знайти межу

Знову ми бачимо межі дріб і синус. Пробуємо підставити в чисельник і знаменник нуль:

Справді, у нас невизначеність і, отже, треба спробувати організувати першу чудову межу. На уроці Межі. Приклади рішеньми розглядали правило, що коли у нас є невизначеність, то потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники. Тут – те саме, ступеня ми представимо як твори (множників):

Аналогічно попередньому прикладу, обводимо олівцем чудові межі (тут їх дві), і вказуємо, що вони прагнуть одиниці:

Власне, відповідь готова:

У наступних прикладах, я не займатимуся мистецтвами в Пейнті, думаю, як правильно оформляти рішення у зошиті – Вам вже зрозуміло.

Приклад 3

Знайти межу

Підставляємо нуль у вираз під знаком межі:

Отримано невизначеність, яку потрібно розкривати. Якщо в межі є тангенс, то майже завжди його перетворюють на синус і косинус за відомою тригонометричною формулою (до речі, з котангенсом роблять приблизно те саме, див. методичний матеріал Гарячі тригонометричні формули на сторінці Математичні формули, таблиці та довідкові матеріали).

В даному випадку:

Косинус нуля дорівнює одиниці, і його легко позбутися (не забуваємо помітити, що він прагне одиниці):

Отже, якщо межі косинус є МНОЖИТЕЛЕМ, його, грубо кажучи, треба перетворити на одиницю, що зникає у творі.

Тут все вийшло простіше, без жодних помножень і поділів. Перша чудова межа теж перетворюється на одиницю і зникає у творі:

У результаті отримано нескінченність, буває таке.

Приклад 4

Знайти межу

Пробуємо підставити нуль у чисельник та знаменник:

Отримана невизначеність (косинус нуля, як ми пам'ятаємо, дорівнює одиниці)

Використовуємо тригонометричну формулу. Візьміть на замітку! Межі із застосуванням цієї формули чомусь зустрічаються дуже часто.

Постійні множники винесемо за значок межі:

Організуємо першу чудову межу:

Тут у нас тільки одна чудова межа, яка перетворюється на одиницю і зникає у творі:

Позбавимося триповерховості:

Межа фактично вирішена, вказуємо, що синус, що залишився, прагне до нуля:

Приклад 5

Знайти межу

Цей приклад складніший, спробуйте розібратися самостійно:

Деякі межі можна звести до 1-ї чудової межі шляхом заміни змінної, про це можна прочитати трохи пізніше в статті Методи розв'язання меж.

Друга чудова межа

Теоретично математичного аналізу доведено, що:

Цей факт має назву другої чудової межі.

Довідка: - Це ірраціональне число.

Як параметр може бути як змінна , а й складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нескінченності.

Приклад 6

Знайти межу

Коли вираз під знаком межі перебуває у ступені – це перша ознака того, що потрібно спробувати застосувати другу чудову межу.

Але спочатку, як завжди, пробуємо підставити нескінченно велике числоу вираз , за яким принципом це робиться, розібрано на уроці Межі. Приклади рішень.

Неважко помітити, що за основа ступеня , а показник – , тобто є, невизначеність виду:

Ця невизначеність якраз і розкривається за допомогою другої чудової межі. Але, як часто буває, друга чудова межа не лежить на блюдечку з блакитною облямівкою, і його потрібно штучно організувати. Розмірковувати можна так: даному прикладіПараметр, отже, у показнику нам теж потрібно організувати. Для цього зводимо основу в ступінь , і щоб вираз не змінилося - зводимо в ступінь :

Коли завдання оформляється від руки, позначаємо олівцем:

Практично все готово, страшний ступінь перетворився на симпатичну букву:

При цьому сам значок межі переміщуємо до показника:

Приклад 7

Знайти межу

Увага! Межа подібного типу зустрічається дуже часто, будь ласка, дуже уважно вивчіть цей приклад.

Пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, що стоїть під знаком межі:

В результаті отримано невизначеність. Але друга чудова межа застосовується до невизначеності виду. Що робити? Потрібно перетворити основу ступеня. Розмірковуємо так: у знаменнику у нас, значить, у чисельнику теж треба організувати.

2011 Віосагмір І.А. Межа функції 2011 рік Вища математикадля чайників. Межа функції [email protected]Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 1 Межафункції Вступ Ну що ж… Я вітаю Вас у своїй першій книзі, присвяченій межам функції. Це перша частина моєї майбутньої серії “вища математика для чайників”. Назва книги вже має Вам багато про неї розповісти, але Ви її можете зовсім не так зрозуміти. Ця книга присвячена не "чайникам", а всім тим, кому нелегко зрозуміти те, що творять професори у своїх книгах. Я впевнений, що ви мене розумієте. Я сам перебував і перебуваю в такій ситуації, що просто змушений прочитувати одну і ту ж пропозицію кілька разів. Це нормально? Я думаю ні. То чим же моя книга відрізняється від усіх інших? По-перше, тут нормальна мова, а не "розумний"; по-друге тут розібрано масу прикладів, яка, до речі, напевно, стане вам у нагоді; по-третє, текст має суттєву різницю між собою – головні речі виділені певними маркерами, і, нарешті, моя мета лише одна – ваше розуміння. Від Вас вимагається лише одного: бажання та вміння. "Уміння?" - Запитайте Ви. Так! Вміння в. Взагалі рекомендується завести окремо зошит листів так на 65, і все в ньому писати. Все, що написано у цій книзі. Результат буде вражаючим, це я вам обіцяю. Також краще користуватися різнокольоровими фломастерами. Ну що ж, панове… Я хочу Вам побажати успіхів та розуміння. Якщо Ви доб'єте цю книгу, Ви зможете багато! У моїй книзі будуть зустрічатися деякі позначення. Вкрай рекомендую їм слідувати. - Вчити обов'язково! - Рекомендується спробувати зробити самим. - Можна не вчити, але треба зрозуміти! Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 2 Зміст Межа функції в точці………………………………………………………………………………………………….3 Теореми про межах………………………………………………………………………………………………………..13 Односторонні межі………… ……………………………………………………………………………………..14 Межа при →∞…………………………… ……………………………………………………………………………..17 Безкінечно великі функції…………………………………………………………………………………………25 Графіки елементарних функцій…………………………………………………………………………………..26 Безперервність функції у точці……………………………… ………………………………………………….31 Безперервність складної функції ………………………………………………………………………………..33 Класифікація точок розриву…………………………………… …………………………………………………36 Безперервність елементарних функций……………………………………………………………………… 41 Перший чудовий предел……………………………………………………………………………………..42 Другий чудовий предел…………………… ………………………………………………………………..47 Коротко про Maple…………………………………………………… …………………………………………………………..52 Порівняння нескінченно малих функций……………………………………………………… …………………..55 Властивості символу “o мале”………………………………………………………………………………………… ..60 Асимптотичні формули……………………………………………………………………………………………64 Правило Лопіталя………………… …………………………………………………………………………………………72 Розкладання до ряду Тейлора. Частина 1………………………………………………………………………………..80 Розкладання до ряду Тейлора. Частина 2………………………………………………………………………………..88 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 3 Глава 1. Межа функції. Нехай числова змінна величина, сфера її зміни. Якщо кожному числу ∈ поставлено у відповідність деяке число, то кажуть, що на множині визначена функція, і пишуть. Сподіваюся це Вам зрозуміло, але я про всяк випадок поясню. Безліч у цьому випадку – площина, що складається з двох координатних осей – 0X та 0Y. Це вам має бути відомо ще зі школи. Якщо Ви забули про це, відкривайте клас 7 – 8 і повторюйте. Наприклад, на рис. 1 зображено функцію. Осі 0X та 0Y утворюють область її зміни. Ми чудово бачимо на рис. 1, як поводиться функція. У такому разі кажуть, що на багатьох визначено функцію. Сукупність всіх приватних значень функції називається безліччю значень. Інакше кажучи, безліч значень – це проміжок по осі OY, де визначено функцію. Наприклад, розглянемо рис. 1. – звідси відразу видно, що 0, т.к. 0. На малюнку це очевидно видно. У разі область значень 0;∞. Запам'ятайте, безліч значень дивимося на 0Y! Сукупність усіх називається областю визначення. Робимо висновок із попередніх міркувань і розуміємо, що безліч визначень дивимося по 0. У нашому випадку ОДЗ = ∞;∞. Точка ∈ або називається граничною точкою множини, якщо в будь-якій околиці точки є точки множини, відмінні від. Тут я доповнювати нічого не буду. І так усе зрозуміло. Можна лише додати, що у разі гранична точка множини області визначення функції. Зміст: 1) Межа функції в точці 2) Теореми про межі 3) Односторонні межі 4) Межа, при →∞ 5) Нескінченно великі функції 6) Графіки елементарних функцій 1.Межа функції в точці. Рис. 1 незалежна змінна (аргумент). область визначення функції. приватне значення функції у точці. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 4 Так, давайте перед визначенням я в загальних словахпоясню, що таке межа функції. Число b, якого прагне функція при прагненні x до числа, називається межею функції. Ось так це все записується: lim → Наприклад, . Нам потрібно дізнатися, чого прагне (не дорівнює!) Функція, при →2. Спочатку запишемо межу: lim → lim → Тепер настав час поглянути на графік. Проведемо паралельно 0 лінію через точку 2 на осі 0. Вона перетнула наш графік у точці 2;4. Опустимо з цієї точки на вісь 0 перпендикуляр і… опа! Яке значення? Все правильно, 4. Ось чого прагне наша функція, при →2. Важко? Ну ні, звичайно! Ви, напевно, помітили, що якщо підставити в функцію значення 2, то відповідь буде такою самою. Абсолютно вірно. Так і вирішуються ці складні ліміти. Не забувайте перевіряти на визначеність! Визначеність це, коли у нас є зрозумілий результат. Невизначеність, коли немає зрозумілого результату. Наприклад: або все це невизначеність. Це дуже важливо, ніколи не забувайте про це! Отже, у Вас має бути в зошит такий запис (не забудьте намалювати і малюнок): lim → lim → 2 4 Ну, з цим, загалом, все зрозуміло. Потренуйтеся і порахуйте ось такі межі: lim → ! 1 #;lim → ;lim → ;lim → √ Те саме відбувається і для випадку, коли →∞ або до іншого нескінченному числу: lim → ∞ ∞ А ось приклад, де є невизначеність: lim → sin Якщо ми підставимо під значення 0, то ось, що в нас вийде: . А це невизначеність, отже, вирішувати ми не маємо права! Потім я вас навчу, як розкривати невизначеність. Зараз ви повинні не забувати про це. Підставили та перевірили. Вирішується? Отже – визначеність. Чи не наважується? Ну що ж, тоді згодом вирішіть. Коли все пройдете. Давайте перейдемо до формальностей, тобто до визначень. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 5 Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т Ь, 0 , 1 , ∞ , 0 ∙ ∞ , ∞ ∞ Визначення 1 (межа функції за Кошою) №1. Довести що lim → sin0. Для зручності, сформулюємо теорему (по Коші) для нашого випадку. Ось що в нас вийде: Скористаємося нерівністю | sin | (| | ∀. Задамо довільне * 0 і покладемо +*. Тоді якщо | | ,+, то | sin | (| | ,+*. Це і означає (згідно з визначенням функції по Коші), що lim → sin0). приводу в принципі пояснити нічого. Що стосується | sin | (| | це просто потрібно запам'ятати. Що стосується * це дуже невелике число, що знаходиться в околицях. №2. За допомогою “* +” – міркувань довести, що lim → 4. Заповнити наступну таблицю: * 0.1 0.01 0.001 0.0001 … + Число b називається межею функції в точці (при →), якщо ∀ 0 ∃ 0 таке, що ∀ , задовольняє 0 | | , виконується нерівність | . Число 0 називається межею функції sinу точці 0 (при → 0), якщо ∀ 0 ∃ 0 таке, що ∀ , що відповідає умовам, 0 | | , виконується нерівність sin | . Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 6 Нехай * 0 довільно. Тоді | 4 | | 2 4 2 | (| 2 | 4 | 2 | (*, як тільки 0, | 2 | , √ 4 * 2 √ . Остання нерівність тим більше буде виконуватися, якщо * √ 4 * 2 * 2 √ 4 * * 2 √ 4 4* * * 22 * ​​+ * | 2 | Так, давайте все-таки розглянемо цей приклад докладніше 1) Розпишемо визначення: Число 4 називається межею функції в точці 2 (при →2), якщо ∀* 0 ∃+ 0 таке, що ∀, що задовольняє умовам 0, 0, |2|,+, виконується нерівність |4|, *.2) Спростимо: 2 | ,+ +, 2,+ 2 +,2 + b) нерівність: | 4 | ,* *, 4,* 4 *,4 * 3) Зрозуміємо: Число 4 називається межею функції в точці 2 (при → 2), якщо ∀* 0 ∃+ 0 таке, що ∀, що відповідає умовам 0, 2 +,2 +, виконується нерівність 4*,4*. Всі! Прочитайте останнє визначення, яке ми написали за допомогою графіка. Правильно? Ну звичайно вірно! Цей спосіб я написав спеціально для вас, для розуміння. У жодній літературі ви такого не знайдете. Тому якщо хочете по-справжньому все це швидко вирішувати – будь ласка! Так, пояснити, як це робиться аналітично, я не Вища математика для чайників. Межа функції 2011 7 впевнений, що зможу. Приклад я вам написав, тепер ви маєте в ньому самі розібратися, використовуючи мій графічний спосіб. Все будується від розуміння, панове. Зараз спробую пояснити все на аналітичному рівні. №3. Для закріплення. Довести, використовуючи визначення Коші межі функції, що lim → −16 −4 = 2 Крок 1: Задамо функцію () , яка є у нас виразом, що стоїть у нас під знаком межі: = −16 −4 Оскільки ми розглядаємо межу, що прагне до 4, необхідно розглянути деяку околицю 4-ки, яка для цієї функції визначена. Наприклад, інтервал від 2 до 5. 40(2,5) Але! Зверніть увагу, що функція у нас визначена не всюди! Вона не визначена в 0 і при = 4. Сподіваюся, Ви це розумієте, але про всяк випадок розпишу: −4 ≠ 0 → −4 ≠ 0 → 2 ≠ 0 ≠ 4 . Сподіваюся, все зрозуміло. Так, відволіклися, тож швидко йдемо далі. Ми можемо в принципі розглянути будь-який інтервал, але нам такий зручніший 40(2,5). Крок 2: Запишемо визначення межі функції () по Коші. ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | −4 |< + ⇒ | −2 | < * Это значит: для любого * мы должны найти такое+, что как только x у нас отлично от 4 и x-4 по модулю не превосходит + ⇒ | −2 | должно не превосходить*. Шаг 3: Преобразуем выражение | −2 | , ≠ 4. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 8 | −2 | = 3 −16 −4 −23 = 4 +4 −2 4 = | −4 | Эти преобразования нетрудно проделать самостоятельно. Надеюсь, у вас не вызывает это трудности. Итак, ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | −4 | < + ⇒ | −2 | < * и | −2 | = | | . Заметьте, информации все больше и больше! Шаг 4: Оценим сверху выражение | −2 | , ≠ 4, ∈ (2,5). 3 −16 −4 −23 < | −4 | 2 Поняли? Мы оцениваем | | , т.к. 5 −2 5 = | | . Следовательно, | | >| | . Тут найголовніше не заплутатися. ∈ 2,5 − ця умова ми поставили ще на початку. Звідси йде порівняння дробів. Що більше | | чи | | де ∈ 2,5 . Звичайно перший дріб. Де знаменник менший, там дріб більше (при однакових чисельників). Крок 5: Задамо + = 2 *. Тут ми можемо брати і просто, може взяти і 5*. У цьому випадку нам найзручніше, коли + = 2*. Отже, ось що ми маємо: ∀0 2,5 0< | −4 | < + | −2 | < + 2 = * Вывод: Все! Мы доказали, что предел равен 2. Вывод один: если хотите решать все это, берите еще раз и решайте. И так до тех пор, пока не поймете. Я попытался описать, как это доказывается аналитически. Можете посмотреть на это все и с графической точки зрения, не забыв все упростить. Информация: Вообще, честно говоря, от Вас таких доказательств не должны требовать. Они слишком уж “плавающие”. Если Вам все же интересна эта тема, откройте любой Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 9 учебник и посмотрите там материал. Соответственно, Вы ничего не поймете, если не напишете собственноручно решение + графики. Это Вам небольшая подсказка. Нарисуйте! И все сразу станет ясно. №1. Я забегаю немного вперед, но хотелось бы решить этот предел: lim → 16 4 Если мы подставим 4 под, у нас получится неопределенность: lim → 16 4 7 00 8 неопределенность! Что делать? Все просто. А давайте ка упростим дробь! 16 4 4 4 4 4 Все! Теперь, если мы подставим 4, у нас будет определенность, а, следовательно, мы можем решать. lim → 16 4 lim → 4 7 84 8 2 Вывод: от неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований. №2. Посчитать предел: lim → 4 6 16 Здесь все очень просто. Разложим на множители числитель и знаменатель. Рассказываю первый и останній раз, як це робити. Щоб розкласти знаменник на множники, ми повинні прирівняти його до нуля і просто вирішити рівняння. Давайте зробимо це. 6 160 Щоб вирішити квадратне рівняння, перш за все потрібно знайти дискримінант за формулою: D 4E Вища математика для чайників. Межа функції 2011 10 ,E - елементи квадратного рівняння. У загальному виглядіквадратне рівняння має такий вигляд: + +E = 0 Отже, у нашому випадку = 1, = 6,E = −16. Підставляємо значення та знаходимо дискримінант: D = 36 +4 ∙ 1 ∙ 16 = 100 Далі знаходимо коріння квадратного рівняння, використовуючи формулу, = − ± √ D 2 Підставляємо та отримуємо: , = −6 ±10 2 = F = −6 +10 2 = 2 = −6 −10 2 = −8 Коріння знайшли, а отже ми дуже близькі до розкладання на множники квадратного багаточлена. Спочатку запишемо формулу: + +E = (−)(−) Зауважимо, що не всякий багаточлен можна так розписати. В даному випадку ми не маємо жодних протиріч, і, отже, це можна робити. Таким чином: +6 −16 = (−2)(+8) Ось цю річ ви повинні вміти робити дуже швидко. Ну, максимум – хвилина. Тож, якщо є проблеми, одразу ж їх вирішуйте. У чисельнику можна також розкласти на множники. Це зробити набагато простіше, тому що там різниця квадратів. Нагадую формулу: − = (−)(+) Таким чином: −4 = (−2)(+2) І одержуємо нашу межу: lim → −4 +6 −16 = lim → (−2)(+2) ( −2)(+8) = lim → (− 2) (+2) (− 2) (+8) = lim → +2 +8 = 4 10 = 25 Як бачите, загалом рішення в один рядок. №3. Порахувати межу: Вища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 11 lim → +5 +4 2 + −1 = lim → (+1)(+4) (2 −1)(+1) = lim → (+ 1) (+4) (2 −1 )(+ 1) = lim → +4 2 −1 =− 33 = −1 №4. Порахувати межу: lim → − +2 −5 +3 +4 −7 +2 Тут я вас хочу навчити одній хитрій штучці. Як розкласти на множники багаточлен, який має ступінь > 2? За дискримінантом ми цього робити не можемо – він лише для квадратних рівнянь. То що робити? Пояснюю: щоб розкласти наш чисельник на множники, нам достатньо знайти хоча б один корінь. У цьому випадку нам нічого не залишається робити, як добирати. − +2 −5 +3 = 0 Коли рівність вірна? Небагато подумавши, ми відповідаємо: коли = 1. Правильно? Підставте 1 у рівняння і ви переконаєтесь у цьому. Далі ми маємо право розкласти наш багаточлен на множники: − +2 −5 +3 = (−1) ∙ G() G − функція, яку ми маємо знайти. Вирішуємо рівняння щодо G(). Отримуємо: G = − +2 −5 +3 −1 Ну а тепер просто ділимо одне на інше у стовпчик! − − + 2 − 5 + 3 − 1 − + 2 − 3 = G () − 2 − 5 + 3 2 − 2 − − 3 + 3 − 3 + 3 0 Таким чином, наша функція розкладається так: − +2 − 5 +3 = (−1) ∙ (+2 −3) Те саме робимо зі знаменником і отримуємо: +4 −7 +2 = (−1)(+5 −2) Вища математика для чайників. Межа функції 2011 12 Разом: lim → 2 5 3 4 7 2 lim → 1 2 3 1 5 2 lim → 2 3 5 2 1 2 3 1 5 2 04 0 №5. Порахувати межу: lim → sin cos tg 1 lim → sin cos sin cos cos cos lim → sin cos sin cos cos lim → sin cos cos cos cos lim → cos √ 2 2 Визначення 2 (межа функції по Гейні) Межу функції по Гейні рідко можна зустріти десь у практиці . Від Вас потрібно лише одне – вивчити його про всяк випадок. Можливо й стане в нагоді. Підкреслимо, що поняття межі функції у точці вводиться лише граничних точок області визначення функції. Зазначимо, що при цьому функція може бути і не визначена в точці, тобто взагалі не належить. Число b називається межею функції в точці, якщо для будь-якої послідовності! такий, що ∈ , # , відповідна послідовність значень функції! сходить до b. Позначення: lim → або → при → . Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 13 Визначення 1 і 2 межі функції еквівалентні. Нехай і O визначені в деякій околиці точки, крім, можливо, самої точки, і lim → , lim → OE. Тоді: lim → P O Q E; lim → P O Q E lim → O E; lim → O E за умови E 0 Нехай,O і T визначені в деякій околиці точки, крім, можливо, самої точки, і задовольняють нерівностей (O (T. Нехай lim → lim → T . Тоді lim → O. Тут, схоже, все зрозуміло Теореми виражені чітко і ясно, інформація повинна сприйматися легко Якщо щось не так, не хвилюйтеся, приклади нас чекають попереду 2.Теореми про межі Вища математика для чайників Межа функції 2011 рік 14 Односторонні межі… Не надто позитивно звучить, чи не так?Насправді все дуже просто.На рис.3 зображено графік функції.Давайте спробуємо взяти пару меж.Думаю, у нас все вийде!1) Якщо →1. Якщо →0. lim → невизначеність Отже, ми не маємо права вирішувати далі, а спростити ніяк не можна. Отже, межі немає. Подивіться на рис. 3 і побачите, що функція там не визначено, сл. Ні про яку межу не може бути й мови. 3) Якщо →0 0. Запис →0 0 у разі означає “погляньте те що, як поводиться функція праворуч від 0”. І що ми бачимо на графіку? Функція зростає + нескінченність. Тому: lim → 1 7 1 0 0 визначеність 8 ∞ Розумієте? 0 0 0, отже, ми вже ділимо не на нуль. Давайте розглянемо наступні приклади. 4) Якщо →0 0. Що робить функція зліва від 0? Правильно, зменшується. Причому зменшується до ∞. lim → 1 7 1 0 0 визначеність 8 ∞ Ну як вам? 5) Якщо →∞ 3.Односторонні межі Мал. 3 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 15 Дивимося на графік і бачимо, що функція при →∞ прагне до 0. lim → 1 7 1 ∞ визначеність 8 0 6) Якщо →∞ Все те саме: lim → 1 7 1 ∞ визначеність 8 0 Останні два Приклад рекомендую запам'ятати. При розкритті невизначеності вони нам потім дуже знадобляться. Ну що, зрозуміли суть? Ну, тоді формальності ... Визначення 1 (межа функції по Коші) Визначення 2 (межа функції за Гейном) Загалом, додати тут нічого. Повна аналогія з попередніми визначеннями по Коші та Гейні, так що, якщо ви зрозуміли, як доводяться межі, то зможете довести і односторонні. Структура доказів та сама. Позначення: lim → && 0 Якщо є 0 і 0, причому 0 0 , існує lim → . Число b називається правою (лівою) межею функції в точці a якщо для будь-якої схожої до a послідовності! такий, що відповідна послідовність значень функції! сходить до b. Число b називається правою (лівою) межею функції в точці a , якщо ∀ 0 ∃ 0 таке, що ∀ , що задовольняє умовам, & (, виконується нерівність | | Вища математика для чайників. Межа функції 2011 16 точки a, за винятком, можливо, самої точки a, і існує lim → , то існують 0 і 0, причому 0 0. Про всяк випадок, розглянемо приклад на теорему 4. Давайте розглянемо функцію √.. Вона зображена на рис. Давайте знайдемо межі: lim → √ V √ 4 0 визначеність W 2 Чому 0 ні на що не вплинув?.. Тому що йому нема чого щось змінювати. 4 0 визначеність W 2 Все те саме Функція визначена в 4, отже, немає жодної потреби брати 0. Цього ніхто не пояснює, тому що це цілком все логічно.Звідси, за теоремою 4: причомуlim → √ lim → √ 2 Тому існує межа lim→ √ 2. Так це закріпили. А якщо ми розглянемо 0? Ну, давайте перевіряти: lim → √ V √ 0 0 визначеність W 0 Ця межа існує. Подивіться на функцію, і ви побачите, що там визначено. lim → √ V √ 0 0 невизначеність W межа не існує Запам'ятайте раз і на завжди: корінь не може бути негативним! Тому межі немає! Але існує ось що: lim → √ V √ 0 визначеність W 0 Як бачите, теорема 4 працює лише в один бік. У ній не можна поставити заперечення. Тож, друзі, будьте уважні! Рис. 4 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 17 Деякі випадки ми вже розглянули (розкриття невизначеності (частина 1)). Невизначеності ми позбавляємося за допомогою перетворень! Запам'ятайте це, будь ласка, і нічого не бійтеся. А зараз я Вам хочу розповісти одну невелику таємницю : якщо →∞, то здебільшого вираз, що під знаком межі, варто перетворювати до форм виду E ⁄ , де c – число. Чому? Тому що цей дріб завжди буде прагнути до 0! Ми з вами вже це довели. Запам'ятайте та завжди користуйтеся цим! №1. Порахувати межу: lim → 5 lim → ]1 5 ^ lim → !1 5 # 1 0 1 Ну як вам? Висновок: коли ми дріб, то ми виносимо → скорочуємо → пишемо відповідь. P.S. У квадратних дужках я не писатиму тепер слово визначеність☺ №2. Порахувати межу: lim → 2 lim → 4 4 lim → ] 1 4 4 ^ lim → ! 1 4 4 # 0 0 0 0 Круто? Так! Отже, давайте зробимо ще одне спостереження: у таких випадках виносимо той самий ступінь, що й у знаменнику. Хоча, якщо найвищий ступінь стоїть у чисельнику, то краще винести саме його. Загалом, як вам зручніше. Можна робити і так, і так. №3. Порахувати межу: lim → 4 2 ∞∞ невизначеність lim → 8 16 4 4 lim → ] 8 16 ^ ]1 4 4 ^ lim → 8 1 4 4 lim → ]1 8 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 8 1 7 1 8 ∞ №4. Порахувати межу: lim → " 0 4.Межа функції при (→ ∞ Вища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 18 lim → 3 4 1 2 5 2 lim → ]3 4 1 ^ ] 2 5 2^ lim → 3 4 1 2 5 2 7 3 0 0 0 0 2 8 32 № 5. Порахувати межу: lim → 2 5 1 6 1 lim → ]2 1 5 1 ^ ]6 1 1 ^ lim → 2 1 5 1 6 1 1 lim → 2 1 6 ∞ № 6. Порахувати межу: lim → 1 2 4 4 lim → ] 1 2 4 ^ ] 4 1^ lim → 1 2 4 4 1 7 0 0 0 0 1 8 0 Ще раз повторюю, коли дріб – тоді виносимо Настав час розповісти вам і другу таємницю Якщо нам дано вираз виду _ `_ , не полінуйтеся його помножити на. Наводжу приклад: lim → ∞∞ невизначеність 1 1 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ 7 10 8 ∞ Безсумнівно, в майбутньому ви так не будете все детально розписувати, Вам буде достатньо кількох дій, так що не хвилюйтеся P.S. lim → b 8 3 b Складно?Ні!На який вид схоже?. lim → b +8 +3 − b + = lim → P√ +8 +3 − √ + QP√ +8 +3 + √ + Q √ +8 +3 − √ + = lim → +8 +3 − − √ +8 +3 − √ + = lim → 7 +3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = lim → ]7 + 3 ^ d c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 e = lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 Ось те, що я вам казав. Ви ВСІ повинні в кінцевому підсумку отримувати дроби виду з, тому що всі вони прагнуть 0! Продовжуємо: lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = 7 7 +0 √ 1 +0 +0 + √ 1 +0 8 = 72 Страшно? Ну ні ж ☺. Повільно, не поспішаючи, вирішуйте межі і ви досягнете багато чого! №2. Порахувати межу: lim → c + b + √ √ +1 Страшно☺? Не хвилюйтеся, все те саме. Потрібно щось скоротити. Що як? √ −це треба винести та скоротити. Якщо спробуємо винести, ми з вами просто заплутаємося, а відповідь від цього не зміниться. Хіба може бути невизначеність. Тобто виносимо x із найстаршим ступенем у знаменнику. lim → c + b + √ √ +1 = lim → √ ∙ f 1 + g 1 + c 1 √ ∙ c 1 + 1 = lim → f 1 + g 1 + c 1 c 1 + 1 = h i i i i i i j f 1 + g 10 + c 1 0 c 1 + 10 k l l l l l m = 1 Труднощі можуть бути тут лише в одному: як винести √ ? Сподіваюся, що це ви вмієте робити. №3. Порахувати межу: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q Вища математика для чайників. Межа функції 2011 20 Ким би не був наш чужинець, ми все одно його вирішимо. Для початку давайте, використовуючи теорему 2, розіб'ємо нашу межу на дві межі. Його так буде набагато легше вирішувати, у тому сенсі, що можна менше заплутатися. Якщо боїтеся розбивати, то самі мучтеся. ☺ lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → P −√ −1 Q + lim → P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ − e Ми просто спростили для подальшої роботи з межами, використовуючи додавання дробів і властивість ступеня. Тепер у нас дві межі. Бачимо дріб. Як я вас навчав? Правильно, бачимо дріб – множимо на сполучене. Тож давайте зробимо це разом. lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e + lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e Ось, що в нас вийшло. Зауважте, робимо те саме, що й раніше. Відмінність лише у одному – розміри. Тепер треба спростити кожну межу. У чисельнику у нас різниця квадратів. Спростимо першу межу: lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e = lim → n − P √ −1 Q ∙ P +√ −1 Q o = lim → d − + 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e Перший спростили. Тепер перейдемо до другого: lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Ось, що в нас вийшло: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e + lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Бачимо дріб. Що треба робити? Виносити! Перша межа: Вища математика для чайників. Межа функції 2011 21 lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → ! 1 + ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 + c 1 − 1 e s tu = 7 02 8 = 0 Друга межа: lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e = lim → ! 1 − ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 − c 1 − 1 e s t u = 7 00 −невизначеність! 8 Друзі, ось з таким ось ви стикатиметеся часто, особливо на великих прикладах . Що робити? Відповідь проста: повернутися і зробити по-іншому. Добре, що хоча б перша межа в нас порахувалася. Що ж, повертаємось до розбиття лімітів. Ось що ми мали: lim → d +√ −1 e Як вирішувати, якщо наш спосіб не підійшов? Що робити, якщо "метод сполучених" не працює. А давайте одразу спробуємо винести? Виносимо зі старшим ступенем у знаменнику, отже, це просто. lim → d +√ −1 e = lim → p q r d 1 + c 1 − 1 e s tu = lim → n1 + g 1 − 1 o = V 1 + √ 1 −0 W = 2 Виходить, насправді все було дещо простіше . Разом: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = 0 +2 Все! Відповідь: 2 Складно? Я гадаю, не дуже. Тут головне акуратність та наполегливість. Якщо одразу не вийшло, не треба все кидати. №4. Порахувати межу: Вища математика для чайників. Межа функції 2011 22 lim → √ 4 − − √ 4 + 3 Тут у нас не прагне нескінченності, але я хочу тим показати, що метод сполученого діє і тут. lim → √ 4 − − √ 4 + 3 = lim → P √ 4 − − √ 4 + QP √ 4 − + √ 4 + Q 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → 4 − −4 − 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → −2 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = − 23 lim → 1 √ 4 − + √ 4 + = − 16 №5. Порахувати межу: lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 Тут зробимо ще крутіше – помножимо чисельник та знаменник на вирази, пов'язані чисельником і знаменником. lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 = lim → P√ +1 −1 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q P√ +2 − 2 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q = lim → (+1 −1) P√ +2 + √ 2 Q (+2 −2) P√ +1 +1 Q = lim → P√ +2 + √ 2 Q P√ +1 +1 Q = lim → √ +2 + √ 2 √ +1 +1 = √ 2 №6. Порахувати межу: lim → b 1 +tg − b 1 −tg sin2 = lim → P b 1 +tg − b 1 −tg QP b 1 +tg + b 1 −tg Q sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 2tg sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 1 cos P b 1 +tg + b 1 −tg Q = 12 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 23 Отже, який висновок ми можемо зробити з усього попереднього? Ну, по-перше, якщо вас просять порахувати межу, то, напевно, там – невизначеність. Таблички знизу рекомендую вам завчити! Приклад: lim → lim → lim → 2 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 2 1 1 1 7 1 0 0 0 0 8 ∞ & &, 2) Якщо у нас є вираз типу, і в результаті виходить невизначеність, то нам потрібно провести ось таку операцію: а потім винести і скоротити так, щоб у всіх випадках був у знаменнику. , Р О С К Р И Т І Є Н Е О П Р І Д Е Л Е Н Н О С Т І 1) Якщо у нас є вираз типу, і в результаті виходить невизначеність, то нам потрібно провести ось таку операцію: а потім винести і скоротити так, щоб у всіх випадках був у знаменнику. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 24 Приклад: lim → lim → lim → lim → ]1 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 1 1 1 7 1 0 0 0 8 ∞ Як бачите, ми одну і ту ж межу порахували різними способами. Таке виходить не завжди! Усі таблиці Ви повинні запам'ятати як таблицю множення. Напевно, у багатьох може виникнути питання: а коли що використати? Практика, друзі Іншого виходу у Вас немає і не може бути. Тільки на власний досвідВи можете досягти якихось результатів. Як завжди, переходимо до формальностей (професорської теорії):) * "*+ , Р О С К Р И Т І Є Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т І 3) Якщо у нас є вираз типу То вам потрібно або відразу виносити і скорочувати так, щоб у всіх випадках був у знаменнику, або помножувати на сполучене чисельника чи знаменника.Залежно від ситуації.Всі три вище наведені пункти ви повинні використовувати при розкритті невизначеності, коли → ∞. до якогось іншого значення, і ми маємо невизначеність, то використовують просто спрощення (сполучене чи скорочення) Нехай функція визначена на прямий " , & ∞ . Число називається межею функції при → & ∞ lim → , якщо ∀ 0 ∃ , 0 - "таке, що ∀ , виконується нерівність | |. Вища математика для чайників. Межа функції 2011 25 Нехай функція визначена на прямий " , & ∀ Число називається межею функції при → & ∞ якщо для будь-якої нескінченно велика послідовності! відповідна послідовність значень функції! сходиться до. Вища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 26 Те ж саме і для нескінченно малих функцій. мені ні разу не знадобилося.. Отже, ми з вами вже зустрічали раніше приклади, коли межа дорівнювала ∞. Як бачите, вони вважаються так само, як і всі інші. Ключову роль тут грає ось така конструкція: V 1 0 v W. , ця конструкція ЗАВЖДИ дорівнює ∞!||.. Функція називається нескінченно великою в точці a праворуч, якщо ∀ . ∞, якщо ∀.0 ∃, - "таке, що ∀, | | . . Позначення: lim → ∞ 5.Безкінечно великі функції 0 1 0 1 2 ∞ Вища математика для чайників. Межа функції 2011 27 Так, саме це нам зараз і належить. Вони нам ДУЖЕ знадобляться у майбутньому. Тому важливо їх зараз же закріпити, а заразом і порахувати межі. Я згоден, це нудно та нецікаво. Якщо Ви щось знаєте, пропускайте та йдіть далі, я дозволяю☺. Отже, це наша перша та сама важлива функція. Раніше ми вже встигли розглянути її, але давайте повторимо те, що вже зробили. Якщо хочете, можете запам'ятати все це, але взагалі, я рекомендую вам запам'ятати сам графік. На мою думку, все досить ясно. Ну, цю функцію ви повинні знати, але, про всяк випадок я її нагадаю. Чи знаєте, різні випадкибувають ☺. lim → ∞ lim → ∞ 6.Графіки елементарних функцій 3 1 & & " Вища математика для чайників. Межа функції 2011 28 Функція носить свою назву - показова функція. Тут важливо не забувати про одну річ: при 1 функція зростає; при 0, 1 функція зменшується Тут давайте розглянемо приклади: № 1. Порахувати межу 1 lim → 2 2 ∞ lim → 2 2 0 ЗАЗУБРИТИ Ось це ви просто зобов'язані завчити, тому що графіки часто плутають між собою. 12 # lim → 1 2 7 1 2 1 ∞ 8 0 lim → !12 # lim → 1 2 7 1 2 10 8 ∞ Як бачите, останні дві межі ми просто вивели з попередніх двох. - логарифмічна функція Тут є також дві каверзи: при 1 функція зростає, при 0,1 функція зменшується № 1. Порахувати межі 1 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ № 2. Порахувати межі ,1 log Вища математика для чайників Межа функції 2011 29 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ Впевнений, стільки всього ви не запам'ятаєте, так чт про краще вивчити графік. Ok! Ідемо далі… Функція має свою назву – синусоїда. №1. Порахувати межу lim → sin. Що робити? На графіку очевидно, що функція “стрибає” від значення до іншого. Висновок: немає такої межі. Давайте просто розглянемо приклади, де функція прагне різним значенням: lim → sin ( | ) | ~ lim → sin1 lim → sin 0 lim → sin 1; Пророби те ж саме для косінусоїди. №1. Порахувати межу: lim → cos. Ті самі міркування. Межі не існує! Ось що у нас виходить: lim → cos (|) | ~ lim → cos0 lim → cos 1 lim → cos 1; sin "67 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 30 На малюнку представлені дві функції: O і EO. Як бачите, вони дуже схожі, тому дуже важливо, запам'ятайте Ви їх чи ні. Давайте проведемо невеликий досвід. Спробуйте запам'ятати два графіки. Як тільки будете впевнені в тому, що всі вивчили, проріжайте всі межі нижче, а потім перевірте себе за графіками. lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg arcsin – зворотна функціядо функції sin. arccos – обернена функція до функції cos. №1. Порахувати межу: lim → arcsin. Давайте подивимося на графік arcsin. Що ми бачимо? При → 0 функція набирає нескінченно багато значень. Наприклад, lim → arcsin0 та lim → arcsin і т.д. Робимо висновок: наш графік має період. lim → arcsinw, w ціле число, що лежить в проміжку ∞, ∞ 89 "89 arcsin arccos Вища математика для чайників. Межа функції 2011 31 Те ж саме з arccos. arctg – зворотна функція до функції tg. arcctg – зворотна функція функції ctg . №1. Порахувати межу: lim → arctgw ∙ 2 w ціле число, що має крок 2. Тобто. lim → arctg ⋯. Можна записати так: lim → arctg 2 2 2 w Зауважимо, що це довільне ціле число, яке ми задаємо самі. На цьому ми закінчуємо наш розділ – графіки елементарних функцій. Від автора: Вітаю! Ви змогли завершити перший розділ “Межа функції” першої частини “Межа та безперервність функції”. Звісно, ​​це не все. Я розповів вам лише елементарні речі. Далі на нас чекатимуть перший чудовий і другий чудовий боковий вівтар та інші методи взяття меж. Якщо Ви зрозуміли все, що я тут написав, то далі буде цікаво! Нічого надскладного на вас не чекає… arctg arcctg Вища математика для чайників. Межа функції 2011 32 Глава 2. Безперервність функції в точці. Запам'ятайте це визначення раз і назавжди! Якщо ви його не знаєте, ви – ніщо, і ніхто в математиці. Давайте розглянемо простий приклад: 1 Завдання: перевірити функцію безперервності в точках 1;0. 1. 1. Використовуючи визначення 1, отримуємо: lim → 1 1 ↭ 1 11 1 Виконується визначення 1? Так! lim → 1 1 1 Висновок: функція безперервна у точці 1. 2. 0. Використовуючи визначення 1, отримуємо: lim → 1 ∞↭ 0 10 →∄ Виконується визначення 1? Ні! lim → 1 0 lim → Функція називається безперервною у точці a, якщо 1. Безперервність функції у точці. Зміст: 1) Безперервність функції в точці 2) Безперервність складної функції 3) Класифікація точок розриву 4) Безперервність елементарних функцій 5) Перша чудова межа 6) Друга чудова межа 7) Коротко про Maple Вища математика для чайників. Межа функції 2011 33 Висновок: функція не існує в точці 0. Тут те ж саме. Будь ласка, розгляньте самі такі функції як ln та інші. Хоча думаю, що все гранично ясно. Для того щоб функція була безперервна, необхідно і достатньо, щоб вона була безперервна в цій точці справа і зліва. Якщо функції та O безперервні у точці, то функції O, O, O, /O також безперервні у точці (приватне – за умови O 0). Приклад №1. Дослідити на безперервність функції. Спочатку розпишемо область визначення D∞,0 ∪0,∞, т.к. знаменник не може дорівнювати 0. Тепер просто використовуємо теорему 6: lim → де 0. Отже, за теоремою 6, функція безперервна в будь-якій точці, крім 0. lim → > lim → E відповідно. Нехай функція визначена у правій (лівій) підлозі околиці точки a, тобто. на деякому напівінтервалі, & (відповідно,). Функція називається безперервною праворуч (відповідно зліва) у точці a, якщо Вища математика для чайників. Межа функції 2011 34 Втім, поки що вам це не дуже знадобиться. Наводжу приклади складних функций: b | sin | , cos 1 , log 1 . Чому вони складні? Давайте розглянемо ланцюжок послідовних перетворень першої їх: sin | | √ . От і все! Тепер перейдемо до другої функції: 1 cos. І так далі. Не хочеться приділяти цьому багато часу. Сподіваюся, ви й так усі зрозуміли. Ну що ж, перейдемо до теореми. Нехай функція безперервна у точці, а функція безперервна у точці. Тоді складна функція P Q безперервна у точці. Розгляньмо приклад на докази. Тут якраз і слід розглядати складну функцію. Приклад №1 Довести, що: lim → 1 ln, 0, 1. Розглянемо функцію 1. Вона безперервна у точці 0 і 0 0. При цьому Нехай функція F визначена на множині, а G – безліч значень цієї функції. Нехай, далі, на множині G визначено функцію H . Тоді кажуть, що на множині визначена складна функція, і пишуть H , де F або H F . 2. Безперервність складної функції. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 35 log 1 , 1 log 1 . Обчислимо lim → : lim → log 1 lim → ln ln 1 Цей крок може бути незрозумілим, тому я маю нагадати вам формулу перетворення до логарифму з іншою основою: Запам'ятайте її і більше не повертайтеся до цього. У цьому випадку нова основа. Давайте напишемо формулу для нашого випадку: log 1 log 1 log ln1 ln . Отже, продовжуємо: lim → log 1 lim → ln ln 1 ln 1 lim → ln1. Правильно? ln це число, тому ми його винесли. Тепер потрібно порахувати межу lim → . Представимо функцію як ln 1 ln (теж властивість логарифма!), де 1 . Так як lim → 1 (Це друга чудова межа. Поки ми його не пройшли, але, повірте, рівність вірна), а функція ln безперервна в точці, то lim → ln 1 ln1. Повертаємось до нашого прикладу. І ось, що у нас виходить: log log log log log Вища математика для чайників. Межа функції 2011 36 lim → log (1 +) = lim → ln ln 1 + = ln 1 lim → ln (1 +) = ln 1 = ln. Розглянемо тепер функцію (), безперервну в точці = 0: = log (1 +) при ≠ 0 lnпри = 0 Відповідно до теореми 8 складна функція P Q = −1 при ≠ 0 lnпри = 0 Є безперервною у точці = 0. Тому lim → − 1 = ln. Важко? Можливо, але ви повинні розібратися в цьому, тому що це дуже важливо для розуміння цієї теми. Тим більше, тут потрібно уважність, та й "трохи подумати". Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 37 Для початку, давайте зрозуміємо, що взагалі означає “точка розриву”. Все дуже просто! Перш ніж починати розглядати класифікацію точок розриву, ви повинні завжди перевіряти умову: повинна бути визначена в деякій околиці точки, за винятком, можливо, самої точки. Якщо умова виконується, можна розглядати класифікацію точок розриву. Приклад №1. sin Насамперед, напишемо область визначення: D ∞;0 ∪0;∞. Звідси відразу видно, що 0 незвичайна точка. У ній функція не визначена, але визначена у її околиці. lim → sin 1 0 sin . Звідси випливає, що 0 усувається точка розриву. Точка називається точкою розриву функції, якщо у цій точці не є безперервною. lim → # Точка – точка розриву, що усувається, якщо 3.Класифікація точок розриву. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 38 Приклад №1. sgn Функція sgn вже має бути раніше вам відома, але я вам її нагадаю. sgn 1,0, 1, 0 0 ,0 , lim → sgn 1, lim → sgn 1, 0 0. Звідси випливає, що lim → sgn lim → sgn sgn точка 0 точка розриву першого роду. Приклад №1. tg Перш за все, напишемо область визначення D \ 2 w, w0. lim → tg∞ ∃ lim → # lim → # Точка – точка розриву першого роду, якщо Точка – точка розриву другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх меж не існує або дорівнює нескінченності. f(x) = sgn(x) Вища математика для чайників. Межа функції 2011 39 lim → tg∞ Т.к. хоча б один із меж дорівнює нескінченності, то w точка розриву другого роду. Приклад №2. ln Насамперед напишемо область визначення D 0;∞. limln → 0 limln → ∄ Т.к. хоча б один із меж не існує, то 0 точка розриву другого роду. Отже, тепер ми знаємо класифікацію точок розриву. Ми розглянули приклади до кожного випадку. Вони досить легкі, тому давайте ще попрактикуємось. У всіх наступних номерах визначити точки розриву. P.S. Для початку спробуйте зробити це самі, а потім перевірте себе. Удачі ☺! №1. 2 , ln, (1 1 lim → lim → ln0, lim → lim → 1. lim → lim → У т. 1 функція має розрив першого роду. № 2. Насамперед, напишемо: D ∞,0 ∪0,∞. Вища математика для чайників Межа функції 2011 40 lim → lim → 7 0 8 0, lim → lim → ∄ 0 гранична точка другого роду № 3. 1 2 3 Перш за все, напишемо: 4 0 D ∞,4 ∪4 , ∞ lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 2 0 8 12 , lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 ∞ 8 0. 4 точка розриву першого роду № 4. |1 | , напишемо Критичні точки визначаємо ось так: 0 1 0. Критичні точки: 0 і 1. Тепер напишемо область визначення D ∞,0 ∪ 0,1 ∪1,∞ lim → |1 | роду lim → 1 lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 41 lim → | 1 | lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 1 точка розриву першого роду. 0 точка розриву другого роду, 1 точка розриву першого роду. №5. 1 1 Насамперед, напишемо: D ∞,1 ∪1,∞. lim → 1 1 lim → 1 1 1 lim → 1 1 13 Крапка розриву усувається: F 1 1 , 1 13 ,1 Вона безперервна в точці розриву і на D. №6. 1 1 1 1 1 1 Що б знайти критичні точкипотрібно спростити функцію. 1 1 1 1 1 1 1 1 Крапки: 0;1;1. lim → 1 усунутий розрив. lim → ∞розрив другого міста. lim → 0 усунутий розрив. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 42 №7. cos cos 1 і отримуємо: 2 2w 1 усуває еточки розриву. 0 точкарозривавтоміста. Думаю, прикладів достатньо. Якщо ви самі все це вирішуєте, то тему ви будете знати на 100%. Ну що ж, сподіваюся, це було не надто нудно. Принаймні стільки розібраних прикладів ви не знайдете ніде. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 43 Ми з вами цю тему вже розібрали в 1 розділі, 6 пункті. Там ми розглядали графіки елементарних функцій та рахували межі. Зараз перейдемо до формальностей та “професорської теорії”. Як ви помітили, у моїй книзі є ця “теорія”. Навіщо? Все просто, - хочеться, щоб ви не тільки приймали розжоване, а й самі намагалися розжувати. Якщо я приберу цю “теорію”, то моя праця піде нанівець. Звичайно, ви вмітимете щось вирішувати, але ви не розумітимете, що та як. Тож прошу вас вчити теорію! Вона обов'язково знадобиться вам у найближчому майбутньому. Ну що ж, це було ліричний відступ☺. Перейдемо до невеликої теорії. Будь-яка елементарна функція, визначена на околиці певної точки, безперервна у цій точці. У цьому “професорська теорія” закінчується, ми переходимо до чудовим межам. Функції I "6J78, log 0, #1, sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg називаються найпростішими (або основними) елементарними функціями. Сукупність всіх елементарних функцій називається класом елементарних функцій. Функція називається елемент може бути отримана за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій та суперпозицій над найпростішими елементарними функціями 4. Безперервність елементарних функцій Вища математика для чайників. важлива тема! У ній ми вчитимемося шукати межі. Ви повинні набити руку на цьому, і в мене до вас прохання: перед тим, як дивитися рішення, спробуйте самі чогось досягти. Зазубріть це раз і назавжди! І ніколи не забувайте про цю формулу! Доводити я її не збираюся, якщо хочете, пошукайте в інтернеті, там вона точно є. Ну що ж, переходимо до прикладів. №1. lim → sin. Рішення: sin 1 sin , Ура! Внизу з'явилася чудова межа. lim → sin lim → 1 sin 7 11 8 1. Чи легко? Безперечно… №2. lim → arcsin. Рішення: Зробимо заміну змінної: нехай arcsin. Тоді sin і база →0 перетворюється на базу →0 (просто підставте →0 під arcsin). Насправді це простіше записувати так: lim → arcsin 7 arcsin ↭sin → 0 ↭ →0 8 lim → sin 7 11 8 1. 5.Перша чудова межа lim → sin 1 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 45 Запам'ятайте цей спосіб заміни змінної. Він може дуже стати в нагоді вам в майбутньому. №3. lim → arcsin. Рішення: lim → arcsin lim → 1 arcsin 7 arcsin ↭sin →0 ↭ →0 8 1 lim → sin 7 11 8 1. №4. lim → sin2 sin3 . Рішення: Перетворимо функцію в такий спосіб: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 ​​sin3 ∙ 23 #. Винесемо постійний множникза знак болю і застосуємо теорему про межі творів: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 ​​sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 Робимо заміну, як і в попередньому прикладі: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 ​​sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 ! 2 ↭sin2sin →0 ↭ →0 4 3 ↭sin3sin →0 ↭ → 0 # 23 ∙ lim !→ sin ∙ lim "→ 1 sin 23 ∙ 1 ∙ 1 23. №5. lim → sin 4. Помножимо і розділимо знаменник 4 і підіб'ємо вираз під знаком межі до першої чудової межі. для чайників Межа функції 2011 рік 46 № 6. lim → 2tg 2. Представимо тангенс через синус і косинус і скористаємося теоремами про межі. 2 4] 2 ^ ∙ lim → 1 cos 2 d 2 ↭2 → 0 ↭ → 0 e 12 lim → sin ∙ lim → 1 cos 2 7 12 ∙ 1 ∙ 11 8 1. Бачите, тут трохи складніше, але в принципі, все одно й теж Якщо ви вивчили елементарні функції, то це вам не повинно здатися складним № 7. lim → 1 cos 2 tg За формулами подвійних кутів маємо: lim → 1 cos 2 tg sin cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → 2sin tg lim → 2sin cos sin cos 2 lim → sin lim → cos 2 ∙ 1 ∙ 1 2. Господа, вчимо тригономет річні формули! Вони вам все одно знадобляться. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 47 Формул багато, але бажано їх все вивчити. №8. lim → 8sin 4 . Помножимо і розділимо чисельник на 4 у кубі: sin K * L sinKcos L * cosKsin L cos K * L cos Kcos L ∓sinKsinL t9 K * L t9K * t9L 1 ∓t9Kt9L ct 9 K * L ct 9 K" t 9L ∓ 1 ct 9L * ct 9 K sin K & cos K 1 tg K &1 1 cos K ctg K & 1 1 sin K sin2K 2sinKcos K cos 2K cos K sin K 2cos K 1 1 2sin K tg 2K 2tgK 1 tg K ctg2K ctg K 1 2ctg sinL 2sin K *L 2 cos K ∓L 2 cos K &cosL 2cos K &L 2 cos K L 2 cos K cos L 2 sin K & L 2 sin K L 2 Вища математика для чайників Межа функції 2011 48 lim → 8sin 4 lim → 4 ] 4 ^ 8sin 4 8 lim → ] 4 ^ sin 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 8lim !→ sin 8 ∙ 18. № 9. lim → sin 2 4 1. У знаменнику ми можемо зробити квадрат різниці, а потім, як завжди, перейти до нової змінної.Тоді межа буде прагнути до 0, і, отже, ми можемо застосувати першу чудову межу. ^lim !→ sin 1 1. № 10. lim → sin3 sin4 6. На підставі однієї з теорем про межі, ми можемо ця межарозділити на дві межі: lim → sin3 sin4 6 lim → sin3 6 lim → sin4 6 12 lim → sin3 3 23 lim → sin4 4 3 ↭ 3 →0 ↭ →0 4 ↭ 4 → 0 ↭ →0 ¡ 12 lim → sin 23 lim → sin 76 . №11. lim → cos cos 3 . Перетворимо чисельник за допомогою формул різниці косінусів двох кутів та синусу подвійного кута: cos cos32sin2 sin4sin cos тоді lim → cos cos3 4lim → sin cos 4lim → cos4. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 49 Другою чудовою межею називається межа виду Доводити це ми з вами теж не збираємося. Можливо, колись я напишу окремо книгу про всі докази, але поки що не витрачатимемо на цей час і одразу перейдемо до прикладів. Як тільки ви бачите дужку в мірі, значить перш за все спробуйте її звести до другої межі. Перші номери розглянемо дуже докладно. №1. Порахувати межу: lim → ! 4 # Бачимо дужку в ступені 5, отже пробуємо звести до другої чудової межі. Спочатку зведемо те, що всередині до форми 1: lim → ! 4 # lim → !1 4 # Тепер потрібно "пограти" зі ступенем. Тобто. нам потрібний вид типу /4. Чому? Формулу lim → !1 1 # можна було б подати у вигляді lim → !1 1 # . В даному випадку у нас замість одиниці – четвірка. Отже, ось, що у нас виходить: lim → ! 4 # lim → !1 4 # lim → ¢ !1 4 # £ . Щоб повністю звести до нашої формули цей боковий вівтар, ми позначимо 4. Тоді отримуємо: lim → 1 1 lim → 1 6. Друга чудова межа Вища математика для чайників. Межа функції 2011 50 lim → ! +4 # = lim → !1 + 4 # = lim → ¢ !1 + 4 # £ = ¤ = 4 ↭ = 4 →∞↭ → ∞ ¥ = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § = . Як бачите, нічого складного тут нема. Алгоритм роботи дуже просто: приведення дробу до виду 1 + # приведення ступеня до виду # ∙ ¨ заміна змінної а далі просто рахуємо за формулою. Якщо заплуталися, не хвилюйтесь. Ми ще встигнемо розібрати багато прикладів ☺. №2. Знайти межу: lim → ! +2 +1 # Діємо так само, як і в Минулого разу: lim → ! +2 +1 # = lim →! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # Тут ми ступінь виділятимемо після заміни змінної. В даному випадку це простіше, ніж спробувати звести до другої межі до заміни. На результат це аж ніяк не вплине. lim → ! +2 +1 # = lim →! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # = 2 = −1 ↭ = +1 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 1 = . Як бачите, нічого надприродного тут немає. Звідси можна написати алгоритм рішення, подібний до минулого. Приведення дробу до виду 1 + # заміна змінної приведення ступеня до виду # ∙ ¨ а далі просто рахуємо за формулою. №3. Знайти межу: lim → d +5 +2 e Виділимо цілу частину в дужках: lim → d +5 +2 e = lim → d +2 +3 +2 e = lim → !1 + 3 +2 # = +2 = 3 ↭ = +2 3 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 7 1 + 10 8 = . Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 51 Приклад повністю аналогічний попередньому. Якщо ви зрозуміли, як це працює, то ви молодці і можете сміливо йти далі. Великий плюс тут полягає в тому, що достатньо знати лише кілька методів, щоб вирішити ту чи іншу межу. №4. Порахувати межу: lim → ! 1 2 # Виділимо цілу частину в дужках: lim → ! 1 2 # lim → 7 !1 1 # 12 8 lim → !1 1 # lim → ! 12 # 1 ↭ 1 → ∞↭ →0 lim !→ 7 1 ! 8 lim → 2 2 lim → 2 8 ∞ Далі не хочеться так детально розглядати кожен приклад, інакше кожне рішення займатиме більше половини сторінки. Головне, щоб ви зрозуміли загальну ідею , і прагнули ідеального рішення, тобто. короткому. Дам ще одну пораду, спробуйте спочатку самі щось вирішити, а потім вже перевіряйте, чи правильно ви зробив чи ні. №5. Порахувати межу: lim → !1 1 # Рішення: lim → !1 1 # 1 ª« ªª lim → !1 1 # ∙!1 1 # ∙ lim → !1 1 # ∙ 1 №6. Порахувати межу: lim → 1 Рішення: lim → 1 1 ª« ªª lim → ! 1 # №7. Порахувати межу: lim → !1 2 # Вища математика для чайників. Межа функції 2011 52 Рішення: lim → !1 2 # 1 ª« ªª lim → n!1 2 # o №8. Порахувати межу: lim → !1 4 # Рішення: lim → !1 4 # 1 ª« ªª lim → n!1 4 # o №9. Порахувати межу: lim → ! 3 1 # Рішення: lim → ! 3 1 # 1 ª« ªª lim → ! 1 4 1 # lim → !1 4 1 # ∙ lim → №10. Порахувати межу: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 Рішення: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 lim → 4 ln 2 3 5 3 lim → ln! 2 3 5 3 # lim → ln!1 3 5 3 # % lim → ln1. №11. Порахувати межі: Вища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 53 lim → d +1 +3 e Повинен сказати, приклад цей вже трохи цікавіший за попередні. Рішення: lim → d +1 +3 e = lim → d 1 + +1 +3 −1 e = lim → d 1 + +1 − −3 +3 e = lim → !1 + −2 +3 # = lim → !1 + −2 +3 # ∙ ∙ = lim → ¢ !1 + −2 +3 # £ = &" → = = 1 На цьому я пропоную закінчити другу чудову межу. Далі, в кінці книги ви зможете знайти масу завдань на цю тему.Зрозуміло, відповіді будуть додаватися.Вища математика для чайників.Межа функції 2011 рік 54 Так само хотілося б зробити замітку з приводу електронного обчислення меж.Є така програма - Maple, і там межі вважаються просто на ура. , зліва, в віконці є шаблони формул.Просто на них натискаєте і заповнюєте даними.Натискаєте на Enter і отримуєте відповідь.На скріншоті для прикладу порахована наша остання межа.Навіщо потрібна вам ця програма?Для перевірок.Порахували межу на папері, отримали відповідь. Вбили формулу в програмі і перевірили.Насправді дуже зручна штука.Від автора:Вітаю!Ви змогли завершити другий розділ "Безперервність функції в точці" першої частини "Межа і рівність функції”. Попереду на вас чекає порівняння нескінченно малих функцій, символ “малий” і його властивості, обчислення меж функцій за допомогою асимптотичних формул та обчислення меж показово-ступеневих функцій. Теми будуть дуже важливими, тому розглядатимуться не лише “технічні” приклади, але також приклади і на докази. На цій ноті я хочу побажати вам успіхів! До скорої зустрічі! Щиро Ваш, Віосагмір І.А. 7.Стисло про Maple Вища математика для чайників. Межа функції 2011 55 Глава 3. Нескінченно малі функції. Функція називається нескінченно малою при → (у точці), якщо lim → -0. Нехай - і ® дві нескінченно малі функції під час →. Функції – і® називаються: a. Нескінченно малими одного порядку при → (у точці), якщо lim → - ® E 0; b. Еквівалентними нескінченно малими при → (у точці), якщо lim → - ® 1 позначення:-~®при → . Якщо lim → () 0, то кажуть, що - є нескінченною малою більше високого порядкупри → (у точці), ніж ®, і пишуть -²® при → (- і “² мале” від ® при →). Наприклад, ² за →0. Аналогічні визначення мають місце для випадків → 0 → 0 → ∞. Слід пам'ятати, що рівності, що містять символ “малий”, є умовними. Наприклад, рівність ² при →0 вірна, але ² невірна, оскільки символ ² позначає не якусь конкретну функцію, а будь-яку функцію, яка є при →0 нескінченно малої більш високого порядку, ніж. Таких функцій нескінченно багато, зокрема будь-яка функція * (де ³ 1) є ² при →0. Таким чином, рівність ² при →0 означає, що функція належить множині нескінченно малих функцій вищого порядку при →0, ніж. Тому “в зворотний бік” це рівність ² неправильно: все безліч функцій ² не зводиться до однієї функції. Нічого не зрозуміло? Не хвилюйтеся, далі ми розглянемо всі на прикладах. Але теорія у будь-якому випадку потрібна, інакше моя книга перестає бути математичною, і стає незрозуміло чим. 1.Порівняння нескінченно малих функцій. Функція K називається дуже малою при → (у точці), якщо lim → K 0 . 1) Порівняння нескінченно малих функцій 2) Властивості символу "o мале" 3) Порівняння нескінченно малих функцій Вища математика для чайників. Межа функції 2011 56 Розглянемо кілька прикладів, що відповідають даній темі. №1. Чи правильна рівність 2 ² при →0? Рішення: 2 ² - вірно, тому що lim → 2 0. Як бачите, рішення в один рядок. Давайте його розберемо докладніше ☺. Згадаймо наше визначення! Якщо lim → () 0, то кажуть, що є нескінченною малою вищого порядку при → (у точці), ніж ®, і пишуть -²® при → (- і “² мале” від ® при →). У нашому випадку ми позначаємо за - 2 . Далі нам потрібно від кудись "викопати" ®. Подивимося у визначенні слова пишуть -²® . Звідси випливає, що ® , судячи з нашого прикладу 2 ². Далі слідуємо просто визначенню, тобто. виписуємо межу та перевіряємо, чи дорівнює вона нулю чи ні. lim → - ® lim → 2 lim → 20 Межа дорівнює нулю, отже - 2 є нескінченною малою вищого порядку при →0 (у точці 0), ніж ® , і пишуть 2 ²® при →. Також побудуємо для наочності наші графіки функції. Червоний графік – це наша «головна» функція – 2, а зелений графік – це функція ® . По картинці видно, що ближче до нуля функція - 2 прагне до нього швидше, ніж ® . Всі! Ми з вами розібрали докладно цей приклад. Далі всі приклади будуть ідентичними, тому так докладно я не буду писати рішення. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 рік 57 У всіх інших випадках червоний графік – це функція , а зелений ® . №2. Чи правильна рівність 3² при → 0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось що в нас вийде: - 3,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → 3 3 0 Межа не дорівнює нулю, отже рівність 3² неправильна. Але! Оскільки межа дорівнює константіто функції 3 і нескінченно малі одного порядку в точці 0. №3. Чи правильна рівність b | | ² за →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось що в нас вийде: - b | | ,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → b | | lim → b | | b | | ∙ b | | 7 10 8 ∞ 0 Межа не дорівнює нулю, отже рівність b | | ² неправильно. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 58 №4. Чи правильна рівність | | ² за →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось що в нас вийде: - ln | | ,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → n ln | | olim → 1 ln | | 0 Межа дорівнює нулю, отже рівність | | ² вірно. №5. Чи правильна рівність 1 cos ² за →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось, що в нас вийде: - 1 cos ,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → 1 cos lim → 2sin ] 2 ^ lim → n sin] 2 ^ 2 o 2 1 ∙ 0 0 Межа дорівнює нулю, отже рівність 1 cos² вірно. P.S. Вирішення таких меж у вас вже Вища математика для чайників. Межа функції 2011 59 не повинно викликати складнощів. Якщо відчуваєте, що не справляєтеся, краще повернутись до розділу 1 і 2 і все повторити. Усі межі таких типів ми вже мали. Це, як кажуть, база, без якої нікуди. Так як приклади всі ідентичні між собою, спочатку вирішуйте їх самі, а потім дивіться рішення. Якщо так робити не будете, то нічого не навчитеся! №6. Чи правильна рівність sin ² при →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось що в нас вийде: - sin ,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → sin lim → ! sin # 1 1 Межа не дорівнює нулю, отже рівність sin ² неправильна. Але! Оскільки межа дорівнює одиниці, то функції sin та еквівалентні нескінченно малі у точці 0. №7. Чи правильна рівність ² при →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось, що в нас вийде: - ,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → 0 Межа дорівнює нулю, отже рівність ² вірна. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 60 №8. Чи правильна рівність 1 cos ² за →0? Рішення: Для початку випишемо функції - і ® . Ось що в нас вийде: - 1 cos,® Тепер дивимося межу: lim → - ® lim → 1 cos 12 Межа не дорівнює нулю, отже рівність 1 cos² невірна. Але! Так як межа дорівнює константі, то функції 1 cos і нескінченно малі одного порядку в точці 0. Вища математика для чайників. Межа функції 2011 61 Нехай - і - дві довільні нескінченно малі при → функції такі, що - ²® і - ²®. Тоді - - ²® у →. Цю теорему можна записати так: ² ® ² ® ² ® . Сформулюємо поряд із зазначеним ще ряд властивостей символу “малий” (усюди мається на увазі, що - →0 і ® →0 при →). ². ,2,…, 1 6. P ² ® Q ² ® ∀ ∈ µ 7. ® ² ® ² ® ∀ ∈ µ 8. +)) ² ® , ´ 2 ∈ µ ​​Позначимо будь-яку нескінченно малу при → функцію символом ². Тоді властивість 8 буде справедливою також за 1: +)) ²1. 9. o P ∑ c , β , Q o β ,деc , числа 10. ² P ² ® Q ² ® 11. ² P ® ² ® Q ² ® 12. -®² - ,-®² ® 13. Якщо ~ ®, то - ®²- і - ®²® На цій ноті теорія закінчується і починається практика. Рекомендую усі властивості вивчити. Надалі вони нам знадобляться. Перше завдання буде дуже детально розібрано. Наступні завдання ви повинні будете зробити самі, щоб "вникнути" в цю тему. №1. Використовуючи межу lim -→ .&- - 1 функцію sinxу вигляді ¹ ² P Q при →0,деw1абоw2; і деякі числа. 2.Властивості символу "O мале". Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 62 Рішення: Доведемо спочатку, що якщо - і ® нескінченно малі одного порядку при →, тобто. lim → () E 0, то - з® ²® при →. Справді, оскільки lim → - ® E → lim → d - ® E e 0 → lim → - E® ® 0, то за визначенням символу ²® маємо - E® ²®, або - E® ² ® при → . Користуючись цією рівністю, отримуємо sinx ² при → 0, Остання формула називається асимптотичною формулою функції sin при →0. Останнє доданок у правій частині цієї формули називається залишковим членом асимптотичної формули. Далі, у наступних прикладах, ми доводитимемо одне й теж і виходити з уже доведеного, тобто. - E® ² ® при →. Тому рекомендую прочитати доказ ще раз і найголовніше зрозуміти його. №2. Використовуючи межу lim-→/. - представити функцію sinx у вигляді 1 ² P Q при →0, де w1 або w2; і деякі числа. Рішення: Використовуємо формулу - E® ² ® при → та отримуємо: cos 1 12 ² при →0. Остання формула називається асимптотичною формулою функції cos при → 0. Останнє доданок у правій частині цієї формули називається залишковим членом асимптотичної формули. №3. Використовуючи межу lim -→ - 1 представити функцію sinx у вигляді ¹ ² P Q при →0,деw1абоw2; і деякі числа. Вища математика для чайників. Межа функції 2011 63 Використовуємо формулу - E® ² ® при → і отримуємо: ln1 ² при → 0. Остання формула називається асимптотичною формулою функції ln1 при →0. Останнє доданок у правій частині цієї формули називається залишковим членом асимптотичної формули. №4. Використовуючи межу lim -→ √ - уявити функцію sinx у вигляді ¹ ² P Q при →0,деw1абоw2; і деякі числа. Рішення: Використовуємо формулу - E® ² ® при → та отримуємо: √ 1 1 1 ² при →0. Остання формула називається асимптотичною формулою функції √ 1 при → 0. Остання складова в правій частині цієї формули називається залишковим членом асимптотичної формули. Я думаю, вам цього буде достатньо. В інституті чи коледжі цьому майже не приділяється часу. Цього разу я хотів, щоб ви зрозуміли, звідки береться це “² мале”, і як виводяться. асимптотичні формули. Як кажуть, трішки теорії вам не завадить і, звісно, ​​бажано розуміти, що від куди береться. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 64 Раніше були вже отримані асимптотичні формули для найпростіших елементарних функцій при →0. Запишемо ці формули як таблиці. Зазначені формули залишаються справедливими, якщо замість аргументу в них підставити, де º » нескінченно мала послідовність, або, де lim → 0. Наприклад, справедливе уявлення, що випливає з першої формули: sin 1 1 ²! 1 #, де 2 ² ] ^ нескінченно мала послідовність вищого порядку, ніж 2, тобто. lim → ²] 1 ^ 1 lim → ²! 1 # 0. Тобто цим хочемо сказати, що й 2 sin →0, ми можемо застосувати до синусу асимптотическую формулу. Наприклад, функція 1 є нескінченно малою за → 1, тому з третьої формули отримуємо рівність ln P 1 Q ² при →1, або ln 1 1 1² при → 1. Ось вам і ще один приклад. Використовуючи минулу рівність та другу формулу, запишемо асимптотичне уявлення функції cos ln при →1. 1 sin & 6 2 cos 1 2 & 6 3ln 1 & &6 4 1 & ln & 6 0 5 S 1 & & 6 6 1 & 1 & & 6 7 tg & 6 8sh &6 9 ch 1 & 2 & 6 10 th & 6 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 65 Функція ln при →1 прагне нуля, отже є нескінченно малою, отже можна застосувати асимптотичну формулу номер три: coslncos 1 ² 1. Функція cos 1 ² 1 при →1 прагне до нуля, отже є нескінченно малою, отже можна застосувати асимптотичну формулу номер два: cos lncos 1 ² 11 P 1 ² 1 Q 2 ² ] P 1 ² 1 Q ^. Ось тепер нам і знадобляться властивості "мале". Застосовуємо їх та отримуємо: P 1 ² 1 Q 2 1 2 1 ² 1 12 P ² 1 Q 1 2 ² 1 ² 1 1 2 ² 1 . Перше, що ми зробили, це виявили чисельник – там квадрат суми. Далі ми просто застосовуємо властивості "мале". Якщо їх не вчили, подивіться в таблиці, яку я давав раніше. Аналогічно, P 1 ² 1 Q 1 ² 1 . Застосовуємо асимптотичну властивість номер 11. Отримуємо: ² ] P 1 ² 1 Q ^² 1 ² 1 ² 1 . Остаточно отримуємо cos ln1 1 2 ² 1 при → 1. Також ми можемо записати наше рішення і так: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e . Тепер ви знаєте, навіщо нам потрібні ці асимптотичні формули! Як би ви інакше шукали цю межу? Запам'ятайте, якщо функція прагне нуля, ми її можемо замінити асимптотическими формулами. Якщо ж вона не прагне нуля, а, наприклад, до якоїсь константи чи нескінченності, ми не маємо права використовувати асимптотичні формули!!! Асимптотичні формули застосовуються лише у тому випадку, коли функція прагне 0! Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 66 Давайте порахуємо нашу межу: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e 1 1 1 2 §1. Важко? Ні! Заплутано? Так! Але що ж поробиш, практика тут безперечно потрібно. Думаю, за кілька хвилин вам буде вже все зрозуміло. Переходимо до прикладів. Як і завжди, перший розібраний докладно, інші приклади вирішуйте спочатку самі, та був дивіться рішення. №1. Знайти межу: lim → ln1 4 sin3 . Рішення: Спочатку дивимося, чи можна застосувати асимптотичні формули. Згадуємо, коли їх можна використовувати? Коли функція прагне нуля. Перевіряємо: lim → ln1 4 ln1 0 lim → sin3 sin0 0 Все правильно! Отже застосовуємо формули. У цьому випадку це ln1 ¼ ~¼,sin¼~¼. Оскільки приклад дуже простий, “мале” ми тут можемо не писати. Якщо хочете, можете його використовувати. Тоді lim → ln1 4 sin3 lim → 43 43 . Як бачите, все дуже просто. №2. Знайти межу: lim → √ 1 1 . Рішення: Оскільки ½ √ 1 1 ¾ →0 і º » →0 при →0, то можемо застосовувати асимптотичні формули. √ 1 ~1 3,. Тобто Вища математика для чайників. Межа функції 2011 67 lim → √ 1 1 lim → 1 3 1 lim → 3 13 . №3. Знайти межу: lim !→ 1 cos1 cos sin . Рішення: Так як º 1 cos1 cos » 0 і º sin » 0 при 0, то можемо застосовувати асимптотичні формули. cos ~1 2 ,sin ~. Тобто lim !→ 1 cos1 cos sin lim ! → 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 Приклад спростився, але нам цього недостатньо. Тому, оскільки 2 1 cos ! → 0 та º » → 0 при →0, то можемо застосовувати асимптотичні формули. cos ~1 2 . lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 lim !→ 1 p r 1 ! 2 # 2 s u lim !→ 8 v 18 . №4. Знайти межу: lim → √ 1 2 3 1 . Рішення: Оскільки ½√ 1 2 3 1 ¾ → 0 при → 0, то можемо застосовувати асимптотичні формули. 1 ~1. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 68 У цьому випадку, 1/2. Тому ось що в нас вийде: lim → √ 1 2 3 1 lim → 1 2 3 2 1 12 lim → 2 3 12 lim → 2 3 7 12 ∙ 2 8 1. №5. Знайти межу: lim → lnln. Рішення: Так як º lnln » →0 при →, то можемо застосовувати асимптотичні формули. ln 1 ¼ ~¼. Таким чином отримуємо: lim → lnln lim → lnln 1 1 lim → ln1 ln 1 lim → ln 1 lim → ln ln lim → ln lim → ln 1 ] 1^ 2 ln 1 ] 1^ →0при → lim → 1 lim → 1 Лім → 1 . Скажу чесно, що межа не з найпростіших. Заплутатися тут досить легко, тому, якщо ви, чайник, взяли цю межу, то ви вже далеко не той, ким ви були до прочитання цієї книги. Ви вже середній студент гарного інституту! №6. Знайти межу: lim → log 1 2 . Рішення: Так як º log 1 »0 при → 2, то можемо застосовувати асимптотичні формули. ln 1 ¼ ~¼. Отримуємо: lim → log 1 2 lim → log log 2 2 lim → log 2 2 lim → ln/2 ln2 2 1 ln2 lim → ln/2 2 1 ln2 lim → ln 1 ] 2 1^ 2 1 ln2 lim → 2 1 2 1 2 ∙ ln2 lim → 2 2 1 2 ∙ ln2 . №7. Знайти межу: Вища математика для чайників. Межа функції 2011 69 lim → sin 1 1 . Рішення: Оскільки º sin 1 » →0 при →1, то можемо застосовувати асимптотичні формули. Для синуса у нас є така формула: sin~. Отже, перейдемо до нової змінної. Нехай 1. Тоді → 0 за →1. Межа стає рівною ¿lim !→ sin 1 1 Далі використовуємо алгебраїчну тотожність: 1 4 6 4 1 Таким чином знаходимо межу: ¿lim !→ sin 1 1 sin~lim !→ 4 6 4 lim !→ 1 4 6 4 14 . №8. Знайти межу: lim → lncos √ 1 1 . Рішення: Так як º lncos » →0 і ½√1 1 ¾ →0 при →0, то можемо застосовувати асимптотичні формули. √ 1 ~1 w ,ln 1 ~. Тоді межу можна записати у вигляді ∆lim → lncos √ 1 1 lim → ln1 cos 1 !1 3 #1 lim → cos 1 /3 3 lim → 1 cos | №9. Знайти межу: lim → sinsintg! 2 # lncos3. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 70 Рішення: На вигляд страшний приклад, чи не так? Не хвилюйтесь ☺! Ми завжди все долаємо. Давайте так само в цьому прикладі використовуватимемо “² мале”, для того, щоб наша відповідь була вже точно правильною. Запишемо асимптотичне розкладання чисельника, користуючись асимптотичними формулами для синуса і тангенсу і властивостями “мале”: sinsintg d 2 e = sinsin 2 +² d 2 e ¡ = sin À 2 +² d 2 e +² 2 +² d 2 e ¡ Á = sin 2 +² +² ¡ = sin 2 +² ¡ = 2 +². Тут ми користувалися тим, що ² d + ² ^ e = ²() і ² +² = ²(). Виведемо тепер асимптотичне розкладання знаменника, використовуючи асимптотичні формули для косинуса і логарифму: − 9 2 +² +² = − 9 2 +² . Тут ми скористалися тим, що ² 3 = ² ,² − 9 2 +² ¡ = ² ,² +² = ² . Таким чином ця межа дорівнює lim → sinsintg! 2 # lncos 3 = lim → 2 +²() − 9 2 +²() = lim → 12 + ²() − 92 + ²() = 12 +lim → ²() − 92 + lim → ²() = − 19 . Тут ми скористалися тим, що, за визначенням символу "малий" lim → ² = 0. Вища математика для чайників. Межа функції 2011 71 Від автора: Повинен сказати, що якщо ви все-таки досягли цієї сторінки, то ви вже далеко не чайник! Ви вже цілком освічена людина, який добре розуміється на межах функцій. Я спробував пояснити вам цю тему якомога зрозуміліше. Сподіваюся, це мені вдалося зробити. Далі на вас чекатиме велика і дуже важлива тема. Це – похідні та диференціали. Потім, у моїх планах стоїть тема «невизначений інтеграл», далі – «основні теореми про безперервні та диференційовані функції». Але це все поки що у планах. Цю частинуя написав і дуже задоволений цим. Напевно, у книзі присутні як граматичні помилки, і математичні (втрата знака). Прошу про це писати мені на пошту ... А зараз можете сміливо переходити до додатковим розділам☺. Успіхів! З повагою, Ваш Віосагмір І.А. [email protected]Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 72 Глава 4. Додаткові методи. Давайте розглянемо додаткові методи, з яких ми можемо вважати наші межі. У деяких випадках цими методами набагато простіше скористатися, аніж тими, що ми з вами вже пройшли. Але маємо попередити, що тут ви повинні знати як можна і потрібно диференціювати функцію. Зараз я на цьому зупинятись не буду, оскільки дана темадетально розглядається у моїй другій книзі. Отже, чим цей метод Лопіталя такий особливий? А особливий він тим, що може розкривати невизначеності виду V 0 0 v W і ∞ ⁄ . Якщо згадати, то ми вже багато пройшли способів для розкриття різних невизначеностей, але бувають такі випадки, коли складно її розкривати, чи принаймні незручно. Але знову ж таки, правило Лопіталя застосовується не у всіх випадках. Загальне формулювання має такий вигляд: За деяких умов межа відношення функцій дорівнює межівідносини їх похідних. Розгляньмо ці умови ☺. 1. lim → lim → O0або∞ 2. і O диференційовані в проколотом околиці 3. O 0 0 в проколотом околиці 4. існує lim → ′ O′ à Тоді, якщо виконуються умови 1 2 3 4 → lim → O lim → ′ O ′. Зауважте, що →, а не до якоїсь там нескінченності чи взагалі нуля. Нам важливо те, що межа цих функцій повинна дорівнювати нескінченності або нулю! Багато хто спочатку плутається з цим, тому не пропускайте це повз вуха ☺. Зміст: 1) Правило Лопіталя 2) Розкладання до ряду Тейлора. Частина 1 3) Розкладання до ряду Тейлора. Частина 2 1.Правило Лопіталя Вища математика для чайників. Межа функції 2011 73 Думаю, більше теоріїтут давати не треба. Моя книга більше націлена саме на практику, тому ми зараз до неї і переходимо. №1. Знайти межу lim → +5 3 . Рішення: Для початку випишемо наші функції () та O() = +5,O = 3 Тепер перевіряємо наші умови 1. lim → () = lim → +5 = 0,lim → O() = lim → 3 = 0 → ! 2. () і O() диференційовані в проколоті околиці. Тобто. можна взяти похідну від цих функцій у точці = 0 −! 3. O 0 = 3 ≠ 0 у проколотом околиці 0 −! 4. існує lim → ′() O′() à = lim → 2 +5 3 v −! Коли звикнете, то не витрачатимете на перевірку свій дорогоцінний час. Я вам показав, як це робити. Тепер, я перевірятиму лише перший пункт. Вам напуття - перевіряйте кожен пункт! Бо будь-яке може бути. lim → +5 3 = 7 00 − ÄÅ 8 = lim → +5 0 3 0 = lim → 2 +5 3 = 7 0 +5 3 − 8 = 53 Ось це найкращий запис рішення даного прикладу! 1 − визначаємо на невизначеність; 2 − розписуємо похідні; 3 − вважаємо похідні і одночасно дивимося, чи прагне () та O() до 0; 4 − визначаємо на невизначеність; 5 − пишемо відповідь. Чи легко? Так! Але потрібна практика, щоби не заплутатися. №2. Знайти межу lim → +4 +7 +3 Рішення: = +4 +7 → ∞ при →∞ та O = +3 → ∞ при →∞. Отже, можемо застосувати правило Лопіталю ☺. lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = ∞∞ = lim → 3 +8 +7 ′ 3 +6 ′ = lim → 6 +8 6 +6 = ∞∞ = lim → 6 +8 '6 +6 ' = lim → 66 = 7 66 8 = 1 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 74 Тут нам довелося застосовувати правило Лопіталя 3 рази, від того, що визначеність ніяк не хотіла йти! Перш ніж починати диференціювати, ви повинні перевірити умови на функції. Тут ви перевіряли умови 4 рази! Вони позначені червоним кольором – кроки, на яких ви перевіряєте умови, перш ніж перейти до наступного кроку. Повинен сказати, що ви вже напевно зрозуміли, що цей спосіб для цього прикладу явно не є оптимальним. Тут краще скористатися тим, чим ми займалися половину цієї книги – винести з чисельника та знаменника. lim → +4 +7 +3 = lim → ]1 + 4 + 7 ^ ]1 + 3 ^ = lim → 1 + 4 + 7 1 + 3 = 7 1 +0 +0 1 +0 8 = 1 А можна ще і так зробити: lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = lim → ]3 + 8 + 7 ^ ]3 + 6 ^ = lim → 3 + 8 + 7 3 + 6 = 7 1 +0 +0 3 +0 8 = 33 = 1 Тобто, на першому кроці ми перевіряємо на невизначеність і застосовуємо правило Лопіталя, але відразу здогадуємося, що потрібно так робитиме ще двічі. Щоб заощадити наш час, ми виносимо вищий ступіньна чисельник, щоб у нас вийшли нескінченно малі функції. Чому я так витрачаю багато часу на це? Я хочу, щоб ви у всьому розібралися і зрозуміли, що різні способи можна змішувати між собою! При цьому не треба забувати про умови у кожному такому способі. №3. Знайти межу lim → ln 1 +2lnsin Рішення: Саме для таких випадків у нас і є правило Лопіталя. А як вирішити інакше? Ну, хіба що якоюсь заміною. Оскільки всі умови виконуються (перевірте їх самі), ми можемо застосувати правило Лопіталя. lim → ln 1 +2lnsin = ∞∞ = lim → ln 0 1 +2lnsin 0 = lim → 1 2 ∙ cos sin = lim → sin 2 cos А чи не було у нас раніше подібного прикладу☺? По-моєму це очевидна перша чудова межа. Запишемо його красивіше: lim → sin 2 cos = 12 ∙ lim → 7! sin #∙ 1 cos 8 = 12 ∙ 1 ∙ lim → 1 cos = 12 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 75 Тому, lim → ln 1 +2lnsin = 12 . Бачите, правило Лопіталя допомагає нам дійти до певного місця. А потім ми застосовуємо те, що пройшли із вами раніше ☺. Рухаємось далі… №4. Знайти межу lim → 1 −cos 4 Рішення: Оскільки всі умови виконуються (перевірте їх самі), ми можемо застосувати правило Лопіталя. lim → 1 −cos 4 = 7 00 8 = lim → 1 −cos 4 0 0 = lim → 4sin4 2 = 7 00 8 = lim → (4sin4)′ (2)′ = lim → 16cos 4 2 = 8 Тут ми застосували правило Лопіталя двічі. До речі, тут можна було б вирішити і за допомогою першої чудової межі, після першого застосування правила Лопіталя. У нас було б ось так lim → 4sin4 2 = lim → ! sin4 4 # ∙ 8 = 8 №5. Знайти межу lim → ln Рішення: Дроби, як бачите, у нас тут немає. Тому ми можемо застосовувати правило Лопиталя. Але ж ми кмітливі, тому ми зараз самі зробимо дріб ☺. ln = ln 1 v Тепер все правильно! Перевірте умови та переконайтеся, що ми маємо право застосовувати правило Лопіталя. lim → ln = 0 ∙ ∞ = lim → ln 1 v = 7 00 8 = lim → ln ′ P 1 v Q′ = lim → 1 − 1 = −lim → = 0 = 0 №6. Знайти межу lim → ! 1 −1 − 1 ln # Вища математика для чайників. Межа функції 2011 76 Рішення: Тут так само як і в попередньому прикладі потрібно зробити дріб. Сподіваюся, ви знаєте, як складати дроби з різними знаменниками☺. 1 −1 − 1 ln = ln − +1 −1 ln Тепер усе правильно! Перевірте умови та переконайтеся, що ми маємо право застосовувати правило Лопіталя. lim → ! 1 −1 − 1 ln #= ∞−∞ = lim → ln − +1 −1 ln = 7 00 8 = lim → (ln − +1)′ (−1 ln)′ = lim → 1 −1 ln + − 1 = lim → 1 − ln + −1 = 7 00 8 = lim → (1 −)′ (ln + −1)′ = lim → −1 1 +ln +1 = 7 − 12 8 = − 12 Тут ми спочатку перейшли до дробу, потім застосували правило Лопіталя двічі поспіль. №7. Знайти межу lim → 1 + Рішення: Тут можна спробувати перейти до другої чудової межі. Ми спробуємо застосувати правило Тейлора. Для цього потрібно зробити дріб. Зробимо досить хитро - позначимо 1+за. Тобто, 1 + = →ln = 1 ∙ ln 1 + = ln 1 + Тепер використовуємо дуже корисне в Наразівластивість: Так як функція безперервна, то lnlim → = lim → ln Готовий посперечатися, половина з вас нічого не зрозуміла ☺. Коротше, у цьому прикладі ми переходимо від однієї функції до іншої, не забувши у своїй змінити межі. º → 0при | →∞прln » Правильно? Так! Згадайте графік логарифму. Відповідно, змінивши межі, ми починаємо шукати межу, користуючись правилом Лопіталя. lim → ln = lim → ln 1 + = ∞∞ = lim → ln 1 + ′ ′ = lim → 2 1 + = ∞∞ = lim → (2)′ 1 + ′ = lim → 2 2 = 0 Тепер не забуваємо перейти до зворотних переділів! Тобто. у нас виходить найвища математика для чайників. Межа функції 2011 77 lim → = абоlim → 1 + = 1 Цікавий примірник ☺? Найголовніше, що ви зрозуміли б те, що в один і той же приклад можна вирішити у різний спосіб, а не лише одним. №8. Знайти межу lim → −2arctg ln Рішення: Ми не можемо застосовувати правило Лопіталя, оскільки немає дробу. Тому ми її робимо −2arctg ln = −2arctg 1 ln Ви перевіряєте 4 властивості та розумієте, що можна застосувати правило Лопіталя. lim → −2arctg ln = lim → −2arctg 1 ln = () 7 00 8 = lim → −2arctg ′ ] 1 ln ^ ′ = lim → − 2 1 + − 1 ln = lim → 2 ln 1 + = () ∞ ∞ = lim → (2 ln)′ (1 +)′ = lim → 2ln +4ln 2 = () ∞∞ = lim → (2ln +4ln)′ (2)′ = lim → 4 ∙ ln + 4 2 = 2 lim → ln +1 = () ∞∞ = lim → (ln +1) ′ = lim → 1 v 1 = lim → 1 = 0 Ми тут використовували чотири правила Лопіталя! На вигляд рішення, звичайно, він красиве ☺. Хочу вам сказати, що такі примірники далеко не у кожному виші вирішують. Я ж хочу, щоб ви такі вирішували! І не були, так би мовити, чайниками. №9. Знайти межу lim → arcsin 1 Рішення: Тут теж трохи хитро ☺. Потрібно скористатися властивістю логарифму arcsin 1 = 1∙23/.& = 23/.& /1 Як ми це зробили? Все просто. Є така формула: Ми їй просто користуємося і отримуємо Вища математика для чайників. Межа функції 2011 78 arcsin 1 = 4 23/.& 5 = 1∙23/.& = 23/.& /1 Тобто, ми всі можемо записати так: lim → arcsin 1 = &" → 6 1∙23/ .& 7 = &" → 9 23/.& /1: = ;< = &" → 9 23/.& 0 (/1)0: = &" → 9 .& √ ∙23/.& : = &" → 9 ∙ : = = 1 Вот этот пример уже не шутка. Это полноценный, выше среднего уровня, пример! №10. Найти предел lim → ctg Решение: Здесь делаем то же самое, что и в предыдущем примере. Таким образом у нас получается lim → ctg = &" → /1 = ; < = &" → /1 0 ()0 = &" → .& ∙/1 = &" → .&∙/. = = 1 №11. Найти предел lim → −sin +sin Решение: Здесь нельзя применять правило Лопиталя! Проверьте все условия и поймите, что я говорю все верно ☺! Здесь нужно вычислять предел вот так lim → −sin +sin = lim → ]1 − sin ^ ]1 + sin ^ = lim → 1 − sin 1 + sin = 1 №12. Найти предел lim → ! sin # Решение: lim → ! sin # = &" → = .& >∙ = &" → .& = ; < = &" → .& ()0 = &" → /. = ; < = &" → = Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 79 На этом мы заканчиваем правило Лопиталя. Запомните одну важную вещь! Не стоит применять это правило езде и вся. Сначала определите, а нужно ли вообще его здесь применять? Когда у вас логарифмы, синусы, корни, то оно может помочь. Но если у вас прості вирази, воно може тільки ускладнити вашу роботу. Тож нікуди не поспішайте ☺. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 80 В даному розділіми розглянемо межу функції виду O⁄. Що таке розкладання ряду Тейлора і всі його подробиці я не розповідатиму, тому що це все написано в моїй другій книзі. У цьому розділі я на прикладах поясню принцип цієї роботи. У таблиці наведено основні розкладання за формулою Тейлора за умови, що →0. Їх можна не запам'ятовувати, просто роздрукуйте та користуйтеся ними. А зараз ми розберемо метод Тейлора на конкретні приклади . Я називаю ці приклади crash-прикладами. Зараз зрозумієте, чому саме така назва ☺. №1. Знайти межу lim → cos arctg ln 1 Рішення: Оскільки в знаменнику одна функція, то представимо її формулою Маклорена до залишкового члена ² , тобто sin 6 & 120 & 6 cos 1 2 & 24 & 6 7 " Y 1 & 2 & 24 & 6 tg & 3 & 2 15 & 6 8 Y 3 & 2 15 & 6 arcsin & 6 & 3 40 & 6 arctg 3 & 5 & 6 ln 1 & 2 & 3 4 & 6 ln 1 2 3 4 & 6 ln > & Z 1 & E 6 & 3 40 & 6 1 1 & 1 & & & 6 1 1 1 & & & & & & 6 √ 1 & 1 & 2 8 & 16 & 6 2.Розкладання в ряд Тейлора Частина 1 Вища математика для чайників Межа функції 2011 рік 81 O = − ∙ +² = − +²() Знаменник дробу легко уявити у вигляді ряду Маклорена Нам усі члени не потрібні, тому ми беремо найперший, ненульовий. Тепер розглянемо чисельник, оскільки знаменник ми розклали до залишкового члена ², то і чисельник ми повинні розкладати точно до такого ж залишкового члена. , ми розкладаємо cos до залишкового члена ² , тому що вже знаємо, що cos ми помножимо на, і він дасть нам залишковий член ² . е, ось наш розкладений чисельник: = − 2 +² − − 3 +² ¡ = − 6 +² Тоді lim → () O() = lim → − 6 +² − +²() = 16 Ось ми з вами і порахували першу межу ☺. Заплутано? Так. Але за допомогою рядів Тейлора можна вважати дуже складні та "непрохідні" межі. Знаючи як це робити, ви витратите достатньо часу на пошук межі, зате ви його в кінцевому рахунку порахуєте! Ви залишитеся у виграші ☺. №2. Знайти межу lim → sin] 1 − ^ +ln(1 −) − 2 tg(Åℎ) −arctg Рішення: Спочатку розглянемо знаменник і спробуємо знайти функцію O(). Для цього розкладемо наші функції tg(Åℎ) та arctg. Тепер постає питання, а до якого залишкового члена нам розкладати? Ну, спочатку, давайте спробуємо до ²(). Åℎ = +²() O = +² ,де = Åℎ Тепер підставимо та знайдемо O(Åℎ) O Åℎ = +² +² P +² Q = +²() Вища математика для чайників. Межа функції 2011 82 Але давайте подивимося на чисельник. Там вже залишковий член при розкладанні буде більшим, ніж ²(). Як я вже казав, залишковий член скрізь має бути однаковим. Тому нам доведеться розкладати до ². Åℎ = + 3! +² O = + 3 +² ,де = Åℎ Тепер підставимо і знайдемо O(Åℎ) O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡+ d + 3! +² e 3 +² + 3! +² ¡ Тепер звернемо увагу на другий доданок, тобто. на d+3! +² e 3 Якщо ми розкриємо дужки у чисельнику, то вийде + 2 + % 4 + 19 +² Але! Нам не потрібно, нам потрібно, як ми і домовилися раніше. Тому ми можемо позбавитися членів 2 + % 4 + 19 Тому що вони дають нам ² . Повторюю ще раз, якщо ми вирішили, що в нашому прикладі залишковий член буде представлений у вигляді ², значить він повинен бути в кожному доданку саме такий і не інакше! Відповідно ми можемо написати так: O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + P +² Q 3 +² = + 2 +² Розкладемо другий доданок у знаменнику. Воно вже є в таблиці arctg = − 3 +² Таким чином, функція знаменника O() розкладається так O = + 2 +² ¡ − − 3 +² ¡ = 5 6 +² Вища математика для чайників. Межа функції 2011 83 Тепер перейдемо до чисельника. Для початку розглянемо 1 − У нас є формула для виду дробу 1 1 − Ми зробимо хитро. Розкладемо дріб до залишкового члена, так як при множенні потім на у нас вийде оцінка. А вона якраз нам і потрібна! 1 1 − = 1 + + +² Тоді, при множенні на нас вийде 1 − = P 1 + + +² Q = + + +² Розкладемо sin, де = 1 − v . Ця формула нам також відома (у таблиці). sin = − 3! +² Тут ми розклали так само до ², тому що ніяких множень на sin у нас немає. Тепер підставимо все під та отримаємо sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P + + +² Q 3! +² ] P + + +² Q ^ Тепер розглянемо наш дріб P + + +² Q 3! Зверніть увагу на чисельник. Якщо ми розкриємо дужки, наша оцінка значно збільшиться, а нам цього не потрібна. Нам потрібно, щоб оцінка залишалася ² . Що робити? Позбавлятися інших членів! Таким чином дріб набуде дещо іншого вигляду P +² Q 3! Звичайно, якщо хочете, то можете розкрити всі дужки P + + + ² Q, а потім викинути все, ступінь яких буде більше 3. Але ви замучитеся це робити, тому викидайте їх відразу! Ось що в нас вийде Вища математика для чайників. Межа функції 2011 84 sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P +² Q 3! +² = + + +² − +² 3! = + + 5 6 +² Розглянемо другий доданок у чисельнику, тобто ln(1 −) Слава богу, його розкладання у нас вже є в таблиці ln(1 −) = − − 2 − 3 +² Отже, ми можемо записати нашу () функцію = + + 5 6 +² ¡ +− − 2 − 3 +² ¡ − 2 = 2 +² Тепер у нас є розкладені функції () та O(). Ми можемо знайти нашу межу lim → () O() = lim → 2 +² 5 6 +² = 35 Ми знайшли межу! Хочу сказати, що це вищий рівень! Це не “чайник” і не “середнячок”. Це мега-студент, який може багато чого. Панове, підвищуйте свою самооцінку і відчувайте себе вище за інших, вирішуючи такі приклади ☺. Особисто я щиро сподіваюся, що ви все зрозумієте (а може, і вже зрозуміли) все, що я розповідаю вам. Ну що!? Ідемо далі підкорювати вершини математики ☺! №3. lim → O P Q − ln Eℎ arctg(cos) −tg Рішення: Краса, чи не так ☺? Нічого, впоралися з попереднім, підкоримо і цей! Представлятимемо до точності ², як і в попередніх номерах. Спробуємо вивести опцію O(). Для цього розглянемо cos (його розкладання нам відомо) cos = 1 − 2 +² Залишковий член представлений у вигляді ² , тому що на cos ми множимо, який нам дає нашу найкращу оцінку². Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 85 cos = 1 − 2 +² ¡ = − 2 +² Тепер розкладемо arctg , де = cos (так само за таблицею) EO = − 3 +² Тоді ми можемо розкласти arctg(cos) arctg(cos) = − 2 +² ¡ − d − 2 +² e 3 +² n − 2 +² ¡ o Якщо ми звернемо увагу на чисельник другого дробу, тобто на − 2 +² ¡ , то ми відразу звернемо увагу на те, що при розкритті дужок ми не отримаємо ². Ступінь у буде значно вищим. Тому ми позбавляємося непотрібних нам членів і отримуємо arctg(cos) = − 2 +² ¡ − +² 3 +² = − 5 6 +² Нам залишилося розкласти останній доданок у знаменнику O = + 3 +² Таким чином ми зібрали всі потрібні нам дані для того, щоб знайти функцію O(). O = arctg(cos) −tg = − 5 6 +² ¡ − + 3 +² ¡ = − 7 6 +²() Відмінно! Ми змогли уявити знаменник з точністю до ². Тому ми сміливо можемо переходити до чисельника. Нам потрібно розкласти O P Q − ln Eℎ Як ви ймовірно вже зрозуміли, ми починаємо з внутрішніх функцій. Тому для початку розкладемо! де = − . ! = 1 + +²() Вища математика для чайників. Межа функції 2011 86 Як бачите, ми розкладаємо з точністю до ²(), тому що дасть нам точність ² , а − ² . = 1 − +² = P 1 − +² Q = − +² Тепер розкладемо O, де = . O = + 3 +² Підставимо та отримаємо O P Q = P − +² Q + P − +² Q 3 +² ] P − +² Q ^ Розглянемо чисельник другого дробу P − +² Q Якщо ми розкриємо дужки, то в нас уже не буде точності ² , тому інших членів ми просто позбавляємося. O P Q = P − +² Q + P +² Q 3 +² = − 2 3 +² Чудово! Один доданок ми змогли уявити. Тепер розглянемо друге ln Eℎ Тут є також своя хитрість. Так як ми ділимо на, то чисельник нам потрібно уявити з точністю до ², щоб при розподілі точність всього дробу була ². ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) Тут ми застосували просто властивість логарифму. Eℎ = 1 + 2 + 24 +² Тепер розкладемо ln(+1), де = Eℎ −1. Ми розкладаємо ln(+1), оскільки ми не маємо формул розкладання для ln. = Eℎ −1 − цим ми компенсуємо нашу одиницю. Найвища математика для чайників. Межа функції 2011 87 ln(+1) = − 2 + 3 − 4 +² = 1 + 2 + 24 +² ¡ − d 1 + 2 + 24 +² e 2 + d 1 + 2 + 24 +² e 3 − d 1 + 2 + 24 +² e 4 +² n1 + 2 + 24 +² ¡ o Ну, що ж. Тут ми повинні відкинути всі члени, щоб оцінка не збільшувалася, а також залишалася на рівні ² . Ось що у нас виходить зрештою ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) = 2ln1 + 2 + 24 +² ¡ = 2 p q r 2 + 24 +² − d 2 +² e 2 +² s t t u = 2 2 + 24 + ² − 8 +² ¡ = − 6 +² Таким чином, ми можемо розписати нашу функцію () = − 2 3 +² ¡ − 1 − 6 +² ¡ = − 2 +² Звідси можна знайти межу lim → () O( ) = lim → − 2 +² − 7 6 +²() = 37 Вища математика для чайників. Межа функції 2011 88 У цій темі ми розглянемо межу функції виду? . Так само, як і в минулому розділі, розглянемо все на прикладах. №1. Знайти межу функції lim → d √1 cos e Рішення: Розпишемо розкладання функції. Це зробити легко, тому що всі розкладання ми маємо в таблиці. √1 cos 1 12 18 ² 1 12 1 24 ² d 1 12 18 ² eÆ 1 d 12 1 24 ² e 2 ² ¡ ² Ç 1 2 8 ² ¡1 2 5 24 ² ¡1 6 ² →? lim → 1 6 ² ¡ / Як рахувати другу чудову межу ми з вами вже проходили, тому я не витрачатиму зараз на це часу. 3.Розкладання до ряду Тейлора. Частина 2

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з більшим числомвгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак, він не несе ніякого математичного сенсу, А означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступіньу чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве число нуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсуматематики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Справжній посібник (5-е вид. - 2002 р.) є керівництвом вирішення завдань з усіх розділах програми з математики для технікумів з урахуванням неповної та повної середньої школи.
Основне призначення посібника – допомогти студенту самостійно, без допомоги викладача, вивчити прийоми вирішення задач з математики, закріпити та поглибити навички, набуті при вирішенні цих завдань.
Для студентів середніх спеціальних навчальних закладів. Може бути використаний студентами коледжів.

РІШЕННЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ОДНІЙ ЗМІННОЮ.
У математиці будь-яка пропозиція, щодо якої можна сказати, чи є вона істинною чи хибною, називається висловлюванням.
Якщо з висловлювання А випливає вислів, то пишуть А-В (з А випливає В).
Якщо з висловлювання А випливає вислів У, та якщо з висловлювання У випливає висловлювання А, ці висловлювання називають рівносильними і пишуть А-В.
Рівність з однією змінною називається рівнянням з однією змінною, якщо потрібно знайти ті значення змінної, за яких виходить справжнє висловлювання(Вірна числова рівність).

Коренем (або рішенням) рівняння називається значення змінної, при підстановці якого рівняння виходить справжнє висловлювання (вірна числова рівність).
Рівняння називаються рівносильними, якщо множини їх рішень рівні.
Лінійним рівнянням з однією змінною х називається рівняння виду ах + b = 0 де а і b - дійсні числа.

Рішення лінійних рівняньі рівнянь, що зводяться до лінійних, ґрунтується на наступних двох теоремах:
1. Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то вийде рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння, рівносильне даному.

ЗМІСТ
Передмова 9
Розділ I Елементи обчислювальної математики
Глава 1. Похибки наближених значень чисел 10
§ 1. Абсолютна похибка наближеного значення числа. Кордон абсолютної похибки 10
§ 2. Вірні цифри числа. Запис наближеного значення. Округлення наближених значень чисел 11
§ 3. Відносна похибка наближеного значення 13
Глава 2. Дії над наближеними значеннями чисел 14
§ 1. Додавання наближених значень чисел 14
§ 2. Віднімання наближених значень чисел 15
§ 3. Збільшення наближених значень чисел 16
§ 4. Розподіл наближених значень чисел 17
§ 5. Зведення у ступінь наближених значень чисел та витяг з них кореня 18
§ 6. Обчислення з заданою точністю 18
§ 7. Рішення прямокутних трикутниківіз застосуванням мікрокалькулятора 19
§ 8. Рішення косокутних трикутників 21
§ 9. Змішані завдання 24
Розділ II Алгебра та початку аналізу
Глава 3. Системи рівнянь та нерівностей 25
§ I. Вирішення лінійних рівнянь з однією змінною 25
§ 2. Рішення лінійних нерівностейз однією змінною 28
§ 3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною 29
§ 4. Нерівності з однією змінною, що містять змінну під знаком модуля 33
§ 5. Розв'язання систем двох лінійних рівнянь із двома змінними 34
§ 6. Розв'язання систем трьох лінійних рівнянь із трьома змінними 37
§ 7. Розв'язання квадратних рівнянь 39
§ 8. Властивості коренів квадратного рівняння. Розкладання квадратного тричленана множники 41
§ 9. Розв'язання рівнянь, що наводяться до квадратних 43
§ 10. Завдання на складання квадратних рівнянь 45
§ 11. Графічне рішення квадратних нерівностей 46
§ 12. Ірраціональні рівняння 48
§ 13. Ірраціональні нерівностіз однією змінною 51
§ 14. Нелінійні системи рівнянь та нерівностей із двома змінними 52
§ 15. Завдання на складання систем рівнянь 55
§ 16. Найпростіші завдання лінійного програмуванняз двома змінними 55
Розділ 4. Функція. Логарифмічна та показова функції 58
§ 1. Функція. Область визначення та безліч значень функції 58
§ 2. Логарифмічна функція 60
§ 3. Показові рівняння 62
§ 4. Системи показових рівнянь 64
§ 5. Показові нерівності 65
§ 6. Логарифмічні рівняння 66
§ 7. Системи логарифмічних рівнянь 68
§ 8. Логарифмічні нерівності 68
§ 9. Змішані завдання 69
Глава 5. Нескінченна числова послідовність. Межа послідовності 71
§ 1. Нескінченна числова послідовність 71
§ 2. Межа числової послідовності 73
Глава 6. Межа функції 76
§ 1. Обчислення межі функції 76
§ 2. Число е. Натуральні логарифми 81
§ 3. Змішані завдання 82
§ 4. Збільшення аргументу та збільшення функції 83
§ 5. Безперервність функції 84
§ 6. Точки розриву функції 86
§ 7. Асимптоти 87
§ 8. Рішення дробово-раціональних нерівностейметодом проміжків 89
Глава 7. Похідна 92
§ 1. Швидкість зміни функції 92
§ 2. Похідна: 94
§ 3. Основні правила диференціювання. Похідні ступеня та кореня 95
§ 4. Похідна складної функції 98
§ 5. Фізичні додатки похідної 100
§ 6. Похідні логарифмічних функцій 102
§ 7. Похідні показових функцій 103
§ 8. Змішані завдання 104
Глава 8. Додатки похідної для дослідження функцій 105
§ 1. Зростання та спадання функції 105
§ 2. Дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної 107
§ 3. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної ПЗ
§ 4. Найменше та найбільше значення функції 111
§ 5. Завдання на знаходження найменших та найбільших значень величин 111
§ 6. Напрямок опуклості графіка функції ІЗ
§ 7. Точки перегину 114
§ 8. Побудова графіків функцій 115
Розділ 9. Тригонометричні функції 118
§ 1. Радіанний вимір дуг та кутів 118
§ 2. Одинична числове коло 121
§ 3. Тригонометричні функції числового аргументу 123
§ 4. Знаки, числові значення та властивості парності та непарності тригонометричних функцій 124
§ 5. Основні тригонометричні тотожності 128
§ 6. Періодичність тригонометричних функцій 132
§ 7. Зворотні тригонометричні функції 134
§ 8. Побудова дуги (кута) по даному значеннютригонометричної функції 135
§ 9. Тригонометричні рівняння 140
§ 10. Тригонометричні нерівності 145
§ 11. Властивість напівперіоду синуса та косинуса 147
§ 12. Формули наведення 148
§ 13. Змішані завдання 149
§ 34. Тригонометричні функції алгебраїчної сумидвох аргументів (формули додавання) 150
§ 15. Змішані -завдання 154
§ 16. Тригонометричні функції подвоєного аргументу 155
§ 17. Тригонометричні функції половинного аргументу 157
§ 18. Змішані завдання 169
§ 19. Перетворення твору тригонометричних функцій на алгебраїчну суму 162
§ 20. Перетворення алгебраїчної суми тригонометричних функцій на твір 163
§ 21. Перетворення за допомогою допоміжного аргументу 166
§ 22. Змішані завдання 168
§ 23. Обчислення меж тригонометричних функцій. Межа відно-sin х шення при х->0 169
§ 24. Похідні тригонометричних функцій 1171
§ 25. Похідні зворотних тригонометричних функцій 173
§ 26. Друга похідна та її додатки 174
§ 27. Гармонічні коливання 175
§ 28. Основні властивостітригонометричних функцій 177
§ 29. Побудова графіків тригонометричних функцій 177
§ 30. Змішані завдання 178
Розділ 10. Диференціал функції. Додаток диференціала до наближених обчислень 180
§ 1. Обчислення диференціала функції 180
§ 2. Абсолютна та відносна похибки 181
§ 3. Обчислення наближеного числового значенняфункції 182
§ 4. Формули для наближених обчислень 183
§ 5. Обчислення за способом строго обліку похибок 184ч
§ 6. Змішані завдання 187
Розділ 11. Невизначений інтеграл 188
§ 1. Основні формули інтегрування. Безпосереднє інтегрування 188
§ 2. Геометричні додатки невизначеного інтегралу 194
§ 3. Фізичні додатки невизначеного інтеграла 196
§ 4. Інтегрування методом заміни змінної 198
§ 5. Інтегрування частин 201
§ 6. Інтегрування деяких тригонометричних функцій 203
§ 7. Змішані завдання 204
Розділ 12. Певний інтеграл 205
§ 1. Певний інтеграл та його безпосереднє обчислення 205
§ 2. Обчислення певного інтеграла методом заміни змінної 208
§ 3. Інтегрування частинами у певному інтегралі 210
§ 4. Наближене обчислення певних інтегралів 211
Розділ 13. Додатки певного інтегралу 212
§ 1. Застосування певного інтеграла до обчислення різних величин. Площа плоскої фігури 212
§ 2. Обчислення шляху, пройденого точкою 219
§ 3. Обчислення роботи сили 221
§ 4. Обчислення роботи, що проводиться під час підняття вантажу 223
§ 5. Обчислення сили тиску рідини 225
§ 6. Довжина дуги плоскою кривою 227
Розділ 14. Комплексні числа 229
§ 1. Комплексні числа та їх геометрична інтерпретація 229
§ 2. Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі 233
§ 3. Дії над комплексними числами, заданими в тригонометричній формі 235
§ 4, Показова функціяіз комплексним показником. Формули Ейлера 239
§ 5. Змішані завдання 242
Глава 15. Диференціальні рівняння 243
§ 1. Диференціальні рівняння першого порядку з змінними, що розділяються 243
§ 2. Завдання на складання диференціальних рівнянь 245
§ 3. Лінійні диференційне рівнянняпершого порядку 248
§ 4. Неповні диференціальні рівняння другого порядку 250
§ 5. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами 253
§ 6. Змішані завдання 256
Глава 16. Елементи комбінаторики та теорії ймовірностей 257
§ 1. Елементи комбінаторики 257
§ 2. Випадкові події. Імовірність події 260
§ 3. Теореми складання ймовірностей 262
§ 4. Теореми множення ймовірностей 264
§ 5. Формула повної ймовірності. Формула Байєса 265
§ 6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі 266
§ 7. Змішані завдання 267
Розділ ІІІ Геометрія
Розділ 17. Вектори на площині 269
§ I. Основні поняття та визначення 269
§ 2. Додавання та віднімання векторів. Розмноження вектора на число 270
§ 3. Прямокутна системакоординат 273
§ 4. Довжина вектора. Відстань між двома точками на площині. Кути, що утворюються вектором з осями координат 276
§ 5. Розподіл відрізка в даному відношенні 278
§ 6, Скалярний твірдвох векторів 279
§ 7. Перетворення прямокутних координат 281
§ 8. Полярні координати 283
§ 9. Змішані завдання 284
Розділ 18. Пряма на площині та її рівняння 286
§ 1. Загальне рівнянняпрямий. Векторне та канонічне рівнянняпрямий 286
§ 2. Рівняння прямої у відрізках на осях 289
§ 3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 290
§ 4. Рівняння прямої, що проходить через дану точкуу заданому напрямку 293
§ 5. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки 294
§ 6. Перетин двох прямих 295
§ 7. Кут між двома прямими 296
§ 8. Умова паралельності двох прямих 299
§ 9. Умова перпендикулярності двох прямих 300
§ 10. Змішані завдання 302
Глава 19. Криві другого порядку 304
§ 1. Безліч точок на площині 304
§ 2. Окружність 306
§ 3. Еліпс 310
§ 4. Гіпербола 312
§ 5. Парабола з вершиною на початку координат 315
§ 6. Парабола зі зміщеною вершиною 318
§ 7. Дотична та нормаль до кривої 321
§ 8. Змішані завдання 326
Розділ 20. Прямі та площини у просторі 327
§ 1. Паралельність прямих та площин 327
§ 2. Перпендикулярність у просторі. Двогранні та багатогранні кути 330
§ 3. Змішані завдання 333
Розділ 21. Вектори у просторі 335
§ 1. Основні поняття. Прямокутна система координат у просторі 4 335
§ 2. Скалярний добуток векторів у просторі 339
§ 3. Векторний витвір 340
§ 4. Змішані завдання 342
Розділ 22. Рівняння прямої та площини у просторі 343
§ 1. Площина 343
§ 2. Пряма у просторі 347
§ 3. Площина та пряма 350
§ 4. Змішані завдання 352
Глава 23. Багатогранники та площі їх поверхонь 353
§ 1. Призма 353
§ 2. Площа поверхні призми 355
§ 3. Піраміда. Усічена піраміда 357
§ 4. Площа поверхні піраміди та усіченої піраміди 360
§ 5. Змішані завдання 361
Розділ 24. Фігури обертання 363
§ 1. Циліндр 363
§ 2. Конус. Усічений конус 364
§ 3. Сфера. Куля 365
§ 4. Вписана та описана сфери 367
§ 5. Змішані завдання 369
Розділ 25. Обсяги багатогранників та фігур обертання 370
§ 1. Обсяг паралелепіпеда та призми 370
§ 2. Обсяг піраміди 372
§ 3. Обсяг усіченої піраміди 373
§ 4. Дослідження на екстремум у завданнях на обсяги багатогранників 373
§ 5. Обсяг фігур обертання 374
§ 6. Дослідження на екстремум у завданнях на обсяги фігур обертання 376
§ 7. Обчислення обсягів фігур обертання за допомогою певного інтегралу 378
§ 8. Змішані завдання 381
Глава 26. Площі поверхонь фігур обертання 383
§ 1. Площі бічної та повної поверхонь циліндра 383
§ 2. Площі бічної та повної поверхонь конуса 384
§ 3. Площі бічної та повної поверхонь усіченого конуса 385
§ 5. Дослідження на екстремум у завданнях на площі поверхонь фігур обертання 386
§ 6. Обчислення площ поверхонь фігур обертання за допомогою певного інтегралу 387
§ 7. Змішані завдання 389
Розділ IV Додаткові розділи
Розділ 27. Ряди 391
§ 1. Числові ряди 391
§ 2. Необхідна ознаказбіжності ряду. Достатні ознакизбіжності рядів з позитивними членами 395
§ 3. Знакозмінні та знакочередуючі ряди. Абсолютна та умовна збіжність. Ознака збіжності Лейбниця для рядів, що чергуються 400
§ 4. Обчислення суми членів знакочередного ряду із заданою точністю та оцінка залишку ряду 403
§ 5. Ступінні ряди 405
§6. Розкладання функцій у статечні ряди 409
§ 7. Застосування статечних рядівдо наближених обчислень значень функцій 416
§ 8. Обчислення певних інтегралів за допомогою статечних рядів 417
Розділ 28. Ряди Фур'є 419
§ 1. Тригонометричний ряд Фур'є 419
§ 2. Ряд Фур'є для не парної функції 423
§ 3. Ряд Фур'є для парної функції 426
§ 4. Розкладання ряд Фур'є функції, заданої в проміжку 0 § 5. Розкладання ряд Фур'є функції, заданої в довільному проміжку 430
§ 6. Розкладання до лав Фур'є деяких функцій, що часто зустрічаються в електротехніці 433
Розділ 29. Подвійні інтеграли 435
§ 1. Функції кількох змінних 435
§ 2. Приватні похідні та повний диференціал 438
§ 3. Подвійний інтеграл та його обчислення 439
§ 4. Подвійний інтеграл у полярних координатах 447
§ 5. Обчислення площі плоскої фігури 450
§ 6. Обчислення об'єму тіла 451
§ 7. Обчислення площі поверхні 454
§ 8. Обчислення маси плоскої фігури 459
§ 9. Обчислення статичних моментів плоскої фігури 460
§ 10. Координати центру тяжіння плоскої фігури 463
§ 11. Обчислення моментів інерції плоскої фігури 466
Відповіді 466.

Збірник завдань з математики.

У посібнику представлені завдання з основних розділів математики: алгебри, початків аналізу, диференціального та інтегрального обчислень, диференціальних рівнянь, аналітичної геометрії на площині, стереометрії, а також елементів комбінаторики та теорії ймовірностей. Виділено вправи та завдання підвищеної складності та для повторення за курс дев'ятирічної школи. Наводиться довідковий теоретичний матеріал. Видання є однією з книг навчального комплекту, до якого також входять підручник «Математика» Н. В. Богомолова, П. І. Самойленко (М.: Дрофа, 2002. – 400 с.) та «Збірник дидактичних завдань з математики» М. В. Богомолова та Л. Ю. Сергієнко.

ЗМІСТ
Передмова
ЧАСТИНА 1. АЛГЕБРА І ПОЧАТКУ АНАЛІЗУ
РОЗДІЛ 1. ЛІНІЙНІ ТА КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРАВЕНСТВА. ЕЛЕМЕНТИ ВИЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Дії над дійсними та комплексними числами 4
§ 2. Дії над наближеними числами. Абсолютна та відносна похибки 6
§ 3. Лінійні рівняння з однією змінною 8
§ 4. Лінійні нерівності 9
§ 5. Системи лінійних рівнянь 11
§ 6. Квадратні рівняння 12
§ 7. Квадратні нерівності 15
§ 8. Ірраціональні рівняння та ірраціональні нерівності 16
§ 9. Нелінійні системи рівнянь із двома змінними 17
РОЗДІЛ 2. ЛОГАРИФМІЧНА І ПОКАЗНА ФУНКЦІЇ
§ 10. Логарифмічна функція 19
§ 11. Показові рівняння та системи показових рівнянь. Показові нерівності 20
§ 12. Логарифмічні рівняння та системи логарифмічних рівнянь. Логарифмічні нерівності 22
РОЗДІЛ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 13. Вектори на площині 23
§ 14. Радіанний вимір дуг та кутів 24
§ 15. Числові значення та знаки тригонометричних функцій 25
§ 16. Обчислення значень тригонометричних функцій за цим значенням однієї з них 26
§ 17. Основні тригонометричні тотожності. Докази тотожностей 27
§ 18. Періодичність тригонометричних функцій 28
§ 19. Формули наведення 30
§ 20. Зворотні тригонометричні функції 31
§ 21. Тригонометричні рівняння. Найпростіші тригонометричні нерівності 32
§ 22. Тригонометричні функції алгебраїчної суми двох аргументів (формули складання) 35
§ 23. Тригонометричні функції подвоєного аргументу (формули подвоєння) 36
§ 24. Тригонометричні функції половинного аргументу (формули поділу) 38
§ 25. Перетворення твору тригонометричних функцій на алгебраїчну суму 40
§ 26. Перетворення алгебраїчної суми тригонометричних функцій на твір 41
РОЗДІЛ 4. МЕЖІ ТА ВИРОБНИЧІ
§ 27. Межа функції 43
§ 28. Похідна ступеня та кореня 45
§ 29. Похідна складної функції (функції від функції)
§ 30. Геометричні додатки похідної 47
§ 31. Фізичні додатки похідної 48
§ 32. Похідні тригонометричних функцій. Похідні зворотних тригонометричних функцій
§ 33. Похідні логарифмічних та показових функцій 50
§ 34. Дослідження функцій із застосуванням похідної 51
§ 35. Диференціал функції. Додаток диференціала до наближених обчислень 55
РОЗДІЛ 5. ІНТЕГРАЛИ
§ 36. Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування 57
§ 37. Геометричні та фізичні додатки невизначеного інтеграла 58
§ 38. Обчислення невизначеного інтеграла методом заміни змінної (способом підстановки) 60
§ 39. Певний інтеграл та його безпосереднє обчислення 62
§ 40. Диференціальні рівняння 63
РОЗДІЛ 6. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ ТА ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ
§ 41. Елементи комбінаторики 65
§ 42. Елементи теорії ймовірностей 66
ЧАСТИНА 2. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ. ЕЛЕМЕНТИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
РОЗДІЛ 7. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ
§ 43. Пряма лінія 68
§ 44. Окружність 72
§ 45. Еліпс 73
§ 46. Гіпербола 74
§ 47. Парабола з вершиною на початку координат 75
§ 48. Парабола зі зміщеною вершиною 76
РОЗДІЛ 8. ЕЛЕМЕНТИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
§ 49. Пряма і площина у просторі 11
§ 50. Призма та паралелепіпед 79
§ 51. Площі поверхонь призми та паралелепіпеда 80
§ 52. Піраміда. Усічена піраміда 82
§ 53. Площі поверхонь піраміди та усіченої піраміди 84
§ 54. Циліндр 86
§ 55. Площі бічної та повної поверхонь циліндра 87
§ 56. Конус. Усічений конус 88
§ 57. Площі бічної та повної поверхонь конуса та усіченого конуса 89
§ 58. Сфера та куля. Вписана та описана сфери. Площі поверхонь сфери та її частин 90
§ 59. Обсяги призми та паралелепіпеда 92
§ 60. Обсяг піраміди. Об'єм усіченої піраміди 93
§ 61. Обсяги фігур обертання 95
§ 62. Обчислення обсягів фігур обертання за допомогою певного інтегралу 97
ЧАСТИНА 3. ДОДАТКОВІ ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ
ГЛАВА 9. ДОДАТКОВІ ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ ПО АЛГЕБРІ
§ 63. Лінійні рівняння з однією змінною та системи лінійних рівнянь 98
§ 64. Лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей 102
§ 65. Розв'язання нерівностей методом проміжків (інтервалів). Вирішення нерівностей з модулем 104
§ 66. Квадратні рівняння. Рівняння до квадратних 104
§ 67. Ірраціональні рівняння та нерівності 108
§ 68. Системи рівнянь другого та вище ступенів 109
§ 69. Показові та логарифмічні рівняння та нерівності 111
РОЗДІЛ 10. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. ДОДАТКОВІ ВПРАВИ
§ 70. Тригонометричні тотожності. 115
§ 71. Теореми додавання. Тригонометричні функції подвійного та половинного аргументів 117
§ 72. Перетворення алгебраїчної суми тригонометричних функцій на твір 118
§ 73. Тригонометричні рівняння та тригонометричні нерівності 120
РОЗДІЛ 11. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
§ 74. Пряма лінія 122
§ 75. Геометричні місця точок на площині. Криві другого порядку 123
ГЛАВА 12. ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ
§ 76. Додатки похідної до дослідження функцій 126
§ 77. Фізичні додатки похідної 129
РОЗДІЛ 13. ЕЛЕМЕНТИ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЗЛІЧЕННЯ
§ 78. Геометричні додатки невизначеного інтеграла 130
§ 79. Фізичні додатки невизначеного інтеграла 131
§ 80. Певний інтеграл 132
ЧАСТИНА 4. ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ЗА КУРС ДЕВ'ЯТИРІЧНОЇ ШКОЛИ
РОЗДІЛ 14. АРИФМЕТИЧНІ ТА АЛГЕБРАЇЧНІ ДІЇ
§ 81. Арифметичні дії 135
§ 82. Алгебраїчні дії 137
ГЛАВА 15. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ І СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.
ЛІНІЙНІ НЕРАВЕНСТВА ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ НЕРАВЕНСТВ. ДРІБНІ ПОКАЗНИКИ
§ 83. Лінійні рівняння та системи лінійних рівнянь 139
§ 84. Лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей з однією змінною 141
§ 85. Дії з дробовими показниками та корінням 142
РОЗДІЛ 16. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ І КВАДРАТНІ НЕРІВНОСТІ. ПРОГРЕСІЇ
§ 86. Квадратні рівняння та системи рівнянь другого ступеня з двома змінними 144
§ 87. Квадратні нерівності 145
§ 88. Прогресії 146
ЧАСТИНА 5. ДОВІДКОВІ МАТЕРІАЛИ
РОЗДІЛ 17. АРИФМЕТИКА ТА АЛГЕБРА
§ 89. Початкові відомості з арифметики 149
§ 90. Періодичні десяткові дроби 150
§ 91. Відсотки 151
§ 92. Пропорції 151
§ 93. Формули скороченого множення 152
§ 94. Дії зі ступенями та корінням 153
§ 95. Комплексні числа в формі алгебри 154
§ 96. Лінійні рівняння та системи лінійних рівнянь 156
§ 97. Короткі відомості про визначників. Розв'язання системи лінійних рівнянь за формулами Крамера 159
§ 98. Розв'язання системи трьох лінійних рівнянь прагнучи змінними методом Гауса 161
§ 99. Квадратні рівняння та квадратні нерівності 162
§ 100. Прогресії 163
§ 101. Ірраціональні рівняння та ірраціональні нерівності 164
§ 102. Логарифми. Логарифмічні нерівності 165
§ 103. Показові нерівності 168
§ 104. Елементи комбінаторики 168
РОЗДІЛ 18. ТРИГОНОМЕТРІЯ
§ 105. Основні тригонометричні тотожності 170
§ 106. Формули наведення 172
§ 107. Зворотні тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння 172
§ 108. Тригонометричні функції алгебраїчної суми двох аргументів. Формули подвоєного та половинного аргументів 174
§ 109. Перетворення твору тригонометричних функцій на алгебраїчну суму та алгебраїчну суму на твір 175
РОЗДІЛ 19. ГЕОМЕТРІЯ
§ 110. Площі багатокутників. Окружність і коло 176
§ 111. Обсяги та площі поверхонь геометричних тіл... 178
РОЗДІЛ 20. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ
§ 112. Пряма на площині 181
§ 113. Криві другого порядку 184
РОЗДІЛ 21. ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ
§ 114. Похідна 187
§ 115. Дослідження функцій із застосуванням похідної 189
§ 116. Диференціал функції. Додаток диференціала до наближених обчислень 192
РОЗДІЛ 22. ІНТЕГРАЛ
§ 117. Невизначений інтеграл 194
§ 118. Певний інтеграл 197
§ 119. Диференціальні рівняння.

Передмова .
Справжнє видання є задачником з математики для учнів технікумів і є однією з книг навчального комплекту, до якого також входять «Математика» Н. В. Богомолова, П. І. Самойленко (5-е вид. – М.: Дрофа, 2008). - 400 с: іл.) та «Збірник дидактичних завдань з математики» Н.В.Богомолова, Л. Ю. Сергієнко (2-ге вид. - М.: Дрофа, 2006. - 240 с: іл.). Зміст завдання відповідає діючим програмам для технікумів як гуманітарного напряму, так і фінансово-економічних, технічних, будівельних і педагогічних.

Посібник охоплює матеріал, що відноситься до алгебри, початків аналізу, диференціального та інтегрального обчислень, диференціальних рівнянь, аналітичної геометрії на площині, стереометрії, а також елементів комбінаторики та теорії ймовірностей. Виділено вправи та завдання підвищеної складності та для повторення за курс дев'ятирічної школи. Окрему частину становить довідковий матеріал, що охоплює у компактному вигляді всі теоретичні відомості, необхідні вирішення завдань.

Задачник з успіхом можна використовувати як занять під керівництвом викладача, так самостійної роботи. Він також становить значний інтерес для школярів старших класів загальноосвітніх шкіл, слухачів курсів з підготовки до ВНЗ та вчителів шкіл.