Усі формули правильної піраміди. Геометричні фігури

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутник, а основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та « правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхніпіраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні граніоднаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: зверніть увагу, що всі пункти поєднує одне загальна властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти

Піраміди

Розглянемо довільну площину α, довільний опуклий n-кутник A 1 A 2 ... A n , розташований у цій площині, і точку S , що не лежить у площині .

Визначення 1. Пірамідою ( n - вугільною пірамідою)називають фігуру, утворену відрізками, що з'єднують точку S з усіма точками багатокутника A 1 A 2 ... A n (рис. 1).

Зауваження 1. Нагадаємо, що багатокутник A 1 A 2 ... A n складається із замкнутої ламаної лінії A 1 A 2 ... A n та обмеженою нею частини площини.

Визначення 2.

Тетраедри. Правильні тетраедри

Визначення 5. Довільну трикутну піраміду називають тетраедром.

Твердження. У будь-якій правильній трикутній піраміді протилежні ребра попарно перпендикулярні.

Доведення. Розглянемо правильну трикутну піраміду SABCі кілька її протилежних ребер, наприклад, AC і BS . Позначимо літерою D середину ребра AC. Оскільки відрізки BD і SD є медіанами рівнобедрених трикутниках ABC і ASC , то BD і SD перпендикулярні до ребра AC (рис. 4).

де літерою D позначено середину ребра AC (рис. 6).

За теоремою Піфагора з трикутника BSO знаходимо

Відповідь.

Формули для об'єму, площі бічної та повної поверхні піраміди

Введемо такі позначення

Тоді справедливі такі формули для обчислення об'єму, площі бічної та повної поверхні піраміди:

Вирішуючи завдання C2 методом координат, багато учнів стикаються з однією проблемою. Вони не можуть розрахувати координати точок, що входять до формули скалярного твору. Найбільші труднощівикликають піраміди. І якщо точки основи вважаються більш-менш нормально, то вершини – справжнє пекло.

Сьогодні ми займемося правильною чотирикутною пірамідою. Є ще трикутна піраміда(Вона ж - тетраедр). Це більше складна конструкціятому їй буде присвячений окремий урок.

Для початку згадаємо визначення:

Правильна піраміда- це така піраміда, у якої:

1. В основі лежить правильний багатокутник: трикутник, квадрат тощо;
2. Висота, проведена до основи, проходить через його центр.

Зокрема, основою чотирикутної піраміди є квадрат. Прямо як у Хеопса, тільки трохи менше.

Нижче наведені розрахунки для піраміди, у якої всі ребра дорівнюють 1. Якщо у вашому завданні це не так, викладки не змінюються - просто числа будуть іншими.

Вершини чотирикутної піраміди

Отже, нехай дана правильна чотирикутна піраміда SABCD , де S – вершина, основа ABCD – квадрат. Усі ребра дорівнюють 1. Потрібно ввести систему координат і знайти координати всіх точок. Маємо:

Вводимо систему координат з початком у точці A:

1. Вісь OX спрямована паралельно ребру AB;
2. Ось OY - паралельно AD. Оскільки ABCD - квадрат, AB ⊥ AD;
3. Нарешті, вісь OZ направимо вгору, перпендикулярно площині ABCD.

Тепер рахуємо координати. Додаткова побудова: SH – висота, проведена до основи. Для зручності винесемо основу піраміди на окремий малюнок. Оскільки точки A, B, C і D лежать у площині OXY, їх координата z = 0. Маємо:

1. A = (0; 0; 0) - збігається з початком координат;
2. B = (1; 0; 0) - крок на 1 по осі OX від початку координат;
3. C = (1; 1; 0) - крок на 1 по осі OX і на 1 по осі OY;
4. D = (0; 1; 0) - крок тільки по осі OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) – центр квадрата, середина відрізка AC .

Залишилося знайти координати точки S. Зауважимо, що координати x і y точок S і H збігаються, оскільки вони лежать на прямій, паралельної осі OZ. Залишилося знайти координату z для точки S.

Розглянемо трикутники ASH і ABH:

1. AS = AB = 1 за умовою;
2. Кут AHS = AHB = 90°, оскільки SH – висота, а AH ⊥ HB як діагоналі квадрата;
3. Сторона AH – загальна.

Отже, прямокутні трикутники ASH та ABH рівніпо одному катету та гіпотенузі. Значить, SH = BH = 0,5 · BD. Але BD – діагональ квадрата зі стороною 1. Тому маємо:

Разом координати точки S:

На закінчення випишемо координати всіх вершин правильної прямокутної піраміди:

Що робити, коли ребра різні

А якщо бічні ребра піраміди не рівні ребрам основи? У цьому випадку розглянемо трикутник AHS:

Трикутник AHS - прямокутний, Причому гіпотенуза AS - це одночасно і бічне ребро вихідної піраміди SABCD. Катет AH легко вважається: AH = 0,5 · AC. катет SH, що залишився, знайдемо за теоремою Піфагора. Це буде координата z для точки S .

Завдання. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD , в основі якої лежить квадрат зі стороною 1. Бокове ребро BS = 3. Знайдіть координати точки S .

Координати x та y цієї точки ми вже знаємо: x = y = 0,5. Це випливає з двох фактів:

1. Проекція точки S на площину OXY - це точка H;
2. Одночасно точка H - центр квадрата ABCD, всі сторони якого 1.

Залишилося знайти координату точки S. Розглянемо трикутник AHS. Він прямокутний, причому гіпотенуза AS = BS = 3, катет AH – половина діагоналі. Для подальших обчислень нам знадобиться його довжина:

Теорема Піфагора для трикутника AHS: AH2 + SH2 = AS2. Маємо:

Отже, координати точки S .

• апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутникана одну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) — спільні сторонибічних граней;
• вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
• діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
• основа (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу у тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутівпіраміди перетинаються в 1-й точці (необхідна і достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і піде мовадалі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини в вигляді трикутників, що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на поверхню фігури опустити пряму під кутом на 90 градусів, то її частина, укладена в внутрішньому просторі- Висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форминазивають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліччю властивостей, які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. всі бічні ребранахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то використовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра дорівнюють ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. У даному випадкунеобхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше в шкільному курсігеометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частинубагатогранника, то в нижній частині одержують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи зрізаного багатогранника є подібними багатокутниками. У цьому випадку бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто у трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхнявключає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбік=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди