Як знайти площу багатокутника 4. Як знайти площу багатокутника

Урок із серії « Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу.

Вирішення багатьох завдань обчислювальної геометрії ґрунтується на знаходженні площі багатокутника. На цьому уроці ми виведемо формулу для обчислення площі багатокутника через координати вершин, напишемо функцію для обчислення цієї площі.

Завдання. Обчислити площу багатокутника, заданого координатамисвоїх вершин, у порядку їх обходу за годинниковою стрілкою.

Відомості з обчислювальної геометрії

Для виведення формули площі багатокутника нам знадобляться відомості з обчислювальної геометрії, а саме поняття орієнтованої площі трикутника.

Орієнтована площа трикутника – це звичайна площа, з знаком. Знак орієнтованої площі трикутника АВСтакий же, як у орієнтованого кута між векторами та . Тобто, її знак залежить від порядку перерахування вершин.

на Рис. 1 трикутник АВС- Прямокутний. Його орієнтована площа дорівнює (вона більше нуля, оскільки пара , орієнтована позитивно). Цю величину можна обчислити іншим способом.

Нехай Про- Довільна точка площини. На нашому малюнку площа трикутника ABCвийде, якщо від площі трикутника OBC відняти площі OAB і OCA. Таким чином, потрібно просто скласти орієнтовані площітрикутників OAB, OBC та OCA. Це правило працює за будь-якого вибору точки Про.

Так само для обчислення площі будь-якого багатокутника потрібно скласти орієнтовані площі трикутників

У сумі вийде площа багатокутника, взята зі знаком плюс, якщо при обході ламаної багатокутника знаходиться зліва (обхід кордону проти годинникової стрілки), і зі знаком мінус, якщо він знаходиться праворуч (обхід за годинниковою стрілкою).

Отже, обчислення площі багатокутника звелося знаходження площі трикутника. Подивимося, як висловити її у координатах.

Векторний добуток двох векторів на площині є площа паралелограма, побудованого на цих векторах.

Векторний твір, виражений через координати векторів:

Площа трикутника дорівнюватиме половині цієї площі:

В якості точки зручно взяти початок координат, тоді координати векторів, на підставі яких обчислюються орієнтовані площі, збігатимуться з координатами точок.

Нехай (х 1, y 1), (x 2, у 2), …, (х N, у N) - координати вершин заданого багатокутникав порядку обходу або проти годинникової стрілки. Тоді його орієнтована площа S дорівнюватиме:

Це і є наша робоча формула, вона використовується у нашій програмі.

Якщо координати вершин були задані як обхід проти годинникової стрілки, то число S,обчислене за цією формулою, вийде позитивним. В іншому випадку воно буде негативним, і для отримання звичайної геометричній площінам потрібно взяти його абсолютне значення.

Отже, розглянемо програму знаходження площі багатокутника, заданого координатами вершин.

Program geom6; Const n_max = 200; ( максимальна кількістьточок +1) type b = record x, y: real; end; myArray = array of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Заповнення масиву) begin assign(input, "input.pas"); reset (input); readln(input, n); for i:=1 до n до read(input, a[i].x,a[i].y); close (input); end; функція Square (A: myarray): real; (Обчислення площі багатокутника) var i:integer; S: real; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i: = 1 до n do s: = s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Square: = S end; (Square) begin (main) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln("S=", s: 6:2); end.

Координати вершин зчитуються з файлу input.pas., зберігаються в масиві Ау вигляді записів із двома полями. Для зручності обходу багатокутника в масиві вводиться n+1 елемент, значення якого дорівнює значенню першого елемента масиву.

Площа, одна з основних величин, пов'язаних із геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється кількістю заповнювачів плоску фігуруодиничних квадратів, тобто квадратів зі стороною, рівної одиницідовжини. Обчислення П. було вже в давнину.

Цей термін має й інші значення, див. Площа (значення). Площа плоскої фігури адитивна числова характеристикафігури, що цілком належить одній площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеве… Вікіпедія

I Площа одна з основних величин, пов'язаних із геометричними фігурами. У найпростіших випадках вимірюється числом одиничних квадратів, що заповнюють плоску фігуру, тобто квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини. Обчислення П.… … Велика Радянська Енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Площа (значення). Площа Розмірність L² Одиниці виміру СІ м² … Вікіпедія

Ж. 1. Частина земної поверхні, простір, природно обмежений або спеціально виділений для будь-якої мети. отт. Водний простір. отт. Велике, рівне місце, простір. 2. Рівний незабудований простір суспільного ... Сучасний тлумачний словникросійської мови Єфремової

Ця стаття пропонується для видалення. Пояснення причин та відповідне обговорення ви можете знайти на сторінці Вікіпедія:До видалення/2 вересня 2012 року.

Дві фігури в R2, що мають рівні площіі відповідно два багатокутники M1 і М 2 такі, що їх можна розрізати на багатокутники так, що частини, що становлять М 1, відповідно конгруентні частинам, що становлять М 2. Для, рівновеликість… Математична енциклопедія

В = 7, Г = 8, В + Г / 2 - 1 = 10 Теорема Піка класичний результат комбінаторної геометріїта геометрії чисел. Площа багатокутника з цілочислом … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Теорема Піка. В = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Формула Піка (або теорема Піка) класичний результат комбінаторної геометрії та геометрії чисел. Площа … Вікіпедія

Область (зв'язкове відкрита безліч) на межі опуклого тіла в евклідовому просторі Е 3. Вся межа опуклого тіла зв. повної Ст п. Якщо тіло звичайно, то повна Ст п. зв. замкнутої. Якщо тіло нескінченне, то повна Ст п. зв. нескінченною. Математична енциклопедія

Книги

• Набір таблиць. Геометрія. 8 клас. 15 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом з 15 аркушів.
• Набір таблиць. Математика. Геометричні фігури та величини (9 таблиць) , . Навчальний альбом із 9 аркушів. Крапки. Лінії. Багатокутники. Периметр багатокутника. Площа геометричних фігур. Кут. Види кутів. Величини. Одиниці часу. Одиницідовжини. Одиниці маси.

Кожен, хто вивчав у школі математику та геометрію, хоча б поверхово знає ці науки. Але згодом, якщо у них не практикуватися, пізнання забуваються. Багато хто навіть вважає, що даремно витратили свій час, вивчаючи геометричні розрахунки. Однак вони помиляються. Технічні працівники виконують повсякденну роботу, пов'язану із геометричними розрахунками. Що стосується розрахунку площі багатокутника, то й ці знання знаходять своє застосування у житті. Знадобляться вони хоча б для того, щоб розрахувати площу земельної ділянки. Отже, давайте дізнаємось, як знайти площу багатокутника.

Визначення багатокутника

Спочатку визначимося про те, що таке багатокутник. Це пласка геометрична фігураяка утворилася в результаті перетину трьох або більше прямих. Інше просте визначення: багатокутник – це замкнута ламана. Звичайно, при перетині прямих утворюються точки перетину, їх кількість дорівнює кількості прямих, що утворюють багатокутник. Точки перетину називають вершинами, а відрізки, утворені від прямих, – сторонами багатокутника. Суміжні відрізкибагатокутники знаходяться не на одній прямій. Відрізки, що є несумежними, - це ті, що не проходять через спільні точки.

Сума площ трикутників

Як знаходити площу багатокутника? Площа багатокутника – це внутрішня частинаплощині, що утворилася під час перетину відрізків чи сторін багатокутника. Оскільки багатокутник – це поєднання таких фігур, як трикутник, ромб, квадрат, трапеція, то універсальної формулидля обчислення його площі немає. Насправді найбільш універсальним є метод розбиття багатокутника більш прості постаті, перебування площі яких викликають труднощів. Склавши суми площ цих простих фігур, Отримують площу багатокутника.

Через площу кола

У більшості випадків багатокутник має правильну форму і утворює фігуру з рівними сторонами та кутами між ними. Розрахувати площу в цьому випадку дуже просто за допомогою вписаного або описаного кола. Якщо відома площа кола, її необхідно помножити на периметр багатокутника, та був отриманий твір поділити на 2. У результаті виходить формула розрахунку площі такого багатокутника: S = ½∙P∙r., де P — площа кола, а r — периметр багатокутника .

Метод розбиття багатокутника на «зручні» фігури – найпопулярніший у геометрії, він дозволяє швидко та правильно знайти площу багатокутника. 4 клас середньої школизазвичай вивчає такі методи.

Уміння визначати площу різних фігур грає чималу роль життя кожної людини. Рано чи пізно доводиться мати справу із цими знаннями. Наприклад, у процесі ремонту приміщення для визначення необхідної кількості рулонів шпалер, лінолеуму, паркету, плитки у ванну або на кухню потрібно вміти розраховувати необхідну площу.

Знаннями у сфері геометрії користувалися ще древньому Вавилоні та інших країнах. На перших кроках до культури завжди виникала потреба виміряти ділянку, відстань. При будівництві перших значних споруд були потрібні вміння витримувати вертикаль, спроектувати план.

Роль естетичних потреблюдей також мало неабияке значення. Прикраса житла, одягу, малювання картин сприяло процесу формування та накопичення відомостей у галузі геометрії, які люди тих часів добували досвідченим шляхом, по крихтах і передавали з покоління до покоління.

Сьогодні знання геометрії необхідні і закрійнику, і будівельнику, і архітектору, і кожному простої людинив побуті.

Тому потрібно вчитися розраховувати площу різних фігур, і пам'ятати, що кожна з формул може стати в нагоді згодом на практиці, у тому числі й формула. правильного шестикутника. Шестикутником називається така багатокутна фігура, Загальна кількістькутів якої дорівнює шести.

Площа правильного шестикутника

Правильним шестикутником називають шестикутну фігуру, яка має рівні сторони. Кути у правильного шестикутника також між собою рівні.

У повсякденному життіми часто можемо зустріти предмети, які мають форму правильного шестикутника. Це і металева гайка, і осередки бджолиних стільників, і структура сніжинки. Шестикутними фігурами добре заповнюються поверхні. Так, наприклад, при мощенні тротуарної плитки ми можемо спостерігати як плитка укладається одна біля іншої, не залишаючи порожніх місць.

Властивості правильного шестикутника

• Правильний шестикутник завжди матиме рівні кути, кожен із яких становить 120˚.
• Сторона фігури дорівнює радіусу описаного кола.
• Усі сторони у правильному шестикутнику рівні.
• Правильний шестикутник щільно заповнює площину.

Площа правильного шестикутника можна розрахувати, розбивши його на шість трикутників, кожен з яких матиме рівні сторони.

Для розрахунку площі правильного трикутникавикористовується така формула:

Знаючи площу одного з трикутників, можна легко розрахувати площу шестикутника. Формула для її розрахунку проста: оскільки правильний шестикутник – це шість рівних трикутників, слід площу нашого трикутника помножити на 6.

Якщо провести від центру фігури до будь-якої її сторін перпендикуляр, отримаємо відрізок, який називається апофема. Розглянемо, як знайти площу шестикутника за відомої апофеми:

1. Площа = 1/2*периметр*апофему.
2. Припустимо, наша апофема дорівнює 53 см.

1. Використовуючи апофему, знаходимо периметр: Оскільки апофема розташована перпендикулярно до сторони шестикутника, то кути трикутника, створеного за допомогою апофеми, дорівнюватимуть 30˚-60˚-90˚. Кожна сторона отриманого трикутника буде відповідати: x-x√3-2x, де коротка сторона, яка розташована навпроти кута в 30 - це x, довга сторона, розташована навпроти кута в 60 - це x√3, а гіпотенуза - 2x.
2. Оскільки апофема представлена ​​як x√3, можна підставити її у формулу a = x√3 і вирішити. Якщо, наприклад, апофема = 5√3, тоді підставимо цю величину формулу і отримаємо: 5√3 див = x√3, чи x = 5 див.
3. Отже, коротка сторона трикутника дорівнює 5 см. оскільки ця величина є половиною довжини сторони шестикутника, множимо 5 на 2 і отримаємо 10 см, яка є довжиною сторони.
4. Знаючи довжину сторони, помножимо її на 6 і отримаємо периметр шестикутника: 10 см х 6 = 60 см
5. Підставимо отримані результати до нашої формули:

Площа = 1/2*периметр*апофему

Площа = ½ * 60см * 5√3

Тепер залишилося спростити відповідь, щоб позбавитися квадратного коріння, а отриманий результат вкажемо у квадратних сантиметрах:

½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²

Відео про те, як знайти площу правильного шестикутника

Площа неправильного шестикутника

Існує кілька варіантів визначення площі неправильного шестикутника:

• Метод трапеції.
• Метод розрахунку площі неправильних багатокутниківза допомогою осі координат.
• Метод розбивання шестикутника інші фігури.

Залежно від вихідних даних, які вам будуть відомі, підбирається відповідний метод.

Метод трапеції

Площа шестикутника, що має довільну (неправильну) форму, розраховується методом трапеції, суть якого полягає у поділі шестикутника на окремі трапеції та подальшим обчисленням площі кожної з них.

Метод з осями координат

Крім того, площа неправильного шестикутника можна розрахувати за допомогою методу розрахунку площі неправильних багатокутників. Розглянемо його на наступному прикладі:

Обчислення будемо виконувати методом використання координат вершин багатокутника:

1. На цьому етапі слід зробити таблицю та записати координати вершин x та y. Вибираємо вершини в послідовному порядку у напрямку проти годинникової стрілки, завершивши кінець списку повторним записом координати першої вершини:

1. Тепер слід помножити значення координати х 1 вершини на y 2 вершини і продовжити таким чином множення далі. Потім потрібно скласти отримані результати. У нашому випадку вийшло 82:

1. Послідовно множимо значення координат y1-ї вершини на значення координат х 2-ї вершини. Підсумовуємо отримані результати. У нашому випадку вийшло 38:

1. Віднімаємо суму, яку отримали на четвертому етапі із суми, що вийшла на третьому етапі: 82 – (-38) = 120

1. Тепер необхідно розділити результат, отриманий на попередньому етапі і знайдемо площу нашої фігури: S= 120/2 = 60 см²

Метод розбивання шестикутника на інші фігури

Кожен багатокутник можна поділити на кілька інших фігур. Це може бути трикутники, трапеції, прямокутники. Виходячи з відомих даних, користуючись формулами визначення площ перерахованих фігур, послідовно обчислюються їх площі і потім підсумовуються.

Деякі неправильні шестикутники складаються із двох паралелограмів. Для визначення площі паралелограма слід помножити його довжину на ширину і скласти дві вже відомі площі.

Відео про те, як знайти площу багатокутника

Площа рівностороннього шестикутника

Рівносторонній шестикутник має шість рівних сторіні є правильним шестикутником.

Площа рівностороннього шестикутника дорівнює 6 площ трикутників, на які розбита правильна шестикутна фігура.

Усі трикутники у шестикутнику правильної формирівні, тому знаходження площі такого шестикутника досить знати площу хоча б одного трикутника.

Для знаходження площі рівностороннього шестикутника використовується, звичайно, формула площі правильного шестикутника, описана вище.

А Ви знали, як знайти площу шестикутника? Як думаєте, де ці знання знадобляться Вам у житті? Поділіться своєю думкою в

\[(\Large(\text(Основні факти про площу)))\]

Можна сказати, що площа багатокутника - це величина, що позначає частину площини, яку займає багатокутник. За одиницю виміру площі приймають площу квадрата зі стороною (1) см, (1) мм і т.д. (Поодинокий квадрат). Тоді площа буде вимірюватися в см(^2\) , мм(^2\) відповідно.

Інакше кажучи, можна сказати, площа фігури - це величина, чисельне значення якої показує, скільки разів одиничний квадрат вміщається у цій фігурі.

Властивості площі

1. Площа будь-якого багатокутника – величина позитивна.

2. Рівні багатокутникимають рівні площі.

3. Якщо багатокутник складений із кількох багатокутників, його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників.

4. Площа квадрата зі стороною \(a\) дорівнює \(a^2\).

\[(\Large(\text(Площа прямокутника і паралелограма)))]]

Теорема: площа прямокутника

Площа прямокутника зі сторонами (a) і (b) дорівнює (S = ab).

Доказ

Добудуємо прямокутник \(ABCD\) до квадрата зі стороною \(a+b\), як показано на малюнку:

Даний квадрат складається з прямокутника \(ABCD\), ще одного рівного йому прямокутника і двох квадратів зі сторонами \(a\) і \(b\). Таким чином,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(пр-к))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(пр-к))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(text(пр-к))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(пр-к) )=ab \end(multline*)\)

Визначення

Висота паралелограма - це перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до сторони (або продовження сторони), що не містить цієї вершини.
Наприклад, висота \(BK\) падає на бік \(AD\) , а висота \(BH\) - на продовження сторони \(CD\) :

Теорема: площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Доказ

Проведемо перпендикуляри \(AB"\) та \(DC"\), як показано на малюнку. Зауважимо, що ці перпендикуляри дорівнюють висоті паралелограма (ABCD).

Тоді \(AB"C"D\) – прямокутник, отже, \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Зауважимо, що прямокутні трикутники \(ABB"\) та \(DCC"\) рівні. Таким чином,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Площа трикутника)))\]

Визначення

Будемо називати сторону, до якої в трикутнику проведена висота, основою трикутника.

Теорема

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту, проведену до цієї основи.

Доказ

Нехай \(S\) - площа трикутника \(ABC\). Приймемо сторону \(AB\) за основу трикутника і проведемо висоту \(CH\). Доведемо, що \ Добудуємо трикутник \(ABC\) до паралелограма \(ABDC\) так, як показано на малюнку:

Трикутники \(ABC\) і \(DCB\) рівні по трьох сторонах (\(BC\) - їх спільна сторона, \(AB = CD\) та \(AC = BD\) як протилежні сторонипаралелограма (ABDC), тому їх площі рівні. Отже, площа \(S\) трикутника \(ABC\) дорівнює половині площі паралелограма \(ABDC\), тобто \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Теорема

Якщо два трикутники \(\triangle ABC\) і \(\triangle A_1B_1C_1\) мають рівні висоти, їх площі ставляться як підстави, яких ці висоти проведено.

Слідство

Медіана трикутника ділить його на два трикутники, рівних за площею.

Теорема

Якщо два трикутники \(\triangle ABC\) і \(\triangle A_2B_2C_2\) мають рівному куту, їх площі ставляться як твори сторін, утворюють цей кут.

Доказ

Нехай \(\angle A = angle A_2\) . Сумісний ці кути так, як показано на малюнку (точка \(A\) суміщалася з точкою \(A_2\) ):

Проведемо висоти (BH) і (C_2K).

Трикутники \(AB_2C_2\) і \(ABC_2\) мають однакову висоту \(C_2K\) , отже: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Трикутники \(ABC_2\) і \(ABC\) мають однакову висоту \(BH\) , отже: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Перемножуючи останні дві рівності, отримаємо: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( або ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює суміквадратів довжин катетів:

Правильне і обернене: якщо в трикутнику квадрат довжини однієї сторони дорівнює сумі квадратів довжин інших двох сторін, то такий трикутник прямокутний.

Теорема

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Теорема: формула Герона

Нехай \(p\) - напівпериметр трикутника, \(a\) , \(b\) , \(c\) - довжини його сторін, тоді його площа дорівнює \

\[(\Large(\text(Площа ромба та трапеції)))]

Зауваження

Т.к. ромб є паралелограмом, то йому правильна та сама формула, тобто. площа ромба дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена ця висота.

Теорема

Площа опуклого чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні, дорівнює половині добутку діагоналей.

Доказ

Розглянемо чотирикутник (ABCD). Позначимо (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y) :

Зауважимо, що цей чотирикутник складений із чотирьох прямокутних трикутників, отже, його площа дорівнює сумі площ цих трикутників:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Наслідок: площа ромба

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей: \

Визначення

Висота трапеції – це перпендикуляр, проведений з вершини однієї основи до іншої основи.

Теорема: площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту.

Доказ

Розглянемо трапецію \(ABCD\) з основами \(BC\) і \(AD\). Проведемо \(CD"\parallel AB\), як показано на малюнку:

Тоді (ABCD ") - паралелограм.

Проведемо також \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) - висоти трапеції).

Тоді \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Т.к. трапеція складається з паралелограма \(ABCD"\) і трикутника \(CDD"\) , то її площа дорівнює сумі площ паралелограма та трикутника, тобто:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]