Якщо перед дужками стоїть знак. Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів

У цій статті ми докладно розглянемо основні правила такої важливої ​​темикурс математики, як розкриття дужок. Знати правила розкриття дужок потрібно для того, щоб правильно вирішувати рівняння, в яких вони використовуються.

Як правильно розкривати дужки під час додавання

Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак.

Це найпростіший випадок, бо якщо перед дужками стоїть знак додавання, при розкритті дужок знаки всередині них не змінюються. Приклад:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак.

У даному випадкутреба переписати всі доданки без дужок, але при цьому змінити всі знаки всередині них на протилежні. Знаки змінюються лише у доданків із тих дужок, перед якими стояв знак «-». Приклад:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Як розкрити дужки при множенні

Перед дужками стоїть число-множник

У цьому випадку потрібно помножити кожен доданок на множник і розкрити дужки, не змінюючи знаків. Якщо множник має знак "-", то при перемноженні знаки доданків змінюються на протилежні. Приклад:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Як розкрити дві дужки зі знаком множення між ними

В даному випадку потрібно кожне доданок з перших дужок перемножити з кожним доданком з других дужок і потім скласти отримані результати. Приклад:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Як розкрити дужки у квадраті

У разі, якщо сума або різниця двох доданків зведена у квадрат, дужки слід розкривати за такою формулою:

(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.

У разі мінусу всередині дужок формула не змінюється. Приклад:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Як розкрити дужки в іншій мірі

Якщо сума чи різницю доданків зводиться, наприклад, в 3 чи 4-й ступінь, потрібно просто розбити ступінь дужки на «квадрати». Ступені однакових множників складаються, а при розподілі зі ступеня поділеного віднімається ступінь дільника. Приклад:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Як розкрити 3 дужки

Бувають рівняння, в яких перемножуються одразу 3 дужки. У такому разі потрібно спочатку перемножити між собою доданки перших двох дужок, а потім суму цього перемноження помножити на складові третьої дужки. Приклад:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Дані правила розкриття дужок однаково поширюються на вирішення як лінійних, і тригонометричних рівнянь.

На цьому уроці ви дізнаєтеся, як з виразу, що містить дужки шляхом перетворення отримати вираз, в якому дужок немає. Ви навчитеся розкривати дужки, перед якими стоїть знак плюс та знак мінус. Ми згадаємо, як розкривати дужки, використовуючи розподільний закон множення. Розглянуті приклади дозволять пов'язати новий і раніше вивчений матеріал єдине ціле.

Тема: Розв'язання рівнянь

Урок: Розкриття дужок

Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак "+". Використання сполучного законудодавання.

Якщо до потрібно додати суму двох чисел, то можна до цього додати спочатку перше доданок, а потім друге.

Зліва від знака дорівнює вираз зі дужками, а праворуч - вираз без дужок. Отже, під час переходу від лівої частини рівності до правої відбулося розкриття дужок.

Розглянемо приклади.

приклад 1.

Розкривши дужки, ми змінили порядок дій. Вважати стало зручніше.

приклад 2.

приклад 3.

Зауважимо, що у всіх трьох прикладах ми просто прибирали дужки. Сформулюємо правило:

Зауваження.

Якщо перший доданок у дужках стоїть без знака, його треба записати зі знаком «плюс».

Можна виконати приклад з дій. Спочатку до 889 додати 445. Цю дію в умі виконати можна, але це не дуже просто. Розкриємо дужки та побачимо, що змінений порядок дій значно спростить обчислення.

Якщо слідувати зазначеному порядку дій, то потрібно спочатку з 512 відняти 345, а потім до результату додати 1345. Розкривши дужки, ми змінимо порядок дій і значно спростимо обчислення.

Ілюструючий приклад та правило.

Розглянемо приклад: . Знайти значення виразу можна, склавши 2 і 5, а потім взяти отримане число з протилежним знаком. Отримаємо -7.

З іншого боку, той самий результат можна отримати, склавши числа, протилежні вихідним.

Сформулюємо правило:

приклад 1.

приклад 2.

Правило не змінюється, якщо у дужках не два, а три або більше доданків.

приклад 3.

Зауваження. Знаки змінюються на протилежні лише до доданків.

Щоб розкрити дужки, у разі потрібно згадати розподільну властивість.

Спочатку помножимо першу дужку на 2, а другу – на 3.

Перед першою дужкою стоїть знак «+», отже знаки потрібно залишити без зміни. Перед другою стоїть знак «-», отже, всі знаки потрібно поміняти на протилежні

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.
3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.
4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математика 5-6 клас – ЗШ МІФІ, 2011.
5. Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. – ЗШ МІФІ, 2011.
6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. – Просвітництво, 1989.

1. Онлайн тести з математики ().
2. Можна скачати зазначені у п. 1.2. книги ().

Домашнє завдання

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012. (посилання див. 1.2)
2. Домашнє завдання: № 1254, № 1255, № 1256 (б, г)
3. Інші завдання: № 1258(в), № 1248

сформувати здатність до розкриття дужок з урахуванням знака, що стоїть перед дужками;

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Перевір дружок
Ти готовий на урок?
Чи все на місці? Все в порядку?
Ручка, книжка та зошит.
Чи правильно сидять?
Чи все уважно дивляться?

Почати урок я хочу з питання до вас:

Як ви вважаєте, що найцінніше на Землі? (Відповіді дітей.)

Це питання хвилювало людство не одну тисячу років. Ось яку відповідь дав відомий вчений Аль-Біруні: “Знання – найчудовіше з володінь. Усі прагнуть щодо нього, саме воно не приходить”.

Нехай ці слова стануть гаслом нашого уроку.

ІІ. Актуалізація колишніх знань, умінь, навичок:

Усний рахунок:

1.1. Яке сьогодні число?

2. Розкажіть, що ви знаєте про число 20?

3. А де розташоване це число на координатній прямій?

4. Назвіть число зворотне.

5. Назвіть йому протилежне число.

6. Як називається число - 20?

7. Які числа називаються протилежними?

8. Які числа називаються негативними?

9. Чим дорівнює модульчисла 20? - 20?

10. Чому дорівнює сума протилежних чисел?

2. Поясніть такі записи:

а) Геніальний математикстародавності Архімед народився 0 287 р.

б) Геніальний російський математик М. І. Лобачеський народився 1792 р.

в) Перші Олімпійські ігривідбулися у Греції – 776 р.

г) Перші Міжнародні олімпійські ігри відбулися 1896 р.

д) XXII Олімпійські зимові ігри відбулися у 2014 році.

3. Дізнайтеся, які числа крутяться на “математичній каруселі” (усі дії виконуються усно).

ІІ. Формування нових знань, умінь, навичок.

Ви навчилися виконувати різні діїіз цілими числами. Чим же займатимемося далі? Як вирішуватимемо приклади та рівняння?

Давайте знайдемо значення даних виразів

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Який порядок дій у 1 прикладі? Скільки вийшло у дужках? Порядок дій у другому прикладі? Результат першої дії? Що можна сказати про ці вирази?

Звичайно результати першого і другого виразів однакові, отже, між ними можна поставити знак рівності: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Що ми зробили з дужками? (Опустили.)

Як ви думаєте чим ми займатимемося сьогодні на уроці? (Діти формулюють тему уроку.) У нашому прикладі, який знак стоїть перед дужками. (Плюс.)

І так ми підійшли до наступного правила:

Якщо перед дужками стоїть знак +, можна опустити дужки і цей знак +, зберігаючи знаки доданків, які у дужках. Якщо перший доданок у дужках записано без знака, його треба записати зі знаком +.

А що робити, якщо перед дужками стоїть знак мінус?

У цьому випадку потрібно міркувати так само як при відніманні: необхідно додати число протилежне віднімається:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Отже, ми розкрили дужки, коли перед ними стояв мінус.

Правило розкриття дужок, коли перед дужками стоїть знак “-“.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак, треба замінити цей знак на +, помінявши знаки всіх доданків у дужках на протилежні, а потім розкрити дужки.

Давайте послухаємо правила розкриття дужок у віршах:

Перед дужкою плюс стоїть.
Він про те й каже
Що ти дужки опускай
Та всі знаки випускай!
Перед дужкою мінус строгий
Загородить нам дорогу
Щоб дужки прибирати
Потрібно знаки поміняти!

Так хлопці знак мінус дуже підступний, це "сторож" біля воріт (дужки), він випускає числа і змінні тільки тоді, коли вони змінять "паспорти", тобто свої знаки.

Навіщо взагалі потрібно розкривати дужки? (Коли є дужки, є момент якийсь елемент незавершеності, якоїсь таємниці. Це як закриті двері, за якою знаходиться щось цікаве.) Ось сьогодні ми довідалися про цю таємницю.

Невеликий екскурс в історію:

Фігурні дужки виникають у творах Вієта (1593). Широке застосування дужки отримали лише першій половині XVIII століття, завдяки Лейбніцу і ще більше Ейлеру.

Фізкультхвилинка.

ІІІ. Закріплення нових знань, умінь, навичок.

Робота за підручником:

№ 1234 (розкрийте дужки) – усно.

№ 1236 (розкрийте дужки) – усно.

№ 1235 (знайдіть значення виразу) – письмово.

№ 1238 (спростіть вирази) – робота у парах.

IV. Підбиття підсумків уроку.

1. Оголошуються оцінки.

2. Будинок. завдання. п.39 №1254 (а, б, в), 1255 (а, б, в), 1259.

3. Чого ми сьогодні навчилися?

Що нового впізнали?

І завершити урок я хочу побажаннями кожному з вас:

“До математики здатність проявляти,
Не лінуйся, а щодня розвивай.
Примножуй, діли, працюй, міркуй,
З математикою дружити не забувай”.

"Графік функції 7 клас" -). 1. Побудуємо графік функції за точками: 2. (. Приклади, що призводять до поняття функції. Помножте одночлени: Функція Графік функції. 7 клас. Подайте вирази у вигляді одночлена стандартного вигляду: Графік функції. Залежна змінна. Незалежна змінна.

"Многочлен в алгебрі" - Що називають приведенням подібних членів? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3+2x2y2+x. 3аx - 6ax + 9a2x. Дайте відповідь на запитання: 17a4 + 8a5 + 3a – a3. Урок алгебри у 7 класі. Усна робота. 1. Виберіть багаточлени, записані в стандартному вигляді: 12а2b - 18ab2 - 30ab3. учитель математики МОУ «ЗОШ №2» Токарєва Ю.І. Поясніть, як привести багаточлен до стандартного вигляду.

«Многочлени 7 клас» - 1. 6. Внаслідок множення багаточлена на багаточлен виходить багаточлен. 9. Літерний множникодночлена, записаного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. 4. Внаслідок множення багаточлена на одночлен виходить одночлен. 5. 5. Алгебраїчна сумакількох одночленів називається багаточленом. - + + - + + - + +. 3. Усна робота. 2.

«Скорочення алгебраїчних дробів» - 3. Основна властивість дробу можна записати так: , де b0, m0. 7. (a-b)? = (a-b) (a+b). Урок з алгебри у 7 класі «Алгебраїчні дроби. 1. Вираз виду називають алгебраїчним дробом. «Подорож у світ алгебраїчних дробів». Подорож у світ алгебраїчних дробів. 2. В алгебраїчному дробі чисельник і знаменник-алгебраїчнівирази. «Подорож у світ алгебраїчних дробів.». Скорочення дробів» Вчитель Степнінської ЗОШ Жусупова О.Б. Досягнення великі людямНіколи не давалися легко!

«Розкриття дужок» - Розкриття дужок. c. Математика. a. 7 клас. b. S = a · b + a · c.

«Координати площини» – прямокутною сіткою користувалися також художники епохи Відродження. Зміст Коротка інструкціяІІ. При грі в шахи також використовується метод координат. Висновок V. Література VI. Ось Оу - ордината у. Метою Декарта був опис природи за допомогою математичних законів. За допомогою координатної сітки льотчики моряки визначають місце розташування об'єктів. Прямокутна системакоординат. Коротка інструкція. Додаток Збірник завдань. Ігровому полі визначалася двома координатами-літерою та цифрою. Актуальність теми.

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від виразу зі дужками зручно перейти до тотожно рівному виразубез дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Розкрити дужки означає позбавити вираз цих дужок.

На окрему увагу заслуговує ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу
3−(5−7) ми отримуємо вираз 3−5+7. Обидва ці вирази ми можемо записати як рівності 3−(5−7)=3−5+7.

І ще один важливий момент. У математиці для скорочення записів прийнято не писати знак плюс, якщо він стоїть у виразі чи дужках першим. Наприклад, якщо ми складаємо два позитивні числа, наприклад, сім і три, то пишемо не +7+3, а просто 7+3, незважаючи на те, що сімка теж додатне число. Аналогічно, якщо ви бачите, наприклад, вираз (5+x) – знайте, що і перед дужкою стоїть плюс, який не пишуть, і перед п'ятіркою стоїть плюс +(+5+x).

Правило розкриття дужок під час додавання

При розкритті дужок, якщо перед дужками стоїть плюс, цей плюс опускається разом із дужками.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2+ (7+3) Перед дужками плюс, значить знаки перед числами у дужках не міняємо.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило розкриття дужок під час віднімання

Якщо перед дужками стоїть мінус, цей мінус опускається разом із дужками, але доданки, які були у дужках, змінюють свій знак на протилежний. Відсутність знака перед першим доданком у дужках має на увазі знак +.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2 − (7 + 3)

Перед дужками стоїть мінус, отже, потрібно поміняти знаки перед числами з дужок. У дужках перед цифрою 7 знака немає, це означає, що сімка позитивна, вважається, що перед нею знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При розкритті дужок прибираємо з прикладу мінус, який був перед дужками, і самі дужки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, що були у дужках, міняємо протилежні.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Розкриття дужок під час множення

Якщо перед дужками стоїть знак множення, то кожне число, що стоїть усередині дужок, множиться на множник, що стоїть перед дужками. При цьому множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Таким чином, дужки у творах розкриваються відповідно до розподільною властивістюмноження.

приклад. 2 · (9 - 7) = 2 · 9 - 2 · 7

При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Насправді немає необхідності запам'ятовувати всі правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: c(a−b)=ca−cb. Чому? Тому що якщо в нього замість c підставити одиницю, вийде правило (a-b) = a-b. Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило −(a−b)=−a+b. Ну а якщо замість c підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.

Розкриваємо дужки при розподілі

Якщо після дужок стоїть знак поділу, то кожне число, що стоїть усередині дужок, ділиться на дільник, що стоїть після дужок, і навпаки.

приклад. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Як розкрити вкладені дужки

Якщо у виразі присутні вкладені дужки, їх розкривають по порядку, починаючи із зовнішніх чи внутрішніх.

При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати решту дужок, просто переписуючи їх як є.

приклад. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b