Що означає тотожно рівні вирази. Тотожні перетворення

У ході вивчення алгебри ми стикалися з поняттями багаточленів (наприклад ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ і тд) і алгебраїчний дріб (наприклад $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ і т.д.. Подібність цих понять у тому, що і в многочленах, і в дробах алгебри присутні змінні і числові значення, виконуються арифметичні дії: додавання, віднімання, множення, зведення в ступінь. Відмінність цих понять у тому, що у многочленах немає розподіл на змінну, а алгебраїчних дробах розподіл змінну можна виробляти.

І багаточлени, і алгебраїчні дроби в математиці називаються раціональними виразами алгебри. Але багаточлени є цілими раціональними виразами, а алгебраїчні дроби- дробно-раціональнимивиразами.

Можна отримати з дробово-раціонального виразу ціле алгебраїчний виразвикористовуючи тотожне перетворення, яке в даному випадкубуде основною властивістю дробу - скороченням дробів. Перевіримо це практично:

Приклад 1

Виконати перетворення:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Рішення:Перетворити це дробово-раціональне рівнянняможна шляхом використання основної властивості дроби-скорочення, тобто. поділу чисельника і знаменника на те саме число чи вираз, відмінне від $0$.

Відразу цей дрібскоротити не можна, необхідно перетворити чисельник.

Перетворимо виразні дроби, що стоїть в чисельнику, для цього скористаємося формулою квадрата різниці :$a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Дроб має вигляд

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Тепер бачимо, що у чисельнику і знаменнику є загальний множник --це вираз $x-2$, яку зробимо скорочення дробу

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Після скорочення ми отримали, що вихідне дробово-раціональний вираз$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ стало многочленом $x-2$, тобто. цілим раціональним.

Тепер звернемо увагу, що тотожними вважатимуться висловлювання $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2\ $ не за всіх значеннях змінної, т.к. для того, щоб дробово-раціональне вираження існувало і було можливе скорочення на многочлен $x-2$ знаменник дробу не повинен дорівнювати $0$ (так само як і множник, на який ми виробляємо скорочення. даному прикладізнаменник та множник збігаються, але так буває не завжди).

Значення змінної, у яких алгебраїчна дріб буде існувати називаються допустимими значеннями змінної.

Поставимо умову на знаменник дробу: $x-2≠0$, тоді $x≠2$.

Значить вирази $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2$ тотожні при всіх значеннях змінної, крім $2$.

Визначення 1

Тотожно рівнимивиразами називаються ті, які рівні при всіх допустимих значенняхзмінної.

Тотожним перетворенням є будь-яка заміна вихідного виразу на тотожно рівну йому. спільного множниказа дужку, приведення алгебраїчних дробівдо спільному знаменнику, скорочення алгебраїчних дробів, приведення подібних доданківі т.д. Необхідно враховувати, що ряд перетворень, такі як скорочення, приведення подібних доданків можуть змінити допустимі значення змінної.

Прийоми, що використовуються для доказів тотожностей

Привести ліву частинутотожності до правої або навпаки з використанням тотожних перетворень

Привести обидві частини до одного і того ж виразу за допомогою тотожних перетворень

Перенести вирази, що стоять в одній частині виразу в іншу і довести, що отримана різниця дорівнює $0$

Який із наведених прийомів використовуватиме докази даного тотожності залежить від вихідного тотожності.

Приклад 2

Довести тотожність $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Рішення:Для доказу цього тотожності ми використовуємо перший із наведених вище прийомів, а саме перетворюватимемо ліву частину тотожності до її рівності з правою.

Розглянемо ліву частину тотожності:$\((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- вона є різницею двох многочленів. При цьому перший многочлен є квадратом суми трьох доданків. Для зведення у квадрат суми кількох доданків використовуємо формулу:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Для цього нам необхідно виконати множення числа на багаточлен.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Тепер повернемося до вихідного багаточлена, він набуде вигляду:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Звернемо увагу, що перед дужкою стоїть знак «-» означає при розкритті дужок усі знаки, які були у дужках, змінюються на протилежні.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Наведемо такі складові, тоді отримаємо, що одночлени $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ і $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаємно знищаться, тобто. їхня сума дорівнює $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Отже, шляхом тотожних перетворень ми отримали тотожний вираз у лівій частині вихідної тотожності.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Зауважимо, що отриманий вираз показує, що вихідне тотожність - вірно.

Звернімо увагу, що у вихідному тотожності допустимі всі значення змінної, отже ми довели тотожність використовуючи тотожні перетворення, і це вірно за всіх допустимих значеннях змінної.

Отримавши уявлення про тотожність, логічно перейти до знайомства з. У статті ми відповімо питанням, що таке тотожно рівні висловлювання, і навіть на прикладах розберемося, які висловлювання є тотожно рівними, а які – ні.

Навігація на сторінці.

Що таке тотожно рівні вирази?

Визначення тотожно рівних виразів дається паралельно з визначенням тотожності. Це відбувається на уроках алгебри у 7 класі. У підручнику з алгебри для 7 класів автора Ю. Н. Макарічев наведено таке формулювання:

Визначення.

- Це вирази, значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них. Числові вирази, яким відповідають однакові значення, також називають тотожно рівними.

Це визначення використовується аж до 8 класу, воно справедливе для цілих виразів, тому що вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. А у 8 класі визначення тотожно рівних виразів уточнюється. Пояснимо, із чим це пов'язано.

У 8 класі починається вивчення інших видів виразів, які, на відміну цілих виразів, при деяких значеннях змінних можуть мати сенсу. Це змушує ввести визначення допустимих та неприпустимих значеньзмінних, і навіть області допустимих значень ОДЗ змінної, як наслідок - внести уточнення визначення тотожно рівних выражений.

Визначення.

Два вирази, значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них, називаються тотожно рівними виразами. Два числові вирази, що мають однакові значення, також називаються тотожно рівними.

У цьому визначенні тотожно рівних виразів варто уточнити зміст фрази «при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них». Вона має на увазі всі такі значення змінних, при яких одночасно мають сенс обидва тотожно рівні вирази. Цю думку роз'яснимо в наступному пункті, Розглянувши приклади.

Визначення тотожно рівних виразів у підручнику Мордковича А. Г. дається трохи інакше:

Визначення.

Тотожно рівні вирази- це вирази, що стоять у лівій і правій частинахтотожності.

За змістом, це і попереднє визначення збігаються.

Приклади тотожно рівних виразів

Введені в попередньому пункті визначення дозволяють навести приклади тотожно рівних виразів.

Почнемо з тотожно рівних числових виразів. Числові вирази 1+2 та 2+1 є тотожно рівними, тому що їм відповідають рівні значення 3 та 3 . Також тотожно рівні вирази 5 і 30:6, як і вирази (2 2) 3 і 2 6 (значення останніх виразів рівні чинності). А ось числові вирази 3+2 та 3−2 не є тотожно рівними, тому що їм відповідають значення 5 та 1 відповідно, а вони не рівні.

Тепер наведемо приклади тотожно рівних виразів із змінними. Такими є вирази a+b та b+a . Справді, за будь-яких значеннях змінних a і b записані вирази приймають однакові значення (що випливає з чисел). Наприклад, при a=1 і b=2 маємо a+b=1+2=3 та b+a=2+1=3 . При будь-яких інших змінних значення a і b ми також отримаємо рівні значення цих виразів. Вирази 0 x y y z і 0 теж тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних x , y і z . А ось вирази 2 x і 3 x не є тотожно рівними, так як, наприклад, при x = 1 їх значення не рівні. Дійсно, при x=1 вираз 2·x дорівнює 2·1=2 , а вираз 3·x дорівнює 3·1=3 .

Коли області допустимих значень змінних у виразах збігаються, як, наприклад, у виразах a+1 і 1+a , або a·b·0 і 0 , або і значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних з цих областей, то тут все зрозуміло – ці висловлювання тотожно рівні за всіх допустимих значеннях які в них змінних. Так a+1≡1+a за будь-яких a , вирази a·b·0 і 0 тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних a і b , а вирази і тотожно рівні при всіх x з ; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Після того, як ми розібралися з поняттям тотожності, можна переходити до вивчення тотожно рівних виразів. Мета цієї статті – пояснити, що це таке, і показати на прикладах, які вирази будуть тотожними. рівними другім.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тотожно рівні вирази: визначення

Поняття тотожно рівних виразів зазвичай вивчається разом із самим поняттям тотожності в рамках шкільного курсуалгебри. Наведемо основне визначення, взяте з одного підручника:

Визначення 1

Тотожно рівнимиодин одному будуть такі вирази, значення яких будуть однакові за будь-яких можливих значень змінних, що входять до їх складу.

Також тотожно рівними вважаються такі числові вирази, яким відповідатимуть одні й самі значення.

Це досить широке визначення, яке буде вірним всім цілих висловів, зміст яких за зміни значень змінних не змінюється. Однак пізніше виникає потреба уточнення даного визначення, оскільки окрім цілих існують й інші види виразів, які не матимуть сенсу за певних змінних. Звідси виникає поняття допустимості та неприпустимості тих чи інших значень змінних, а також необхідність визначати область допустимих значень. Сформулюємо уточнене визначення.

Визначення 2

Тотожно рівні вирази– це ті вирази, значення яких рівні один одному за будь-яких допустимих значень змінних, що входять до їх складу. Числові вирази будуть тотожно рівними один одному за умови однакових значень.

Фраза «при будь-яких допустимих значеннях змінних» свідчить про всі ті значення змінних, у яких обидва висловлювання матимуть сенс. Це положення ми пояснимо пізніше, коли наводитимемо приклади тотожно рівних виразів.

Можна вказати ще й таке визначення:

Визначення 3

Тотожно рівними виразами називаються вирази, розташовані в одному тотожності з лівого та правого боку.

Приклади виразів, які тотожно рівні один одному

Використовуючи визначення, дані вище, розглянемо кілька прикладів таких виразів.

Для початку візьмемо числові вирази.

Приклад 1

Так, 2 + 4 і 4 + 2 будуть тотожно рівними один одному, оскільки їх результати будуть рівними (6 і 6).

Приклад 2

Так само тотожно рівні вирази 3 і 30: 10 , (2 2) 3 і 2 6 (для обчислення значення останнього виразів потрібно знати властивості ступеня).

Приклад 3

А ось вирази 4 – 2 та 9 – 1 рівними не будуть, оскільки їх значення різні.

Перейдемо до прикладів буквених виразів. Тотожно рівними будуть a + b і b + a , причому від значень змінних це не залежить (рівність виразів у даному випадку визначається переміщувальною властивістюдодавання).

Приклад 4

Наприклад, якщо a дорівнюватиме 4 , а b – 5 , то результати однаково будуть однакові.

Ще один приклад тотожно рівних виразів з літерами – 0 · x · y · z та 0 . Якими б не були значення змінних у цьому випадку, будучи помноженими на 0 вони дадуть 0 . Нерівні вирази - 6 · x і 8 · x, оскільки вони не будуть рівні за будь-якого x.

У тому випадку, якщо області допустимих значень змінних будуть збігатися, наприклад, у виразах a + 6 і 6 + a або a · b · 0 і 0 , або x 4 і x і значення самих виразів будуть рівні при будь-яких змінних, то такі вирази вважаються тотожно рівними. Так, a + 8 = 8 + a при будь-якому значенні a і a · b · 0 = 0 теж, оскільки множення на 0 будь-якого числа дає в результаті 0 . Вирази x 4 і x будуть тотожно рівними за будь-яких x із проміжку [ 0 , + ∞) .

Але область допустимого значення одному вираженні може відрізнятися від області іншого.

Приклад 5

Наприклад, візьмемо два вирази: x − 1 та x - 1 · x x . Для першого з них областю допустимих значень x буде все безліч дійсних чисел, а другого – безліч всіх діючих чисел, крім нуля, тоді ми отримаємо 0 у знаменнику, а такий розподіл не визначено. У цих двох виразів є загальна область значень, утворена перетином двох окремих областей. Можна зробити висновок, що обидва вирази x - 1 · x x і x − 1 будуть мати сенс за будь-яких дійсних значенняхзмінних, крім 0 .

Основна властивість дробу також дозволяє нам укласти, що x - 1 · x x і x − 1 будуть рівними за будь-якого x, яке не є 0 . Значить, на загальної областідопустимих значень ці вирази будуть тотожно рівні один одному, а за будь-якого дійсного x говорити про тотожну рівність не можна.

Якщо ми замінюємо одне вираження інше, яке є тотожно рівним йому, цей процес називається тотожним перетворенням. Це поняття дуже важливе, і докладно про нього ми поговоримо в окремому матеріалі.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значень для тієї рівності буде все безліч дійсних чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ця нерівність буде виконуватися для всіх значень змінної а, крім рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.

Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значень змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності

Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо ця рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, має вийти правильне числове рівність.

Слід зазначити, що вірні числові рівностітеж є тотожності. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

11. a * (-1) = -a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

Тема «Докази тотожностей» 7 клас (КРО)

Підручник Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г.

Цілі уроку

Освітні:

ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;

розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;

перевірити засвоєння учнями пройденого матеріалу, формувати вміння застосування вивченого сприйняття нового.

Розвиваюча:

Розвивати грамотну математичну мову учнів (збагачувати та ускладнювати) словниковий запаспри використанні спеціальних математичних термінів),

розвивати мислення,

Виховна: виховувати працьовитість, акуратність, правильність запису вирішення вправ.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Хід уроку

1 . Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання.

Питання щодо домашнього завдання.

Розбирання рішення біля дошки.

Математика потрібна
Без неї ніяк не можна
Вчимо, вчимо ми, друзі,
Що ж ми пам'ятаємо з ранку?

2 . Зробимо розминку.

Результат додавання. (Сума)

Скільки цифр ви знаєте? (Десять)

Сота частина числа. (Відсоток)

Результат розподілу? (Приватне)

Найменше натуральне число? (1)

Чи можна при розподілі натуральних чиселотримати нуль? (ні)

Назвіть найбільше ціле від'ємне число. (-1)

На яку кількість не можна ділити? (0)

Результат множення? (Твір)

Результат віднімання. (Різниця)

Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)

Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)

Вивчення нової теми(Визначення із записом у зошит)

Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Ми отримали той самий результат. З розподільної властивостіслід, що взагалі за будь-яких значень змінних значеннявиразів 3(х+у) та 3х+3у рівні.

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набирають рівні значення:

Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то

Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.

Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.

Визначення:Рівність, вірна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися. Тотожними є рівності, що виражають основні властивостідій над числами (Учні коментують кожну властивість, промовляючи його).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Наведіть інші приклади тотожності

Визначення: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу

Тотожні перетвореннявиразів із змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вам доводилося виконувати, наприклад приведення подібних доданків, розкриття дужок.

5 . № 691, № 692 (з промовлянням правил розкриття дужок, множення негативних та позитивних чисел)

Тотожності для вибору раціонального рішення:(фронтальна робота)

6 . Підбиття підсумків уроку.

Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.

Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.

Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.

Які тотожні перетворення вам відомі?

7. Домашнє завдання. Вивчити визначення, наведіть приклади тотожних виразів (не менше 5) , запишіть їх у зошит