Скласти два позитивні числа. Додавання негативних чисел

Урок та презентація на тему: "Приклади складання та віднімання негативних чисел"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 6 класу
Електронний робочий зошит з математики для 6 класу
Інтерактивний тренажер до підручника Віленкіна Н.Я.

Хлопці, давайте повторимо пройдений матеріал.

Додавання- це математична операція, після виконання якої ми отримаємо суму вихідних чисел (першого доданку і другого доданку).

Модуль числа- це відстань на координатній прямій від початку координат до будь-якої точки.
Модуль числа має певні властивості:
1. Модуль числа нуль дорівнює нулю.
2. Модуль позитивного числа, наприклад, п'яти є число п'ять.
3. Модуль негативного числа, наприклад мінус сім є позитивне число сім.

Додавання двох негативних чисел

Наприклад, необхідно скласти числа: - 5+(-23)=?
Відкидаємо знаки та складемо модулі чисел. Отримаємо: 5+23=28.
Тепер надамо отриманій сумі знак мінус.
Відповідь: -28.

Ще приклади складання.

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

При додаванні дробових чиселможна використовувати цей же метод.

Приклад: -0,12 + (-3,4) = -3,52

Додавання позитивного та негативного чисел

Розглянемо приклад: 14+(-29)=?
Рішення.
1. Відкидаємо знаки, отримуємо числа 14 та 29.
2. З більшого за модулем числа віднімаємо менше: 29 - 14.
3. Перед різницею ставимо знак числа, у якого більший модуль. У прикладі - це число -29.

14 + (-29) = -15

Відповідь: -15.

Додавання чисел за допомогою числової прямої

Потім перемістимо точку, що означає число -6, на вісім позицій праворуч, т.к. другий доданок дорівнює +8 і потрапимо в точку, що позначає число +2.

Відповідь: +2.

приклад 2.
Складемо два негативні числа: -2 та (-4).
Зазначимо на числовій прямій точку -2.

Потім перемістимо її чотирма позиції вліво, т.к. другий доданок дорівнює -4 і потрапимо в точку -6.

Відповідь -6.

Цей метод зручний, але він є громіздким, адже потрібно малювати числову пряму.

Методична розробка уроку на тему

«Складання негативних чисел»

Математика, 6 клас

Урок із використанням електронних ресурсів, у системі діяльнісного методу навчання, на тему «Складання негативних чисел».

ГУСЄВА СВІТЛАНА ВІКТОРІВНА, вчитель математики МКОУ «Ілірська ЗОШ №2», Іркутська область, Братський район, п. Прибережний.

Тип уроку:

Урок вивчення та первинного закріплення нових знань з використанням комп'ютерних технологій.

Мета уроку:

• активізувати пізнавальну діяльністьучнів;
• познайомити учнів із правилом складання негативних чисел і сформувати навичку дій із негативними числами;
• познайомити учнів із історією математики.

Освітні:сприяти формуванню в учнів уміння складати негативні числа, користуючись правилом;оволодіння математичною термінологією;

Розвиваючі: розвиток творчої, мовної, розумової активності, використовуючи різні формироботи;

Виховні: виховання уважності, активності та наполегливості у досягненні мети, прищеплення навичок самостійної роботи.

Обладнання: Мультимедійна установка

Доцільність використання медіапроектора на уроці:

1. Інтенсифікація навчально-виховного процесу(Збільшення кількості запропонованої інформації, зменшення часу подачі матеріалу);
2. Підвищення ефективності засвоєння навчального матеріалу.

УУД, що формуються:

Предметні – створення ситуації на формування вміння складати негативні числа, використовуючи у своїй алгоритм складання негативних чисел;

Регулятивні - створення ситуації для оцінки та самооцінки умінь на тему уроку.

Пізнавальні – самостійне виділеннята формулювання пізнавальної мети,вилучення необхідної інформаціїіз прослуханого матеріалу

Комунікативні- вміння вести навчальну співпрацю на уроці з учителем, однокласниками та умінь обґрунтовувати відповідь, використовуючи створений алгоритм.

Особистісні - вміння провести самооцінку, організувати взаємооцінку під час роботи у парах.

Хід уроку

I.Організаційний момент.Доброго дня! Сьогодні на уроці ми маємо зробити дуже важливе відкриття. Щоб наш урок пройшов добре:

Поверніться один до одного,

Один одному посміхніться,

Побажайте удачі,

А тепер сідайте.

У вас на столах лежать смайлики. Виберіть той смайлик, який відповідає вашому настрою, з яким ви прийшли на урок, та прикріпіть його на картку оцінки.
II. Актуалізація знань.

На минулих уроках ми познайомились із новими числами. Якими? (Негативними). Які числа ви тепер знаєте? (натуральні, цілі, дробові (десяткові та звичайні), негативні). А які дії ви можете виконувати з числами? (Складання, віднімання, множення, розподіл). З усіма числами ви можете виконувати ці дії? З якими числами ми ще не вміємо працювати? (Негативними). Ми навчилися працювати з цими числами за допомогою координатної прямої. Це зручний спосіб? (Ні). Отже, чого нам слід навчитися? (Діям з негативними числами). А яка дія з числами вивчається насамперед? Обговоріть це із сусідом! Чи готові? Перевіримо! Розв'яжіть кілька прикладів

Ви змогли виконати завдання? (Ні, частково) Що не виходить? У чому ви сумніваєтеся? ( Останній приклад) Чим цей приклад не схожий на попередні? (Спочатку складали позитивні числа, а тут треба скласти негативні.) Яке виникає питання? (Як виконувати додавання негативних чисел?) Яка тема буде у нас сьогодні на уроці? (Складання негативних чисел)

Запишіть тему уроку у зошит: «Складання негативних чисел».

III Підготовка до активної навчально-пізнавальної діяльності здебільшого етапі уроку.

Робота в парах, повторення теоретичного матеріалу

Обговоріть із сусідом поняття, пов'язані з негативними числами. Хлопці опитують один одного та оцінюють.
- Які числа називають негативними?
- Де на координатній прямій розташовані негативні числа?
- Які числа називаються протилежними?
- Які числа називаються негативними?
- Які числа називаються позитивними?
- Які числа називаються цілими?
– Що таке модуль числа?
- властивості модуля.
– Де використовується модуль числа?
– Як порівняти негативні числа?
- Як складають числа за допомогою координатної прямої?

Придумайте слова, які зустрічаються у житті та асоціюються з негативними числами. (збиток, програш, борг, витрата, глибина, мороз)

Історична довідка.(Доповідь учня)

Ще у 2 столітті до нашої ери китайський імператор Ші Хуан Ді, розгнівавшись на вчених, наказав усе наукові книгиспалити, а їх авторів та читачів стратити. Зміст цих книг дійшло до нас лише у уривках. звідки відомо, китайці не знали правила складання негативних чисел.

Історія свідчить, що довго не могли звикнути до негативним числам. Вони здавалися незрозумілими, ними не користувалися, просто не бачили особливого сенсу. Позитивні числа довго трактувалися як «прибутки», а негативні – як «борг», «збиток». В Італії, наприклад, лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рису, щось на зразок нашого мінуса, а коли боржник повертав борг, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса.

Подібним чином знаки "+" і "-" широко використовувалися в торгівлі. Але як математично їх ввів німецький математик Ян Віддман в 15 столітті у своєму творі «Швидкий і красивий рахунок для всього купецтва».

IV Засвоєння нових знань.

Як ви вважаєте, навіщо ми повторили ці поняття?
(Вони допоможуть нам при вивченні нової теми.)
Розв'яжемо задачі:

1. За підсумками попередніх матчів команда "Спартак" мала 6 штрафних очок. У ході чергової гри команда здобула ще 2 штрафні очки. Скільки штрафних очок має команда "Спартак" на своєму рахунку? (8 штрафних очок)
2. Температура повітря опівдні була 14° морозу, а надвечір вона знизилася ще на 4°. Якою стала температура повітря увечері? (18 ° морозу)

Як можна записати вирішення цих завдань, використовуючи математичні поняттята символи?

(Штрафні очки можна записати, використовуючи негативні числа.

Тоді - 6 + (-2) = - 8)

(Температура опівдні була – 14°, а надвечір змінилася на – 4°.

Тоді - 14 + (-4) = - 18)

Хто спробує сформулювати правило складання негативних чисел?

(Щоб скласти два негативні числа, треба:

скласти їх модулі; поставити перед одержаним числом знак мінус;)

Візьміть конверти, що лежать у вас на парті і, працюючи разом із сусідом, складіть літерну рівність правила складання негативних чисел.

V. Первинне закріплення.

Виконавши завдання, ви дізнаєтеся, як звали індійського математика, котрий перший виклав правила дій з негативними числами. Розв'яжіть приклади і застосуйте ключ.

11 + (-24) = А -34 + (-49) = М -80 + (-11) = Т

12+(-13)= Б -13+(-44)= П -75+(-24)= Г

28+(-27)= У -59+(-27)= Р -62+(-36)= Х

Брахмагупт - індійський математик і астроном, перший сформулював правила дій з негативними числами. Він викладав правило складання негативних чисел: «Сума двох боргів є борг».

Робота із підручником.

№ 1045 (а – з) усно із коментарями.

№ 1045 (л, м) учень біля дошки працює разом із класом.

VI. Суперфізхвилинка (відео)

VII. Етап застосування знань та умінь.

Знайти помилку: (на дошці записані приклади)

1) -17 + (-56) = 73

2) -38 + (-15) = -53

3) -27 + (-14) = -42

4) -3,7 + (-2,1) = 5,8

5) -7,3 + (-9) = -8,2

З підручника:

№ 1047 (б):

Як називається цей вираз? (літерне)

Скільки тут доданків? (3)

Скільки дій робитимемо? (одне)

х + у + (-16) = (-9,1) + (-7,4) + (-16) = -(9,1 + 7,4 + 16) = -32,5.

Хто швидко вирішує, може зробити під літерою в) відповідь -21 5/6.

Графічний диктант (якщо згодні із твердженням, то малюємо ^, інакше _)

1. Сума -18 та 0 дорівнює 18
2. Сума мінус шести та мінус трьох дорівнює мінус дев'яти
3. Сума мінус десяти та десяти дорівнює нулю
4. Модуль суми мінус трьох та мінус чотирьох дорівнює мінус семи?
5. Сума двох негативних чисел є числом негативним.

Відповідь: -^^-^ Помінялися зошитами та оцінили роботу сусіда

Навчальна самостійна робота: робота з друкованого матеріалу.

Відповіді для перевірки на слайді. Учні виконують тренувальні вправи, працюючи індивідуально, перевірку здійснюють у парах.

Хто швидко впорався із завданням отримує додаткову картку.

Коли все закінчать вирішувати – взаємоперевірка (змінитися зошитами).

VIII. Рефлексивно - оцінний етап.

Настав час підбити підсумок нашої роботи.

• Чого ми навчилися на уроці?

/ Складати негативні числа.

• Як скласти негативні числа?

/Учні озвучують правило додавання негативних чисел/

Індійський математик Брахмагупта (VII – в) викладав правило додавання негативних чисел: «Сума двох боргів є борг». Що він мав на увазі?

/При додаванні негативних чисел результат – негативне число./

• Що важливо запам'ятати з уроку?

/Правило складання негативних чисел/

• Над чим ще треба попрацювати?

/Діти аналізують помилки, допущені ними під час виконання вправ./

• Виберіть смайлик, який відповідає вашому настрою, з яким ви йдете з уроку, і прикріпіть його в кінці оціночної картки. Запишіть домашнє завдання:

П.32 №1056.

Людина має позитивні та негативними якостями. розподіліть ці якості на координатній прямій. А на наступному уроціми побачимо, у кого що вийшло.

Правило складання негативних чисел

Якщо згадати урок математики та тему «Складання та віднімання чисел з різними знаками», то для складання двох негативних чисел необхідно:

• виконати складання їх модулів;
• дописати до отриманої суми знак "-".

Відповідно до правила додавання можна записати:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило складання негативних чисел застосовується до негативних цілих, раціональних та дійсних чисел.

Приклад 1

Скласти негативні числа $−185$ та $−23 \ 789.$

Рішення.

Скористаємося правилом складання негативних чисел.

Знайдемо модулі даних чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Виконаємо складання отриманих чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставимо знак $«–»$ перед знайденим числом і отримаємо $−23\974$.

Короткий запис рішення: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Відповідь: $−23 \ 974$.

При додаванні негативних раціональних чиселїх необхідно перетворити на вигляд натуральних чисел, звичайних або десяткових дробів.

Приклад 2

Скласти негативні числа $-\frac(1)(4)$ і $−7,15$.

Рішення.

Відповідно до правила складання негативних чисел, спочатку необхідно знайти суму модулів:

$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;

Отримані значення зручно звести до десяткових дробів та виконати їх додавання:

$ \ frac (1) (4) = 0,25 $;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставимо перед отриманим значенням знак $«-»$ і отримаємо $-7,4 $.

Короткий запис рішення:

$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4 $.

Для складання позитивного та негативного числа необхідно:

1. обчислити модулі чисел;

виконати порівняння отриманих чисел:

• якщо вони рівні, то вихідні числа є протилежними та їх сума дорівнює нулю;
• якщо вони не рівні, то слід запам'ятати знак числа, у якого модуль більший;

2. від більшого модуля відняти менший;

3. перед отриманим значенням поставити знак того числа, у якого модуль більший.

Додавання чисел з протилежними знакамизводиться до віднімання з більшого позитивного числа меншого негативного числа.

Правило складання чисел з протилежними знаками виконується для цілих, раціональних та дійсних чисел.

Приклад 3

Скласти числа $4$ та $−8$.

Рішення.

Потрібно виконати складання чисел із протилежними знаками. Скористаємося відповідним правилом додавання.

Знайдемо модулі даних чисел:

Модуль числа $−8$ більше від модуля числа $4$, тобто. запам'ятаємо знак $«–»$.

Поставимо знак $«–»$, який запам'ятовували, перед отриманим числом, і отримаємо $−4.$

Короткий запис рішення:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Відповідь: $4+(−8)=−4$.

Для складання раціональних чисел із протилежними знаками їх зручно подати у вигляді звичайних або десяткових дробів.

Віднімання чисел з різними та негативними знаками

Правило віднімання негативних чисел:

Для віднімання від $a$ негативного числа $b$ необхідно до зменшуваного $a$ додати число $−b$, яке є протилежним віднімається $b$.

Відповідно до правила віднімання можна записати:

$a−b=a+(−b)$.

Це правило справедливе для цілих, раціональних і дійсних чисел. Правило можна використовувати при відніманні негативного числа з позитивного числа, з негативного числа та з нуля.

Приклад 4

Відняти від негативного числа $−28$ негативне число $−5$.

Рішення.

Протилежне число для $-5$ - це $5$.

Відповідно до правила віднімання негативних чисел отримаємо:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Виконаємо складання чисел із протилежними знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Відповідь: $(−28)−(−5)=−23$.

При відніманні негативних дробових чисел необхідно виконати перетворення чисел на вигляд звичайних дробівзмішаних чисел або десяткових дробів.

Додавання та віднімання чисел з різними знаками

Правило віднімання чисел із протилежними знаками збігається з правилом віднімання негативних чисел.

Приклад 5

Відняти позитивне число $7$ із негативного числа $−11$.

Рішення.

Протилежне число для $7$ – це число $–7$.

Відповідно до правила віднімання чисел із протилежними знаками отримаємо:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Виконаємо складання негативних чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Короткий запис рішення: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Відповідь: $(−11)−7=−18$.

При відніманні дробових чисел з різними знаками необхідно виконати перетворення чисел на вигляд звичайних чи десяткових дробів.

У цій статті ми поговоримо про складання негативних чисел. Спочатку дамо правило складання негативних чисел і доведемо його. Після цього розберемо характерні приклади додавання негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Перш ніж дати формулювання правила складання негативних чисел, звернемося до матеріалу статті позитивні та негативні числа. Там ми згадували, що негативні числа можна як борг, а модуль числа у разі визначає величину цього боргу. Отже, додавання двох негативних чисел - це додавання двох боргів.

Цей висновок дозволяє зрозуміти правило складання негативних чисел. Щоб скласти два негативні числа, потрібно:

• скласти їх модулі;
• поставити перед одержаною сумою знак мінус.

Запишемо правило складання негативних чисел −a та −b у буквеному вигляді: (−a)+(−b)=−(a+b) .

Зрозуміло, що озвучене правило зводить додавання негативних чисел до додавання позитивних чисел (модуль від'ємного числа є числом позитивним). Також зрозуміло, що результатом додавання двох негативних чисел є негативне число, про що свідчить знак мінус, який ставиться перед сумою модулів.

Правило складання негативних чисел можна довести, ґрунтуючись на властивості дій із дійсними числами(або таких самих властивостях дій з раціональними чи цілими числами). Для цього достатньо показати, що різниця лівої та правої частинрівності (−a)+(−b)=−(a+b) дорівнює нулю.

Так як віднімання числа - це все одно, що додавання протилежного числа (дивіться правило віднімання цілих чисел), то (-a) + (-b) - (- (a + b)) = (-a) + (-b) +(a+b) . В силу переміщувального та поєднаного властивостейскладання маємо (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Оскільки сума протилежних чисел дорівнює нулю, то (-a+a)+(−b+b)=0+0 , а 0+0=0 у силу властивості додавання числа з нулем. Цим доведено рівність (−a)+(−b)=−(a+b) , отже, і правило складання негативних чисел.

Таким чином, це правилододавання застосовується як до негативних цілих чисел, так і до раціональних чисел, а також до дійсних чисел.

Залишилося лише навчитися застосовувати правило складання негативних чисел практично, що й зробимо у наступному пункті.

Приклади складання негативних чисел

Розберемо приклади складання негативних чисел. Почнемо з самого простого випадку– складання негативних цілих чисел, додавання будемо проводити за правилом, розглянутим у попередньому пункті.

Виконайте додавання негативних чисел −304 та −18 007 .

Виконаємо всі кроки правила складання негативних чисел.

Спочатку знаходимо модулі чисел, що складаються: і . Тепер потрібно скласти отримані числа, тут зручно виконати складання стовпчиком:

Тепер ставимо знак мінус перед отриманим числом, в результаті маємо −18311.

Запишемо все рішення у короткої формі: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Додавання негативних раціональних чисел залежно від самих чисел можна звести або до додавання натуральних чисел, або до додавання звичайних дробів, або до додавання десяткових дробів.

Складіть від'ємне число та від'ємне число −4,(12) .

За правилом складання негативних чисел спочатку необхідно обчислити суму модулів. Модулі негативних чисел, що складаються, рівні відповідно 2/5 і 4,(12) . Додавання отриманих чисел можна звести до складання звичайних дробів. І тому переведемо періодичну десятковий дріб у звичайну дріб: . Отже, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Тепер виконаємо складання дробів з різними знаменниками: .

Залишилося поставити перед одержаним числом знак мінус: . У цьому додавання вихідних негативних чисел завершено.

За цим правилом складання негативних чисел складаються і негативні дійсні числа. Тут слід зазначити, що результат додавання дійсних чисел дуже часто записується у вигляді числового виразу, а значення цього виразу обчислюється приблизно, і то при необхідності.

Наприклад знайдемо суму негативних чисел і −5 . Модулі цих чисел рівні квадратного кореняіз трьох і п'яти відповідно, а сума вихідних чисел дорівнює . У такому вигляді й записується відповідь. Інші приклади можна переглянути у статті додавання дійсних чисел.

www.cleverstudents.ru

Правило як скласти два негативні числа

Дії з негативними та позитивними числами

Абсолютна величина (модуль). Додавання.

Віднімання. множення. Розподіл.

Абсолютна величина (модуль). Для негативного числа- Це позитивне число, що отримується від зміни його знака з "-" на "+"; для позитивного числа і нуля– саме це число. Для позначення абсолютної величини (модуля) числа використовуються дві прямі риси, у яких записується це число.

П р і м е ри: | - 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

1) при додаванні двох чисел з однаковими знаками складаються

їх абсолютні величини та перед сумою ставиться загальний знак.

2) при додаванні двох чисел з різними знаками їх абсолютні

величини віднімаються (з більшою менша) і ставиться знак

числа з більшою абсолютною величиною.

Віднімання. Можна замінити віднімання двох чисел додаванням, при цьому зменшуване зберігає свій знак, а віднімається береться зі зворотним знаком.

(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;

(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;

(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;

(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;

множення. При множенні двох чисел їх абсолютні величини множаться, а добуток приймає знак +, якщо знаки співмножників однакові, і знак -, якщо знаки співмножників різні.

Корисна наступна схема ( правила знаків при множенні):

При множенні кількох чисел (двох і більше) твір має знак «+», якщо число негативних співмножників парне, і знак «-», якщо їх число непарне.

Розподіл. При розподілі двох чисел абсолютна величина поділяється на абсолютну величинудільника, а приватне приймає знак «+», якщо знаки діленого та дільника однакові, і знак «-», якщо знаки діленого та дільника різні.

Тут діють ті ж правила знаків, що і при множенні:

Додавання негативних чисел

Додавання позитивних і негативних чиселможна розібрати за допомогою числової осі.

Складання чисел за допомогою координатної прямої

Додавання невеликих за модулем чисел зручно виконувати на координатній прямій, подумки уявляючи собі як точка, що позначає число, що пересувається по числовій осі.

Візьмемо якесь число, наприклад, 3 . Позначимо його на числовій осі точкою "A".

Додамо до позитивне число 2 . Це означатиме, що точку «A» треба перемістити на два одиничні відрізки в позитивному напрямку, тобто праворуч. В результаті ми отримаємо точку B з координатою 5 .

Для того щоб до позитивного числа, наприклад, до 3 додати від'ємне число -5, точку A треба перемістити на 5 одиниць довжини в негативному напрямку, тобто вліво.

У цьому випадку координата точки "B" дорівнює - "2".

Отже, порядок додавання раціональних чисел за допомогою числової осі буде наступним:

Рухаючись від точки - 2 вліво (оскільки перед 6 стоїть знак мінус), отримаємо - 8 .

Додавання чисел з однаковими знаками

Складати раціональні числа можна простіше, якщо використовувати поняття модуля.

Нехай нам потрібно скласти числа, що мають однакові знаки.

Для цього відкидаємо знаки чисел і беремо модулі цих чисел. Складемо модулі та перед сумою поставимо знак, який був загальним у даних чисел.

Приклад додавання негативних чисел.

Щоб скласти числа одного знака, треба скласти їх модулі і поставити перед сумою знак, який був перед доданками.

Додавання чисел з різними знаками

Якщо числа мають різні знаки, то діємо трохи інакше, ніж при додаванні чисел з однаковими знаками.

Приклад складання негативного та позитивного числа.

Приклад додавання змішаних чисел.

Щоб скласти числа різного знакутреба:

• з більшого модуля відняти менший модуль;
• перед отриманою різницею поставити знак числа, що має більший модуль.

Додавання та віднімання позитивних і негативних чисел

Нічого не зрозуміло?

Спробуй звернутися за допомогою до викладачів

Правило складання негативних чисел

Для складання двох негативних чисел необхідно:

• виконати складання їх модулів;
• дописати до отриманої суми знак "-".

Відповідно до правила додавання можна записати:

Правило складання негативних чисел застосовується до негативних цілих, раціональних та дійсних чисел.

Скласти негативні числа $−185$ та $−23 \ 789.$

Скористаємося правилом складання негативних чисел.

Виконаємо складання отриманих чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставимо знак $«–»$ перед знайденим числом та отримаємо $−23 974$.

Короткий запис рішення: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

При додаванні негативних раціональних чисел їх необхідно перетворити на вигляд натуральних чисел, звичайних чи десяткових дробів.

Скласти негативні числа $-\frac$ та $−7,15$.

Відповідно до правила складання негативних чисел спочатку необхідно знайти суму модулів:

Отримані значення зручно звести до десяткових дробів та виконати їх додавання:

Поставимо перед отриманим значенням знак $«-»$ і отримаємо $-7,4 $.

Короткий запис рішення:

Складання чисел із протилежними знаками

Правило складання чисел із протилежними знаками:

• обчислити модулі чисел;
• виконати порівняння отриманих чисел:

якщо вони рівні, то вихідні числа є протилежними та їх сума дорівнює нулю;

якщо вони не рівні, то слід запам'ятати знак числа, у якого модуль більший;

• від більшого модуля відняти менший;
• перед отриманим значенням поставити знак того числа, у якого модуль більший.

Додавання чисел із протилежними знаками зводиться до віднімання з більшого позитивного числа меншого негативного числа.

Правило складання чисел із протилежними знаками виконується для цілих, раціональних та дійсних чисел.

Скласти числа $4$ та $−8$.

Потрібно виконати складання чисел із протилежними знаками. Скористаємося відповідним правилом додавання.

Знайдемо модулі даних чисел:

Модуль числа $−8$ більше від модуля числа $4$, тобто. запам'ятаємо знак $«–»$.

Поставимо знак $«–»$, який запам'ятовували, перед отриманим числом, і отримаємо $−4.$

Лінь читати?

Задай питання фахівцям та отримай
відповідь вже за 15 хвилин!

Для складання раціональних чисел із протилежними знаками їх зручно подати у вигляді звичайних або десяткових дробів.

Віднімання негативних чисел

Правило віднімання негативних чисел:

Для віднімання від $a$ негативного числа $b$ необхідно до зменшуваного $a$ додати число $−b$, яке є протилежним віднімається $b$.

Відповідно до правила віднімання можна записати:

Це правило справедливе для цілих, раціональних і дійсних чисел. Правило можна використовувати при відніманні негативного числа з позитивного числа, з негативного числа та з нуля.

Відняти від негативного числа $−28$ негативне число $−5$.

Протилежне число для $-5$ - це $5$.

Відповідно до правила віднімання негативних чисел отримаємо:

Виконаємо складання чисел із протилежними знаками:

Короткий запис рішення: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

При відніманні негативних дробових чисел необхідно виконати перетворення чисел на вигляд звичайних дробів, змішаних чисел або десяткових дробів.

Віднімання чисел із протилежними знаками

Правило віднімання чисел із протилежними знаками збігається з правилом віднімання негативних чисел.

Відняти позитивне число $7$ із негативного числа $−11$.

Протилежне число для $7$ – це число $–7$.

Відповідно до правила віднімання чисел із протилежними знаками отримаємо:

Виконаємо складання негативних чисел:

При відніманні дробових чисел із протилежними знаками необхідно виконати перетворення чисел до виду звичайних чи десяткових дробів.

Так і не знайшли відповіді
на своє запитання?

Просто напиши з чим тобі
потрібна допомога

Додавання негативних чисел: правило, приклади

В рамках цього матеріалу ми торкнемося такої важливу тему, як додавання негативних чисел. У першому параграфі ми розповімо основне правило для цієї дії, а у другому – розберемо конкретні прикладивирішення подібних завдань.

Основне правило складання натуральних чисел

Перед тим, як вивести правило, згадаємо, що ми взагалі знаємо про позитивні та негативні числа. Раніше ми домовилися, що негативні числа слід сприймати як борг, збитки. Модуль від'ємного числа висловлює точні розмірицього збитку. Тоді складання негативних чисел можна як додавання двох збитків.

Скориставшись цим міркуванням, сформулюємо основне правило складання негативних чисел.

Для того, щоб виконати складання негативних чиселпотрібно скласти значення їх модулів і поставити мінус перед отриманим результатом. У буквеному вигляді формула виглядає як (−a) + (−b) = − (a + b) .

Виходячи з цього правила, можна зробити висновок, що додавання негативних чисел аналогічне до складання позитивних, тільки в результаті у нас обов'язково має вийти негативне число, адже перед сумою модулів треба ставити знак мінус.

Які можна навести докази цього правила? Для цього нам потрібно згадати основні властивості дій із дійсними числами (або з цілими, або з раціональними – вони однакові для всіх цих типів чисел). Для доказу нам потрібно лише продемонструвати, що різниця лівої і правої частини рівності (− a) + (− b) = − (a + b) дорівнюватиме 0 .

Відняти одне число з іншого - це те саме, що і додати до нього таке ж протилежне число. Отже, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Згадаймо, що числові вирази зі складанням мають два основними властивостями- Сполучним і переміщувальним. Тоді ми можемо дійти невтішного висновку, що (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Оскільки, склавши протилежні числа, ми завжди отримуємо 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 . Нашу рівність вважатимуться доведеним, отже, правило складання негативних чисел ми теж довели.

Завдання на додавання негативних чисел

У другому параграфі ми візьмемо конкретні завданняде потрібно складати негативні числа, і спробуємо застосувати в них вивчене правило.

Знайдіть суму двох від'ємних чисел — 304 та — 18 007 .

Рішення

Виконаємо дії покроково. Спочатку нам треба знайти модулі чисел, що складаються: - 304 = 304, - 180007 = 180007 . Далі нам потрібно виконати дію додавання, для чого ми використовуємо метод підрахунку стовпчиком:



Все, що нам залишилося – це поставити мінус перед результатом і отримати – 18 311 .

Відповідь: — — 18 311 .

Від того, які у нас числа, залежить, до чого ми можемо звести дію додавання: до знаходження суми натуральних чисел, до складання звичайних чи десяткових дробів. Розберемо завдання із такими числами.

Знайдіть суму двох від'ємних чисел — 2 5 і − 4 , (12) .

Знаходимо модулі шуканих чисел і отримуємо 2 5 і 4 (12) . У нас вийшло дві різні дроби. Зведемо завдання до складання двох звичайних дробів, для чого уявімо періодичний дрібу вигляді звичайної:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

У результаті ми отримали дріб, який буде легко скласти з першим вихідним доданком (якщо ви забули, як правильно складати дроби з різними знаменниками, повторіть відповідний матеріал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

У результаті ми отримали змішане число, Перед яким нам залишилося тільки поставити мінус. У цьому розрахунки завершено.

Відповідь: — 4 86 105 .

Справжні негативні числа складаються аналогічно. Результат такої дії прийнято записувати числовим виразом. Його значення можна і не обчислювати чи обмежитися зразковими розрахунками. Так, наприклад, якщо нам треба знайти суму - 3 + (− 5), то відповідь ми записуємо як - 3 - 5 . Додавання дійсних чисел ми присвятили окремий матеріал, у якому можна знайти й інші приклади.

Додавання негативних чисел.

Сума негативних чисел є числом негативним. Модуль суми дорівнює сумімодулів доданків.

Давайте розберемося, чому сума негативних чисел буде теж негативним числом. Допоможе нам у цьому координатна пряма, де ми виконаємо складання чисел -3 і -5. Зазначимо на координатній прямій точку, що відповідає числу -3.

До -3 нам потрібно додати число -5. Куди ми підемо від точки, що відповідає числу -3? Правильно, ліворуч! На 5 одиничних відрізків. Зазначаємо крапку та пишемо число їй відповідне. Це число -8.



Отже, при виконанні складання негативних чисел за допомогою координатної прямої ми весь час знаходимося ліворуч від початку відліку, тому зрозуміло, що результат складання негативних чисел є числом теж негативним.

Примітка.Ми складали числа -3 та -5, тобто. знаходили значення виразу -3+(-5). Зазвичай під час складання раціональних чисел просто записують ці числа зі своїми знаками, хіба що перераховують усі числа, які треба скласти. Такий запис називають алгебраїчною сумою. Застосовують (у прикладі) запис: -3-5=-8.

приклад.Знайти суму негативних чисел: -23-42-54. (Погодьтеся, що цей запис коротший і зручніший за такий: -23+(-42)+(-54))?

Вирішуємоза правилом складання негативних чисел: складаємо модулі доданків: 23+42+54=119. Результат буде зі знаком мінус.

Записують зазвичай так: -23-42-54 = -119.

Складання чисел з різними знаками.

Сума двох чисел з різними знаками має знак доданку з великим модулем. Щоб знайти модуль суми, потрібно від більшого модуля відняти менший.

Виконаємо складання чисел з різними знаками за допомогою координатної прямої.

1) -4+6. Потрібно до -4 додати число 6. Зазначимо число -4 точкою на координатній прямий. Число 6 - позитивне, значить від точки з координатою -4 нам потрібно йти вправо на 6 одиничних відрізків. Ми опинилися праворуч від початку відліку (від нуля) на 2 одиничні відрізки.



Результат суми чисел -4 і 6 - це позитивне число 2:

- 4 +6 = 2. Як можна було одержати число 2? З 6 відняти 4, тобто. від більшого модуля відняти менший. У результату той самий знак, що й у доданку з великим модулем.

2) Обчислимо: -7+3 за допомогою координатної прямої. Відзначаємо точку, відповідну числу-7. Ідемо вправо на 3 одиничні відрізки і отримуємо точку з координатою -4. Ми були і залишилися ліворуч від початку відліку: відповідь — негативне число.



- 7 +3 =-4. Цей результат ми могли отримати так: від більшого модуля відняли менший, тобто. 7-3 = 4. Через війну поставили знак доданку, має більший модуль: |-7|>|3|.

приклади.Обчислити: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.