Яку величину називають випадковою. Закон розподілу випадкових величин

Визначення випадкової величини. Багато випадкові події можна оцінити кількісно випадковими величинами.

Випадковою називають таку величину, яка набуває значення залежно від збігу випадкових обставин.

Випадковими величинами є: кількість хворих на прийомі у лікаря, кількість студентів в аудиторії, кількість народжень у місті, тривалість життя окремої людини, швидкість молекули, температура повітря, похибка у вимірі будь-якої величини та ін Якщо пронумерувати кулі в урні приблизно так, як це роблять при розігруванні тиражу лото, то довільне виймання кулі з урни покаже число, що є випадковою величиною.

Розрізняють дискретні та безперервні випадкові величини.

Випадкова величина називається дискретною, якщо вона приймає лічильну множину значень:число букв на довільній сторінці книги, енергія електрона в атомі, число волосся на голові людини, число зерен у колосках, число молекул у виділеному обсязі газу тощо.

Безперервна випадкова величина набуває будь-яких значень усередині деякого інтервалу:температура тіла, маса зерен вколосся пшениці, координата місця влучення кулі в ціль (приймаємо кулю за матеріальну точку) та ін.

Розподіл дискретної випадкової величини.Дискретна випадкова величина вважається заданою, якщо вказано її можливі значення та відповідні їм ймовірності. Позначимо дискретну випадкову величину X,її значення x 1 x 2…., а ймовірності Р(х 1)= p 1, Р(х 2)= р 2і т.д. Сукупність Xі Р називається розподілом дискретної випадкової величини(Табл. 1).

Таблиця 1

Випадковою величиною є номер виду спорту у грі «Спортло-10». Загальне числовидів дорівнює 49. Вказати розподіл цієї випадкової величини (табл. 3).

Таблиця 3

Бо при l = 1відбуваються також і дві інші складні події: (А і А і А) і (А і А і А), то необхідно, скориставшись теоремою складання ймовірностей (2.4), отримати повну ймовірність для l = 1,склавши тричі попередній вираз:

Значення I = 2 відповідає випадку, при якому подія А сталася у двох із трьох випробувань. Міркуваннями, подібними до наведених вище, отримаємо повну ймовірністьдля цього випадку:

При 1 = 3 подія А з'являється у всіх трьох випробуваннях. Використовуючи теорему множення ймовірностей, знаходимо

На основі багаторічних спостережень виклик лікаря в даний будинокоцінюється ймовірністю 0,5. Знайти ймовірність того, що протягом шести днів відбудеться чотири виклики лікаря; Р(А)= 0,5, п = 6,1 = 4. Т Скористаємося формулою (2.10):

Числові характеристикидискретної випадкової величиниУ багатьох випадках, поряд з розподілом випадкової величини або замість нього, інформацію про ці величини можуть дати числові параметри, що отримали назву числових показників випадкової величини. Розглянемо найбільш уживані їх.

Математичне очікування (середнє значення) випадкової величини є сума творів всіх можливих її значень.
ній на ймовірності цих значень:

Нехай при великому числівипробувань пдискретна випадкова величина Xприймає значення x v x 2..., х пвідповідно m 1 , m г,..., т празів. Середнє значення дорівнює

Якщо пвелике, то відносні частоти т 1 /п, т 2 /п,... прагнутимуть до ймовірностей, а середня величина- До математичного очікування. Саме тому математичне очікуваннячасто ототожнюють із середнім значенням.

Знайти математичне очікування для дискретної випадкової величини, яка задається цифрою на межі під час кидання гральної кістки(Див. табл. 2).

Використовуємо формулу (2.11):

Знайти математичне очікування для дискретної випадкової величини, що визначається тиражем "Спортлото" (див. табл. 3). Згідно з формулою (2.11), знаходимо

Можливі значення дискретної випадкової величини розпорошені навколо її математичного очікування, частина їх перевищує М(Х),частина – менше М(Х).Як оцінити рівень розкиду випадкової величини щодо її середнього значення? Може здатися, що для вирішення такого завдання слід вирахувати відхилення всіх випадкових величин від її математичного очікування X - М(Х),а потім знайти математичне очікування (середнє значення) цих відхилень: М[Х – М(Х)].Вез докази відзначимо, що ця величина дорівнює нулю, тому що відхилення випадкових величин від математичного очікування мають як позитивні, так і від'ємні значення. Тому доцільно враховувати або абсолютні значеннявідхилень М[Х - М(X)], або їх квадрати М[Х – М(Х)] 2 .Другий варіант виявляється кращим, так приходять до поняття дисперсії випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Вона означає, що дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Xта квадратом її математичного очікування.

Знайти дисперсію випадкової величини, що задається цифрою на межі при киданні гральної кістки (див. табл. 2).

Математичне очікування цього розподілу дорівнює 3,5. Запишемо значення квадратів відхилення випадкових величин від математичного очікування: (1 – 3,5) 2 = 6,25; (2 – 3,5) 2 = 2,25; (3 – 3,5) 2 = 0,25; (4 – 3,5) 2 = 0,25; (5 – 3,5) 2 = 2,25; (6 – 3,5) 2 = 6,25. За формулою (2.12) з урахуванням (2.11) не ходимо дисперсію:

Відповідно до (2.12), дисперсія має розмірність квадрата розмірності випадкової величини. Щоб оцінювати відстань випадкової величини в одиницях тієї ж розмірності, вводять поняття середнього квадратичного відхилення,під яким розуміють квадратний коріньз дисперсії:

Розподіл та характеристики безперервної випадкової величини. Безперервну випадкову величину не можна задати тим самим законом розподілу, як і дискретну. І тут надходять так.

Нехай dP – ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприймає значення між хі х+ dx.Очевидно, що ІРМ більше інтервал dx,тим більше і ймовірність dP: dP ~ dx.Крім того, ймовірність повинна залежати і від самої випадкової Величини, поблизу якої розташований інтервал, тому

де f(x)- щільність імовірності,або функція розподілу імовірностей.Вона показує, як змінюється ймовірність, віднесена до інтервалу dxвипадкової величини, залежно від значення цієї величини:

Інтегруючи вираз (2.15) у відповідних межах, знаходимо ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-якого значення в інтервалі (ab):

Умова нормування для безперервної випадкової величини має вигляд

Як видно з (2.19), ця функція дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуває значення, менші х:

Для безперервної випадкової величини математичне очікування та дисперсія записуються відповідно у вигляді

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки

з вивчення теми «Випадкові величини» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НДСПО)

Гірки, 2013

Випадкові величини

Дискретні та безперервні випадкові величини

Одним із основних понять у теорії ймовірностей є поняття випадкової величини . Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування з безлічі можливих своїх значень набуває лише одного, причому заздалегідь невідомо, яке саме.

Випадкові величини бувають дискретними та безперервними . Дискретною випадковою величиною (ДСВ) називається випадкова величина, яка може набувати кінцевого числа ізольованих один про одного значень, тобто. якщо можливі значення цієї величини можна перерахувати. Безперервною випадковою величиною (НСВ) називається випадкова величина, всі можливі значення якої часто заповнюють деякий проміжок числової прямої.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z і т.д. Можливі значення випадкових величин позначаються відповідними літерами.

Запис
означає «імовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення, що дорівнює 5, дорівнює 0.28».

Приклад 1 . Одного разу кидають гральний кубик. При цьому можуть випасти цифри від 1 до 6, що позначають кількість очок. Позначимо випадкову величину Х=(число очок, що випали). Ця випадкова величина в результаті випробування може прийняти лише одне із шести значень: 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Отже, випадкова величина Хє ДСВ.

Приклад 2 . При киданні каменю він пролітає певну відстань. Позначимо випадкову величину X= (Відстань польоту каменю). Ця випадкова величина може прийняти будь-яке, але тільки одне значення з деякого проміжку. Отже, випадкова величина Хє НСВ.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона може набувати, і ймовірностями, з якими ці значення набувають. Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та відповідними їм ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини .

Якщо відомі всі можливі значення
випадкової величини Хта ймовірності
появи цих значень, то вважають, що закон розподілу ДСВ Хвідомий і він може бути записаний у вигляді таблиці:

Закон розподілу ДСВ можна зобразити графічно, якщо у прямокутній системі координат зобразити точки
,
, …,
та з'єднати їх відрізками прямих ліній. Отримана постать називається багатокутником розподілу.

Приклад 3 . У зерні, призначеному для очищення, міститься 10% бур'янів. Навмання відібрано 4 зерна. Позначимо випадкову величину X=(кількість бур'янів серед чотирьох відібраних). Побудувати закон розподілу ДСВ Хта багатокутник розподілу.

Рішення . За умовою прикладу. Тоді:

Запишемо закон розподілу ДСВ Х у вигляді таблиці та побудуємо багатокутник розподілу:

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Найважливіші властивості дискретної випадкової величини описуються її характеристиками. Однією з таких характеристик є математичне очікування довільної величини.

Нехай відомий закон розподілу ДСВ Х:

Математичним очікуванням ДСВ Хназивається сума творів кожного значення цієї величини на відповідну ймовірність:
.

Математичне очікування випадкової величини приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень. Тому в практичних завданнях часто за математичне очікування набувають середнього значення цієї випадкової величини.

приклад 8 . Стрілець вибиває 4, 8, 9 та 10 очок з ймовірностями 0.1, 0.45, 0.3 та 0.15. Знайти математичне очікування числа очок за одного пострілу.

Рішення . Позначимо випадкову величину X= (кількість вибитих очок). Тоді. Таким чином, очікуване середнє значення числа вибитих очок при одному пострілі дорівнює 8.2, а при 10 пострілах - 82.

Основними властивостями математичного очікування є:

.

.

, де
,
.

.

, де Хі Y- Незалежні випадкові величини.

Різниця
називається відхиленням випадкової величини Хвід її математичного очікування. Ця різниця є випадковою величиною та її математичне очікування дорівнює нулю, тобто.
.

Дисперсія дискретної випадкової величини

Для характеристики випадкової величини, крім математичного очікування, використовується і дисперсія , що дозволяє оцінити розсіювання (розкид) значень випадкової величини в її математичного очікування. При порівнянні двох однорідних випадкових величин із рівними математичними очікуваннями «кращою» вважається та величина, що має менший розкид, тобто. меншу дисперсію.

Дисперсією випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .

У практичних завданнях для обчислення дисперсії використовують рівносильну формулу.

Основними властивостями дисперсії є:

.

Розширенням поняття випадкових подій, що перебувають у появі деяких числових значеньв результаті експерименту, є випадкова величинаХ.

Визначення. Випадковийназивають величину, що приймає в результаті експерименту одне тільки значення з деякої їхньої сукупності і невідоме заздалегідь, яке саме.

Випадкова величина, наприклад, є обгрунтовану модель опису геологічних даних, що враховує вплив різних факторівна фізичне поле.

Як і результат окремого експерименту, точне значеннявипадкової величини передбачити не можна, можна встановити її статистичні закономірності, тобто. визначити ймовірність значень випадкової величини. Наприклад, вимірювання фізичних властивостей гірських порідє спостереженнями відповідних випадкових величин.

Серед випадкових величин, з якими доводиться зустрічатися геологу, можна назвати два основних типи: величини дискретніта величини безперервні.

Визначення. Дискретноювипадковою величиною називається така, яка може приймати кінцеве або нескінченне лічильне безліч значень.

В якості типових прикладівдискретної випадкової величини можуть виступати всі результати польових робіт, всі результати експериментів, привезені з поля зразки та ін.

Різні значення випадкової величини утворюють повну групу подій, тобто. де - кінцеве або нескінченне. Тому можна говорити, що випадкова величинаузагальнює поняття випадкової події.

Нехай в результаті досліджень було отримано наступний ряд даних щодо кількісного складу деякої породи: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Усього було проведено 20 випробувань. Для того, щоб з даними було зручно працювати, їх перетворили: розташували отримані значення за зростанням та підрахували кількість появи кожного із значень. В результаті отримали (Таблиця 7.1):

Визначення. Розподіл даних щодо зростання називається ранжуванням.

Визначення. Спостережуване значення деякої ознаки випадкової величини називається варіантом.

Визначення. Ряд, складений з варіант, називається варіаційним рядом.

Визначення. Зміна деякої ознаки випадкової величини називається варіованим.

Визначення. Число, що показує скільки разів варіюється дана варіантаназивається частотою і позначається.

Визначення. ЙмовірністьПоява даної варіанти дорівнює відношенню частоти до загальну сумуваріаційного ряду

З урахуванням введених визначень перепишемо таблицю 7.1.

При статистичному аналізіЕкспериментальні дані головним чином використовують дискретні величини. У таблиці 7.3 наведено основні числові характеристики цих величин, що мають важливе значення. практичне значеннядля обробки експериментальних даних.

N п/п	Характеристика (параметр) випадкової величини та її позначення	Формула знаходження характеристики випадкової величини	Примітка
1	Математичне очікування	(2)	Характеризує положення випадкової величини на числовій осі
2	Середнє значення	(3)	Якщо випадкова величина є незалежною, то
3	Мода	Це таке значення, для якого найбільше	Рівна значенню, що найчастіше зустрічається. Якщо таких значень у варіаційному рядукілька, то не визначається.
4	Медіана	Якщо парне, то Якщо непарне, то	Це таке значення, яке знаходиться у центрі ранжованого ряду.
5	Дисперсія		Характеризує дійсне розсіювання випадкової величини довкола середнього значення.
7	Коефіцієнт варіації	(6)	Поряд із дисперсією характеризує мінливість випадкової величини
8	Центроване нормоване ухилення

Якщо класичнатеорія ймовірностей вивчала, в основному, події та ймовірність їх появи (настання), то сучаснатеорія ймовірностей вивчає випадкові явища та його закономірності з допомогою випадкових величин. Поняття випадкової величини, таким чином, є основним теоретично ймовірностей. Ще раніше проводилися події, що перебувають у появі того чи іншого числа. Наприклад, при киданні гральної кістки могли з'явитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число очок, що з'явилися, неможливо, оскільки воно залежить від багатьох випадкових причин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є випадковою, а числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6 є можливі значенняцієї величини.

Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду приймає те чи інше (причому, одне і тільки одне) можливе числове значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини прийнято, як правило, позначати великими літерами, а їх можливе значення - відповідними малими літерами Наприклад, якщо випадкова величина має три можливі значення, то вони, відповідно, позначаються так:. Для зручності писатимемо: .

ПРИКЛАД 1. Число хлопчиків, що народилися, серед ста новонароджених є величина випадкова, яка має наступні можливі значення: 0, 1, 2, ..., 100.

ПРИКЛАД 2. Відстань, що пролетить снаряд при пострілі з гармати, є також випадкова. Справді, відстань залежить як від установки прицілу, а й багатьох інших причин (сили та напрями вітру, температури тощо. п.), які можуть бути повністю враховані. Можливі значення цієї величини, очевидно, належать деякому проміжку (інтервалу).

Зауважимо, що з кожним випадковою подієюможна зв'язати якусь випадкову величину, що приймає значення R. Наприклад, досвід - Постріл по мішені; подія - Попадання в ціль; випадкова величина - Число попадань в ціль.

Повернемося до прикладів, наведених вище. У першому їх випадкова величина могла прийняти одне з наступних можливих значень: 0, 1, 2,..., 100. Ці значення відокремлені одне одного проміжками, у яких немає можливих значень. Таким чином, у цьому прикладі випадкова величина набуває окремих, ізольованих, можливих значень.

У другому прикладі випадкова величина могла прийняти будь-яке значення проміжку. Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, який не містить можливих значень випадкової величини.

Вже зі сказаного можна укласти про доцільність розрізняти випадкові величини, що приймають лише окремі, ізольовані значення і випадкові величини, можливі значення яких заповнюють певний проміжок.

Дискретної ( перервний ) випадковою величиною називається така випадкова величина, яка приймає кінцеве чи лічильне безліч 1 різних значень. Іншими словами - це така випадкова величина, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Безперервний називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку дійсної числової осі.

Вочевидь, по-перше, кількість можливих значень безперервної випадкової величини – нескінченно. По-друге, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей

I. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

На перший погляд може здатися, що для завдання випадкової дискретної величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це негаразд: різні випадкові величини іноді може мати однакові переліки можливих значень, а відповідні ймовірності цих значень – різні. Тож повної характеристики мало знати значення випадкової величини, треба знати, наскільки часто ці значення зустрічаються у досвіді за його повторенні, тобто. потрібно ще вказати ймовірність їх появи.

Розглянемо випадкову величину . Поява кожного їх можливих значень свідчить про те, що сталося відповідно одна з подій, що утворюють повну групу 2 . Припустимо, що ймовірності цих подій відомі:

, . . . , ,

Тоді: відповідність, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями, називаєтьсязаконом розподілу ймовірностей випадкової величини , чи навіть – законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей даної випадкової величини можна поставити таблично (ряд розподілу), аналітично (як формули) і графічно.

При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий - ймовірності, тобто.

З метою наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, навіщо у прямокутної системі координат будують точки , та був з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу. При цьому сума ординат побудованого багатокутника дорівнює одиниці.

Аналітично, закон розподілу дискретної випадкової величини можна записати, наприклад, використовуючи формулу Бернуллі для схеми повторення незалежних дослідів. Так, якщо позначити випадкову величину, якою є кількість бракованих деталей у вибірці, через , то можливі її значення будуть 0, 1, 2, . . . ,. Тоді, очевидно, формула Бернуллі встановлюватиме залежність між значеннями і ймовірністю() їх появи, де

,

що визначає закон розподілу даної випадкової величини.

II. Закон розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини

Згадаймо, що дискретна випадкова величина задається переліком її можливих значень та його ймовірностей. Такий спосіб завдання не є загальним: він не застосовується, наприклад, для безперервних випадкових величин.

Справді, розглянемо випадкову величину , можливі значення якої часто заповнюють інтервал. Чи можна скласти список всіх можливих значень? Очевидно, що цього не можна зробити. Цей приклад свідчить про доцільність дати загальний спосібзавдання будь-яких типів випадкових величин (як зазначалося, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини). З цією метою вводять інтегральну функціюрозподілу.

Нехай – змінна, що набуває довільних дійсних значень (на осі:) . Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше. Тоді, ймовірність події залежить від, тобто. є функцією від. Цю функцію прийнято позначати через і називати функцією розподілу випадкової величини або, ще - інтегральною функцією розподілу. Іншими словами:

інтегральною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення R імовірність того, що випадкова величина прийме значення, що менше, тобто.

.

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки.

Властивості інтегральної функції:

Доказ цієї властивості випливає з визначення інтегральної функції як ймовірності: вірогідність є невід'ємне число, що не перевищує одиниці.

Справді, нехай - подія, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше; аналогічно,
- Подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме значення менше. Іншими словами:

Що й потрібно було показати.

Ця властивість цілком очевидна. Так, якщо - достовірна подія, а - неможлива подія, то

Але ,В результаті, можемо записати: що і потрібно показати.

Ми в основному вивчатимемо такі безперервні випадкові величини, функції розподілу яких безперервні.

.

Для безперервної випадкової величини наочнішою є не інтегральна, а диференціальна функція розподілу або, так звана, щільність розподілу випадкової величини.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа

вищої професійної освіти

«Південно-Уральський державний університет

(національний дослідницький університет)»

Факультет "Приладобудівний (КТУР)"

Кафедра «Інформаційно-вимірювальна техніка»

Реферат на тему

Що таке випадкова величина?

з дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Перевірив:

______________/ А.П. Лапін

Виконав:

студент групи ПС-236

_______________/Загоскін Я.С./

Челябінськ 2015

ВСТУП

1. ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

ВИСНОВОК

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

ВСТУП

Теорія ймовірностей - щодо молода, але вже стала класичною, галузь математики. Розвиток її як окремої наукидовелося на середину XVIIстоліття, і почалося з листування двох відомих у всьому світі французьких математиків: Блеза Паскаля та П'єра де Ферма. Проте завданнями, які стосуються прорахунку ймовірностей в азартних іграх, вчені почали цікавитись значно раніше. Так, наприклад, італійський математик Лука Пачолі ще в 1494 р. у своїй праці «Сума арифметики, геометрії, відносин і пропорцій» («Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita»), розглянув одне із завдань про ймовірності, але, на жаль, навів хибне рішення.

Сьогодні методи теорії ймовірностей та математичної статистики є невід'ємною частиною практично будь-якої дисципліни як технічної, так і гуманітарної спрямованості. Закони розподілу випадкових величин виявилися застосовними не тільки до математики, фізики, хімії і так далі, але й до дисциплін, що частково несуть прогностичний характер, таким як соціологія, економіка, політологія, etc.

У цій роботі, познайомимося з основними поняттями, термінами та законами теорії ймовірностей та математичної статистики, а також із застосуванням останніх на практиці.

1. ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

1.1 Визначення випадкової величини

Випадкова величина – це фундаментальне поняття теорії ймовірностей та математичної статистики.

Кожен автор по-своєму формулює поняття випадкової величини. О.С. Вентцель, наприклад, визначає випадкову величину як величину, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме .

Інакше висловлюючись, випадкова величина це величина, що має цілий набір допустимих значень, але приймає лише одне, і яке саме, наперед точно сказати не можна.

Формальне математичне визначеннявипадкової величини звучить так:

Нехай (Щ, F, P) - ймовірнісний простір, Тоді випадковою величиною називають функцію X: Щ > R .

Випадкову величину практично зазвичай позначають великими літерами, наприклад: X, Y, Z тоді, як можливі значення самої величини визначаються малими знаками: x, y, z.

1.2 Види та приклади випадкових величин

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

До дискретних відносяться ті випадкові величини, безліч значень яких звісно чи фіксовано. Прикладом дискретної випадкової величини можна вважати кількість попадань у ціль при заздалегідь певному числіпостріли.

Безперервна випадкова величина це така величина, безліч значень якої є незліченною або нескінченною. Як приклад для безперервної випадкової величини можна взяти кількість кіл на воді, після попадання в неї каменю, або відстань, яка пролетить стріла, перш ніж впасти на землю.

Усі випадкові величини, до всього іншого, мають ще одну важливу характеристику- ряд допустимих значень, який, своєю чергою, може бути як обмеженим, і необмеженим. Звідси, маємо, залежно від числа допустимих значень, обмежені випадкові величини, ряд допустимих значень скінченний чи фіксований, і необмежені, кількість допустимих значень яких є нескінченною.

Дискретні випадкові величини можуть мати обмежений та необмежений ряд можливих значень, коли як безперервні – лише необмежений.

На практиці в теорії ймовірностей та математичної статистики, як правило, мають справу лише з безперервними випадковими величинами.

2. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

2.1 Закон розподілу дискретної випадкової величини

Будь-яке співвідношення між допустимими значеннями випадкової величини та ймовірностями їхнього наступу називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Існує два способи завдання закону розподілу:

· Аналітично, коли закон розподілу задається у вигляді таблиці відповідності значень випадкової величини та їх ймовірністю, що називається рядом розподілу:

Таблиця 1 – ряд розподілу випадкової величини

Тут, у першому рядку розташовуються можливі значення випадкової величини, а в другому - їх ймовірності, при цьому сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці:

· Графічно, коли таблиця розподілу випадково величини приймає багатокутника розподілу:

Малюнок 1 - багатокутник розподілу випадкової величини

Де сума всіх ординат багатокутника є ймовірністю всіх допустимих значень випадкової величини, отже, також дорівнює одиниці.

Існує також біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини або друга назва - закон розподілу Бернуллі.

Визначення: дискретна випадкова величина розподілена за біноміальним законом, якщо ймовірність того, що подія A настане рівно m разів у серії з n випробувань за схемою Бернуллі, дорівнює:

Або у вигляді таблиці:

Таблиця 2 - ряд біномного розподілу

Прикладом є вибірковий контроль якості виробничих виробів, у якому відбір виробів для проби проводиться у разі схемою випадкової повторної вибірки, тобто. коли перевірені вироби повертаються у вихідну партію. Тоді кількість нестандартних виробів серед відібраних є випадковою величиною з біноміальним законом розподілу ймовірностей.

Дискретна випадкова величина називається розподіленою за законом Пуассона, якщо вона має необмежену лічильну множину допустимих значень 0, 1, 2, …, m, … Тоді відповідні ймовірності визначаються формулою (3):

M = 0, 1, 2, ...; (3)

Прикладом явища, розподіленого згідно із законом Пуассона, є послідовність радіоактивного розпадучастинок.

2.2 Закони розподілу безперервної випадкової величини

випадковий величина теорія ймовірність

Розглянуті вище правила розподілу випадкової величини є справедливими лише стосовно дискретним величинам, Через те, що всі перелічені закони будуються виключно з міркування, що кількість можливих значень випадкової величини звичайно і суворо фіксовано. Саме тому, наприклад, розподілити безперервну випадкову величину за законом Пуассона або Бернуллі не вийде, тому що неможливо перерахувати кількість допустимих значень цієї величини – воно нескінченне.

Для опису розподілу безперервних випадкових величин існують такі закони:

Розглянемо значення випадкової величини Х такі, що Х<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):

Рівність (4) читається:

Імовірність того, що випадкове значення X знаходиться лівіше за значення х, визначається функцією розподілу F(x).

Рисунок 2 – Графічне подання функції розподілу с.в.

Варто відзначити, що у вигляді функції розподілу можна описувати як безперервну, так і дискретну випадкові величини - це універсальна характеристика.

Для безперервних випадкових величин на практиці, нарівні з функцією розподілу F(x) також прийнято використовувати інший закон розподілу - щільність розподілу ймовірностей випадкової величини:

Рівність (5) – диференціальний закон розподілу випадкової величини, який виражає крутість функції розподілу F(x).

Малюнок 3 – Графічне подання диференціального закону розподілу с.в.

Зауважимо, що диференціальний закон розподілу випадкової величини не є універсальним - він застосовується виключно до безперервних випадкових величин.

Одним із найчастіше використовуваних на практиці законів, є нормальний закон розподілу - закон розподілу Гаусса. Закон характеризує щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X і має вигляд:

Де a і параметри розподілу мають значення:

Крива розподілу (рисунок 4а), або крива Гауса, виходить симетричною відносною точкою x = a - точки максимуму. При зменшенні значення у ординату точки максимуму безмежно зростає, крива ж при цьому пропорційно розходиться вздовж осі абсцис, зберігаючи площу графіка постійною величиною, що дорівнює одиниці (рисунок 4б).

Малюнок 4 - Криві розподіли:

4а - крива Гауса,

4б - поведінка кривої Гауса при зміні параметра;

Насправді, нормальний розподіл відіграє значну роль у багатьох галузях знань, але особливу увагу їй приділяють у фізиці. Фізична величина підпорядковується закону Гауса, коли вона піддається впливу великої кількості випадкових перешкод, що є вкрай поширеною ситуацією, внаслідок чого нормальний розподіл найчастіше зустрічається у природі, і саме звідси пішла її назва.

Безперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на проміжку (a, b), якщо всі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність розподілу ймовірностей стала - закон рівномірного розподілу безперервної випадкової величини, що має вигляд:

Для випадкової величини Х, рівномірно розподіленої в інтервалі (a, b) (рисунок 5), ймовірність попадання в будь-який інтервал (x1, x2), що лежить всередині інтервалу (a, b), дорівнює:

Малюнок 5 - Графік щільності рівномірного розподілу

Як приклад рівномірно розподілених величин можна взяти помилки округлення. Так, якщо всі табличні значення деякої функції округлені до того самого розряду, то вибираючи навмання табличне значення, ми вважаємо, що помилка округлення обраного числа - випадкова величина, рівномірно розподілена в інтервалі, де.

Безперервна випадкова величина X називається показово розподіленою, якщо щільність розподілу її ймовірностей має вигляд:

Як приклад, візьмемо час Т безвідмовної роботи комп'ютерної системи, де Т - випадкова величина, що має показовий розподіл з параметром л, фізичний зміст якого - середня кількість відмов в одиницю часу, за винятком простоїв системи для ремонту.

Малюнок 6 - Графік густини показового розподілу

ВИСНОВОК

Методи, засоби та закони теорії ймовірностей та математичної статистики протягом усіх етапів формування дисципліни були актуальними, якими і залишаються аж до наших днів. Головний принцип методів, що дозволив торкнутися настільки багато галузей і сфер знання - універсальність. Їх легко можна застосовувати в будь-якій дисципліні, і при цьому вони не втрачають своєї сили, залишаються справедливими.

Але ніколи ще теорія ймовірностей була настільки затребувана, як сьогодні. Пов'язано це насамперед із неймовірними темпами розвитку та зростання обчислювальної техніки. З кожним роком вона стає все складнішою, підвищується швидкодія, кількість операцій, що здійснюються в секунду, і все це відбувається не без участі математичної статистики, яка, у свою чергу допомагає оптимізувати роботу обчислювальних систем і комплексів, підвищує точність розрахунків, здійснює прогностичну функцію.

Ця робота частково допомагає розібратися в азах дисципліни. Знайомить із фундаментальними поняттями, такими як дискретні та безперервні випадкові величини, пояснює різницю між останніми. Знайомить із законами їх розподілу, з подальшим застосуванням усіх здобутих знань на практиці.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Вентцель, Є.С. Теорія ймовірностей/Є.С. Вентцель - М.: Наука, 1969р.

2. Смирнов, Н.В. Курс теорії ймовірностей та математичної статистики для технічних додатків./Н.В. Смирнов, І.В. Дунін-Барковський - М.: "Наука", 1969р.

3. Пустильник, Є.І. Статистичні методи аналізу та обробка спостережень: навчальний посібник/Є.І. Пустельник. - М.: "Наука", 1968р.

4. Джонсон, Н. Статистика та планування в науці та техніці. / Н. Джонсон, Ф. Ліон - М.: «Світ», 1969р.

5.http://www.wikipedia.org/

Анотація

Загоскін Я.С. Що таке випадкова величина?

Челябінськ: Юургу

Бібліогр. Список - 5 найм.

Ознайомитися з базовими термінами теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розібратися з поняттям випадкової величини.

Розглянуто поняття випадкової величини, визначено класифікацію випадкових величин, розглянуто закони їх розподілу, приклади застосування законів та методів на практиці, а також проаналізовано перспективність дисципліни.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Імовірність потрапляння випадкової величини Х заданий інтервал. Побудова графіка функції розподілу випадкової величини. Визначення ймовірності того, що навмання взятий виріб відповідає стандарту. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

контрольна робота , доданий 24.01.2013


Безперервна випадкова величина та функція розподілу. Математичне очікування безперервної випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення. Крива розподілу для безперервної випадкової величини. Поняття однофакторного дисперсійного аналізу.

контрольна робота , доданий 03.01.2012


Опис випадкових помилок методами теорії ймовірностей. Безперервні випадкові величини. Числові характеристики випадкових величин. Нормальний закон розподілу. Концепція функції випадкової величини. Центральна гранична теорема. Закон великих чисел.

реферат, доданий 19.08.2015


Випадкові величини. Функція та щільність розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Сингулярні випадкові величини. Математичне очікування випадкової величини. Нерівність Чебишева. Моменти, кумулянти та характеристична функція.

реферат, доданий 03.12.2007


Завдання математичної статистики. Розподіл випадкової величини з урахуванням досвідчених даних. Емпірична функція розподілу. Статистичні оцінки параметрів розподілу. Нормальний закон розподілу довільної величини, перевірка гіпотези.

курсова робота , доданий 13.10.2009


Математичне очікування випадкової величини. Властивості математичного очікування, дисперсія випадкової величини, суми. Функція від випадкових величин, її математичне очікування. Коефіцієнт кореляції, види збіжності послідовності випадкових величин.

лекція, доданий 17.12.2010


Дискретні системи двох випадкових величин. Композиція законів розподілу, що входять до системи. визначення ймовірності потрапляння випадкової величини в інтервал; числові характеристики функції; математичне очікування та дисперсія випадкової величини.

контрольна робота , доданий 22.11.2013


Щільність розподілу безперервної випадкової величини. Характеристика особливостей рівномірного та нормального розподілу. Імовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу. Властивості функції розподілу. Загальне поняття про регресійний аналіз.

контрольна робота , доданий 26.04.2013


Обчислення математичного очікування, дисперсії, функції розподілу та середньоквадратичного відхилення випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини. Класичне визначення ймовірності події. Знаходження густини розподілу.

контрольна робота , доданий 25.03.2015


Функція розподілу безперервної випадкової величини. Математичне очікування безперервної випадкової величини, густина розподілу ймовірностей системи. Коваріація. Коефіцієнт кореляції.