Як записати у стандартному вигляді багаточлен. Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів

Багаточленом називають суму одночленів. Якщо всі члени багаточлена записати в стандартному вигляді (див. п. 51) і виконати приведення таких членів, то вийде багаточлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду - у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

Розглянемо приклади, у яких цілий вираз слід призвести до стандартного виду многочлена.

Рішення. Спочатку наведемо до стандартного вигляду члени багаточлена. Отримаємо Після приведення подібних членів отримаємо багаточлен стандартного вигляду

Рішення. Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

Рішення. Якщо перед дужками стоїть зіак «мінус», то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків ув'язнених у дужки. Скориставшись цим правилом паскриття дужок, отримаємо:

Рішення. Добуток одночлена та багаточлена згідно з розподільчим законом дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного члена багаточлена. Отримуємо

Рішення. Маємо

Залишилося навести таких членів (вони підкреслені). Отримаємо:

53. Формули скороченого множення.

У деяких випадках приведення цілого виразу до стандартного виду багаточлена здійснюється з використанням тотожностей:

Ці тотожності називають формулами скороченого множення,

Розглянемо приклади, у яких необхідно перетворити заданий вираз у миогочлеи стандартного виду.

приклад 1. .

Рішення. Скориставшись формулою (1), отримаємо:

приклад 2. .

Рішення.

приклад 3. .

Рішення. Скориставшись формулою (3), отримаємо:

приклад 4.

Рішення. Скориставшись формулою (4), отримаємо:

54. Розкладання багаточленів на множники.

Іноді можна перетворити багаточлен на твір кількох співмножників - багаточленів або одпочленів. Таке тотожне перетворення називається розкладанням многочлена на множники. І тут кажуть, що многочлен ділиться кожен із цих множників.

Розглянемо деякі способи розкладання багаточленів на множники,

1) Винесення загального множника за дужку. Це перетворення є безпосереднім наслідком розподільчого закону (для наочності потрібно лише переписати цей закон «праворуч наліво»):

Приклад 1. Розкласти на множники багаточленів

Рішення. .

Зазвичай при винесенні загального множника за дужки кожну змінну, що входить у всі члени многочлена, виносять з найменшим показником, який вона має у цьому багаточлені. Якщо всі коефіцієнти многочлена - цілі числа, то як коефіцієнт загального множника беруть найбільший за модулем спільний дільниквсіх коефіцієнтів многочлена.

2) Використання формул скороченого множення. Формули (1) - (7) з п. 53, будучи прочитаними «праворуч наліво, у багатьох випадках виявляються корисними для розкладання багаточленів на множники.

Приклад 2. Розкласти на множники.

Рішення. Маємо. Застосувавши формулу (1) (різницю квадратів), отримаємо . Застосувавши

тепер формули (4) і (5) (сума кубів, різницю кубів), отримаємо:

приклад 3. .

Рішення. Спочатку винесемо за дужку загальний множник. Для цього знайдемо найбільший спільний дільник коефіцієнтів 4, 16, 16 та найменші показникиступенів, з якими змінні а та b входять до складових даний багаточлен одночлени. Отримаємо:

3) Спосіб угруповання. Він заснований на тому, що переміщувальний та сполучний законидодавання дозволяють групувати члени багаточлена у різний спосіб. Іноді вдається таке угруповання, що після винесення за дужки загальних множників у кожній групі в дужках залишається один і той самий багаточлен, який у свою чергу як загальний множник може бути винесений за дужки. Розглянемо приклади розкладання многочлена на множники.

приклад 4. .

Рішення. Зробимо угруповання наступним чином:

У першій групі винесемо за дужку загальний множник у другій – загальний множник 5. Отримаємо Тепер багаточлен як загальний множник винесемо за дужку: Таким чином, отримуємо:

Приклад 5.

Рішення. .

Приклад 6.

Рішення. Тут ніяке угруповання не призведе до появи у всіх групах одного й того ж багаточлена. У таких випадках іноді виявляється корисним уявити якийсь член багаточлена у вигляді деякої суми, після чого знову спробувати застосувати спосіб угруповання. У нашому прикладі доцільно подати у вигляді суми.

Приклад 7.

Рішення. Додамо та віднімемо одночлен Отримаємо

55. Багаточлени від однієї змінної.

Багаточлен, де a, b - числа змінна, називається многочленом першого ступеня; багаточлен де а, b, с - числа змінна, називається многочленом другого ступеня або квадратним тричленом; многочлен де а, b, з, d - числа змінна називається многочленом третього ступеня.

Взагалі якщо о, змінна, то багаточлен

називається лсмогочленол ступеня (щодо х); , m-члени многочлена, коефіцієнти, старший член многочлена, а - коефіцієнт при старшому члені, вільний член многочлена. Зазвичай многочлен записують по спадних ступенях змінної, т. е. ступеня змінної поступово зменшуються, зокрема, першому місці стоїть старший член, останньому - вільний член. Ступінь многочлена – це ступінь старшого члена.

Наприклад, багаточлен п'ятого ступеня, у якому старший член, 1 - вільний член багаточлена.

Коренем багаточлена називають таке значення при якому багаточлен перетворюється на нуль. Наприклад, число 2 є коренем багаточлена, оскільки

Серед різних виразів, які розглядаються в алгебрі, важливе місцезаймають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.

Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.

Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.

За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.

Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена

За допомогою розподільної властивостімноження можна перетворити (спростити) на багаточлен твір одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.

Цей результат зазвичай формулюють як правила.

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.

Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.

Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів

Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються наступним правилом.

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів

З деякими виразами в алгебраїчних перетворенняхдоводиться мати справу частіше, ніж із іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - Квадрат суми дорівнює суміквадратів та подвоєного твору.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.

на даному уроціми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного вигляду та обчислення чисельного значення при заданих значенняхзмінних. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різного родузадач.

Тема:Багаточлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Приведення багаточлена до стандартного вигляду. Типові завдання

Нагадаємо основне визначення: багаточлен – це сума одночленів. Кожен одночлен, що входить до складу багаточлена як доданок називається його членом. Наприклад:

Двучлен;

Багаточлен;

Двучлен;

Оскільки багаточлен складається з одночленів, то перша дія з багаточленом слід звідси – треба привести усі одночлени до стандартного вигляду. Нагадаємо, що для цього потрібно перемножити всі чисельні множники – отримати чисельний коефіцієнт, та перемножити відповідні ступені – отримати літерну частину. Крім того, звернемо увагу на теорему про добуток ступенів: при множенні ступенів показники їх складаються.

Розглянемо важливу операцію- Приведення багаточлена до стандартного виду. Приклад:

Коментар: щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, потрібно привести до стандартного вигляду всі одночлени, що входять до його складу, після цього, якщо є подібні одночлени – а це одночлени з однаковою літерною частиною – виконати дії з ними.

Отже, ми розглянули перше типове завдання – приведення багаточлена до стандартного вигляду.

Наступна типове завдання- Обчислення конкретного значеннямногочлена при заданих чисельних значеннях змінних, що входять до нього. Продовжимо розглядати попередній приклад і поставимо значення змінних:

Коментар: нагадаємо, що одиниця в будь-якій натурального ступенядорівнює одиниці, а нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулюКрім того, нагадаємо, що при множенні будь-якого числа на нуль отримуємо нуль.

Розглянемо ряд прикладів на типові операції приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення його значення:

Приклад 1 – привести до стандартного вигляду:

Коментар: перша дія - наводимо одночлени до стандартного вигляду, потрібно навести перший, другий та шостий; друга дія - наводимо подібні члени, тобто виконуємо над ними задані арифметичні дії: перший складаємо з п'ятим, другий з третім, решту переписуємо без змін, тому що у них немає подібних.

Приклад 2 - обчислити значення многочлена прикладу 1 при заданих значеннях змінних:

Коментар: при обчисленні слід згадати, що одиниця в будь-якій натуральній мірі це одиниця, при утрудненні обчислень ступенів двійки можна скористатися таблицею ступенів.

Приклад 3 - замість зірочки поставити такий одночлен, щоб результат не містив змінної:

Коментар: незалежно від поставленого завдання, перша дія завжди однакова – привести багаточлен до стандартного вигляду. У нашому прикладі ця дія зводиться до приведення таких членів. Після цього слід ще раз уважно прочитати умову і подумати, яким чином ми можемо позбутися одночлена. очевидно, що для цього потрібно до нього додати такий самий одночлен, але з протилежним знаком- . далі замінюємо зірочку цим одночленом і переконуємось у правильності нашого рішення.

Ми сказали, що мають місце як багаточлен стандартного вигляду, так і не стандартного. Там же ми зазначили, що можна будь-хто багаточлен привести до стандартного вигляду. У цій статті ми спочатку з'ясуємо, який зміст несе в собі ця фраза. Далі перерахуємо кроки, що дозволяють перетворити будь-який багаточлен на стандартний вигляд. Нарешті розглянемо рішення характерних прикладів. Рішення описуватимемо дуже докладно, щоб розібратися з усіма нюансами, що виникають при приведенні багаточленів до стандартного вигляду.

Навігація на сторінці.

Що означає привести багаточлен до стандартного вигляду?

Спочатку потрібно чітко розуміти, що розуміють під наведенням багаточлена до стандартного вигляду. Розберемося із цим.

Багаточлени, як і будь-які інші вирази, можна піддавати тотожним перетворенням. В результаті виконання таких перетворень, виходять вирази, тотожно рівні вихідному виразу. Так виконання певних перетворень із многочленами не стандартного виду дозволяють перейти до тотожно рівним їм багаточленів, але записаним вже у стандартному вигляді. Такий перехід і називають приведенням багаточлена до стандартного вигляду.

Отже, привести багаточлен до стандартного вигляду– це замінити вихідний многочлен тотожно рівним йому многочленом стандартного виду, отриманим з вихідного шляхом проведення тотожних перетворень.

Як привести багаточлен до стандартного вигляду?

Давайте поміркуємо, які перетворення нам допоможуть привести багаточлен до стандартного вигляду. Відштовхуватимемося від визначення багаточлена стандартного виду.

За визначенням кожен член багаточлена стандартного виду є одночленом стандартного виду і багаточлен стандартного виду не містить подібних членів. У свою чергу, багаточлени, записані у вигляді, відмінному від стандартного, можуть складатися з одночленів у нестандартному вигляді і можуть містити подібні члени. Звідси логічно випливає наступне правило, що пояснює як привести багаточлен до стандартного вигляду:

спочатку потрібно привести до стандартного вигляду одночлени, з яких складається вихідний багаточлен,
після цього виконати приведення подібних членів.

У результаті буде отримано багаточлен стандартного виду, оскільки всі його члени будуть записані у стандартному вигляді, і він не міститиме подібних членів.

Приклади, рішення

Розглянемо приклади приведення багаточленів до стандартного виду. При вирішенні виконуватимемо кроки, продиктовані правилом із попереднього пункту.

Тут зауважимо, іноді всі члени многочлена відразу записані у стандартному вигляді, у разі досить лише навести подібні члени. Іноді після приведення членів багаточлена до стандартного виду не виявляється подібних членів, отже, етап приведення подібних членів у разі опускається. У загальному випадкудоводиться робити і те, й інше.

приклад.

Уявіть багаточлени у стандартному вигляді: 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 , 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5та .

Рішення.

Всі члени багаточлена 5 x 2 x + 2 x 3 −x y + 1 записані в стандартному вигляді, подібних членів він не має, отже, цей многочлен вже представлений у стандартному вигляді.

Переходимо до наступного багаточлена 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5. Його вид не є стандартним, про що свідчать члени 2·a 3 ·0,6 та −b·a·b 4 ·b 5 не стандартного виду. Представимо його у стандартному вигляді.

На першому етапі приведення вихідного багаточлена до стандартного вигляду нам потрібно подати у стандартному вигляді всі його члени. Тому, приводимо до стандартного вигляду одночлен 2·a 3 ·0,6 , маємо 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , після чого – одночлен −b·a·b 4 ·b 5 , маємо −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Таким чином, . У отриманому многочлене всі члени записані у стандартному вигляді, навіть очевидно, що у ньому немає таких членів. Отже, у цьому завершено приведення вихідного многочлена до стандартного виду.

Залишилося подати у стандартному вигляді останній із заданих багаточленів. Після приведення всіх його членів до стандартного вигляду він запишеться як . У ньому є подібні члени, тому потрібно провести приведення таких членів:

Так вихідний многочлен набув стандартного вигляду −x·y+1 .

Відповідь:

5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 – вже у стандартному вигляді, 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 =0,8+1,2·a 3 −a·b 10, .

Найчастіше приведення многочлена до стандартного вигляду є лише проміжним етапом у відповідь поставлене питання задачі. Наприклад, знаходження ступеня багаточлена передбачає його попереднє подання у стандартному вигляді.

приклад.

Наведіть багаточлен до стандартного виду, вкажіть його ступінь і розташуйте члени за спадною змінною.

Рішення.

Спочатку наводимо всі члени багаточлена до стандартного вигляду: .

Тепер наводимо такі члени:

Так ми привели вихідний многочлен до стандартного вигляду, це дозволяє визначити ступінь многочлена , яка дорівнює найбільшою мірою входять до нього одночленів. Очевидно, вона дорівнює 5.

Залишилося розташувати члени многочлена по спадних ступенях змінних. Для цього потрібно лише переставити місцями члени в отриманому багаточлен стандартного виду, враховуючи вимогу. Найбільший ступіньмає член z 5 , ступеня членів −0,5·z 2 та 11 рівні відповідно 3 , 2 та 0 . Тому багаточлен з розташованими за спадаючими ступенями змінної членами матиме вигляд .

Відповідь:

Ступінь многочлена дорівнює 5 , а після розташування його членів по спадних ступенях змінної він набуває вигляду .

Список літератури.

Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.