Перетворення раціональних виразів алгебри. Тотожні перетворення раціональних виразів

на попередньому уроцівже було запроваджено поняття раціонального висловлювання, на сьогоднішньому уроці ми продовжуємо працювати з раціональними висловлюваннями і основний наголос робимо з їхньої перетворення. на конкретні прикладими розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразівта доказ пов'язаних з ними тотожностей.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Перетворення раціональних виразів

Згадаймо спочатку визначення раціонального виразу.

Визначення.Раціональневираз- алгебраїчне вираз, що не містить коренів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу (зведення в ступінь).

Під поняттям «перетворити раціональне вираження» маємо на увазі, передусім, його спрощення. А це здійснюється у відомому нам порядку дій: спочатку дії у дужках, потім добуток чисел(зведення в ступінь), розподіл чисел, а потім дії додавання/віднімання.

Основною метою сьогоднішнього уроку буде набуття досвіду при вирішенні більш складних завданьна спрощення раціональних виразів.

приклад 1.

Рішення.Спочатку може здатися, що зазначені дроби можна скоротити, тому що вирази в чисельниках дробів дуже схожі на формули повних квадратів відповідних знаменників. У даному випадкуважливо не поспішати, а окремо перевірити, чи це так.

Перевіримо чисельник першого дробу: . Тепер чисельник другий: .

Як видно, наші очікування не виправдалися, і вирази в чисельниках не є повними квадратами, тому що вони не мають подвоєння твору. Такі вирази, якщо згадати курс 7 класу називають неповними квадратами. Слід бути дуже уважними в таких випадках, оскільки переплутування формули повного квадратаз неповним - дуже часта помилка, а подібні прикладиперевіряють уважність учня.

Оскільки скорочення неможливе, то виконаємо складання дробів. У знаменників немає спільних множників, тому вони просто перемножуються для отримання найменшого спільного знаменника, а додатковим множником для кожного дробу є знаменник іншого дробу.

Звичайно ж, далі можна розкрити дужки і навести потім подібні доданки, проте, в даному випадку можна обійтися меншими витратамисил і помітити, що у чисельнику перший доданок є формулою суми кубів, а друге - різниці кубів. Для зручності згадаємо ці формули у загальному вигляді:

У нашому випадку вирази в чисельнику згортаються так:

, другий вираз аналогічно. Маємо:

Відповідь..

приклад 2.Спростити раціональний вираз .

Рішення.Даний приклад схожий на попередній, але тут відразу видно, що в чисельниках дробів знаходяться неповні квадрати, тому скорочення на початковому етапірішення неможливо. Аналогічно попередньому прикладу складаємо дроби:

Тут ми аналогічно способу, зазначеному вище, помітили і згорнули вирази за формулами суми та різниці кубів.

Відповідь..

приклад 3.Спростити раціональний вираз.

Рішення.Можна зауважити, що знаменник другого дробу розкладається на множники за формулою суми кубів. Як ми вже знаємо, розкладання знаменників на множники є корисним для подальшого пошуку найменшого загального знаменника дробів.

Вкажемо найменший загальний знаменник дробів, він дорівнює: , тому що ділиться на знаменник третього дробу, а перше вираз взагалі є цілим, і для нього підійде будь-який знаменник. Вказавши очевидні додаткові множники, запишемо:

Відповідь.

Розглянемо складніший приклад із «багатоповерховими» дробами.

приклад 4.Довести тотожність при всіх допустимих значеннях змінної.

Доведення.Для доказу вказаної тотожності намагатимемося спростити його ліву частину(складну) до того простого вигляду, що від нас вимагається. Для цього виконаємо всі дії з дробами в чисельнику та знаменнику, а потім розділимо дроби та спростимо результат.

Доведено за всіх допустимих значень змінної.

Доведено.

на наступному уроціми докладно розглянемо більше складні прикладина перетворення раціональних виразів.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

2. Розробка уроків, презентації, конспекти занять ().

Домашнє завдання

1. №96-101. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

2. Спростіть вираз .

3. Спростіть вираз.

4. Доведіть тотожність.

Урок та презентація на тему: "Перетворення раціональних виразів. Приклади вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Муравіна Г.К. Посібник до підручника Макарічева Ю.М.

Поняття про раціональний вираз

При вирішенні багатьох завдань у молодших класахпісля виконання арифметичних операцій ми отримували конкретні числові значення, найчастіше дроби. Тепер після виконання операцій ми отримуватимемо алгебраїчні дроби. Діти, пам'ятайте: щоб отримати правильну відповідь, необхідно максимально спростити вираз, з яким ви працюєте. Треба отримати найменший ступінь, який можливо; однакові виразиу чисельники та знаменники варто скоротити; з виразами, які можна згорнути, треба так і вчинити. Тобто після виконання низки дій ми маємо отримати максимально простий алгебраїчний дріб.

Порядок дій із раціональними виразами

Довести тотожність – це означає показати, що з усіх значеннях змінних права і ліва частини рівні. Прикладів із доказом тотожностей дуже багато.

До основних способів розв'язання тотожностей ставляться.

• Перетворення лівої частини до рівності з правої.
• Перетворення правої частини до рівності з лівою.
• Перетворення лівої та правої частини окремо, допоки не вийде однаковий вираз.
• З лівої частини віднімають праву, і в результаті має вийти нуль.

Перетворення раціональних виразів. Приклади розв'язання задач

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Рішення.
Очевидно, нам треба перетворити ліву частину.
Спочатку виконаємо дії у дужках:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

Виносити спільні множники треба намагатися максимально.
2) Перетворимо вираз, на який ділимо:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Виконаємо операцію додавання:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Права та ліва частини збіглися. Отже, тотожність доведена.
Діти, при вирішенні цього прикладу нам знадобилося знання багатьох формул і операцій. Ми бачимо, що після перетворення великий виразперетворилося зовсім на маленьке. При вирішенні багатьох завдань, зазвичай перетворення призводять до простих виразів.

приклад 2.
Спростіть вираз:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Рішення.
Почнемо з перших дужок.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Перетворимо другі дужки.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Виконаємо поділ.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Відповідь: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

приклад 3.
Виконайте дії:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +frac(2k)(k^2+2k+4)+frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Тепер виконаємо поділ.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4) ^ 2) $.

3. Скористайтеся властивістю: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Виконаємо операцію віднімання.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Завдання для самостійного вирішення

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Перетворення виразів

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: «спростіть вираз» Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися жодних подібних завдань. Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до всього лише! звичайного числа(так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою тему «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Базові операції спрощення

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел. Подібні - це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною. Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети. Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літерипозначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. Тоді:

стільця стільця стільців стільців стільців стільців

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів. Після того, як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору. Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів(Потрібно розкласти на множники):

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилкупри скороченні. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так: .

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна й одразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною». Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Відповіді:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання та віднімання звичайних дробів- операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники. Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дробиперетворюємо на неправильні, а далі - за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те саме, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні і ті ж множники, тільки всі різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільному знаменнику, користуйся лише операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками». Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множниківна які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількістьмножників у знаменниках було однаковим:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У спільний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дійтреба робити алгебраїчні, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один. Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом. Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
• Розкладання на множники:винесення спільного множниказа дужки, застосування та ін.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;

>>Математика:Перетворення раціональних виразів

Перетворення раціональних виразів

Цей параграф підбиває підсумки всього того, що ми, починаючи з 7-го класу, говорили про математичною мовою, про математичну символіку, про числа, змінні, ступені, багаточлени і алгебраїчних дробах. Але спочатку зробимо невеликий екскурсв минуле.

Згадайте, як у молодших класах було з вивченням чисел і числових виразів.

А, скажімо, до дробу можна приклеїти лише один ярлик. раціональне число.

Аналогічно справи з алгебраїчними висловлюваннями: перший етап їх вивчення - числа, змінні, ступеня («цифри»); другий етап їх вивчення – одночлени («натуральні числа»); третій етап їх вивчення – багаточлени («цілі числа»); четвертий етап їх вивчення - алгебраїчні дроби
(«Раціональні числа»). У цьому кожен наступний етап хіба що вбирає у собі попередній: так, числа, змінні, ступеня - окремі випадки одночленів; одночлени - окремі випадки багаточленів; багаточлени - окремі випадки алгебраїчних дробів. Між іншим, в алгебрі використовують іноді такі терміни: многочлен - ціле вираз, алгебраїчна дріб - дробовий вираз (це лише посилює аналогію)

Продовжимо згадану аналогію. Ви знаєте, що будь-яке числове вираз після виконання всіх арифметичних дій, що входять до його складу, приймає конкретне числове значення- раціональне число (зрозуміло, воно може виявитися і натуральним числом, і цілим числом, і дробом – це неважливо). Так само будь-яке вираз алгебри, складений з чисел і змінних за допомогою арифметичних операцій і зведення в натуральну ступінь, після виконання перетворень набуває вигляду алгебраїчного дробу і знову-таки, зокрема, може вийти не дріб, а багаточлен або навіть одночлен). Для таких виразів у алгебрі використовують термін раціональний вираз.

приклад.Довести тотожність

Рішення.
Довести тотожність - це означає встановити, що при всіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини є тотожними. рівні вирази. В алгебрі тотожності доводять у різний спосіб:

1) виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину;

2) виконують перетворення правої частини та отримують у результаті ліву частину;

3) окремо перетворять праву і ліву частини і одержують і в першому і в другому випадку один і той же вираз;

4) складають різницю лівої та правої частині в результаті її перетворень одержують нуль.

Який спосіб вибрати - залежить від конкретного виду тотожності, що вам пропонується довести. У даному прикладідоцільно вибрати перший спосіб.

Для перетворення раціональних виразів прийнято той самий порядок дій, що й перетворення числових выражений. Це означає, що спочатку виконують дії в дужках, потім дії другого ступеня (множення, розподіл, зведення в ступінь), потім дії першого ступеня (додавання, віднімання).

Виконаємо перетворення за діями, спираючись на ті правила, алгоритми, що були вироблені у попередніх параграфах.

Як бачите, нам вдалося перетворити ліву частину тотожності, що перевіряється, до виду правої частини. Це означає, що тотожність доведена. Однак нагадаємо, що тотожність справедлива лише для допустимих значеньзмінних. Такими в даному прикладі є будь-які значення а та b, крім тих, які перетворюють знаменники дробів у нуль. Отже, допустимими є будь-які пари чисел (а; b), крім тих, за яких виконується хоча б одна з рівностей:

2а – b = 0, 2а + b = 0, b = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний планвідповідно до шкільної програми з математики онлайн, відеоматеріал з математики для 8 класу

З курсу алгебри шкільної програмипереходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий виглядраціональних виразів – раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробів мають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають дробами алгебри. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Всю інформацію постачатимемо прикладами з докладними описамирішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається у підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенніне уточнюється, чи мають багаточлени в чисельнику та знаменнику раціонального дробу бути багаточленами стандартного виглядучи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть міститися як багаточлени стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - Раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми математичними виразами, у разі раціональних дробів – це багаточлени, в окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику та знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а у знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного вигляду, а в знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом зі зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, у якому змінюється знак або чисельнику, чи знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, що тотожно дорівнює вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються під час перетворення дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від загального множника в його чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x y 3 . У цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть бути різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає в його поданні у вигляді суми кількох дробів, або суми виразу і дробу.

Раціональний дріб, в чисельнику якого знаходиться багаточлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельниках яких знаходяться відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різницідробів a/b та c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює 1 −1 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.