Площа БП конус. Постановка та вирішення проблеми

Геометрія є розділом математики, що вивчає структури у просторі та відношення між ними. У свою чергу, вона також складається з розділів, і одним з них є стереометрія. Вона передбачає вивчення властивостей об'ємних фігур, що у просторі: куба, піраміди, кулі, конуса, циліндра та інших.

Конус – це тіло в евклідовому просторі, яке обмежує конічна поверхняі площину, де лежать кінці її утворюють. Його утворення відбувається в процесі обертання прямокутного трикутника навколо будь-якого з його катетів, тому він відноситься до тіла обертання.

Складові конуса

Розрізняють наступні видиконусів: косий (або похилий) та прямий. Косим називається той, вісь якого перетинається з центром його основи не під прямим кутом. Тому висота в такому конусі не збігається з віссю, оскільки вона є відрізком, який опущений з вершини тіла на площину його основи під кутом 90°.

Той конус, вісь якого розташована перпендикулярно до його основи, називається прямим. Ось і висота в такому геометричне тілозбігаються через те, що вершина в ньому розташована над центром діаметра основи.

Конус складається з наступних елементів:

1. Коло, що є його основою.
2. Бічні поверхні.
3. Крапки, що не лежить у площині основи, що називається вершиною конуса.
4. Відрізків, які з'єднують точки кола основи геометричного тіла та його вершину.

Всі ці відрізки є утворюючими конуси. Вони похилі до основи геометричного тіла, і у випадку прямого конусаїх проекції рівні, оскільки вершина рівновіддалена від точок кола основи. Отже, можна дійти невтішного висновку, що у правильному (прямому) конусі утворюють рівні, тобто мають однакову довжинуі утворюють однакові кути з віссю (або висотою) та основою.

Так як у косому (або похилому) тілі обертання вершина зміщена по відношенню до центру площини основи, що утворюють у такому тілі. різну довжинута проекцію, оскільки кожна з них знаходиться на різній відстанівід двох будь-яких точок кола основи. Крім того, кути між ними та висотою конуса також відрізнятимуться.

Довжина утворюють у прямому конусі

Як написано раніше, висота у прямому геометричному тілі обертання перпендикулярна площині основи. Таким чином, що утворює, висота та радіус основи створюють у конусі прямокутний трикутник.

Тобто, знаючи радіус основи і висоту, за допомогою формули з теореми Піфагора, можна обчислити довжину утворюючої, яка дорівнює сумі квадратів радіусу основи і висоти:

l 2 = r 2 + h 2 або l = √r 2 + h 2

де l - утворює;

r – радіус;

h – висота.

Утворює в похилому конусі

Виходячи з того, що в косому або похилому конусі утворюючі мають не однакову довжину, розрахувати їх без додаткових побудов і обчислень не вийде.

Насамперед необхідно знати висоту, довжину осі та радіус основи.

r 1 = √k 2 - h 2

де r 1 - це частина радіусу між віссю та висотою;

k – довжина осі;

h – висота.

В результаті складання радіуса (r) та його частини, що лежить між віссю і висотою (r 1), можна дізнатися повну сформованого утворює конуса, його висотою та частиною діаметра:

де R - катет трикутника, утвореного висотою, що утворює і частиною діаметра основи;

r - радіус основи;

r 1 - частина радіусу між віссю та висотою.

Користуючись все тією ж формулою з теореми Піфагора, можна знайти довжину конуса, що утворює:

l = √h 2 + R 2

або, не роблячи окремо розрахунок R, об'єднати дві формули в одну:

l = √h 2 + (r + r 1) 2 .

Незважаючи на те, прямий або косий конус і які вступні дані, всі способи знаходження довжини утворює завжди зводяться до одного підсумку - використання теореми Піфагора.

Перетин конуса

Осьовим називається площина, що проходить його осі чи висоті. У прямому конусі такий переріз є рівнобедрений трикутник, В якому висотою трикутника є висота тіла, його сторонами виступають утворюють, а основа - це діаметр основи. У рівносторонньому геометричному тілі осьовий переріз є рівностороннім трикутником, так як в цьому конусі діаметр основи та утворюють рівні.

Площина осьового перерізуу прямому конусі є площиною його симетрії. Причиною цього є те, що його вершина знаходиться над центром його основи, тобто площина осьового перерізу ділить конус на дві однакові частини.

Бо у похилому об'ємному тілівисота і вісь не збігаються, площина осьового перерізу може не включати висоту. Якщо осьових перерізів у такому конусі можна побудувати безліч, так як для цього необхідно дотримуватися лише однієї умови - воно має проходити тільки через вісь, то осьовий переріз площини, якому належатиме висота цього конуса, можна провести лише одне, тому що кількість умов збільшується, а, як відомо, дві прямі (разом) можуть належати лише до однієї площини.

Площа перерізу

Згаданий раніше осьовий переріз конуса є трикутником. Виходячи з цього, його площу можна розрахувати за формулою площі трикутника:

S = 1/2 * d * h або S = 1/2 * 2r * h

де S – це площа перерізу;

d – діаметр основи;

r – радіус;

h – висота.

У косому або похилому конусі перетин по осі також є трикутником, тому в ньому площа перерізу розраховується аналогічно.

Об `єм

Оскільки конус є об'ємною фігуроюв тривимірному просторі, можна обчислити його обсяг. Об'ємом конуса називається число, яке характеризує це тіло в одиниці виміру об'єму, тобто м 3 . Розрахунок не залежить від того, прямий він або косий (похилий), тому що формули для цих двох видів тіл не відрізняються.

Як зазначено раніше, утворення прямого конуса відбувається внаслідок обертання прямокутного трикутника по одному з його катетів. Похилий же, або косий конус утворюється інакше, оскільки його висота зміщена убік від центру поверхні тіла. Проте такі відмінності у будові не впливають на методику розрахунку його обсягу.

Розрахунок обсягу

Будь-якого конуса виглядає так:

V = 1/3 * π * h * r 2

де V – це обсяг конуса;

h – висота;

r – радіус;

π - константа, що дорівнює 3,14.

Для розрахунку висоти тіла необхідно знати радіус основи та довжину його твірної. Оскільки радіус, висота і утворює об'єднуються в прямокутний трикутник, то висоту можна розрахувати за формулою з теореми Піфагора (a 2 + b 2 = c 2 або в нашому випадку h 2 + r 2 = l 2 де l - утворює). Висота буде розраховуватися шляхом вилучення квадратного кореня з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета:

a = √c 2 - b 2

Тобто висота конуса дорівнюватиме величині, отриманої після вилучення квадратного кореня з різниці квадрата довжини утворює і квадрата радіуса основи:

h = √l 2 - r 2

Розрахувавши таким методом висоту та знаючи радіус його основи, можна обчислити обсяг конуса. Утворююча при цьому грає важливу роль, оскільки служить допоміжним елементому розрахунках.

Аналогічним чином, якщо відома висота тіла та довжина його утворює, можна дізнатися радіус його основи, витягуючи квадратний коріньз різниці квадрата утворюючої та квадрата висоти:

r = √l 2 - h 2

Після чого за тією самою формулою, що вказана вище, розрахувати обсяг конуса.

Об'єм похилого конуса

Оскільки формула обсягу конуса однакова всім видів тіла обертання, відмінність у його розрахунку становить пошук висоти.

Для того, щоб дізнатися висоту похилого конуса, вступні дані повинні включати довжину утворюючої, радіус основи та відстань між центром основи та місцем перетину висоти тіла з площиною його основи. Знаючи це, можна легко розрахувати ту частину діаметра основи, яка буде основою прямокутного трикутника (утвореного висотою, що утворює і площиною основи). Після цього, знову використовуючи теорему Піфагора, зробити розрахунок висоти конуса, а згодом і його обсягу.

Тут представлені завдання з конусами, умова пов'язана з площею поверхні. Зокрема в деяких завданнях стоїть питання про зміну площі зі збільшенням (зменшенням) висоти конуса або радіуса його основи. Теорія на вирішення завдань в . Розглянемо такі завдання:

27135. Довжина кола основи конуса дорівнює 3, що утворює рівну 2. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Підставляємо дані:

75697. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворює збільшити у 36 разів, а радіус основи залишиться тим самим?

Площа бічної поверхні конуса:

Утворювальна збільшується в 36 разів. Радіус залишився тим самим, отже довжина кола основи не змінилася.

Значить площа бічної поверхні зміненого конуса матиме вигляд:

Таким чином, вона збільшиться у 36 разів.

*Залежність прямолінійна, тому це завдання легко можна вирішити усно.

27137. У скільки разів зменшиться площа бічної поверхні конуса, якщо радіус його основи зменшити у 1,5 раза?

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Радіус зменшується в 1,5 рази, тобто:

Отримали, що площа бічної поверхні зменшилася у 1,5 рази.

27159. Висота конуса дорівнює 6, що утворює рівну 10. Знайдіть площу його повної поверхні, поділену на Пі.

Повна поверхня конуса:

Необхідно знайти радіус:

Відома висота і твірна, за теоремою Піфагора обчислимо радіус:

Таким чином:

Отриманий результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

76299. Площа повної поверхні конуса дорівнює 108. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.

Перетин проходить через середину висоти паралельно до основи. Значить радіус основи і утворює відсіченого конуса будуть у 2 рази менші за радіус і утворює вихідного конуса. Запишемо чому дорівнює площа поверхні відсіченого конуса:

Отримали, що вона буде вчетверо менше площіповерхні вихідного, тобто 108: 4 = 27.

*Оскільки вихідний і відсічений конус є подібними тілами, то також можна було скористатися властивістю подібності:

27167. Радіус основи конуса дорівнює 3, висота дорівнює 4. Знайдіть площу повної поверхні конуса, поділену на Пі.

Формула повної поверхні конуса:

Радіус відомий, необхідно знайти утворює.

За теоремою Піфагора:

Таким чином:

Результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

Завдання. Площа бічної поверхні конуса вчетверо більше площіпідстави. Знайдіть чому дорівнює косинус кута між утворюючим конусом і площиною основи.

Площа основи конуса дорівнює:

Сьогодні ми розповімо вам про те, як знайти утворюючу конуса, що частенько потрібно в шкільних завданняхз геометрії.

Поняття утворює конуса

Прямий конус - це фігура, яка виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Основа конуса утворює коло. Вертикальний переріз конуса – це трикутник, горизонтальне – коло. Висотою конуса є відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром основи. Утворюючий конус є відрізок, який з'єднує вершину конуса з будь-якою точкою на лінії кола основи.

Так як конус утворюється обертанням прямокутного трикутника, то виходить, що першим катетом такого трикутника є висота, другим - радіус кола, що лежить в основі, а гіпотенузою буде конуса, що утворює. Неважко здогадатися, що для розрахунку довжини твірної у нагоді знадобиться теорема Піфагора. А тепер докладніше про те, як знайти довжину конуса, що утворює.

Знаходимо утворюючу

Найлегше зрозуміти, як знайти утворюючу, можна на конкретному прикладі. Припустимо, дано такі умови завдання: висота дорівнює 9 см., Діаметр кола основи становить 18 см. Необхідно знайти утворює.

Отже, висота конуса (9 см.) – це один із катетів прямокутного трикутника, за допомогою якого був утворений даний конус. Другий катет буде радіусом кола основи. Радіус – це половина діаметра. Таким чином, ділимо даний нам діаметр навпіл і отримуємо довжину радіусу: 18:2 = 9. Радіус дорівнює 9.

Тепер знайти утворюючу конуса дуже легко. Оскільки вона є гіпотенузою, то квадрат її довжини буде дорівнює суміквадратів катетів, тобто сумі квадратів радіусу та висоти. Отже, квадрат довжини утворює = 64 (квадрат довжини радіуса) + 64 (квадрат довжини висоти) = 64x2 = 128. Тепер витягуємо квадратний корінь зі 128. У результаті отримуємо вісім коренів із двох. Це і буде утворююча конуса.

Як бачите, нічого складного у цьому немає. Наприклад ми взяли прості умовизавдання, однак у шкільному курсівони можуть бути складнішими. Пам'ятайте, що для розрахунку довжини, що утворює, вам потрібно з'ясувати радіус кола і висоту конуса. Знаючи ці дані, знайти довжину утворює легко.

Ми знаємо, що таке конус, спробуємо знайти площу його поверхні. Навіщо слід вирішувати таке завдання? Наприклад, потрібно зрозуміти, скільки тіста підена виготовлення вафельного ріжка? Чи скільки цеглин знадобиться, щоб скласти цегляний дах замку?

Виміряти площу бічної поверхні конуса просто так не вийде. Але уявімо собі той самий ріжок, обмотаний тканиною. Щоб знайти площу шматка тканини, потрібно розрізати та розкласти її на столі. Вийде плоска фігура, її площу ми зможемо знайти.

Рис. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхнювздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Тепер "розмотаємо" бічну поверхню на площину. Отримуємо сектор. Центр цього сектора - вершина конуса, радіус сектора дорівнює утворює конуса, а довжина його дуги збігається з довжиною кола основи конуса. Такий сектор називається розгорткою бічної поверхні конуса (див. рис. 2).

Рис. 2. Розгорнення бічної поверхні

Рис. 3. Вимірювання кута в радіанах

Спробуємо знайти площу сектора за наявними даними. Спочатку введемо позначення: нехай кут при вершині сектора в радіанах (див. рис. 3).

З кутом при вершині розгортки нам доведеться часто стикатися у завданнях. Поки що спробуємо відповісти на запитання: а чи не може цей кут вийти більше 360 градусів? Тобто, чи не вийде так, що розгортка накладеться сама на себе? Звичайно ж ні. Доведемо це математично. Нехай розгортка "наклалася" сама на себе. Це означає, що довжина дуги розгортки більше довжиникола радіуса. Але, як було зазначено, довжина дуги розгортки є довжина кола радіуса . А радіус основи конуса, зрозуміло, менше утворює, наприклад, тому, що катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу.

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль відіграє , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Поряд із площею бічної поверхні можна знайти і площу повної поверхні. Для цього до площі бічної поверхні треба додати площу основи. Але основа - це коло радіусу, чия площа за формулою дорівнює.

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Рис. 4. Шуканий кут

Приклад 1. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор із кутом при вершині. Знайти цей кут, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи дорівнює 3 см (див. рис. 4).

Рис. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Приклад 2. Площа осьового перерізу конуса дорівнює, висота дорівнює. Знайти площу повної поверхні (див. рис. 6).