Що означає утворює конуса. III етап

Сьогодні ми розповімо вам про те, як знайти утворюючу конуса, що частенько потрібно в шкільних завданняхз геометрії.

Поняття утворює конуса

Прямий конус - це фігура, яка виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Основа конуса утворює коло. Вертикальний переріз конуса – це трикутник, горизонтальне – коло. Висотою конуса є відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром основи. Утворюючий конус є відрізок, який з'єднує вершину конуса з будь-якою точкою на лінії кола основи.

Так як конус утворюється обертанням прямокутного трикутника, то виходить, що першим катетом такого трикутника є висота, другим - радіус кола, що лежить в основі, а гіпотенузою буде конуса, що утворює. Неважко здогадатися, що для розрахунку довжини твірної у нагоді знадобиться теорема Піфагора. А тепер докладніше про те, як знайти довжину конуса, що утворює.

Знаходимо утворюючу

Найлегше зрозуміти, як знайти утворюючу, можна на конкретному прикладі. Припустимо, дано такі умови завдання: висота дорівнює 9 см., Діаметр кола основи становить 18 см. Необхідно знайти утворює.

Отже, висота конуса (9 см.) – це один із катетів прямокутного трикутника, за допомогою якого був утворений даний конус. Другий катет буде радіусом кола основи. Радіус – це половина діаметра. Таким чином, ділимо даний нам діаметр навпіл і отримуємо довжину радіусу: 18:2 = 9. Радіус дорівнює 9.

Тепер знайти утворюючу конуса дуже легко. Оскільки вона є гіпотенузою, то квадрат її довжини буде дорівнює суміквадратів катетів, тобто сумі квадратів радіусу та висоти. Отже, квадрат довжини утворює = 64 (квадрат довжини радіуса) + 64 (квадрат довжини висоти) = 64x2 = 128. Тепер витягаємо квадратний коріньз 128. У результаті отримуємо вісім коренів із двох. Це і буде утворююча конуса.

Як бачите, нічого складного у цьому немає. Наприклад ми взяли прості умовизавдання, однак у шкільному курсівони можуть бути складнішими. Пам'ятайте, що для розрахунку довжини, що утворює, вам потрібно з'ясувати радіус кола і висоту конуса. Знаючи ці дані, знайти довжину утворює легко.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу із застосуванням елементів проблемно-розвивального методу навчання.

Цілі уроку:

• пізнавальні:
  • ознайомлення з новим математичним поняттям;
  • формування нових ЗУН;
  • формування практичних навичок розв'язання задач.
• розвиваючі:
  • розвиток самостійного мислення учнів;
  • розвиток навичок правильної мовишколярів.
• виховні:
  • виховання навичок роботи у колективі.

Обладнання уроку:магнітна дошка, комп'ютер, екран, мультимедійний проектор, модель конусу, презентація до уроку, роздатковий матеріал.

Завдання уроку (для учнів):

• познайомитись з новим геометричним поняттям- Конус;
• вивести формулу для обчислення площі поверхні конуса;
• навчитися застосовувати отримані знання під час вирішення практичних завдань.

Хід уроку

І етап. Організаційний.

Здача зошитів з домашньої перевірною роботоюз пройденої теми.

Учням пропонується дізнатися тему майбутнього уроку, розгадавши ребус (слайд 1):

Малюнок 1.

Оголошення учням теми та завдань уроку (слайд 2).

ІІ етап. Пояснення нового матеріалу.

1) Лекція вчителя.

На дошці – таблиця із зображенням конуса. Новий матеріалпояснюється у супроводі програмного матеріалу"Стереометрія". На екрані з'являється тривимірне зображенняконус. Вчитель дає визначення конуса, розповідає про його елементи. (Слайд 3). Йдеться про те, що конус – це тіло, утворене при обертанні прямокутного трикутника щодо катета. (Слайди 4, 5).З'являється зображення розгортки бічної поверхні конуса. (слайд 6)

2) Практична робота.

Актуалізація опорних знань: повторити формули для обчислення площі кола, площі сектора, довжини кола, довжини дуги кола. (слайди 7–10)

Клас поділяється на групи. Кожна група отримує вирізану з паперу розгортку бічної поверхні конуса (сектор кола з номером). Учні виконують необхідні вимірювання та обчислюють площу отриманого сектора. Інструкції щодо виконання роботи, питання – постановки проблем – з'являються на екрані (слайди 11–14). Результати обчислень представник кожної групи записує до заготовленої на дошці таблиці. Учасники кожної групи склеюють модель конуса з розгортки, що є у них. (слайд 15)

3) Постановка та вирішення проблеми.

Як обчислити площу бічної поверхні конуса, якщо відомі тільки радіус основи та довжина утворює конуса? (слайд 16)

Кожна група проводить необхідні вимірювання і намагається вивести формулу обчислення площі, що шукається за допомогою наявних даних. При виконанні цієї роботи школярі повинні помітити, що довжина кола основи конуса дорівнює довжині дуги сектора – розгортки бічної поверхні конуса. (слайди 17–21)Використовуючи необхідні формули, Виводиться шукана формула Міркування учнів мають виглядати приблизно таким чином:

Радіус сектора – розгортки дорівнює l, градусний західдуги -? Площа сектора обчислюється за формулою довжина дуги, що обмежує цей сектор, дорівнює Радіус основи конуса R. Довжина кола, що лежить в основі конуса, дорівнює С = 2πR. Зауважимо, що Оскільки площа бічної поверхні конуса дорівнює площі розгортки його бічної поверхні, то

Отже, площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S БПК = πRl.

Після обчислення площі бічної поверхні моделі конуса за виведеною самостійно формулою представник кожної групи записує результат обчислень таблицю на дошці відповідно до номерів моделей. Результати обчислень у кожному рядку мають бути рівними. За цією ознакою вчитель визначає правильність висновків кожної групи. Таблиця результатів має виглядати так:

Параметри моделей:

1. l=12 см, =120°
2. l=10 см, =150°
3. l=15 см, =120°
4. l=10 см, =170°
5. l=14 см, =110°

Наближеність обчислень пов'язані з похибками вимірів.

Після перевірки результатів виведення формул площ бічної та повної поверхонь конуса з'являється на екрані (слайди 22–26), учні ведуть записи у зошитах.

III етап. Закріплення дослідженого матеріалу.

1) Учням пропонуються завдання для усного рішенняна готових кресленнях.

Знайти площі повних поверхонь конусів, зображених на малюнках (слайди 27–32).

2) Питання:чи рівні площі поверхонь конусів, утворених обертаннямодного прямокутного трикутника щодо різних катетів? Учні висувають гіпотезу та перевіряють її. Перевірка гіпотези здійснюється шляхом вирішення завдань та записується учнем на дошці.

Дано:Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;

ВАА", АВВ" - тіла обертання.

Знайти: S ППК 1 , S ППК 2 .

Малюнок 5. (слайд 33)

Рішення:

1) R=ВС = а; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн 1 = π а с+π а 2 = π а (а + с).

2) R=АС = b; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн 2 = π b з + π b 2 = π b (b + с).

Якщо S ППК 1 = S ППК 2 то а 2 +ас = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0 (a-b)(a+b+c) = 0.Т.к. a, b, c –позитивні числа (довжини сторін трикутника), тарність вірна тільки у випадку, якщо a =b.

Висновок:Площі поверхонь двох конусів рівні лише у разі рівності катетів трикутника. (слайд 34)

3) Розв'язання задачі з підручника: №565.

ІV етап. Підбиття підсумків уроку.

Домашнє завдання: п.55, 56; №548, №561. (Слайд 35)

Оголошення поставлених оцінок.

Висновки у процесі уроку, повторення основних відомостей, отриманих під час уроку.

Література (слайд 36)

1. Геометрія 10-11 класи - Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін, М., «Освіта», 2008.
2. « Математичні ребусита шаради» – Н.В. Удальцова, бібліотечка "Першого вересня", серія "МАТЕМАТИКА", випуск 35, М., Чисті ставки, 2010.

Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.

Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса чи площу сфери – вважайте, що пощастило.

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного під правильним чотирикутної пірамідибільше обсягу конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого колау раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.

Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у завданнях частини В варіантів ЄДІз математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких завданнях завдання формулюється, наприклад, так: «Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, поділену на».

А де ще застосовуються формули об'єму і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.

Ми знаємо, що таке конус, спробуємо знайти площу його поверхні. Навіщо слід вирішувати таке завдання? Наприклад, потрібно зрозуміти, скільки тіста підена виготовлення вафельного ріжка? Чи скільки цеглин знадобиться, щоб скласти цегляний дах замку?

Виміряти площу бічної поверхні конуса просто так не вийде. Але уявімо собі той самий ріжок, обмотаний тканиною. Щоб знайти площу шматка тканини, потрібно розрізати та розкласти її на столі. Вийде плоска фігура, її площу ми зможемо знайти.

Рис. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхнювздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Тепер "розмотаємо" бічну поверхню на площину. Отримуємо сектор. Центр цього сектора - вершина конуса, радіус сектора дорівнює утворює конуса, а довжина його дуги збігається з довжиною кола основи конуса. Такий сектор називається розгорткою бічної поверхні конуса (див. рис. 2).

Рис. 2. Розгорнення бічної поверхні

Рис. 3. Вимірювання кута в радіанах

Спробуємо знайти площу сектора за наявними даними. Спочатку введемо позначення: нехай кут при вершині сектора в радіанах (див. рис. 3).

З кутом при вершині розгортки нам доведеться часто стикатися у завданнях. Поки що спробуємо відповісти на запитання: а чи не може цей кут вийти більше 360 градусів? Тобто, чи не вийде так, що розгортка накладеться сама на себе? Звичайно ж ні. Доведемо це математично. Нехай розгортка "наклалася" сама на себе. Це означає, що довжина дуги розгортки більше довжиникола радіуса. Але, як було зазначено, довжина дуги розгортки є довжина кола радіуса . А радіус основи конуса, зрозуміло, менше утворює, наприклад, тому, що катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу.

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль відіграє , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Поряд із площею бічної поверхні можна знайти і площу повної поверхні. Для цього до площі бічної поверхні треба додати площу основи. Але основа - це коло радіусу, чия площа за формулою дорівнює.

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Рис. 4. Шуканий кут

Приклад 1. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор із кутом при вершині. Знайти цей кут, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи дорівнює 3 см (див. рис. 4).

Рис. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Приклад 2. Площа осьового перерізуконуса дорівнює, висота дорівнює. Знайти площу повної поверхні (див. рис. 6).