Площа прямокутника формула онлайн. Як обчислити та позначити площу

Прямокутник – це окремий випадокчотирикутник. Це означає, що прямокутник має чотири сторони. Його протилежні сторонирівні: наприклад, якщо одна з його сторін дорівнює 10 см, то протилежна їй буде так само рівні 10 см. Приватним випадком прямокутника є квадрат. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі квадрата можна скористатися тим самим алгоритмом, що й обчислення площі прямокутника.

Як дізнатися площу прямокутника по обидва боки

Щоб знайти площу прямокутника, треба помножити його довжину на ширину: Площа = Довжина × Ширина. У такому випадку: Площа = AB × BC.

Як дізнатися площу прямокутника по стороні та довжині діагоналі

У деяких завданнях необхідно знайти площу прямокутника, використовуючи довжину діагоналі та одну зі сторін. Діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Отже, можна визначити другий бік прямокутника, скориставшись теоремою Піфагора. Після цього завдання зводиться до попереднього пункту.

Як дізнатися площу прямокутника по периметру та стороні

Периметр прямокутника – це сума всіх сторін. Якщо відомий периметр прямокутника та одна сторона (наприклад ширина), можна обчислити площу прямокутника, скориставшись такою формулою:
Площа = (Периметр × ширина – ширина 2)/2.

Площа прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та довжину діагоналі.

Діагоналі у прямокутнику рівні, тому, щоб обчислити площу на підставі довжини діагоналі та синуса гострого кутаміж ними слід скористатися наступною формулою: Площа = Діагональ^2 × sin(гострого кута між діагоналями)/2.

Урок на тему: "Формули визначення площі трикутника, прямокутника, квадрата"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 5 класу
Тренажер до підручника І.І.Зубарєвої та А.Г.Мордковича
Тренажер до підручника Г.В.Дорофєєва та Л.Г.Петерсона

Визначення та поняття площі фігури

Тоді площа фігури дорівнює 12 квадратних сантиметрів. У математиці площа позначається латинською літерою S.
Значить, площа нашої фігури дорівнює: S фігури = 12 см 2 .

Площа фігури дорівнює площі всіх маленьких квадратиків, у тому числі вона складається!

Хлопці, запам'ятайте!
Площа вимірюється квадратними одиницями довжини. Одиниці виміру площі:
1. Квадратний кілометр - км 2 (коли площі дуже великі, наприклад, країна чи море).
2. Квадратний метр- м 2 (цілком підходить для того, щоб вимірювати площу ділянки або квартири).
3. Квадратний сантиметр- см 2 (зазвичай використовується під час уроків математики, коли малюють постаті у зошити).
4. Квадратний міліметр - мм2.

Площа трикутника

Щоб знайти площу прямокутного трикутниканеобхідно знати довжину основи та висоту. У прямокутному трикутнику висоту замінює одна із сторін. Тому у формулу площі трикутника замість висоти підставляємо одну із сторін.
У нашому прикладі сторони дорівнюють 7 см і 4 см. Формула для розрахунку площі трикутника записується так:
S прямокутного трикутника АВС= НД * СА: 2

S прямокутного трикутника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Тепер розглянемо довільний трикутник.

Для такого трикутника необхідно провести висоту до основи.
У нашому прикладі висота дорівнює 6 см, а основа дорівнює 8 см. Як і в попередньому прикладі, розраховуємо площу за формулою:
S довільного трикутникаАВС = НД * h: 2.

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S довільного трикутника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Площа прямокутника та квадрата

S прямокутника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .

Тепер розрахуємо площу квадрата. На відміну від прямокутника та трикутника, для знаходження площі квадрата необхідно знати лише одну сторону. У прикладі сторона квадрата ABCD дорівнює 9 див. S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .

Підставимо у формулу наші дані та отримаємо:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .

Урок та презентація на тему: "Периметр та площа прямокутника"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 3 класу
Тренажер для 3 класу "Правила та вправи з математики"
Електронний навчальний посібник для 3 класу "Математика за 10 хвилин"

Що таке прямокутник та квадрат

Прямокутник- Це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Отже, протилежні сторони рівні одна одній.

Квадрат- Це прямокутник, у якого рівні і сторони, і кути. Його називають правильним чотирикутником.

приклад.

Читається так: чотирикутник ABCD; квадрат EFGH.

Що таке периметр прямокутника? Формула розрахунку периметра

Периметр позначається латинською літерою P. Оскільки периметр - це довжина всіх сторін прямокутника, він периметр записується в одиницях довжини: мм, див, м, дм, км.

Наприклад, периметр прямокутника АВСD позначається як P ABCD , де А, У, З, D - це вершини прямокутника.

Запишемо формулу периметра чотирикутника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Рішення:
1. Намалюємо прямокутник ABCD із вихідними даними.
2. Напишемо формулу для розрахунку периметра даного прямокутника:

P ABCD = 2 * (AB + BС)

P ABCD = 2* (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Формула розрахунку периметра квадрата

P ABCD = 2* (AB + BC)

P ABCD = 4 * AB

Рішення.
1. Намалюємо квадрат ABCD із вихідними даними.

2. Згадаймо формулу розрахунку периметра квадрата:

P ABCD = 4 * AB

P ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Відповідь: P ABCD = 24 см.

Завдання на знаходження периметра прямокутника

1. Виміряй ширину та довжину прямокутників. Визнач їх периметр.

2. Намалюй прямокутник ABCD зі сторонами 4 см та 6 см. Визнач периметр прямокутника.

3. Намалюй квадрат СЕОМ зі стороною 5 см. Визнач периметр квадрата.

Де використовується розрахунок периметра прямокутника?

У цій задачі необхідно точно розрахувати периметр ділянки, щоб не купити зайвий матеріал для забору.

2. Батьки вирішили зробити ремонт у дитячій кімнаті. Необхідно знати периметр кімнати та її площу, щоб правильно розрахувати кількість шпалер.
Визнач довжину та ширину кімнати, в якій ти живеш. Визнач периметр своєї кімнати.

Що таке площа прямокутника?

Для визначення площі прямокутника необхідно довжину прямокутника помножити з його ширину.
Площа прямокутника обчислюється множенням довжини АК ширину КМ. Запишемо це як формули.

S AKMO = AK * KM

S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Відповідь: 14 см 2 .

Формула обчислення площі квадрата

приклад.
У даному прикладіплоща квадрата обчислюється множенням сторони AB на ширину BC, але оскільки вони рівні, виходить множення сторони AB на AB.

S ABC = AB * BC = AB * AB

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Відповідь: 64 см 2 .

Завдання на знаходження площі прямокутника та квадрата

2. Була куплена дачна ділянка розміром 20 м на 30 м. Визнач площу дачної ділянки, відповідь запиши у квадратних сантиметрах

Визначення.

Прямокутники відрізняються між собою лише ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротку - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

Прямокутником може бути паралелограм, квадрат чи ромб.

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжинутобто вони рівні:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Усі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину:

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів сторін:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Кожна діагональ прямокутника поділяє прямокутник на дві однакові фігури, А саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола

12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, оскільки сума протилежних кутівдорівнює 180 градусів:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, тому що суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна лише у окремий випадок прямокутника - квадрат).

Сторони прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через діагональ та іншу сторону:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через площу та іншу сторону:

Діагональ прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

d = √ a 2 + b 2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d = 2R

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d = D про

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та довжину сторони протилежної цьому куту:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника

d = √2S: sin β

Периметр прямокутника

Визначення.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметра прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:

3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Площа прямокутника

Визначення.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S = a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Коло описане навколо прямокутника

Визначення.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо прямокутника

1. Формула радіуса кола описаного навколо прямокутника через дві сторони:

Що таке площа та що таке прямокутник

Площа - це така геометрична величина, за допомогою якої можна визначити розмір будь-якої поверхні геометричної фігури.

Упродовж багатьох століть так повелося, що обчислення площі називали квадратурою. Тобто, щоб дізнатися площу нескладних геометричних фігур, Досить було підрахувати кількість одиничних квадратів, якими умовно були покриті фігури. А фігуру, яка мала площу, називали квадрованою.

Тому можна підбити підсумок, що площа – це така величина, яка показує нам розмір частини площини, з'єднаної між собою відрізками.

Прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Тобто чотиристоронню фігуру, яка має чотири прямі кути та її протилежні сторони рівні, називають прямокутником.

Як знайти площу прямокутника

Найпростіший спосіб знаходження площі прямокутника – взяти прозорий папір, наприклад кальку, або клейонку та розкреслити її на рівні квадратики по 1 см, а потім прикласти до зображення прямокутника. Кількість заповнених квадратиків і буде площею в квадратних сантиметрах. Наприклад, на малюнку видно, що прямокутник потрапляє до 12 квадратів, отже, його площа дорівнює – 12 кв. див.

Але для знаходження площі великих об'єктів, наприклад квартири, необхідний універсальний спосіб, тому була доведена формула, щоб знайди площу прямокутника необхідно помножити його довжину на ширину.

А тепер спробуємо записати правило знаходження площі прямокутника у вигляді формули. Позначимо площу нашої фігури буквою S, буква а – позначатиме його довжину, а буква b – ширину.

У результаті отримуємо таку формулу:

S = а * b.

Якщо накласти цю формулу на малюнок прямокутника вище, ми отримаємо самі 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4*3 = 12 кв.см.

Якщо взяти дві ідентичні фігури, і накласти їх одну на іншу, то вони збігатимуться, а називатимуться рівними. У таких рівних фігур будуть також рівні їхні площі та периметри.

Навіщо вміти знаходити площу

По-перше, якщо ви знаєте, як знайти площу будь-якої фігури, то за допомогою її формули ви без проблем зможете вирішувати будь-які завдання з геометрії та тригонометрії.
По-друге, навчившись знаходити площу прямокутника, ви спочатку зможете вирішувати прості завдання, а згодом перейдете до вирішення складніших, і навчитеся знаходити площі фігур, які вписані в прямокутник або біля нього.
По-третє, знаючи таку просту формулу, як S = а * b, ви отримуєте можливість без проблем вирішувати будь-які прості побутові завдання (наприклад, знаходити S квартири чи будинки), а згодом і зможете застосувати їх до вирішення складних архітектурних проектів.

Тобто, якщо спростити формулу знаходження площі, то вона виглядатиме так:

П = Д х Ш,

Що позначає П – це потрібна площа, Д – це її довжина, Ш – означає її ширину, а х – є знаком множення.

А чи відомо вам, що площу будь-якого багатокутника можна умовно розбити на певну кількістьквадратних блоків, які знаходяться усередині цього багатокутника? Яка різниця між площею та периметром

Давайте на прикладі спробуємо зрозуміти різницю між периметром та площею. Наприклад, наша школа знаходиться на ділянці, яка огороджена парканом – сумарна довжина цього паркану буде периметром, а той простір, що знаходиться всередині огорожі та є площею.

Одиниці виміру площі

Якщо одномірний периметр вимірюється в лінійних одиницях, якими є дюйми, фути і метри, то S відноситься до двовимірних обчислень і має свою довжину і ширину.

І вимірюється S в квадратних одиницях, таких як:

Один квадратний міліметр, де S квадрата має сторону, що дорівнює одному міліметру;
Квадратний сантиметр має S такого квадрата, у якого сторона дорівнює одному сантиметру;
Квадратний дециметрдорівнює S цього квадрата зі стороною один дециметр;
Квадратний метр має S квадрата, сторона якого дорівнює одному метру;
І наостанок, квадратний кілометрмає S квадрата, сторона якого дорівнює одному кілометру.

Для вимірювання площ великих ділянок на Землі використовують такі одиниці, як:

Один ар або сотка – якщо S квадрат має сторону десять метрів;
Один гектар дорівнює квадрату S, у якого сторона має сто метрів.

Завдання та вправи

А тепер розглянемо кілька прикладів.

На малюнку 62 намальовано фігуру, яка має вісім квадратів і кожна сторона цих квадратів дорівнює одному сантиметру. Тому такого квадрата буде квадратний сантиметр.

Якщо записати, то це виглядатиме так:

1 см2. А S всі цієї фігури, що складається з восьми квадратів, дорівнюватиме 8 кв.см.

Якщо взяти якусь фігуру і розбити її на «р» квадратів зі стороною, що дорівнює одному сантиметру, то її площа дорівнюватиме:

Р см2.

Давайте розглянемо прямокутник, зображень малюнку 63. Цей прямокутник складається з трьох смуг, а кожна така смужка розбита п'ять рівних квадратів, що мають сторону в 1 см.

Спробуємо знайти його площу. І так беремо п'ять квадратів, і множимо на три смужки і отримуємо площу рівну 15 кв.

Розглянемо наступний приклад. На малюнку 64 зображено прямокутник ABCD, ламаною лінією KLMN він розбитий на дві частини. Перша його частина дорівнює площі 12 см2, а друга має площу 9 см2. Тепер давайте знайдемо площу всього прямокутника:

Отже, беремо три і множимо на сім і отримуємо 21 кв.

37 = 21 кв.см. У цьому 21 = 12 + 9.

І приходимо до висновку, що площа всієї нашої фігури дорівнює сумі її площ окремих частин.

Розглянемо ще один приклад. І так на малюнку 65 зображено прямокутник, який за допомогою відрізка АС розбитий на два рівні трикутника ABCта ADC

А так, як нам уже відомо, що квадрат – це такий самий прямокутник, що тільки має рівні сторони, то площа кожного трикутника дорівнюватиме половині площі всього прямокутника.

Уявимо, що сторона квадрата дорівнює а, то:

S = a = a2.

Робимо висновок, що формула площі квадрата матиме такий вигляд:

А запис a2 називається квадратом числа а.

І так, якщо сторона нашого квадрата дорівнює чотирьом сантиметрам, то його площа буде:

4 4, тобто 4*2 = 16 кв.см.

Запитання та завдання

Знайдіть площу фігури, яка розбита на шістнадцять квадратів, сторона яких дорівнює одному сантиметру.
Згадайте формулу прямокутника та запишіть її.
Які вимірювання потрібно зробити, щоб дізнатися площу прямокутника?
Дайте визначення рівних фігур.
Чи можуть мати рівні фігурирізні площі? А периметри?
Якщо вам відомі площі окремих частин фігури, як її дізнатися загальну площу?
Сформулюйте та запишіть, чому дорівнює площа квадрата.

Історична довідка

А чи знаєте ви, що давні люди в Вавилоні вміли розрахувати площу прямокутника. Також древні єгиптяни робили розрахунки різних постатей, але оскільки точних формулвони не знали, чи то обчислення мали невеликі похибки.

У своїй книзі «Початку» знаменитий давньогрецький математикЕвклід описує різні способиобчислення площ різних геометричних фігур.