Опорний план-конспект для учнів з математики на тему "Вступ до стереометрії" (10 клас). У яких правильних багатогранників усі діагоналі рівні між собою

Багатогранники є найпростішими тілами в просторі, подібно до того, як багатокутники – найпростіші фігури на площині. Багатогранні форми ми бачимо щодня: сірникова коробка, книга, кімната, багатоповерховий будинок (з горизонтальним дахом) – прямокутні паралелепіпеди; молочні пакети-тетраедри або теж паралелепіпеди; гранований олівець, гайка дають уявлення про призми (втім, паралелепіпед – це також чотирикутна призма). Багато архітектурні спорудиабо їх деталі є пірамідами або усіченими пірамідами – такі форми мають знамениті єгипетські піраміди або вежі Кремля. Багато багатогранних форм, наприклад «будиночок» на рис. 1 та «круглий будинок» на рис. 2, немає спеціальних назв. З чисто геометричної погляду багатогранник – це частина простору, обмежена плоскими багатокутниками – гранями. Сторони та вершини граней називають ребрами та вершинами самого багатогранника. Грані утворюють так звану багатогранну поверхню. Щоб виключити із розгляду багатогранні фігуритипу зображених на рис. 3, які не прийнято називати багатогранниками, на багатогранну поверхню зазвичай накладають такі обмеження:

1) кожне ребро має бути спільною стороноюдвох, і лише двох, граней, званих суміжними;

2) кожні дві грані можна з'єднати ланцюжком послідовно суміжних граней;

3) для кожної вершини кути граней, що прилягають до цієї вершини, повинні обмежувати деякий багатогранний кут.

Багатогранник називається опуклим, якщо він лежить по одну сторону від площини будь-якої його граней. Ця умова еквівалентна кожному з двох інших: 1) відрізок з кінцями в будь-яких двох точках багатогранника цілком лежить у багатограннику, 2) багатогранник можна уявити як перетин декількох напівпросторів.

Для будь-якого опуклого багатогранника справедлива формула Ейлера (див. Топологія), що встановлює зв'язок між числом вершин, ребер Р і граней Г:

Для невипуклих багатогранників це співвідношення, взагалі кажучи, неправильне, наприклад, для багатогранної поверхні, зображеної на рис. 2; , тому . Число називається ейлеровою характеристикою багатогранника і може дорівнювати . Ейлерова характеристика показує, грубо кажучи, скільки «дірок» має багатогранник. Число дірок (або ).

Найпростіша класифікація за кількістю вершин (кутів, сторін) багатогранників неефективна. Найпростіші багатогранники – чотиривершинники чи чотиригранники – завжди обмежені чотирма трикутними гранями. Але вже п'ятигранники можуть бути цілком різних типів, наприклад: чотирикутна піраміда обмежена чотирма трикутниками та одним чотирикутником (рис. 4, а), а трикутна призма обмежена двома трикутниками та трьома чотирикутниками (рис. 4, б). Приклади п'ятивершинників – чотирикутна піраміда та трикутний діедр (рис. 4, в).

Найпоширеніші в навколишньому світі багатогранники, звичайно, мають спеціальні назви. Так, -вугільна піраміда має -кутник в основі і бічних трикутних граней, що сходяться в загальній вершині трикутників (рис. 4,а, де); -вугільна призма обмежена двома рівними, паралельними і однаково розташованими -кутниками – основами – та паралелограмами – бічними гранями, що з'єднують відповідні сторони основ (рис. 4, б, де).

Проміжне положення між пірамідами та призмами займають усічені піраміди, що виходять з пірамід відсіканням менших пірамід паралельними підставамплощинами (рис. 5). Серед природних формкристалів зустрічаються діедри, або біпіраміди, складені з двох пірамід із загальною основою (рис. 4, в). Архімед розглядав також -вугільні антипризми, обмежені двома паралельними, але повернутими один щодо одного -кутниками і з'єднують їх, як показано на рис. 6 -трикутниками (при великому антипризму схожа на піонерський барабан - рис. 6).

Як і багатокутники, багатогранники класифікують також за рівнем їхньої симетричності. Серед пірамід виділяють правильні: в основі у них лежить правильний багатокутник, А висота - перпендикуляр, проведений з вершини до площини основи, - потрапляє до центру основи піраміди.

Аналогом паралелограма є паралелепіпед; так само як паралелограм, паралелепіпед має центр симетрії, в якому перетинаються і діляться навпіл усі чотири діагоналі (відрізки, що з'єднують вершини, що не належать до однієї грані). Правильні призми в основах мають правильні багатокутники, розташовані так, що пряма, що проходить через їхні центри, перпендикулярна до площин основ. Так само повинні бути розташовані і підстави правильної -вугільної антипризми, але тільки одна основа має бути повернена на кут щодо іншої. Усі правильні багатогранники мають чимало самосуміщень – поворотів і симетрій, що переводять багатогранник у собі. Сукупність всіх самосуміщень, вважаючи і тотожне, утворює так звану групу симетрій багатогранника. За групами симетрій у кристалографії класифікують монокристали, що мають, як правило, багатогранну форму.

Симетричність, правильність розглянутих вище багатогранників не зовсім повні – вони можуть існувати не рівні грані, різні багатокутні кути. Виняток становлять три багатогранники: правильний тетраедр- правильна трикутна піраміда з рівними ребрами, обмежена чотирма правильними трикутниками (рис. 7, а); куб, чи правильний гексаэдр, - правильна чотирикутна призма з рівними ребрами, обмежена шістьма квадратами (рис. 7,б); нарешті, октаедр – правильний чотирикутний діедр з рівними ребрами, обмежений вісьмома правильними трикутниками (рис. 7, в); октаедр можна визначити як правильну трикутну антипризму з рівними ребрами. На відміну від довільних правильних пірамід, призм, діедрів і антипризм – тетраедр, куб, октаедр такі, що будь-які їх дві грані (і будь-які два багатогранні кути) можна поєднати за допомогою деякого самосуміщення всього багатогранника. З іншого боку, їх багатогранні кути правильні, тобто. мають рівні плоскі та рівні двогранні кути.

Аналогічно правильним багатокутникам на площині можна визначити і правильні багатогранники "взагалі": це опуклі багатогранники, обмежені рівними правильними багатокутниками і мають рівні правильні багатогранні кути. Виявляється, крім трьох названих вище видів правильних багатогранників– правильного тетраедра, куба та октаедра – існують ще тільки два види правильних багатогранників: додекаедр (дванадцятигранник) та ікосаедр (двадцятигранник), обмежені відповідно 12 правильними п'ятикутниками та 20 правильними трикутниками, - рис. 8, а, б. Ці два багатогранники пов'язані між собою так само, як куб і тетраедр (див. Куб): центри граней додекаедра є вершинами ікосаедра – рис. 9, - і навпаки.

Сам факт існування всього п'яти дійсно правильних багатогранників дивовижний – адже правильних багатокутників на площині дуже багато.

Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавню Грецію, та їм присвячена заключна, XIII книга знаменитих «Початків» Евкліда. Ці багатогранники часто називають також Платоновими тілами – в ідеалістичній картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном, чотири їх уособлювали чотири стихії: тетраедр – вогонь, куб – землю, икосаэдр – воду і октаэдр – повітря; п'ятий багатогранник, додекаедр, символізував всю світобудову – його латиною стали називати quinta essentia («п'ята сутність»). Придумати правильний тетраедр, куб, октаедр, мабуть, було неважко, тим більше, що ці форми мають природні кристали, наприклад: куб – монокристал кухонної солі (NaCl), октаедр – монокристал алюмокалієвих галунів . Існує припущення, що форму додекаедра древні греки набули, розглядаючи кристали піриту (сірчистого колчедану FeS). Маючи ж додекаедр, неважко побудувати і ікосаедр: як говорилося, його вершинами будуть центри дванадцяти граней додекаэдра – рис. 9.

Багатогранники не тільки займають чільне місце в геометрії, але й зустрічаються в повсякденному життікожної людини. Не кажучи вже про штучно створені предмети побуту у вигляді різних багатокутників, починаючи з сірникової коробкиі закінчуючи архітектурними елементами, у природі також зустрічаються кристали у формі куба (сіль), призми (кришталь), піраміди (шеєліт), октаедра (алмаз) тощо.

Поняття багатогранника, види багатогранників у геометрії

Геометрія як наука містить розділ стереометрію, що вивчає характеристики та властивості об'ємні тіла, сторони яких у тривимірному просторіутворені обмеженими площинами (гранями), звуться "багатогранники". Види багатогранників налічують не один десяток представників, що відрізняються кількістю та формою граней.

Проте у всіх багатогранників є спільні властивості:

1. Всі вони мають 3 невід'ємні компоненти: грань (поверхня багатокутника), вершина (кути, що утворилися в місцях з'єднання граней), ребро (сторона фігури або відрізок, утворений у місці стику двох граней).
2. Кожне ребро багатокутника з'єднує дві, і лише дві грані, які один до одного є суміжними.
3. Випуклість означає, що тіло повністю розташоване лише з одного боку площині, де лежить одна з граней. Правило застосовується до всіх меж багатогранника. Такі геометричні фігури у стереометрії називають терміном опуклі багатогранники. Виняток становлять зірчасті багатогранники, які є похідними правильних багатогранних. геометричних тіл.

Багатогранники можна умовно поділити на:

1. Види опуклих багатогранників, які з наступних класів: звичайні чи класичні (призму, піраміда, паралелепіпед), правильні (також звані Платоновими тілами), напівправильні (друга назва - Архімедові тіла).
2. Невипуклі багатогранники (зіркові).

Призма та її властивості

Стереометрія як розділ геометрії вивчає властивості тривимірних фігур, види багатогранників (призму у тому числі). Призмою називають геометричне тіло, яке має обов'язково дві абсолютно однакові грані (їх також називають основами), що лежать у паралельних площинахі n-е число бічних граней у вигляді паралелограмів. У свою чергу, призма має також кілька різновидів, серед яких такі види багатогранників, як:

1. Паралелепіпед - утворюється, якщо в основі лежить паралелограм - багатокутник з 2 парами рівних протилежних кутіві двома парами конгруентних протилежних сторін.
2. має перпендикулярні до основи ребра.
3. характеризується наявністю непрямих кутів (відмінних від 90) між гранями та основою.
4. Правильна призма характеризується основами у вигляді рівними бічними гранями.

Основні властивості призми:

• Конгруентні основи.
• Усі ребра призми рівні та паралельні по відношенню один до одного.
• Усі бічні грані мають форму паралелограма.

Піраміда

Пірамідою називають геометричне тіло, яке складається з однієї основи та з n-го числа трикутних граней, що з'єднуються в одній точці - вершині. Слід зазначити, що якщо бічні грані піраміди представлені обов'язково трикутниками, то в основі може бути як трикутний багатокутник, так і чотирикутник і п'ятикутник, і так до нескінченності. При цьому назва піраміди буде відповідати багатокутнику в основі. Наприклад, якщо в основі піраміди лежить трикутник - це , чотирикутник - чотирикутна, і т.д.

Піраміди – це конусоподібні багатогранники. Види багатогранників цієї групи, крім перелічених вище, включають також наступних представників:

1. має в основі правильний багатокутник, і висота її проектується в центр кола, вписаного в основу або описаного навколо нього.
2. Прямокутна піраміда утворюється тоді, коли одна з бічних ребер перетинається з основою під прямим кутом. У такому випадку це ребро можна назвати висотою піраміди.

Властивості піраміди:

• Якщо всі бічні ребра піраміди конгруентні (однакової висоти), всі вони перетинаються з основою під одним кутом, а навколо основи можна прокреслити коло з центром, що збігаються з проекцією вершини піраміди.
• Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то всі бічні ребра є конгруентними, а грані є рівнобедреними трикутниками.

Правильний багатогранник: види та властивості багатогранників

У стереометрії особливе місцезаймають геометричні тіла з абсолютно рівними між собою гранями, у вершинах яких з'єднується однакова кількість ребер. Ці тіла отримали назву Платонові тіла, чи правильні багатогранники. Види багатогранників з такими властивостями налічують лише п'ять фігур:

1. Тетраедр.
2. Гексаедр.
3. Октаедр.
4. Додекаедр.
5. Ікосаедр.

Своєю назвою правильні багатогранники завдячують давньогрецькому філософу Платону, який описав ці геометричні тіла у своїх працях і зв'язав їх із природними стихіями: землі, води, вогню, повітря. П'ятій фігурі присуджували схожість із будовою Всесвіту. На його думку, атоми природних стихій формою нагадують види правильних багатогранників. Завдяки своїй захоплюючій властивості - симетричності, ці геометричні тіла представляли великий інтересне тільки для давніх математиків та філософів, але й для архітекторів, художників та скульпторів усіх часів. Наявність лише 5 видів багатогранників з абсолютною симетрією вважалося фундаментальною знахідкою, їм навіть присуджували зв'язок з божественним початком.

Гексаедр та його властивості

У формі шестигранника наступники Платона припускали схожість із будовою атомів землі. Звичайно ж, на даний час ця гіпотеза повністю спростована, що, однак, не заважає фігурам і в сучасності залучати уми відомих діячівсвоєю естетичністю.

У геометрії гексаедр, він же куб, вважається окремим випадком паралелепіпеда, який, у свою чергу, є різновидом призми. Відповідно і властивості куба пов'язані з тією лише різницею, що всі грані та кути куба рівні між собою. З цього випливають такі характеристики:

1. Всі ребра куба конгруентні і лежать у паралельних площинах один до одного.
2. Всі грані - конгруентні квадрати (всього в кубі їх 6), кожен з яких може бути прийнятий за основу.
3. Усі міжгранні кути дорівнюють 90.
4. З кожної вершини виходить рівну кількість ребер, саме 3.
5. Куб має 9 які всі перетинаються в точці перетину діагоналей гексаедра, що називається центром симетрії.

Тетраедр

Тетраедр – це чотиригранник з рівними гранями у формі трикутників, кожна з вершин яких є точкою з'єднання трьох граней.

Властивості правильного тетраедра:

1. Усі грані тетраеду - це з чого випливає, що всі грані чотиригранника конгруентні.
2. Оскільки основа представлена ​​правильною геометричною фігуроютобто має рівні сторони, то і грані тетраедра сходяться під однаковим кутом, тобто всі кути рівні.
3. Сума плоских кутівпри кожній з вершин дорівнює 180, тому що всі кути рівні, то будь-який кут правильного чотиригранника становить 60.
4. Кожна з вершин проектується на точку перетину висот протилежної (ортоцентр) грані.

Октаедр та його властивості

Описуючи види правильних багатогранників, не можна не відзначити такий об'єкт, як октаедр, який візуально можна подати у вигляді двох склеєних основ чотирикутних правильних пірамід.

Властивості октаедра:

1. Сама назва геометричного тіла нагадує кількість його граней. Восьмигранник складається з 8 конгруентних рівносторонніх трикутників, у кожній з вершин якого сходиться рівна кількість граней, а саме 4.
2. Так як усі грані октаедра рівні, рівні та його міжгранні кути, кожен з яких дорівнює 60, а сума плоских кутів будь-якої з вершин становить, таким чином, 240.

Додекаедр

Якщо уявити, що всі грані геометричного тіла є правильним п'ятикутником, то вийде додекаедр - фігура з 12 багатокутників.

Властивості додекаедру:

1. У кожній вершині перетинаються три грані.
2. Усі грані рівні та мають однакову довжинуребер, а також рівну площу.
3. У додекаедра 15 осей та площин симетрії, причому кожна з них проходить через вершину грані та середину протилежного їй ребра.

Ікосаедр

Не менш цікава, ніж додекаедр, фігура ікосаедр є об'ємним геометричним тілом з 20 рівними гранями. Серед властивостей правильного двадцятигранника можна відзначити такі:

1. Всі грані ікосаедра - рівнобедрені трикутники.
2. У кожній вершині багатогранника сходиться п'ять граней і сума суміжних кутіввершини складає 300.
3. Ікосаедр має так само, як і додекаедр, 15 осей та площин симетрії, що проходять через середини протилежних граней.

Напівправильні багатокутники

Крім Платонових тіл, до групи опуклих багатогранників входять також Архімедові тіла, які є усіченими правильними багатогранниками. Види багатогранників цієї групи мають такі властивості:

1. Геометричні тіла мають попарно рівні грані кількох типів, наприклад, усічений тетраедр має так само, як і правильний тетраедр, 8 граней, але у випадку Архімедова тіла 4 грані будуть трикутної формиі 4 – шестикутною.
2. Усі кути однієї вершини конгруентні.

Зірчасті багатогранники

Представники необ'ємних видів геометричних тіл – зірчасті багатогранники, грані яких перетинаються один з одним. Вони можуть бути утворені шляхом злиття двох правильних тривимірних тіл або в результаті їх продовження граней.

Таким чином, відомі такі зірчасті багатогранники, як: зірчасті форми октаедра, додекаедра, ікосаедра, кубооктаедра, ікосододекаедра.

Куб, куля, піраміда, циліндр, конус – геометричні тіла. Серед них вирізняють багатогранники. Багатогранникомназивають геометричне тіло, поверхня якого складається з кінцевого числабагатокутників. Кожен із цих багатокутників називається гранню багатогранника, сторони та вершини цих багатокутників - відповідно ребрами та вершинами багатогранника.

Двогранні кути між сусідніми гранями, тобто. гранями, що мають спільну сторону - ребро багатогранника - є також двогранними умами багатогранника.Кути багатокутників - граней опуклого багатокутника- є плоскими умами багатогранника.Крім плоских та двогранних кутіву опуклого багатогранника є ще й багатогранні кути.Ці кути утворюють грані, що мають загальну вершину.

Серед багатогранників розрізняють призмиі піраміди.

Призма -це багатогранник, поверхня якого складається з двох рівних багатокутників і паралелограмів, що мають спільні сторони з кожним із підстав.

Два рівних багатокутниканазиваються підставамиггризмьг, а паралелограми - її бічнимигранями. Бічні грані утворюють бічну поверхню призми. Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрамипризми.

Призму називають п-вугільний,якщо її основами є я-кутники. На рис. 24.6 зображена чотирикутна призма АВСDА"В"С"D".

Призму називають прямий,якщо її бічними гранями є прямокутники (рис. 24.7).

Призму називають правильною , якщо вона пряма, а її основи - правильні багатокутники.

Чотирикутну призмуназивають паралелепіпедом якщо її підстави - паралелограми.

Паралелепіпед називають прямокутним,якщо всі його грані – прямокутники.

Діагональ паралелепіпеда- Це відрізок, що сполучає його протилежні вершини. У паралелепіпеда чотири діагоналі.

Доведено, щодіагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Піраміда- це багатогранник, поверхня якого складається з багатокутника - основи піраміди, та трикутників, що мають загальну вершину, званих бічними гранями піраміди. Загальна вершинацих трикутників називається вершиноюпіраміди, ребра, що виходять із вершини, - бічними ребрамипіраміди.

Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на основу, а також довжина цього перпендикуляра називається заввишкипіраміди.

Найпростіша піраміда - трикутнаабо тетраедр (рис. 24.8). Особливість трикутної піраміди у тому, що будь-яку грань можна як підставу.

Піраміду називають правильною,якщо в її основі лежить правильний багатокутник, а все бічні ребрарівні між собою.

Зауважимо, що слід розрізняти правильний тетраедр(Тобто тетраедр, у якого всі ребра рівні між собою) і правильну трикутну піраміду(у її підставі лежить правильний трикутник, а бічні ребра рівні між собою, але їхня довжина може відрізнятися від довжини сторони трикутника, який є підставою призми).

Розрізняють вип'юші невипуклібагатогранники. Визначити опуклий багатогранник можна, якщо скористатися поняттям опуклого геометричного тіла: багатогранник називають опуклим.якщо вона є опуклою фігурою, тобто. разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх.

Можна визначити опуклий багатогранник інакше: багатогранник називають опуклим,якщо він повністю лежить по одну сторону від кожного з багатокутників, що його обмежують.

Дані визначення є рівносильними. Доказ цього факту не наводимо.

Усі багатогранники, які досі розглядалися, були опуклими (куб, паралелепіпед, призма, піраміда та ін.). Багатогранник, зображений на рис. 24.9, опуклим не є.

Доведено, щоу опуклому багатограннику всі грані є опуклими багатокутниками.

Розглянемо кілька опуклих багатогранників (таблиця 24.1)

З цієї таблиці випливає, що для всіх розглянутих опуклих багатогранників має рівність В - Р + Г= 2. Виявилося, що воно справедливе і для будь-якого опуклого багатогранника. Вперше ця властивість була доведена Л. Ейлером і отримала назву теореми Ейлера.

Випуклий багатогранник називають правильним,якщо його гранями є рівні правильні багатокутники і в кожній вершині сходиться однакове числограней.

Використовуючи властивість опуклого багатогранного кута, можна довести, що різних видівправильних багатогранників існує трохи більше п'яти.

Справді, якщо фан і багатогранника – правильні трикутники, то в одній вершині їх може сходитися 3, 4 та 5, тому що 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Якщо в кожній вершині багатофанника сходиться три правильні трикутники, то отримуємо правий/ий тетраедр,що в перекладі з фецької означає «чотирьохгранник» (рис. 24.10, а).

Якщо в кожній вершині багатогранника сходиться чотири правильні трикутники, то отримуємо октаедр(рис. 24.10, в).Його поверхня складається з восьми правильних трикутників.

Якщо кожній вершині багатогранника сходиться п'ято правильних трикутників, отримуємо ікосаедр(Рис. 24.10, г). Його поверхня складається із двадцяти правильних трикутників.

Якщо межі багатофанника - квадрати, то в одній вершині їх може сходитися лише три, тому що 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаедром(рис. 24.10, б).

Якщо граані багатофанника - правильні п'ятикутники, то в одній вершині їх може сходитися тільки фі, оскільки 108 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаедром(рис. 24.10, д).Його поверхня складається із дванадцяти правильних п'ятикутників.

Шестикутними і більше грані багатогранника не можуть бути, тому що навіть для шестикутника 120 3 = 360 .

У геометрії доведено, що в тривимірному евклідовому просторі існує п'ять різних видів правильних багатогранників”.

Щоб виготовити модель багатогранника, потрібно зробити його розгортку(точніше розгорнення його поверхні).

Розгортка багатогранника - це фігура на площині, яка виходить, якщо поверхню багатогранника розрізати деяким ребрам і розгорнути її так, щоб усі багатокутники, що входять в цю поверхню, лежали в одній площині.

Зазначимо, що багатогранник може мати кілька різних розгорток, залежно від того, які ребра ми розрізали. На малюнку 24.11 показані фіг"ури, які є різними розгортками правильної чотирикутної піраміди, тобто піраміди, в основі якої лежить квадрат, а всі бічні ребра рівні між собою.

Щоб фігура на площині була розгорткою опуклого багатогранника, вона повинна задовольняти низку вимог, пов'язаних з особливостями багатогранника. Наприклад, фігури на рис. 24.12 не є розгортками правильної чотирикутної піраміди: у фігурі, зображеній на рис. 24.12, а,у вершині Мсходяться чотири грані, чого не може бути у правильній чотирикутної піраміди; а у фігурі, зображеній на рис. 24.12, б,бічні ребра А Ві НДне рівні.

Взагалі розгортку багатогранника можна отримати шляхом розрізання його поверхні не тільки по ребрах. Приклад такої розгортки куба наведено на рис. 24.13. Тому більш точно розгортку багатогранника можна визначити як плоский багатокутник, з якого може бути зроблена поверхня цього багатогранника без перекриттів.

Тіла обертання

Тілом обертанняназивають тіло, отримане внаслідок обертання деякої фігури (зазвичай плоскої) навколо прямої. Цю пряму називають віссю обертання.

Циліндр- его тіло, що виходить у результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. При цьому зазначена сторона є віссю циліндра.На рис. 24.14 зображено циліндр із віссю ГО’,отриманий внаслідок обертання прямокутника АА"О"Онавколо прямої ГО".Крапки Проі О"- центри основ циліндра.

Циліндр, що виходить в результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін, називають прямим круговимциліндром, оскільки його основами є два рівні круги, розташованих у паралельних площинах так, що відрізок, що з'єднує центри кіл, перпендикулярний цим площинам. Бічна поверхня циліндра утворюють відрізки, рівні стороні прямокутника, паралельної осіциліндра.

Розгорткоюбічній поверхні прямого кругового циліндра, якщо її розрізати по твірній, є прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині твірної, а інша - довжині кола основи.

Конус- це тіло, яке виходить у результаті обертання прямокутного трикутникадовкола одного з катетів.

При цьому вказаний катет нерухомий і називається віссю конуса.На рис. 24.15 зображено конус з віссю SO, отриманий в результаті обертання прямокутного трикутника SOA з прямим кутом навколо катета S0. Точку S називають вершиною конуса, ОА- радіусом його основи.

Конус, який виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з його катетів, називають прямим круговим конусом,так як його основою є коло, а вершина проектується в центр цього кола. Бічна поверхня конуса утворюють відрізки, рівні гіпотенузітрикутника, при обертанні якого утворюється конус.

Якщо бічну поверхню конуса розрізати за твірною, її можна «розгорнути» на площину. Розгорткоюбічній поверхні прямого кругового конуса є круговий сектор з радіусом, рівним довжиніутворює.

При перетині циліндра, конуса або будь-якого іншого тіла обертання площиною, що містить вісь обертання, виходить осьовий перетин. Осьовий переріз циліндра - прямокутник, осьовий переріз конуса - рівнобедрений трикутник.

Куля- це тіло, яке виходить в результаті обертання півкола навколо його діаметра. На рис. 24.16 зображено кулю, отриману в результаті обертання півкола навколо діаметра АА.Крапку Проназивають центром кулі,а радіус кола є радіусом кулі.

Поверхня кулі називають сферою.Сферу розгорнути на площину не можна.

Будь-яке перетин кулі площиною є коло. Радіус перерізу кулі буде найбільшим, якщо площина проходить через центр кулі. Тому перетин кулі площиною, що проходить через центр кулі, називають великим колом кулі,а коло, що його обмежує, - великим колом.

ЗОБРАЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ НА ПЛОЩИНІ

На відміну від плоских фігургеометричні тіла неможливо точно зобразити, наприклад, на аркуші паперу. Однак за допомогою креслень на площині можна отримати досить наочне зображення просторових фігур. Для цього використовуються спеціальні способи зображення таких фігур на площині. Одним з них є паралельне проектування.

Нехай дано площину а і пересікаюча се пряма а.Візьмемо у просторі довільну точку Л", що не належить прямої а,і проведемо через Xпряму а",паралельну прямий а(Рис. 24.17). Пряма а"перетинає площину у певній точці X",яка називається паралельною проекцією точки X на площину а.

Якщо точка А" лежить на прямій а,то се паралельною проекцією X"є точка, в якій пряма аперетинає площину а.

Якщо точка Xналежить площині а, то точка X"збігається з точкою X.

Таким чином, якщо задані площину а і пряма, що її перетинає а.то кожній точці Xпростору можна поставити у відповідність єдину точку А" - паралельну проекцію точки Xна площину а (при проектуванні паралельно прямий а).Площина аназивається площиною проекцій.Про пряму акажуть, що вона загавкає напрямок проектування -ггрі заміні прямий абудь-який інший паралельний їй прямий результат проектування не зміниться. Усі прямі, паралельні прямий а,задаюз один і той же напрямок проектування і називаються разом з прямою апроектуючими прямими.

Проекцієюфігури Fназивають безліч F′проекцією всіх сіток. Відображення, яке зіставляє кожній точці Xфігури F"її паралельну проекцію - точку X"фігури F",називається паралельним проектуваннямфігури F(Рис. 24.18).

Паралельною проекцією реального предметає його тінь, що падає на плоску поверхнюпри сонячному освітленні, оскільки сонячні променіможна вважати паралельними.

Паралельне проектування має низку властивостей, знання яких необхідно при зображенні геометричних тіл на площині. Сформулюємо основні, не наводячи їх докази.

Теорема 24.1. При паралельному проектуваннідля прямих, не паралельних напрямкупроектування, і лежать ними відрізків виконуються такі характеристики:

1) проекція прямої є пряма, а проекція відрізка – відрізок;

2) проекції паралельних прямих паралельні чи збігаються;

3) відношення довжин проекцій відрізків, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, дорівнює відношенню довжин самих відрізків.

З цієї теореми випливає слідство:при паралельному проектуванні середина відрізка проектується у середину його проекції.

При зображенні геометричних тіл на площині слід стежити за виконанням зазначених властивостей. В іншому воно може бути довільним. Так, кути та відношення довжин непаралельних відрізків можуть змінюватися довільно, тобто, наприклад, трикутник при паралельному проектуванні зображується довільним трикутником. Але якщо трикутник рівносторонній, то на проекції його медіани повинні з'єднувати вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

І ще одну вимогу необхідно дотримуватись при зображенні просторових тіл на площині - сприяти створенню вірного уявлення про них.

Зобразимо, наприклад, похилий призму, основами якої є квадрати.

Побудуємо спочатку нижню основу призми (можна починати і з верхньої). За правилами паралельного проектування огго зобразиться довільним паралелограм АВСD (рис. 24.19, а). Так як ребра призми паралельні, будуємо паралельні прямі, що проходять через вершини побудованого паралелограма і відкладаємо на них рівні відрізкиАА", ВВ', СС", DD", довжина яких довільна. З'єднавши послідовно точки А", В", С", D", отримаємо чотирикутник А"В"С"D", що зображує верхню основу призми. Неважко довести, що А"В"С"D"- паралелограм, рівний паралелограму АВСDі, отже, маємо зображення призми, основами якої є рівні квадрати, інші грані - паралелограммы.

Якщо потрібно зобразити пряму призму, основами якої є квадрати, то показати, що бічні ребра цієї призми перпендикулярні до основи, можна так, як це зроблено на рис. 24.19, б.

Крім того, креслення на рис. 24.19, бможна вважати зображенням правильної призми, тому що її основою є квадрат – правильний чотирикутник, а також – прямокутним паралелепіпедом, оскільки всі його грані – прямокутники.

З'ясуй тепер, як зобразити на площині піраміду.

Щоб зобразити правильну піраміду, спочатку креслять правильний багатокутник, що лежить в основі, та його центр - точку О.Потім проводять вертикальний відрізок OS,що зображує висоту піраміди. Зауважимо, що вертикальність відрізка OSзабезпечує більшу наочність малюнка. І нарешті, точку S з'єднують з усіма вершинами основи.

Зобразимо, наприклад, правильну піраміду, основою якої є правильний шестикутник.

Щоб правильно зобразити при паралельному проектуванні правильний шестикутник, слід звернути увагу на таке. Нехай АВСDEF - правильний шестикутник. Тоді ВСЕF - прямокутник (рис. 24.20) і, отже, при паралельному проектуванні він зобразиться довільним паралелограмом "С"Е"F". Так як діагональ АD проходить через точку О - центр багатокутника АВСDEF і паралельна відрізкам. ВС і ЕF і АО= ОD, то при паралельному проектуванні вона зобразиться довільним відрізком А "D" , проходить через точку О"паралельно В "С"і Е"F"і крім того, А "О" = О "D".

Таким чином, послідовність побудови основи шестикутної піраміди така (рис. 24.21):

§ зображують довільний паралелограм В"С"Е"F"та його діагоналі; відзначають точку їх перетину O";

§ через точку О"проводять пряму, паралельну В'С"(або Е"F');

§ на побудованій прямій вибирають довільну точку А"та відзначають точку D"таку, що Про "D" = А "О",і з'єднують точку А"з точками В"і F", а точку D" - зточками С"і Е".

Щоб завершити побудову піраміди, проводять вертикальний відрізок ОС(його довжина вибирається довільно) і з'єднують точку S з усіма вершинами основи.

При паралельному проектуванні шар зображується у вигляді кола того ж радіуса. Щоб зробити зображення кулі наочнішим, малюють проекцію якого-небудь великого кола, площина якої не перпендикулярна площині проекції. Ця проекція буде еліпсом. Центр кулі відобразиться центром цього еліпса (рис. 24.22). Тепер можна знайти відповідні полюси Nі S за умови, що відрізок, що їх з'єднує, перпендикулярний площині екватора. Для цього через точку Пропроводимо пряму, перпендикулярну АВі відзначаємо точку С - перетин цієї прямої з еліпсом; потім через точку С проводимо дотичну до еліпсу, що зображує екватор. Доведено, що відстань СМдорівнює відстані від центру кулі до кожного з полюсів. Тому, відклавши відрізки ОNі OS,рівні СМ,отримаємо полюси N та S.

Розглянемо один із прийомів побудови еліпса (він заснований на перетворенні площини, що називається стисненням): будують коло з діаметром і проводять хорди, перпендикулярні діаметру (рис. 24.23). Половину кожної з хорд ділять навпіл і отримані точки з'єднують плавною кривою. Ця крива – еліпс, великою віссю якого є відрізок АВ,а центром – точка О.

Цей прийом можна використовувати, зображуючи на площині прямої круговий циліндр(рис. 24.24) та прямий круговий конус(Рис. 24.25).

Прямий круговий конус зображують так. Спочатку будують еліпс - основу, потім знаходять центр основи - крапку Прота перпендикулярно проводять відрізок OS,що зображує висоту конуса. З точки S проводять до еліпса дотичні (це роблять «на око», прикладаючи лінійку) та виділяють відрізки SСі SDцих прямих від точки S до точок торкання З і D.Зауважимо, що відрізок СDне збігається з діаметром основи конуса.

Здобув широку популярність завдяки участі у серіалі " Велике коханняПроте актора також можна побачити в ще кількох відомих проектах, таких як серіал " Секретні матеріали"Місце злочину: Майамі".

Цікаво, що такий миловидний актор не вживає жодних продуктів тваринного походження. Він – абсолютний вегетаріанець.

Ранні роки та шлях до акторства

Маленький Дуглас народився Канаді, в провінції Онтаріо. Хлопчик з'явився у сім'ї вчительки та продюсера низькобюджетних фільмів. Симпатяга Дуглас порадував батьків своєю появою 22 червня 1985 року. У хлопця є два брати та сестра: Грегорі, Андре та Саманта Сміт. Грегорі, як і Дуглас, є актором.

Брати народилися в сім'ї продюсера, і, напевно, це визначило їхню долю. З 11 років маленький, але цілеспрямований актор Дуглас Сміт зайнявся впритул акторською майстерністю. До речі, хлопець має досвід гри на сцені, наприклад у комедії Шекспіра "Дванадцята ніч" у ролі Мальволіо.

Першим фільмом, у якому взяв участь Дуглас, став "Смертельний виклик" (1996), де виконав маленьку роль.

Фільми

Дуглас Сміт отримав свою першу роль у великому кіно у кінострічці "Вибух із минулого" (1999), де йому вдалося попрацювати з такими відомими акторами, як і Брендан Фрейзер Далі молодий та амбітний актор не втомлювався багато працювати та хапався за різні проекти. Так він знімався і в кіно, і в серіалах, які принесли йому особливу популярність.

Серіали за участю актора Дугласа Сміта:

У кінопортфоліо Сміта входить також низка фільмів. Десь він грає маленькі епізодичні ролі, а деякі фільми досить популярні і на слуху у багатьох кіноманів:

Особисте життя

Якщо людина талановита, то вона має щонайменше ще один талант. Актор Дуглас Сміт бере участь у групі Alaskan Summer, де, до речі, також працює і дівчина актора – Ештон Лансфорд. Схоже, у хлопців все серйозно, адже не кожен витримає партнера цілодобово - вдома та на роботі.

До речі, хлопець сам пише пісні та виконує їх у своїй групі.

«Моє ім'я буде оббрехало, мені припишуть безліч злодіянь. Світовий сіонізм усіма силами прагнутиме знищити наш Союз, щоб Росія ніколи вже не змогла піднятися. Вістря боротьби буде спрямоване на відрив околиць від Росії. З особливою силою підніме голову націоналізм. З'явиться багато вождів-пігмеїв, зрадників усередині своїх націй...»

"Сталін є центр, серце всього того, що променями розходиться від Москви по всьому світу".

Французький письменник А. Барбюс

65 років тому, 5 березня 1953 року, пішов із життя великий народний вождь Йосип Сталін. Людина, яка змогла відродити російську імперію у вигляді Радянського Союзу, який переміг у Другій світовій війні, створив потужні збройні сили, ядерний щитнашої Батьківщини, найкращу у світі науку та освіту.

У « демократичної Росії», створеній у 1991-1993 рр., його оголосили маніяком та кривавим диктатором. Чому Сталіна так ненавидять різні західники, ліберали та містечкові націоналісти? Відповідь проста. Сталін був справжнім народним вождем, який все життя віддав на вирішення глобальних та національних завдань російської цивілізації та російського народу. Він змусив служити Батьківщині не шкодуючи себе урядом і комуністичну партію. А після смерті не залишив ні багатств, ні рахунків у закордонних банках, ні палаців та вілл, ні крадених мільярдів та золота. Його скарбом стала радянська наддержава.

Найголовніше: Сталін показав магістральний шлях майбутнього великої Росії(СРСР) і всього людства – суспільство «золотого століття», суспільство соціальної справедливості, служіння та творення. Суспільство, де панує етика совісті, а людина є творцем, творцем, служить Батьківщині та народу. Сталін показав альтернативний шлях розвитку людства. Господарі західного проекту та цивілізації будують несправедливий світовий порядок – глобальну невільницьку, рабовласницьку, кастову цивілізацію, де є купка «господарів життя та грошей», «обраних» яким дозволено все, і які мають доступ до справжнього знання, найпередовіших досягнень науки, техніки, медицини.

А решта людей занурена в морок злиднів, не має доступу до нормальної освіти та охорони здоров'я, постійно одурманюється різними наркотиками: тютюном, алкоголем, важчими дурманами, харчовими сурогатами, інформаційно-віртуальними ілюзіями тощо. Їх термін життя свідомо скорочується, духовний , інтелект та фізичний станпригнічуються, опускаються до рівня двоногих знарядь, худоби.

При цьому західні «еліти» постійно розробляють і втілюють у життя плани щодо скорочення людської «біомаси». Щоб більше ресурсів залишилося «обраним», щоб можна було створити чисту планету, без двоногих «вірусів», що вбивають Землю.

Це і шкідлива їжа, і підсаджування людей на ліки, з придушенням нормального імунітету та відсутністю нормальних програм з фізичного та духовному розвиткулюдей. Це створення суспільства стресу, де люди крутяться як білки в колесі, видобуваючи ресурси для «нормального» життя, але в реальності загрожують психічне і фізичне здоров'я, підсідають на стимулятори та дурмани, щоб тимчасово забути. Це і суспільство споживання, яка губить як планету, її біосферу, так і саму людину, як частину загальної живої системи. Людину перетворюють на тварину-споживача, повністю залежну від «господарів життя». Це і система, спрямована на руйнування відтворення людства – пропаганда абортів, протизаплідних засобів, ідей бездітності, гомосексуальних «шлюбів», різних збочень (збоченці дітей не народжують), віртуальний секс, черги секс-роботи тощо.

За Сталіна в СРСР почали будувати справедливу державу і суспільство, суспільство служіння і творення, суспільство з пануванням етики совісті. Звідси найпотужніший духовний народний порив, який дозволив не тільки створити наддержаву, перемогти в найстрашнішій в історії людства війні, а й ліквідувати всі наслідки найжорстокішої світової бійні, створити соціалістичний табір, що дозволяло протистояти західному світу, що спирається на свої колонії та півколонії. Народна підтримка дозволила збудувати самостійне народне господарство, що постачало всім необхідним радянських людейі навіть підтримувати союзників, створити найкращі у світі збройні сили, виключивши загрозу нового відкритого масштабного нападу на СРСР-Росію на кілька поколінь (більшість жителів Росії живе у світі тільки завдяки цьому фундаменту), створити найкращі у світі науку, освіту, систему, що розкриває творчий, творчий потенціал дітей та молоді та багато іншого.

Простий народ за життя Йосипа Віссаріоновича його обожнював. Про нього співали пісні, ставили йому пам'ятники, його ім'я надавали містам і великим підприємствам. Сталін та його уряд прийняли зруйновану та зруйновану Росію, яка пройшла через катастрофу колишнього проекту розвитку у 1917 році. Більшовики (російські комуністи), всупереч поширеній думці, до цієї катастрофи ставлення практично не мали, вони вже просто взяли владу у загиблої. старої Росії». Запропонували народу новий проект– радянську цивілізацію, яка була на користь переважної частини народу. Зуміли створити радянську наддержаву – повернули велику частинувтрачених у роки смути земель, перемогли Японію та Німеччину, яким програла царська Росія. радянський Союзвключив у свою сферу впливу половину планети, включаючи Китай. За роки правління Сталіна було перебудовано народне господарство, що стало більш ефективним, ніж у країн лідерів капіталістичного світу, створили передові галузі промисловості, які мали лише передові держави – літакобудування, кораблебудування, машинобудування, верстатобудування, хімпром, ВПК, ракетобудування. Створили ядерну зброю та створили фундамент космічної галузі. Ліквідували безробіття, освіта та охорона здоров'я стали безкоштовними та загальнодоступними. Діти з бідних селянських сімей, які не мали жодних шансів при капіталізмі, ставали за соціалізму професорами та маршалами, льотчиками-асами та міністрами.

Під керівництвом Сталіна було виграно Другу світову війну, коли господарі Заходу дозволили взяти владу у Європі німецьким нацистам на чолі з Гітлером. Господарі Заходу злякалися радянського проекту. Росія стала альтернативним центром нового справедливого світового порядку. Симпатії значної частини людства, найкращих людейЗемлі були за «сонячної» радянської цивілізації. В результаті, по суті, було створено «Євросоюз» на чолі з Німеччиною і вся його міць – військово-технічна, демографічна та економічна була кинута проти радянської цивілізації, яка кинула виклик пануванням Заходу над планетою. Однак російська (радянська) армія розгромила сильного та жорстокого ворога. Східна та частина Центральної Європи, включаючи Східну Німеччину, увійшла до сфери впливу Москви Радянський Союз розгромив мілітарну Японію, взявши реванш за ганьбу Російсько-японської війни 1904-1905 рр. і відновивши свій вплив на Далекому Сході. З нашою допомогою в Китаї перемогли комуністи, і Піднебесна визнала СРСР «старшим братом».

Сталін не здригнувся перед атомною загрозою з боку США, які провели криваве «випробування» ядерної зброїв Японії. Москва мала настільки потужні збройні сили, що США та Англія з союзниками не наважилися відразу ж після завершення Другої світової війни, розпочати «гарячу» Третю світову війну(хоча плани були). Незабаром Москва створила свою атомну бомбута швидкими темпами створила першокласний ядерний арсенал. Захід розпочав «холодну» Третю світову війну – інформаційно-ідеологічну, економічну, таємну війнуспецслужб, війну на території інших країн ( Корейська війнаі т.д.).

Тому наші вороги на Заході та російські західники, які зрадили СРСР та ідеали соціалізму, соціальної справедливості, і ненавидять Сталіна. Вони створили масу чорних міфів, щоб оббрехати великого народного вождя. Проте правда знаходить дорогу навіть у атмосфері тотальної брехні. Тому образ Сталіна нині знову популярний у російському народі. У роки його правління люди мали віру в соціальну справедливість, у майбутнє народу і країни. Було створено потужний господарський, науково-технічний, освітній, культурний та військовий фундамент, який дозволив Росії дожити до сьогодення.

Навіть відвертий ворог Союзу та непримиренний антикомуніст, знаменитий британський прем'єр-міністр У. Черчілль, виступаючи у палаті громад 21 грудня 1959 року, у день 80-річчя Сталіна, визнав його видатну рольу світі: «Він був самий видатною особистістю, що імпонує нашому мінливому та жорстокому часу того періоду, в якому проходило його життя. Сталін був людиною надзвичайної енергії та незламної сили волі, різкою, жорстокою, нещадною в розмові, якій навіть я, вихований тут, у британському парламенті, не міг нічого протиставити. Сталін перш за все мав великим почуттямгумору та сарказму та здатністю точно сприймати думки. Ця сила була настільки велика у Сталіні, що він здавався неповторним серед керівників усіх часів та народів. Сталін справив на нас величезне враження. Він мав глибоку, позбавлену всякої паніки, логічно осмислену мудрість. Він був неперевершеним майстром знаходити у важкі моменти шляху вихід із самого безвихідного становища. Крім того, Сталін у найкритичніші моменти, а також у моменти урочистості був однаково стриманий і ніколи не піддавався ілюзіям».