Хтось придумав теорію ймовірності. Теорія ймовірності: формули та приклади розв'язання задач

Класифікація подій на можливі, ймовірні та випадкові. Поняття простого та складного елементарної події. Операції над подіями. Класичне визначення ймовірності випадкової події та її властивості. Елементи комбінаторики теоретично ймовірностей. Геометрична ймовірність. Аксіоми теорії ймовірностей.

Класифікація подій

Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття події. Під подієюрозуміють будь-який факт, який може статися в результаті досвіду чи випробування. Під досвідом, або випробуванням, Зрозуміло здійснення певного комплексу умов.

Приклади подій:

- Потрапляння в ціль при пострілі з зброї (досвід - добуток пострілу; подія - попадання в ціль);
- Випадання двох гербів при триразовому киданні монети (досвід - триразове кидання монети; подія - випадання двох гербів);
- Поява помилки виміру в заданих межах при вимірі дальності до мети (досвід - вимір дальності; подія - помилка виміру).

Можна навести безліч подібних прикладів. Події позначаються великими літерами латинського алфавітуі т.д.

Розрізняють події спільніі несумісні. Події називаються спільними, якщо настання одного з них не виключає настання іншого. В іншому випадку події називаються несумісними. Наприклад, підкидаються дві гральні кістки. Подія - випадання трьох очок на першій гральній кістці, подія - випадання трьох очок на другій кістці. та - спільні події. Нехай до магазину надійшла партія взуття одного фасону та розміру, але різного кольору. Подія - навмання взята коробка виявиться із взуттям чорного кольору, подія - коробка виявиться із взуттям коричневого кольоруі - несумісні події.

Подія називається достовірнимякщо воно обов'язково відбудеться в умовах даного досвіду.

Подія називається неможливим, якщо вона може статися за умов даного досвіду. Наприклад, подія, яка полягає в тому, що з партії стандартних деталей буде взято стандартну деталь, є достовірною, а нестандартна - неможливою.

Подія називається можливим, або випадковимякщо в результаті досвіду воно може з'явитися, але може і не з'явитися. Прикладом випадкової події може бути виявлення дефектів виробу під час контролю партії готової продукції, невідповідність розміру виробу, що обробляється заданому, відмова однієї з ланок автоматизованої системиуправління.

Події називаються рівноможливими, якщо за умовами випробування жодна з цих подій не є більш можливим, ніж інші. Наприклад, нехай магазину постачають електролампочки (причому в рівних кількостях) кілька заводів-виробників. Події, які перебувають у купівлі лампочки будь-якого з цих заводів, є рівноможливими.

Важливим поняттям є повна група подій. Декілька подій у даному досвідіутворюють повну групу, якщо в результаті досвіду обов'язково з'явиться хоча б одна з них. Наприклад, в урні знаходиться десять куль, з них шість червоних куль, чотири білих, причому п'ять куль мають номери. - поява червоної кулі при одному витягуванні; - поява білої кулі; - поява кулі з номером. Події утворюють повну групу спільних подій.

Введемо поняття протилежної, або додаткової, події. Під протилежнимподією розуміється подія, яка обов'язково має відбутися, якщо не настала деяка подія. Протилежні події несумісні та єдино можливі. Вони утворюють повну групу подій. Наприклад, якщо партія виготовлених виробів складається з придатних та бракованих, то при витягуванні одного виробу воно може виявитися або придатним - подія або бракованим - подія.

Операції над подіями

При розробці апарату та методики дослідження випадкових подій у теорії ймовірностей дуже важливим є поняття суми та добутку подій.

Сумою, або об'єднанням, кількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій.

Сума подій позначається так:

Наприклад, якщо подія є попадання в ціль при першому пострілі, подія - при другому, то подія є попадання в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі - першому, другому або при обох разом.

Твором, або перетином, кількох подій називається подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій.

Твір подій позначається

Наприклад, якщо подія є попадання в ціль при першому пострілі, подія - при другому, то подія полягає в тому, що ціль потрапили при обох пострілах.

Поняття суми та твори подій мають наочну геометричну інтерпретацію. Нехай подія полягає в попаданні точки в область, подія - в попаданні в область, тоді подія полягає в попаданні точки в область, заштриховану на рис. 1, і подія - у попаданні точки в область, заштриховану на рис. 2.

Класичне визначення ймовірності випадкової події

Для кількісного порівняння подій за ступенем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події.

Імовірністю події називається число, яке є виразом міри об'єктивної можливості появи події.

Імовірність події позначатимемо символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків , що сприяють йому, із загального числа можливих, рівноможливих і несумісних випадків до ,тобто.

Це класичне визначення ймовірності. Отже, знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, підрахувати загальне їх число , число випадків , сприятливих цієї події, і потім розрахувати за формулою (1.1).

З формули (1.1) випливає, що ймовірність події є невід'ємною кількістю і може змінюватися в межах від нуля до одиниці в залежності від того, яку частку становить сприятливе число випадків від загальної кількості випадків:

Властивості ймовірності

Властивість 1. Якщо всі випадки є сприятливими для цієї події, то ця подія обов'язково відбудеться. Отже, подія, що розглядається, є достовірною, а ймовірність її появи , оскільки в цьому випадку

Властивість 2. Якщо немає жодного випадку, що сприятиме цій події, то ця подія в результаті досвіду відбутися не може. Отже, подія, що розглядається, є неможливим, а ймовірність його появи , так як в цьому випадку :

Властивість 3. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 4. Імовірність наступу протилежної події визначається так само, як і ймовірність наступу, події:

де - число випадків, що сприяють появі протилежної події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю настання події:

Важливе достоїнство класичного визначення ймовірності події у тому, що з допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а з логічних міркувань.

Приклад 1. Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру та набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібну цифру.

Рішення. Позначимо подію, яка полягає в тому, що набрано потрібну цифру. Абонент міг набрати будь-яку з 10 цифр, тому загальна кількість можливих наслідківодно 10. Ці результати єдино можливі (одна з цифр набрано обов'язково) і рівноможливі (цифра набрана навмання). Сприяє події лише один результат (потрібна цифра лише одна). Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до всіх наслідків:

Елементи комбінаторики

Теоретично ймовірностей часто використовують розміщення, перестановки та поєднання. Якщо дано безліч, то розміщенням (поєднанням)з елементів називається будь-яке впорядковане (невпорядковане) підмножина елементів множини . При розміщенні називається перестановкоюіз елементів.

Нехай, наприклад, дано безліч. Розміщеннями з трьох елементів цієї множини по два є , , , , , ; поєднаннями - , , .

Два поєднання відрізняються хоча б одним елементом, а розміщення різняться або самими елементами, або порядком їхнього прямування. Число поєднань з елементів обчислюється за формулою

є число розміщень з елементів ; - Число перестановок з елементів.

Приклад 2. У партії із 10 деталей є 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед взятих навмання 6 деталей рівно 4 стандартних.

Рішення. Загальна кількість можливих результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна видобути 6 деталей з 10, тобто рівно - числу поєднань з 10 елементів по 6. Число результатів, що сприяють події (серед 6 взятих деталей рівно 4 стандартних), визначаємо так: 4 стандартні деталі можна взяти із 7 стандартних деталей способами; при цьому інші деталі мають бути нестандартними; взяти 2 нестандартні деталі з нестандартних деталей можна способами. Отже, кількість сприятливих наслідків дорівнює . Вихідна ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, до всіх наслідків:

Статистичне визначення ймовірності

Формулу (1.1) використовують для безпосереднього обчисленняймовірностей подій лише тоді, коли досвід зводиться до схеми випадків. Насправді часто класичне визначення ймовірності незастосовно з двох причин: по-перше, класичне визначення ймовірності передбачає, що загальна кількість випадків має бути звичайно. Насправді воно часто не обмежене. По-друге, часто неможливо уявити результати досвіду у вигляді рівноможливих і несумісних подій.

Частота появи подій при багаторазово повторюваних Дослідах має тенденцію стабілізуватися біля якоїсь постійної величини. Таким чином, з подією, що розглядається, можна пов'язати деяку постійну величину, біля якої групуються частоти і яка є характеристикою об'єктивного зв'язку між комплексом умов, за яких проводяться досліди, та подією.

Імовірністю випадкової події називається число, біля якого групуються частоти цієї події зі збільшенням числа випробувань.

Це визначення ймовірності називається статистичним.

Перевага статистичного способувизначення ймовірності у тому, що він спирається реальний експеримент. Однак його істотний недолік полягає в тому, що для визначення ймовірності необхідно виконати велику кількість дослідів, які часто пов'язані з матеріальними витратами. Статистичне визначення ймовірності події хоч і досить повно розкриває зміст цього поняття, але з дає можливості фактичного обчислення ймовірності.

У класичному визначенні ймовірності розглядається повна група кінцевого числарівноможливих подій. Насправді дуже часто кількість можливих результатів випробувань нескінченно. У разі класичне визначення ймовірності неприменимо. Однак іноді у подібних випадках можна скористатися іншим методом обчислення ймовірності. Для визначеності обмежимося двовимірним випадком.

Нехай на площині задана деяка область площею , де міститься інша область площею (рис. 3). В область навмання кидається крапка. Чому дорівнює ймовірність того, що точка потрапить до області? При цьому передбачається, що навмання покинута точка може потрапити в будь-яку точку області, і ймовірність потрапити в будь-яку частину області пропорційна площі частини і не залежить від її розташування та форми. У такому разі ймовірність попадання в область

Таким чином, у загальному випадкуякщо можливість випадкової появи точки всередині деякої області на прямій, площині або в просторі визначається не положенням цієї області та її межами, а тільки її розміром, тобто довжиною, площею або об'ємом, то ймовірність попадання випадкової точки всередину певної області визначається як відношення розміру цієї області до розміру всієї області, в якій може з'являтися дана точка. Це є геометричне визначенняімовірності.

Приклад 3. Кругла мета обертається з постійною кутовий швидкістю. П'ята частина мішені забарвлена ​​у зелений колір, а решта – у білий (рис. 4). По мішені проводиться постріл так, що попадання в ціль - подія достовірна. Потрібно визначити ймовірність попадання в сектор мішені, пофарбований у зелений колір.

Рішення. Позначимо - "постріл потрапив у сектор, пофарбований у зелений колір". Тоді. Імовірність отримана як відношення площі частини мішені, забарвленої в зелений колір, до всієї площі мішені, оскільки попадання у будь-які частини мішені рівноможливі.

Аксіоми теорії ймовірностей

З статистичного визначенняймовірності випадкової події слід, що ймовірність події є число, біля якого групуються частоти цієї події, що спостерігаються на досвіді. Тому аксіоми теорії ймовірностей вводяться так, щоб ймовірність події мала основними властивостямичастоти.

Аксіома 1. Кожній події відповідає певна кількість, що задовольняє умову і називається його ймовірністю.

Передісторія теорії ймовірності.

Випадок, випадковість – з ними ми зустрічаємося повсякденно: випадкова зустріч, випадкова поломка, випадкова знахідка, випадкова помилка. Цей ряд можна продовжувати нескінченно. Здавалося б, тут немає місця для математики, але й тут наука виявила цікаві закономірності - вони дозволяють людині впевнено почуватися під час зустрічі з випадковими подіями.
Теорію ймовірностей можна з'ясувати, як розділ математики, у якому вивчаються закономірності властиві випадковим подіям. Методи теорії ймовірностей широко застосовуються при математичній обробці результатів вимірювань, а також у багатьох завданнях економіки, статистики, страхової справи, масового обслуговування. Звідси не важко здогадатися, що і в авіації теорія ймовірностей знаходить дуже широке застосування.
Моя майбутня дисертаційна робота буде пов'язана із супутниковою навігацією. Не тільки в супутникової навігації, Але й у традиційних засобах навігації, теорія ймовірностей одержало дуже широке застосування, оскільки через ймовірність кількісно виражаються більшість експлуатаційно-технічних характеристик радіотехнічних засобів.

Необхідність поняття ймовірності та досліджень у цьому напрямі була історично пов'язана з азартними іграми, особливо з іграми в кістки. До появи поняття ймовірності формулювалися переважно комбінаторні завдання підрахунку кількості можливих результатів при киданні кількох кісток, і навіть завдання розділу ставки між гравцями, коли гра закінчено достроково. Перше завдання при киданні трьох кісток вирішив у 960 році єпископ Віболд з Камбре. Він нарахував 56 варіантів. Однак ця кількість по суті не відображає кількість рівноймовірних можливостей, оскільки кожен із 56 варіантів може реалізуватися різною кількістюметодів. У першій половині 13 століття ці аспекти врахував Рішар де Форніваль. Незважаючи на те, що в нього теж фігурує число 56, але він в міркуванні враховує, що, наприклад, «однакова кількість очок на трьох кістках можна отримати шістьма способами». Грунтуючись з його міркуваннях можна встановити, що кількість рівноможливих варіантів - 216. Надалі багато хто не зовсім правильно вирішували це завдання. Вперше чітко кількість рівноможливих наслідків при підкиданні трьох кісток підрахував Галілео Галілей, зводячи шістку (кількість варіантів випадання однієї кістки) у ступінь 3 (кількість кісток): 6³=216. Він склав таблиці кількості способів отримання різних сум очок.

Завдання другого типу наприкінці 15 століття сформулював і запропонував перше (загалом кажучи помилкове) рішення Лука Пачолі. Його рішення полягало у розподілі ставки пропорційно вже виграним партіям. Істотний подальший поступ на початку 16 століття пов'язаний з іменами італійських учених Джероламо Кардано і Н. Тарталья. Кардано дав правильний підрахунок кількості випадків під час кидання двох кісток (36). Він також вперше співвідніс кількість випадків випадання деякої кількості хоча б на одній кістці (11) до загальному числурезультатів (що відповідає класичному визначеннюймовірності) – 11/36. Аналогічно і трьох кісток він розглядав, наприклад, що дев'ять очок може бути кількістю способів, рівним 1/9 «всієї серії» (тобто загальної кількості рівноможливих результатів - 216). Кардано формально не вводив поняття ймовірності, але по суті розглядав відносну кількість результатів, що насправді еквівалентно розгляду ймовірностей. Необхідно також зазначити, що в зародковому стані у Кардано можна знайти ідеї, пов'язані із законом великих чисел. З приводу завдання поділу ставки Кардано пропонував враховувати кількість партій, що залишилися, які треба виграти. М. Тарталья також зробив зауваження з приводу рішення Луки і запропонував своє рішення (загалом, теж помилкове).

Заслуга Галілея також полягає в розширенні області досліджень на область помилок спостережень. Він уперше вказав на неминучість помилок і класифікував їх на систематичні та випадкові (така класифікація застосовується і зараз).

Виникнення теорії ймовірності як науки.

Теорія ймовірностей - розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їх властивості та операції з них.

Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх віків та перших спроб математичного аналізуазартних ігор (орлянка, кістки, рулетка). Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися у наочних уявленнях. Найкращі ранні роботивчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII віці. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірні закономірності, що виникають при киданні кісток. Під впливом порушених і розглянутих ними питань вирішенням тих самих завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля та Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій запроваджуються основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне очікуваннядля дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використовуються теореми складання та множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657) видання листів Паскаля і Ферма (1679).

Важливий внесок у теорію ймовірностей зробив Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел у найпростішому випадку незалежних випробувань. У першій половині ХІХ століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас та Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття основний внесок зробили російські вчені П. Л. Чебишев, А. А. Марков та А. М. Ляпунов. У цей час було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасний виглядтеорія ймовірностей здобула завдяки аксіоматизації, запропонованій Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. В результаті теорія ймовірностей набула суворого математичний вигляді остаточно стала сприйматися як один із розділів математики.

Теорія ймовірностей виникла в середині XVIIстоліття. Перші роботи з теорії ймовірностей, що належать французьким вченим Б. Паскалю та П. Ферма та голландському вченому X. Гюйгенсу, з'явилися у зв'язку з підрахунком різних ймовірностей в азартних іграх. Великий успіх теорії ймовірностей пов'язані з ім'ям швейцарського математика Я. Бернуллі, який установив закон великих чисел для схеми незалежних випробувань із двома результатами.

Наступний (другий) період історії теорії ймовірностей (XVIII ст. початок ХІХв.) пов'язаний з іменами А. Муавра (Англія), П. Лапласа (Франція), К. Гауса (Німеччина) та С. Пуассона (Франція). Це - період, коли теорія ймовірностей вже знаходить ряд актуальних застосуваньв природознавстві та техніці (головним чином теорії помилок спостережень, що розвинулася у зв'язку з потребами геодезії та астрономії, і в теорії стрільби).

Третій період історії теорії ймовірностей, (друга половина ХІХ ст.) пов'язаний в основному з іменами російських математиків П. Л. Чебишева, А. М. Ляпунова та А. А. Маркова (старшого). Теорія ймовірностей розвивалася в Росії і раніше (у XVIII ст. ряд праць з теорії ймовірності був написаний працювали в Росії Л. Ейлером, Н. Бернуллі та Д. Бернуллі; у другий період розвитку теорії ймовірностей слід відзначити роботи М. В. Остроградського з питань теорії ймовірностей, пов'язаних з математичною статистикою, та В. Я. Буняковського за застосуванням теорії ймовірностей до страхової справи, статистики та демографії).

Теорія імовірності - математична наука, Що дозволяє за ймовірностями одних випадкових подій знаходити ймовірності інших випадкових подій, пов'язаних якимось чином з першими. Твердження про те, що будь-яка подія настає з ймовірністю, що дорівнює, наприклад, ½, ще не уявляє само по собі остаточної цінності, оскільки ми прагнемо до достовірного знання. Остаточну пізнавальну цінність мають ті результати теорії ймовірностей, які дозволяють стверджувати, що ймовірність настання якоїсь події А дуже близька до одиниці або (що те саме) ймовірність не настання події А дуже мала. Відповідно до принципу "нехтування досить малими ймовірностями" таку подію справедливо вважають практично достовірною. Тому можна також сказати, що теорія ймовірностей є математична наука, яка з'ясовує закономірності, що виникають при взаємодії великої кількостівипадкових факторів.

Найбільш поширена в даний час логічна схема побудови основ теорії ймовірностей розроблена в 1933 році радянським математиком А. Н. Колмогоровим.

У 20-х роках. ХХ ст. було виявлено, що навіть у схемі послідовності однаково розподілених та незалежних випадкових величинможуть цілком природним чиномвиникати граничні розподіли, відмінні від нормального.

У Західної Європиу 2-й половині ХІХ ст. отримали великий розвитокроботи з математичної статистики(у Бельгії - А. Кетле, в Англії - Ф. Гальтон) та статистичній фізиці (в Австрії - Л. Больцман), які поряд з основними теоретичними роботамиЧебишева, Ляпунова і Маркова створили основу істотного розширення проблематики теорії ймовірностей в четвертому (сучасному) періоді її розвитку. Цей період історії теорії ймовірностей характеризується надзвичайним розширенням кола її застосувань, створенням кількох систем бездоганно суворого математичного обґрунтування теорії ймовірностей, нових потужних методів, які вимагають іноді застосування (крім класичного аналізу) засобів теорії множин, теорії функцій дійсного змінного та функціонального аналізу. У цей період при дуже великому посиленні роботи з теорії ймовірностей за кордоном (у Франції – Е. Борель, П. Леві, М. Фреше, у Німеччині – Р. Мізес, у США – Н. Вінер, В. Феллер, Дж. Дуб , у Швеції - Г. Крамер) сучасна наукапродовжує займати значне, а в ряді напрямків і провідне становище. В нашій країні новий періодрозвитку теорії ймовірностей відкривається діяльністю С.М. Бернштейна, що значно узагальнив класичні граничні теореми Чебишева, Ляпунова і Маркова і вперше в Росії широко поставив роботу із застосуванням теорії ймовірностей до природознавства їм математичної статистики.

Теорія ймовірностей, подібно до інших розділів математики, розвинулася з потреб практики: абстрактної формивона відбиває закономірності, властиві випадковим подіям масового характеру. Ці закономірності грають виключно важливу рольу фізиці та інших галузях природознавства, найрізноманітніших технічні дисципліни, економіки, соціології, біології У зв'язку з широким розвитком підприємств, які виробляють масову продукцію, результати теорії ймовірностей стали використовуватися не тільки для бракування вже виготовленої продукції, але й для організації процесу виробництва (статистичний контроль у виробництві).

Події, які відбуваються реально або у нашій уяві, можна поділити на 3 групи. Це достовірні події, які обов'язково відбудуться, неможливі події та випадкові події. Теорія ймовірностей вивчає довільні події, тобто. події, які можуть статися чи не відбутися. У цій статті буде представлена ​​в короткому виглядітеорія ймовірності формули та приклади вирішення задач з теорії ймовірності, які будуть у 4 завданні ЄДІ з математики (профільний рівень).

Навіщо потрібна теорія ймовірності

Історично потреба дослідження цих проблем виникла у XVII столітті у зв'язку з розвитком та професіоналізацією азартних ігор та появою казино. Це було реальне явище, яке вимагало свого вивчення та дослідження.

Гра в карти, кістки, рулетку створювала ситуації, коли могло статися будь-яке з кінцевого числа рівноможливих подій. Виникла потреба дати числові оцінкиможливості настання тієї чи іншої події.

У XX столітті з'ясувалося, що ця, начебто, легковажна наука відіграє важливу роль у пізнанні фундаментальних процесів, що протікають у мікросвіті. Була створена сучасна теоріяймовірностей.

Основні поняття теорії ймовірності

Об'єктом вивчення теорії ймовірностей є події та їх ймовірності. Якщо подія є складною, її можна розбити на прості складові, ймовірності яких знайти нескладно.

Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося або подія А, або подія, або події А і В одночасно.

Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося і подія А і подія.

Події А та В називається несумісними, якщо вони не можуть статися одночасно.

Подія А називається неможливою, якщо вона не може статися. Така подія позначається символом.

Подія А називається достовірною, якщо вона обов'язково станеться. Така подія позначається символом.

Нехай кожній події А поставлено у відповідність число P(А). Це число P(А) називається ймовірністю події А, якщо за такої відповідності виконані такі умови.

Важливим окремим випадком є ​​ситуація, коли є рівноймовірні елементарні результати, і довільні з цих результатів утворюють події А. У цьому випадку ймовірність можна ввести за формулою . Імовірність, введена таким чином, називається класичною ймовірністю. Можна довести, що в цьому випадку властивості 1-4 виконані.

Завдання з теорії ймовірностей, що зустрічаються на ЄДІ з математики, в основному пов'язані з класичною ймовірністю. Такі завдання можуть бути дуже простими. Особливо простими є завдання з теорії ймовірностей у демонстраційних варіантах. Легко обчислити число сприятливих наслідків , у умови написано число всіх результатів .

Відповідь отримуємо за формулою.

Приклад завдання з ЄДІ з математики з визначення ймовірності

На столі лежать 20 пиріжків - 5 з капустою, 7 з яблуками та 8 з рисом. Марина хоче взяти пиріжок. Яка ймовірність, що вона візьме пиріжок із рисом?

Рішення.

Усього рівноймовірних елементарних результатів 20, тобто Марина може взяти будь-який із 20 пиріжків. Але нам потрібно оцінити ймовірність того, що Марина візьме пиріжок з рисом, тобто де А — це вибір пиріжка з рисом. Значить у нас кількість сприятливих результатів (виборів пиріжків з рисом) лише 8. Тоді ймовірність визначатиметься за формулою:

Незалежні, протилежні та довільні події

Однак у відкритому банкузавдань стали зустрічатися і більше складні завдання. Тому звернемо увагу читача та інші питання, вивчені теорії ймовірностей.

Події А та В називається незалежними, якщо ймовірність кожного з них не залежить від того, чи відбулася інша подія.

Подія B у тому, що А не відбулося, тобто. подія B є протилежною до події А. Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність прямої події, тобто. .

Теореми складання та множення ймовірностей, формули

Для довільних подійА і ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх спільної події, тобто. .

Для незалежних подій А і В імовірність добутку цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто. в цьому випадку .

Останні 2 твердження називаються теоремами складання та множення ймовірностей.

Не завжди підрахунок числа наслідків є настільки простим. У ряді випадків потрібно використовувати формули комбінаторики. При цьому найбільш важливим є підрахунок числа подій, що задовольняють певним умовам. Іноді такі підрахунки можуть ставати самостійними завданнями.

Скільки способами можна посадити 6 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Для третього учня залишається 4 вільні місця, для четвертого - 3, для п'ятого - 2, шостий займе єдине місце, що залишилося. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір, який позначається 6 символом! і читається "шість факторіал".

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа перестановок з п елементів У нашому випадку.

Розглянемо тепер інший випадок із нашими учнями. Скільки способами можна посадити 2 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір.

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа розміщень з n елементів по k елементам

У нашому випадку .

І останній випадокіз цієї серії. Скільки можна вибрати трьох учнів з 6? Першого учня можна вибрати 6 способами, другого – 5 способами, третього – чотирма. Але серед цих варіантів 6 разів зустрічається та сама трійка учнів. Щоб визначити число всіх варіантів, треба обчислити величину: . У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа поєднань з елементів за елементами:

У нашому випадку .

Приклади розв'язання задач з ЄДІ з математики визначення ймовірності

Завдання 1. Зі збірки під ред. Ященко.

На тарілці 30 пиріжків: 3 з м'ясом, 18 з капустою та 9 з вишнею. Сашко навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.

.

Відповідь: 0,3.

Завдання 2. Зі збірки під ред. Ященко.

У кожній партії з 1000 лампочок загалом 20 бракованих. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята лампочка з партії буде справною.

Рішення: Кількість справних лампочок 1000-20 = 980. Тоді ймовірність того, що взята навмання лампочка з партії буде справною.

Відповідь: 0,98.

Імовірність того, що на тестуванні з математики учень У. правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що У. правильно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,73. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 9 задач.

Якщо ми уявімо числову пряму і на ній відзначимо точки 8 і 9, то побачимо, що умова «У. вірно вирішить рівно 9 завдань» входить до умови «У. правильно вирішить більше 8 завдань», але не належить до умови «У. правильно вирішить більше 9 завдань».

Однак умова «У. вірно вирішить більше 9 завдань» міститься за умови «У. правильно вирішить понад 8 завдань». Отже, якщо ми позначимо події: «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» - через А, «У. правильно вирішить більше 8 завдань» - через B, «У. вірно вирішить більше 9 завдань через С. То рішення буде виглядати наступним чином:

Відповідь: 0,06.

На іспиті з геометрії школяр відповідає на одне запитання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Тригонометрія», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути», дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

Давайте подумаємо, які у нас дані події. Нам дано дві несумісні події. Тобто або питання ставитиметься до теми «Тригонометрія», або до теми «Зовнішні кути». За теоремою ймовірності ймовірність несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події, ми повинні знайти суму ймовірностей цих подій, тобто:

Відповідь: 0,35.

Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,29. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.

Розглянемо можливі події. У нас є три лампочки, кожна з яких може перегоріти або не перегоріти незалежно від будь-якої іншої лампочки. Це незалежні події.

Тоді зазначимо варіанти таких подій. Приймемо позначення: лампочка горить, лампочка перегоріла. І одразу поруч підрахуємо ймовірність події. Наприклад, ймовірність події, в якій відбулися три незалежні події «лампочка перегоріла», «лампочка горить», «лампочка горить»: де ймовірність події «лампочка горить» підраховується як ймовірність події, протилежної події «лампочка не горить», а саме: .

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за - кількість сприятливих наслідків, а за - Загальна кількістьрезультатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії(У нас така дія - це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одну з дверей, але нам відчинив незнайома людина. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо все можливі варіанти:

1. Орел-орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо за умови просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовностінезалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Приклад 6.

Гральна кісткакидають двічі, яка ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають ймовірність латинською літерою(мабуть, від англійського слова probability - ймовірність).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. теми та ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральної кісткоюймовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки і різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Імовірність. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правилоназивається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до повної ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстіву них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!