Стаціонарний випадковий процес. "Стаціонарний випадковий процес" у книгах

Насправді часто зустрічаються випадкові процеси, які у часі приблизно однорідно і мають вигляд безперервних випадкових коливань навколо деякого середнього значення, причому ні середня амплітуда, ні характеру цих коливань не виявляють істотних змін із часом. Такі випадкові процеси називаються стаціонарними.

Як приклади стаціонарних випадкових процесів можна навести: 1) коливання літака на режимі горизонтального польоту, що встановився; 2) коливання напруги в електричній освітлювальній мережі; 3) випадкові шуми у радіоприймачі; 4) процес хитавиці корабля тощо.

Кожен стаціонарний процес можна як тривалий у часі невизначено довго; при дослідженні стаціонарного процесуяк початок відліку можна вибрати будь-який момент часу. Досліджуючи стаціонарний процес на будь-якій ділянці часу, ми повинні отримати ті самі його характеристики. Образно кажучи, стаціонарний процес «не має ні початку, ні кінця».

Прикладом стаціонарного випадкового процесу може бути зміна висоти центру тяжкості літака на режимі горизонтального польоту, що встановився (рис. 17.1.1).

На противагу стаціонарним випадковим процесам можна вказати інші, явно нестаціонарні, випадкові процеси, наприклад: коливання літака в режимі пікірування; процес загасаючих коливань у електричного ланцюга; процес горіння порохового заряду в реактивній камері і т. д. Нестаціонарний процес характерний тим, що має певну тенденцію розвитку в часі; Показники такого процесу залежать від початку відліку, залежать від часу.

На рис. 17.1.2 зображено сімейство реалізацій явно нестаціонарного випадкового процесу – процесу зміни тяги двигуна реактивного снаряда у часі.

Зауважимо, що далеко не всі нестаціонарні випадкові процеси є суттєво нестаціонарними протягом усього свого розвитку. Існують нестаціонарні процеси, які (на відомих відрізках часу та з відомим наближенням) можуть бути прийняті за стаціонарні.

Наприклад, процес наведення перехрестя авіаційного прицілу на ціль є явно нестаціонарний процес, якщо ціль короткий часз великою і різко мінливою кутовий швидкістюпроходить поле зору прицілу. В цьому випадку коливання осі прицілу щодо мети не встигають встановити в деякому стабільному режимі; процес починається і закінчується, не встигнувши набути стаціонарного характеру. Навпаки, процес наведення перехрестя приціла на нерухому або рухається з постійною кутовою швидкістю мета через деякий час після початку стеження набуває стаціонарного характеру.

Взагалі, як правило, випадковий процес у будь-якій динамічної системипочинається з нестаціонарної стадії – з так званого «перехідного процесу». Після згасання перехідного процесу система зазвичай переходить на режим, і тоді випадкові процеси, які у ній, можуть вважатися стаціонарними.

Стаціонарні випадкові процеси дуже часто зустрічаються у фізичних та технічних завданнях. За своєю природою ці процеси простіше, ніж нестаціонарні, і описуються простішими характеристиками. Лінійні перетвореннястаціонарних випадкових процесів також зазвичай здійснюються простіше, ніж нестаціонарних. У зв'язку з цим на практиці отримала широке застосування спеціальна теоріястаціонарних випадкових процесів, або, точніше, теорія стаціонарних випадкових функцій (бо аргументом стаціонарної випадкової функціїв загальному випадкуможе бути не час). Елементи цієї теорії і будуть викладені у цьому розділі.

Випадкова функція називається стаціонарною, якщо всі її імовірнісні характеристики не залежать від (точніше, не змінюються за будь-якого зрушення аргументів, від яких вони залежать, по осі).

У цьому елементарному викладі теорії випадкових функцій ми зовсім не користуємося такими ймовірнісними характеристиками, як закони розподілу: єдиними характеристиками, якими ми користуємося, є математичне очікування, дисперсія та кореляційна функція. Сформулюємо визначення стаціонарної випадкової функції термінах цих характеристик.

Оскільки зміна стаціонарної випадкової функції має протікати однорідно за часом, то природно вимагати, щоб стаціонарної випадкової функції математичне очікування було постійним:

. (17.1.1)

Зауважимо, однак, що ця вимога не є суттєвою: ми знаємо, що від випадкової функції завжди можна перейти до центрованої випадкової функції , для якої математичне очікування тотожно дорівнює нулю і, отже, задовольняє умову (17.1.1). Таким чином, якщо випадковий процес нестаціонарний лише за рахунок змінного математичного очікування, це не заважає вивчати його як стаціонарний процес.

Друга умова, якій, очевидно, має задовольняти стаціонарна випадкова функція, - це умова сталості дисперсії:

. (17.1.2)

Встановимо, якій умові має задовольняти кореляційна функція стаціонарної випадкової функції. Розглянемо довільну функцію (рис. 17.1.3).

Покладемо у виразі та розглянемо - кореляційний момент двох перерізів випадкової функції, розділених інтервалом часу. Очевидно, якщо випадковий процес справді стаціонарний, то цей кореляційний момент не повинен залежати від того, де саме на осі ми взяли ділянку, а має залежати лише від довжини цієї ділянки. Наприклад, для ділянок та на рис. 17.1.3, що мають ту саму довжину, значення кореляційної функції і повинні бути однаковими. Взагалі кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу повинна залежати не від положення першого аргументу на осі абсцис, а тільки від проміжку між першим і другим аргументами:

. (17.1.3)

Отже кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу є функція не двох, а всього одного аргументу. Ця обставина часом спрощує операції над стаціонарними випадковими функціями.

Зауважимо, що умова (17.1.2), що вимагає від стаціонарної випадкової функції сталості дисперсії, є окремим випадком умови (17.1.3). Дійсно, вважаючи у формулі (17.1.3) маємо

Таким чином, умова (17.1.3) є єдиною істотною умовою, якій повинна задовольняти стаціонарна випадкова функція.

Тому надалі ми під стаціонарною випадковою функцією розумітимемо таку випадкову функцію, кореляційна функція якої залежить не від обох своїх аргументів і, а лише від різниці між ними. Щоб не накладати спеціальних умовна математичне очікування, ми розглядатимемо лише центровані випадкові функції.

Ми знаємо, що кореляційна функція будь-якої випадкової функції має властивість симетрії:

.

Звідси для стаціонарного процесу, маючи на увазі, маємо:

, (17.1.5)

тобто кореляційна функція є парна функціясвого аргументу. Тому зазвичай кореляційну функцію визначають лише позитивних значень аргументу (рис. 17.1.4).

На практиці замість кореляційної функції часто користуються нормованою кореляційною функцією.

де - Постійна дисперсія стаціонарного процесу. Функція не що інше, як коефіцієнт кореляції між перерізами випадкової функції, розділеними інтервалом за часом. Очевидно, що .

Як приклади розглянемо два зразки приблизно стаціонарних випадкових процесів та побудуємо їх характеристики.

Приклад 1. Випадкова функція задана сукупністю 12 реалізацій (рис. 17.1.5).

а) Знайти її характеристики, і нормовану кореляційну функцію. б) Наближено розглядаючи випадкову функцію як стаціонарну, визначити її характеристики.

Рішення. Так як випадкова функція змінюється порівняно плавно, можна брати перерізи не дуже часто, наприклад, через 0,4 сек. Тоді випадкова функція буде зведена до системи семи випадкових величин, що відповідають перерізам. Намічаючи ці перерізи на графіку та знімаючи з графіка значення випадкової функції у цих перерізах, отримаємо таблицю (табл. 17.1.1).

Таблиця 17.1.1

На графіку рис. 17.1.5 Математичне очікування показане жирною лінією.

Далі знаходимо оцінки для елементів кореляційної матриці: дисперсій та кореляційних моментів. Обчислення найзручніше проводити за наступною схемою. Для обчислення статистичної дисперсії підсумовуються квадрати чисел, що стоять у відповідному стовпці; сума ділиться на; з результату віднімається квадрат відповідного математичного очікування. Для отримання несмещенной оцінки результат множиться на поправку. Аналогічно оцінюються кореляційні моменти. Для обчислення статистичного моменту, що відповідає двом заданим перерізам, перемножуються числа, що стоять у відповідних стовпцях; твори складаються алгебраїчно; отримана сума ділиться на ; з результату віднімається твір відповідних математичних очікувань; для отримання незміщеної оцінки кореляційного моментурезультат множиться на . При виконанні розрахунків на лічильній машині чи арифмометрі проміжні результати множень не записуються, а безпосередньо підсумовуються. Отримана у такий спосіб кореляційно матриця системи випадкових величин - вона ж таблиця значень кореляційної функції - наведена у таблиці 17.1.2.

Таблиця 17.1.2.

По головній діагоналі таблиці стоять оцінки дисперсій:

Витягуючи з цих величин квадратне коріння, знайдемо залежність середнього квадратичного відхиленнявід часу:

Для значення, що стоять у табл. 17.1.2 на твори відповідних середніх квадратичних відхилень отримаємо таблицю значень нормованої кореляційної функції (табл. 17.1.3).

Таблиця 17.1.3

Насправді часто зустрічаються випадкові процеси, які у часі приблизно однорідно і мають вигляд безперервних випадкових коливань навколо деякого середнього значення, причому ні середня амплітуда, ні характеру цих коливань не виявляють істотних змін із часом. Такі випадкові процеси називаються стаціонарними.

Як приклади стаціонарних випадкових процесів можна навести: випадкові шуми в радіо; процес хитавиці корабля і т. п. Кожен стаціонарний процес можна розглядати як триває в часі невизначено довго; при дослідженні стаціонарного процесу як початок відліку можна вибрати будь-який момент часу. Досліджуючи стаціонарний процес на будь-якій ділянці часу, ми повинні отримати ті самі його характеристики. Образно кажучи, стаціонарний процес «не має ні початку, ні кінця».

Випадковий процесназивається стаціонарниму строгому (вузькому) значенні, якщо його функція розподілу будь-якого порядку не змінюється при зрушенні сукупності точок на величину , тобто. Інакше кажучи, для стаціонарного процесу функція розподілу будь-якого порядку і, отже, його показники залежить від становища початку відліку часу. Стаціонарність означає статистичну однорідність процесу у часі. Фізично стаціонарний випадковий процес є випадковийпроцес у режимі.

Якщо наведена вище умова не виконується, процес називається нестаціонарним.Зауважимо, що далеко не всі нестаціонарні випадкові процеси є суттєво нестаціонарними протягом усього свого розвитку. Існують нестаціонарні процеси, які (на відомих відрізках часу та з відомим наближенням) можуть бути прийняті за стаціонарні.

З визначення стаціонарного процесу випливає, тобто. одномірна функція розподілу взагалі залежить від часу, а двовимірна функціярозподіли залежать тільки від різниць часів. Звідси випливає, що для стаціонарного випадкового процесу середнє значення та дисперсія є постійними величинами, тобто. не залежить від часу, а кореляційна функція такого процесу залежить лише від однієї змінної

Випадковий процес називають стаціонарнимв широкому значенні, якщо його середнє значення та дисперсія не залежать від часу, а кореляційна функція залежить лише від різниці часів. Стаціонарність у сенсі не тотожна строгому визначеннюстаціонарності. Випадкові процеси, стаціонарні у сенсі, завжди стаціонарні у сенсі, але з навпаки.

Визначення [ | ]

де T (\displaystyle T)довільна множина випадковою функцією .

Термінологія [ | ]

Ця класифікація несувора. Зокрема термін «випадковий процес» часто використовується як безумовний синонім терміна «випадкова функція».

Класифікація [ | ]

• Випадковий процес X(t) (\displaystyle X(t))називається процесом дискретним у часіякщо система, в якій він протікає, змінює свої стани тільки в моменти часу t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), Число яких звичайно або лічильно. Випадковий процес називається процесом з безперервним часом якщо перехід зі стану в стан може відбуватися в будь-який момент часу.
• Випадковий процес називається процесом з безперервними станамиякщо значенням випадкового процесу є безперервна випадкова величина. Випадковий процес називається випадковим процесом із дискретними станамиякщо значенням випадкового процесу є дискретна випадкова величина:
• Випадковий процес називається стаціонарним, якщо все багатовимірні законирозподіли залежать тільки від взаємного розташуваннямоментів часу t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n))але не від самих значень цих величин. Іншими словами, випадковий процес називається стаціонарним, якщо його ймовірні закономірності незмінні в часі. Інакше він називається нестаціонарним.
• Випадкова функція називається стаціонарної в широкому значенні, якщо її математичне очікування і дисперсія постійні, а АКФ залежить від різниці моментів часу, котрим взяті ординати випадкової функції. Поняття ввів А. Я. Хінчін.
• Випадковий процес називається процесом зі стаціонарними збільшеннями певного порядку, якщо імовірнісні закономірності такого збільшення незмінні у часі. Такі процеси були розглянуті Ягломом.
• Якщо ординати випадкової функції підпорядковуються нормальному закону розподілу, то й сама функція називається нормальною.
• Випадкові функції, закон розподілу ординат яких у майбутній моментчасу повністю визначається значенням ординати процесу теперішній моментчасу і не залежить від значень ординат процесу в попередні моменти часу, називаються марківськими.
• Випадковий процес називається процесом із незалежними приростами, якщо для будь-якого набору t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), де n > 2 (\displaystyle n>2), а t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , випадкові величини (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots ), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))))незалежні разом.
• Якщо при визначенні моментних функцій стаціонарного випадкового процесу операцію усереднення статистичного ансамблю можна замінити усередненням за часом, то такий стаціонарний випадковий процес називається ергодичним .
• Серед випадкових процесів виділяють імпульсні випадкові процеси.

Траєкторія випадкового процесу[ | ]

Нехай дано випадковий процес ( X t ) t ∈ T (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). Тоді для кожного фіксованого t ∈ T (\displaystyle t\in T) X t (\displaystyle X_(t))- Випадкова величина, звана перетином. Якщо фіксований елементарний результат ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), то X t: T → R (\displaystyle X_(t)\colon T\to \mathbb (R) )- Детермінована функція параметра t (\displaystyle t). Така функція називається траєкторієюабо реалізацієювипадкової функції ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)).

Визначення. Випадковим процесом Х(t) називається процес, значення якого за будь-якого значення аргументу tє випадковою величиною.

Насправді часто зустрічаються випадкові процеси, які у часі приблизно однорідно і мають вигляд випадкових коливань навколо деякого середнього значення, причому ні середня амплітуда, ні характер цих коливань істотно змінюються з часом. Такі випадкові процеси називаються стаціонарними. Прикладами стаціонарних випадкових процесів можуть служити коливання літака на режимі горизонтального польоту, що встановився, коливання напруги в електричному ланцюгу, випадкові шуми в радіоприймачі, процес хитавиці корабля, і т.д.

Кожен стаціонарний процес можна розглядати як триває в часі безперервно довго, і при дослідженні стаціонарного процесу як початок відліку можна вибрати будь-який момент часу. Досліджуючи стаціонарний процес на будь-якій ділянці часу, ми повинні отримати ті самі його характеристики.

Як правило, випадковий процес у будь-якій динамічній системі починається з нестаціонарної стадії, після чого система зазвичай переходить у режим, і тоді процеси, що відбуваються в ній, можна вважати стаціонарними. У зв'язку з цим набула широкого застосування теорія стаціонарних випадкових процесівабо, точніше, теорія стаціонарних випадкових функцій(оскільки аргументом стаціонарної випадкової функції у випадку може і час).

Визначення . Випадкова функція Х(t) називається стаціонарний якщо всі її ймовірні характеристики не залежать від t(точніше, не змінюються за будь-якого зрушення аргументів, від яких вони залежать, по осі t).

У попередньому розділі щодо випадкових функцій ми користувалися такими ймовірнісними характеристиками, як закони розподілу: вивчалися лише математичне очікування, дисперсія і кореляційна функція. Сформулюємо визначення стаціонарної випадкової функції термінах цих характеристик.

Оскільки зміна стаціонарної випадкової функції має протікати однорідно за часом, природно вимагати, щоб її математичне очікування було постійним:

m x(t) = m x = const.

Звернемо увагу, однак, на те, що ця вимога не є суттєвою: ми знаємо, що від випадкової функції Х(t) завжди можна перейти до центрованої випадкової функції , на яку математичне очікування тотожно дорівнює нулю. Отже, якщо випадковий процес нестаціонарний лише з допомогою математичного очікування, це не заважає вивчати його як стаціонарний.

Друга умова, якій, очевидно, має задовольняти стаціонарна випадкова функція, - це умова сталості дисперсії:

D x(t) = D x = const.

Тепер встановимо, яку умову має задовольняти кореляційна функція стаціонарної випадкової функції. Розглянемо випадкову функцію Х(t) і покладемо у виразі K x(t 1 , t 2) t 2 = t 1 + τ . Розглянемо тепер K x(t 1 , t 1 + τ ) – кореляційний момент двох перерізів випадкової функції, розділених інтервалом часу τ . Очевидно, якщо випадковий процес справді стаціонарний, то цей кореляційний момент не повинен залежати від того, де саме на осі 0tми взяли ділянку τ , а лише від довжиницієї ділянки. Тобто кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу повинна залежати тільки від проміжку між першим і другим аргументами

K x(t 1 , t 1 + τ ) = k x(τ ).

Т.ч., кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу є функція одного аргументу, що спрощує операції над стаціонарними випадковими функціями.

Зауважимо, що сталість дисперсії є окремим випадком наведеної формули, т.к. D x(t) = K x(t, t) = k x(0) = const.

Таким чином, переформулюємо за допомогою вищенаведених міркувань визначення стаціонарної випадкової функції - це випадкова функція Х(t), математичне очікування якої постійно при всіх значеннях аргументу tта кореляційна функція якої залежить лише від різниці аргументів t 2 - t 1 . При цьому кореляційна функція є функцією одного аргументу, а дисперсія дорівнює значенню кореляційної функції на початку координат (при τ = t 2 - t 1 = 0).

Властивості кореляційної функції стаціонарної функції.

1 0 . Кореляційна функція стаціонарної випадкової функції – парна функція: k x(τ ) = k x(-τ ). Це випливає з того, що K x(t 1 , t 2) = K x(t 2 , t 1).

2 0 . Абсолютна величина кореляційної функції стаціонарної випадкової функції не перевищує її значення на початку координат: | k x(τ )| ≤ k x(0).

Насправді замість кореляційної функції k x(τ ) часто користуються нормованою кореляційною функцією:

ρ x(τ ) = ,

де D x = k x(0) – постійна дисперсія стаціонарного процесу. Очевидно, що ρ x(0) ≡ 1.

Введемо ще одне поняття, пов'язане зі стаціонарністю.

Визначення . Дві випадкові функції називаються стаціонарно пов'язаними якщо їх взаємна кореляційна функція залежить тільки від різниці аргументів.

Звернімо увагу на те, що не всякі дві стаціонарні функції стаціонарно пов'язані; з іншого боку, дві нестаціонарні функції може бути стаціонарно пов'язані.

важливий спеціальний клас випадкових процесів (Див. Випадковий процес) , що часто зустрічається в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства та техніки. Випадковий процес X(t) називається стаціонарним, якщо всі його імовірнісні характеристики не змінюються з часом t(так що, наприклад, розподіл ймовірностей величини X(t) при всіх tє одним і тим же, а спільний розподіл ймовірностей величин X(t 1) та X(t 2) залежить тільки від тривалості проміжку часу t 2 -t 1 ,тобто розподілу пар величин (X(t 1), X(t 2)} і ( X(t 1 + s), X(t 2 + s)) однакові за будь-яких t 1 , t 2і sі т.д.).

Схема С. с. п. з гарним наближенням описує багато реальних явищ, що супроводжуються невпорядкованими флуктуаціями. Так, наприклад, пульсації сили струму або напруги в електричному ланцюзі (електричний шум) можна розглядати як С. с. п., якщо ця ланцюг знаходиться в стаціонарному режимі, тобто якщо всі її макроскопічні характеристики і всі умови, що викликають протікання через неї струму, не змінюються в часі; пульсації швидкості в точці турбулентної течії є С. с. п., якщо не змінюються загальні умови, що породжують перебіг течії (тобто перебіг є встановився), і т.д. Ці та інші приклади С. с. п., що зустрічаються у фізиці (зокрема, гео- та астрофізиці), механіці та техніці, стимулювали розвиток досліджень у галузі С. с. п.; при цьому суттєвими виявилися також деякі узагальнення поняття С. с. п. (наприклад, поняття випадкового процесу зі стаціонарними збільшеннями заданого порядку, узагальненого С. с. п. та однорідного випадкового поля).

У математичній теорії С. с. п. основну роль відіграють моменти розподілу ймовірностей значень процесу X(t), є найпростішими числовими характеристиками цих розподілів. Особливо важливими є моменти перших двох порядків: середнє значення С. с. п. E X(t)= m -математичне очікування випадкової величини X(t) та кореляційна функція С. с. п. E X(t 1) X(t 2)= B(t 2 -t 1) - математичне очікування твору X(t 1)X(t 2) (просто виражається через дисперсію величин X(t) та коефіцієнт кореляції між X(t 1) та X(t 2); див. Кореляція). У багатьох математичних дослідженнях, присвячених С. ​​с. п., взагалі вивчаються ті їх властивості, які повністю визначаються лише характеристиками mі В (τ) (т. н. кореляційна теорія С. с. п.). У зв'язку з цим випадкові процеси X(t), мають постійне середнє значення E X(t)= mі кореляційну функцію ( t 2 , t 1) = E X(t 1) X(t 2), залежить тільки від t 2 - t 1часто називають С. с. п. у широкому значенні (а більш окремі випадкові процеси, всі характеристики яких не змінюються з часом, у такому випадку називаються С. с. п. у вузькому сенсі).

Велике місце у математичній теорії С. с. п. займають дослідження, що спираються на розкладання випадкового процесу X(t) та його кореляційної функції B ( t 2 -t 1) = (τ) в інтеграл Фур'є, або Фур'є - Стілтьєса (див. Фур'є інтеграл) . Основну роль при цьому відіграє теорема Хінчина, за якою кореляційна функція С. с. п. X(t) завжди може бути представлена ​​у вигляді

де F(λ) - монотонно неубутня функція λ (а інтеграл праворуч - це інтеграл Стілтьєса); якщо ж (τ) досить швидко убуває при |τ|→∞ (як це найчастіше і буває в додатках за умови, що під X(t) розуміється насправді різниця X(t) - m), то інтеграл у правій частині (1) звертається до звичайного інтегралу Фур'є:

де f(λ) = F’(λ) - Невід'ємна функція. Функція F(λ) звана спектральною функцією С. с. п. X(t), а функція F(λ) [у випадках, коли має місце рівність (2)] – його спектральною щільністю. З теореми Хінчина випливає також, що процес X(t) допускає Спектральне розкладання виду

де Z(λ) - випадкова функція з некорельованими приростами, а інтеграл праворуч розуміється як межа в середньому квадратичному відповідної послідовності інтегральних сум. Розкладання (3) дає підставу розглядати будь-який С. с. п. X(t) як накладання некорельованих один з одним гармонійних коливань різних частот з випадковими амплітудами та фазами; при цьому спектральна функція F(λ) та спектральна щільність f(λ) визначають розподіл середньої енергії, що входять до складу X(t) гармонічних коливань за спектром частот λ (у зв'язку з чим у прикладних дослідженнях функція f(λ) часто називається також енергетичним спектром або спектром потужності С. с. п. X(t)).

Виділення поняття С. с. п. і отримання перших математичних результатів, що відносяться до нього, є заслугою Є. Є. Слуцького і відносяться до кінця 20-х і початку 30-х рр. н. 20 ст. Надалі важливі роботи з теорії С. с. п. були виконані А. Я. Хінчіним , А. Н. Колмогоровим , Г. Крамером , М. Вінером та ін.

Літ.:Слуцький Є. Є., Ізбр. тр., М., 1960; Хінчін А. Я., Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів, «Успіхи математичних наук», 1938, ст. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стаціонарні випадкові процеси, М., 1963; Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А., Теорія ймовірностей. (Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси), 2 видавництва, М., 1973; Гіхман І. І., Скороход А. Ст, Теорія випадкових процесів, т. 1, М., 1971; Хеннан Е., Багатомірні часові ряди, пров. з англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

• - ф-ція безперервного часу, значення якої в кожний момент є випадковою величиною, т....

  Фізична енциклопедія

• - Комплекснозначна випадкова функція дійсного параметра t, що допускає подання у вигляді стохастичного інтеграла де - випадковий процес. Прирощення задають випадкові "амплітуду" і "фазу"...

  Математична енциклопедія

• - стохастичний процес, що є вимірним Х = Xt) щодо опціональної s-алгебри = А. Н. Ширяєв...

  Математична енциклопедія

• - стохастичний процес, що є вимірним щодо передбачуваної -алгебри А. Н. Ширяєв...

  Математична енциклопедія

• - однорідний у часі випадковий процес, - випадковий процес X, статистич...

  Математична енциклопедія

• - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого можуть змінюватися по ходу спостережень в залежності від поставленої мети, що полягає в мінімізації того чи іншого функціоналу, що визначає якість...

  Математична енциклопедія

• - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого не змінюються з часом...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - він імовірнісний, чи стохастичний, процес зміни у часі стану чи характеристик деякої системи під впливом різних випадкових чинників...

  Початки сучасного Природознавства

• - Функція 2-х аргументів X = X; - безліч елементарних подій, - параметр, який зазвичай інтерпретується як час. Для кожного tX - функція тільки і являє собою випадкову величину. Для фіксованого ω...

  Геологічна енциклопедія

• - імовірнісний, стохастичний, - процес, перебіг якого може бути різним залежно від випадку і для якого існує ймовірність тієї чи іншої течії.

  Великий енциклопедичний політехнічний словник

• - Дивись стаціонарний процес...

  Енциклопедичний словник з металургії

• - функція, яка при зміні параметра часу набуває випадкового значення.

  Словник бізнес термінів

• - процес, протягом якого може бути різним залежно від випадку та для якого визначено ймовірність того чи іншого його течії. Типовим прикладом С. п. може бути Броунівський рух.
• - важливий спеціальний клас випадкових процесів, що часто зустрічається в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства та техніки.

  Велика Радянська Енциклопедія

• - ВИПАДКОВИЙ процес, процес зміни в часі стану або характеристик деякої системи під впливом різних випадкових факторів, для якого визначено ймовірність того чи іншого його перебігу.
• - СТАЦІОНАРНИЙ ВИПАДКОВИЙ процес - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого не змінюються з часом...

  Великий енциклопедичний словник

"Стаціонарний випадковий процес" у книгах

6. Випадковий інструментарій

6. Випадковий інструментарій Зміна та обмеження в еволюції тварин З усіх відмінностей між нами та нашими амебоподібними предками, які жили мільярд років тому, найголовніше полягає в тому, що у нас є тіло. Ми складаємося не з однієї, а з трильйонів клітин. І цей

Стаціонарний фонтан