Стаціонарні випадкові процеси. Стаціонарні та нестаціонарні випадкові процеси

Стаціонарний випадковий процес

важливий спеціальний клас випадкових процесів (Див. Випадковий процес) , що часто зустрічається в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства та техніки. Випадковий процес X(t) називається стаціонарним, якщо всі його імовірнісні характеристики не змінюються з часом t(так що, наприклад, розподіл ймовірностей величини X(t) при всіх tє одним і тим же, а спільний розподілймовірностей величин X(t 1) та X(t 2) залежить тільки від тривалості проміжку часу t 2 -t 1 ,тобто розподілу пар величин (X(t 1), X(t 2)} і ( X(t 1 + s), X(t 2 + s)) однакові за будь-яких t 1 , t 2і sі т.д.).

Схема С. с. п. з хорошим наближенням описує багато реальні явища, що супроводжуються невпорядкованими флуктуаціями Так, наприклад, пульсації сили струму або напруги в електричного ланцюга(Електричний «шум») можна розглядати як С. с. п., якщо ця ланцюг знаходиться в стаціонарному режимі, тобто якщо всі її макроскопічні характеристики і всі умови, що викликають протікання через неї струму, не змінюються в часі; пульсації швидкості в точці турбулентної течії є С. с. п., якщо не змінюються Загальні умови, що породжують перебіг течії (тобто перебіг є встановився), і т.д. Ці та інші приклади С. с. п., що зустрічаються у фізиці (зокрема, гео- та астрофізиці), механіці та техніці, стимулювали розвиток досліджень у галузі С. с. п.; при цьому суттєвими виявилися також деякі узагальнення поняття С. с. п. (наприклад, поняття випадкового процесу зі стаціонарними збільшеннями заданого порядку, узагальненого С. с. п. та однорідного випадкового поля).

У математичної теоріїС. с. п. основну роль відіграють моменти розподілу ймовірностей значень процесу X(t), є найпростішими числовими характеристикамицих розподілів. Особливо важливими є моменти перших двох порядків: середнє значення С. с. п. E X(t)= m -математичне очікування випадкової величини X(t) та кореляційна функція С. с. п. E X(t 1) X(t 2)= B(t 2 -t 1) - математичне очікування твору X(t 1)X(t 2) (просто виражається через дисперсію величин X(t) та коефіцієнт кореляції між X(t 1) та X(t 2); див. Кореляція). В багатьох математичних дослідженнях, присвячених С. ​​с. п., взагалі вивчаються ті їх властивості, які повністю визначаються лише характеристиками mі В (τ) (т. н. кореляційна теорія С. с. п.). В зв'язку з цим випадкові процеси X(t), мають постійне середнє значення E X(t)= mі кореляційну функцію ( t 2 , t 1) = E X(t 1) X(t 2), залежить тільки від t 2 - t 1часто називають С. с. п. в широкому значенні(а більш окремі випадкові процеси, всі характеристики яких не змінюються з часом, у такому випадку називаються С. с. п. у вузькому сенсі).

Велике місце у математичній теорії С. с. п. займають дослідження, що спираються на розкладання випадкового процесу X(t) та його кореляційної функції B ( t 2 -t 1) = (τ) в інтеграл Фур'є, або Фур'є - Стілтьєса (див. Фур'є інтеграл) . Основну роль при цьому відіграє теорема Хінчина, за якою кореляційна функція С. с. п. X(t) завжди може бути представлена ​​у вигляді

де F(λ) - монотонно неубутня функція λ (а інтеграл праворуч - це інтеграл Стілтьєса); якщо ж (τ) досить швидко убуває при |τ|→∞ (як це найчастіше і буває в додатках за умови, що під X(t) розуміється насправді різниця X(t) - m), то інтеграл у правій частині (1) звертається до звичайного інтегралу Фур'є:

де f(λ) = F’(λ) - Невід'ємна функція. Функція F(λ) звана спектральною функцією С. с. п. X(t), а функція F(λ) [у випадках, коли має місце рівність (2)] – його спектральною щільністю. З теореми Хінчина випливає також, що процес X(t) допускає Спектральне розкладання виду

де Z(λ) - випадкова функція з некорельованими приростами, а інтеграл праворуч розуміється як межа в середньому квадратичному відповідної послідовності інтегральних сум. Розкладання (3) дає підставу розглядати будь-який С. с. п. X(t) як накладення некорельованих один з одним гармонійних коливаньрізних частот з випадковими амплітудами та фазами; при цьому спектральна функція F(λ) та спектральна щільність f(λ) визначають розподіл середньої енергіїщо входять до складу X(t) гармонійних коливань по спектру частот λ (у зв'язку з чим у прикладних дослідженняхфункція f(λ) часто називається також енергетичним спектром або спектром потужності С. с. п. X(t)).

Виділення поняття С. с. п. та отримання перших, що відносяться до нього математичних результатівє заслугою Є. Є. Слуцького і відносяться до кінця 20-х та початку 30-х рр. ХХ ст. 20 ст. Надалі важливі роботиз теорії С. с. п. були виконані А. Я. Хінчиним , А. Н. Колмогоров ім , Г. Крамер ом , Н. Вінером та ін.

Літ.:Слуцький Є. Є., Ізбр. тр., М., 1960; Хінчін А. Я., Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів, «Успіхи математичних наук», 1938, ст. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стаціонарні випадкові процеси, М., 1963; Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А., Теорія ймовірностей. (Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси), 2 видавництва, М., 1973; Гіхман І. І., Скороход А. Ст, Теорія випадкових процесів, т. 1, М., 1971; Хеннан Е., Багатомірні часові ряди, пров. з англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія . 1969-1978 .

Дивитись що таке "Стаціонарний випадковий процес" в інших словниках:

Випадковий процес, визначений всім моментів часу, стохастич. Показники до рого залежить від вибору поч. моменту отсчёта(т. е. не змінюються під час заміни Більш точно це означає, що з будь-якого набору моментів часу t1,...,tn… … Фізична енциклопедія

Імовірнісні та кореляційні характеристики випадкових процесів визначаються за допомогою одного або кількох моментів часу (перетинів). Однак існує клас випадкових процесів, у яких залежність характеристик від часу відсутня, і при певних умовряд імовірнісних характеристик можна визначити шляхом усереднення по всьому ансамблю реализаций. В інших випадках для цих цілей може бути здійснено усереднення за часомз використанням однієї до-реалізації x k (t)випадкового процесу Х(1).Наявність та відсутність залежності імовірнісних характеристик від часу або від номера реалізації визначає такі фундаментальні властивості процесу, як стаціонарність та ергодичність.

p align="justify"> Особливе місце серед випадкових процесів займає стаціонарний випадковий процес, з яким часто доводиться стикатися в теорії зв'язку.

Стаціонарниминазивають випадкові процеси, статистичні характеристикияких не змінюються у часі. Прикладами стаціонарних випадкових процесів є внутрішні шуми приймачів, тепловий шум транзистора, стабілітрона та інших напівпровідникових та електронних приладів. У практичних додаткахТеорія випадкових процесів умова стаціонарності зазвичай обмежується вимогою незалежності від часу тільки одномірної та двовимірної щільності ймовірності. Виконання цієї умови дозволяє вважати, що середнє значення, середній квадрат і дисперсія випадкового процесу нс залежать від часу, а кореляційна функція залежить тільки від інтервалу між ними = t 2 -t vтобто. від одного аргументу. Випадкові процеси, що задовольняють умовам стаціонарності на обмежених інтервалах, також відносять до них і називають квазістаціонарними.

З урахуванням запропонованих обмежень під час запису статистичних параметрівстаціонарного випадкового процесу можна опускати позначення фіксованих моментів часу. І тут математичне очікування і дисперсія не залежить від часу, тобто. формули (3.5) і (3.6) набудуть вигляду

Неважко показати, що функція кореляції випадкового стаціонарного процесузалежить тільки від різниці т = t 2 - t vі тому R x (t vt 2) =R v (т).

З визначення стаціонарності випадкового процесу випливає, що його функція кореляції є парною щодо т = 0: R v (т) = R x (-т).

Стаціонарність- не єдине корисна властивістьвипадкових процесів, що дозволяє докладно їх досліджувати. Ще однією властивістю такого роду є ергодичність (ergodicity; від грец. ergon- робота). Умова ергодичності включає і умову стаціонарності випадкового процесу. Ергодичність проявляється у тому, що з часом процес стає однорідним.

Стаціонарний випадковий процес є ергодичним,якщо усереднення за ансамблем реалізацій можна замінити усередненням за часом однієї реалізації в межах нескінченного інтервалу часу Т х.Наведемо приклад: якщо ви маєте кубик з числами на гранях від 1 до 6, то при 600 викиданнях число 1 випаде близько 100 разів. Можна взяти 600 однакових кубиків і кинути їх одночасно один раз. При цьому близько 100 кубиків також покажуть грань із числом 1.

Математичне очікування ергодичного процесу обчислюється усередненням за нескінченним інтервалом часу значень заданої реалізації. Позначаючи усереднення за часом кутовими дужками, запишемо

Слід пам'ятати, що математичне очікування випадкового ергодичного процесу одно постійною складовою будь-якої його реалізації.

Середній квадрат

є середньою потужністю всього випадкового ергодичного процесу. Дисперсія

визначає потужність флуктуаційної складовоїергодичного процесу.

Як правило, при експериментальному дослідженнівипадкових процесів спостерігають одну реалізацію. Якщо процес ергодичний, його реалізація па великому інтервалі є типовим представником всього ансамблю.

На рис. 3.12 наведено приклад реального випадкового процесу Х(!)у вигляді однієї з реалізацій флуктуаційної складової x(t)там же показано СКО ±а від математичного очікування т х(для спрощення графіка вибрано т до = 0).

Мал. 3.12.Флуктуаційна складова x(t)зі СКО ±ст

В електричних ланцюгах широко використовують перехідні (розділові) ЯС-ланцюги, що не пропускають постійної складової. Тому для реальних стаціонарних ергодичних процесівматематичне очікування т г = 0.

Функція кореляціїу цьому випадку має більш простий вигляд

Вираз (3.18) зовні збігається з визначенням (2.56) автокореляційної функції детермінованого періодичного сигналу. Безпосередньо із формули (3.18) випливає парність функції R t (т) щодо зсуву порівн.

Важливо зауважити, що достатньою умовоюергодичності випадкового процесу, стаціонарного в широкому значенні, є прагнення до нуля його кореляційної функції зі зростанням тимчасового зсуву. R(т) = 0.

Відповідно до наведених формул по одній реалізації можна визначити математичне очікування, дисперсію та кореляційну функцію ергодичного випадкового процесу. Зазвичай інтегрування виконується не в нескінченних межаха на кінцевому інтервалі, довжина якого повинна бути тим більшою, чим вище вимоги до точності результатів дослідження.

Вивчення стаціонарного випадкового процесу проводитимемо з урахуванням його ергодичності, ознака якого - рівність середнього значення за безліччю реалізацій (3.14) середнього значення за часом однієї реалізації (3.17):

У загальному випадкурезультати усереднення випадкових процесів за сукупністю та за часом неоднакові. Межа вибіркового середнього за сукупністю є імовірнісною характеристикою, що виражає залежність імовірнісних властивостей процесу від часу. Межа вибіркового середнього за часом є імовірнісною характеристикою, що виражає залежність імовірнісних властивостей процесу від номера реалізації.

Приклад 3.3

Випадковий процес U(t)складається з гармонійних реалізацій та (1) == U m cos((o 0 t+ ф), де амплітуда U mі частота з 0 - постійні параметри, а початкова фаза реалізації ф - випадкова величина, яка з однаковою ймовірністю приймає значення в інтервалі (-я, я) (рис. 3.13). Знайдемо числові характеристики процесу та визначимо, чи є він стаціонарним.

Рішення

Задане розподіл початкових фаз означає, що щільність ймовірності випадкової фази будь-якого коливання р(ф) = 1/(2я). Тоді згідно з формулою (3.14) математичне очікування для амплітуд гармонійної напруги

За формулою (3.16) знаходимо дисперсію

Мал. 3.13-

Той факт, що реалізації випадкового процесу є періодичними функціями, дозволяє спростити обчислення, замінивши усереднення по нескінченному проміжку часу усередненням та періодом. Т= 2я/з 0 . Тоді функцію кореляції отримаємо усереднення за часом твору двох напруг:

У правій частині цього виразу перший доданок у фігурних дужках є детермінованим коливанням, оскільки в ньому відсутня випадкова фаза. Другий доданок при статистичному усередненні по фазі за допомогою одномірної щільності ймовірності перетворюється на нуль. Тому функція кореляції

де т = ^ - 1).

Усі шукані числові показники залежить від часу, і заданий випадковий процес є стаціонарним.

Зазначимо, що будь-який випадковий процес, реалізації якого є гармонійними функціями,ідентичними за формою та різними лише рівномірно розподіленою в межах заданого періоду початковою фазою, буде не тільки стаціонарним, але і ергодичним.

Приклад 3.4

Випадковий процес 17(f) складається з реалізацій u(t)= l/m cos(co 0 f + U m - випадкова величина з довільним законом розподілу та рівноймовірна в інтервалі від 0 до U max(Рис. 3.14). Визначимо, чи цей процес є стаціонарним.

Мал. 3.14.

Рішення

Математичне очікування й = U m cos(o) 0 t +ф) нс залежить від часу лише за U m = 0. Тому випадковий процес є нестаціонарним.

Стаціонарним випадковим процесом у вузькому значенні називається випадковий процес, у якого n-мірна щільність ймовірності не зміниться, якщо всі відліки часу змістити на одну й ту саму величину:

Якщо вибрати, то n-мірна щільність ймовірності не залежатиме від початку відліку часу

Таким чином, для стаціонарного процесу одномірна щільність ймовірності взагалі не залежить від часу, а двомірна щільність залежить не окремо від часу. t 1 та t 2 , а від їх різниці

У свою чергу, з виразів (2.9) та (2.10) випливає, що математичне очікування та дисперсія стаціонарного процесу не залежать від часу, а кореляційна функція залежить від t:

(2.11)

(2.12)

З (2.11), (2.12) та (2.13) випливає, що математичне очікування постійно і тому для стаціонарного процесу характеризує постійну складову процесу; постійність характеризує те, що у кожній точці часу tсередня питома потужність флюктуацій (тобто потужність змінної складової) та сама; залежність від означає, що для стаціонарного процесу не має значення, в яких точках t 1 та t 2 беруться перерізи, важлива різниця між ними .

Якщо умова (2.7) не виконується, то випадковий процес називається нестаціонарним. Іноді про стаціонарність судять лише з виконання рівностей (2.9), (2.10) і, відповідно, (2.11) – (2.13). Кажуть, що, якщо виконуються рівності (2.9) та (2.10), то процес є стаціонарним, не цікавлячись при цьому, виконується умова (2.7) чи ні. Такий підхід дає ширше тлумачення стаціонарності.

Визначення стаціонарного процесу у сенсі є більш прийнятним на вирішення практичних завдань, так як простіше отримувати дані про одновимірну і двовимірну щільність ймовірності, ніж про багатовимірну.

У строгому сенсі фізично немає стаціонарних випадкових процесів, оскільки будь-який процес має розпочатися певний час у минулому і, мабуть, завершитися у якийсь момент у майбутньому. Однак є багато фізичних ситуаційколи статистичні характеристики процесу не змінюються на інтервалі часу спостереження. У цих випадках припущення про стаціонарність призводить до зручної математичної моделіяка є досить точною апроксимацією реальної ситуації.

Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів

Серед усіх стаціонарних процесів є частина, яка має ергодичну властивість. Пояснимо цю властивість. Нехай є одна довга реалізація x(t) випадкового процесу ( t). Ця реалізація визначена на інтервалі Знайдемо середнє значення цієї реалізації шляхом її усереднення у часі на досить великому інтервалі:

(2.14)

де риса зверху означає усереднення за часом, середнє значення є постійною величиною, яка не залежить від t.

Аналогічно можна знайти середнє значення квадрата флюктуацій та середнє значення твору флюктуацій, зміщених одна щодо іншої на інтервал:

(2.15)

По своєму фізичного змістувеличини (2.14) - (2.16) є числовими характеристиками, що збігаються із середнім значенням, дисперсією та кореляційною функцією процесу (t). Однак вони отримані внаслідок усереднення в часі однієї довгої реалізації x(t)чи функції від неї.

Кажуть, що стаціонарний процес має ергодичною властивістю, якщо з ймовірністю, близькою до одиниці, числові характеристики, отримані в результаті усереднення однієї довгої реалізації за часом, дорівнюють тим самим характеристикам, отриманим в результаті усереднення ансамблю. При цьому усереднення ансамблю називають визначення числових характеристик з використанням щільності ймовірності, тобто за формулами (2.11) - (2.13), так як щільність ймовірності характеризує всю сукупність або ансамбль реалізацій.

Таким чином, для ергодичного стаціонарного процесу справедливі рівність:

, (2.17)

Саме слово "ергодичний" походить від грецького "ергон", що означає "робота". Ергодична властивість є зручною робочою гіпотезою для розрахунку числових характеристик стаціонарного процесу, коли мають одну довгу його реалізацію. Фізично це обґрунтовано тим, що одна довга реалізація може містити відомості про всі реалізації цього випадкового процесу.

Зауважимо, що стаціонарність процесу є необхідною, але недостатньою умовою ергодичності. Це означає, що не всі стаціонарні процеси є ергодичними. У загальному випадку важко, якщо тільки взагалі можливо, довести, що ергодичність - обґрунтоване припущення для будь-якого фізичного процесу, Так як може спостерігатися лише одна реалізація цього процесу. Тим не менш, зазвичай має сенс припустити ергодичність процесу, якщо відсутні вагомі докази фізичного характеру, що перешкоджають цьому.

важливий спеціальний клас випадкових процесів (Див. Випадковий процес) , що часто зустрічається в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства та техніки. Випадковий процес X(t) називається стаціонарним, якщо всі його імовірнісні характеристики не змінюються з часом t(так що, наприклад, розподіл ймовірностей величини X(t) при всіх tє одним і тим же, а спільний розподіл ймовірностей величин X(t 1) та X(t 2) залежить тільки від тривалості проміжку часу t 2 -t 1 ,тобто розподілу пар величин (X(t 1), X(t 2)} і ( X(t 1 + s), X(t 2 + s)) однакові за будь-яких t 1 , t 2і sі т.д.).

Схема С. с. п. з гарним наближенням описує багато реальних явищ, що супроводжуються невпорядкованими флуктуаціями. Так, наприклад, пульсації сили струму або напруги в електричному ланцюзі (електричний шум) можна розглядати як С. с. п., якщо ця ланцюг знаходиться в стаціонарному режимі, тобто якщо всі її макроскопічні характеристики і всі умови, що викликають протікання через неї струму, не змінюються в часі; пульсації швидкості в точці турбулентної течії є С. с. п., якщо не змінюються загальні умови, що породжують перебіг течії (тобто перебіг є встановився), і т.д. Ці та інші приклади С. с. п., що зустрічаються у фізиці (зокрема, гео- та астрофізиці), механіці та техніці, стимулювали розвиток досліджень у галузі С. с. п.; при цьому суттєвими виявилися також деякі узагальнення поняття С. с. п. (наприклад, поняття випадкового процесу зі стаціонарними збільшеннями заданого порядку, узагальненого С. с. п. та однорідного випадкового поля).

У математичній теорії С. с. п. основну роль відіграють моменти розподілу ймовірностей значень процесу X(t), є найпростішими числовими характеристиками цих розподілів. Особливо важливими є моменти перших двох порядків: середнє значення С. с. п. E X(t)= m -математичне очікування випадкової величини X(t) та кореляційна функція С. с. п. E X(t 1) X(t 2)= B(t 2 -t 1) - математичне очікування твору X(t 1)X(t 2) (просто виражається через дисперсію величин X(t) та коефіцієнт кореляції між X(t 1) та X(t 2); див. Кореляція). У багатьох математичних дослідженнях, присвячених С. ​​с. п., взагалі вивчаються ті їх властивості, які повністю визначаються лише характеристиками mі В (τ) (т. н. кореляційна теорія С. с. п.). У зв'язку з цим випадкові процеси X(t), мають постійне середнє значення E X(t)= mі кореляційну функцію ( t 2 , t 1) = E X(t 1) X(t 2), залежить тільки від t 2 - t 1часто називають С. с. п. у широкому значенні (а більш окремі випадкові процеси, всі характеристики яких не змінюються з часом, у такому випадку називаються С. с. п. у вузькому сенсі).

Велике місце у математичній теорії С. с. п. займають дослідження, що спираються на розкладання випадкового процесу X(t) та його кореляційної функції B ( t 2 -t 1) = (τ) в інтеграл Фур'є, або Фур'є - Стілтьєса (див. Фур'є інтеграл) . Основну роль при цьому відіграє теорема Хінчина, за якою кореляційна функція С. с. п. X(t) завжди може бути представлена ​​у вигляді

де F(λ) - монотонно неубутня функція λ (а інтеграл праворуч - це інтеграл Стілтьєса); якщо ж (τ) досить швидко убуває при |τ|→∞ (як це найчастіше і буває в додатках за умови, що під X(t) розуміється насправді різниця X(t) - m), то інтеграл у правій частині (1) звертається до звичайного інтегралу Фур'є:

де f(λ) = F’(λ) - Невід'ємна функція. Функція F(λ) звана спектральною функцією С. с. п. X(t), а функція F(λ) [у випадках, коли має місце рівність (2)] – його спектральною щільністю. З теореми Хінчина випливає також, що процес X(t) допускає Спектральне розкладання виду

де Z(λ) - випадкова функція з некорельованими приростами, а інтеграл праворуч розуміється як межа в середньому квадратичному відповідної послідовності інтегральних сум. Розкладання (3) дає підставу розглядати будь-який С. с. п. X(t) як накладання некорельованих один з одним гармонійних коливань різних частот з випадковими амплітудами та фазами; при цьому спектральна функція F(λ) та спектральна щільність f(λ) визначають розподіл середньої енергії, що входять до складу X(t) гармонічних коливань за спектром частот λ (у зв'язку з чим у прикладних дослідженнях функція f(λ) часто називається також енергетичним спектром або спектром потужності С. с. п. X(t)).

Виділення поняття С. с. п. і отримання перших математичних результатів, що відносяться до нього, є заслугою Є. Є. Слуцького і відносяться до кінця 20-х і початку 30-х рр. н. 20 ст. Надалі важливі роботи з теорії С. с. п. були виконані А. Я. Хінчіним , А. Н. Колмогоровим , Г. Крамером , М. Вінером та ін.

Літ.:Слуцький Є. Є., Ізбр. тр., М., 1960; Хінчін А. Я., Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів, «Успіхи математичних наук», 1938, ст. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стаціонарні випадкові процеси, М., 1963; Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А., Теорія ймовірностей. (Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси), 2 видавництва, М., 1973; Гіхман І. І., Скороход А. Ст, Теорія випадкових процесів, т. 1, М., 1971; Хеннан Е., Багатомірні часові ряди, пров. з англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

• - ф-ція безперервного часу, значення якої в кожний момент є випадковою величиною, т....

  Фізична енциклопедія

• - Комплекснозначна випадкова функція дійсного параметра t, що допускає подання у вигляді стохастичного інтеграла де - випадковий процес. Прирощення задають випадкові "амплітуду" і "фазу"...

  Математична енциклопедія

• - стохастичний процес, що є вимірним Х = Xt) щодо опціональної s-алгебри = А. Н. Ширяєв...

  Математична енциклопедія

• - стохастичний процес, що є вимірним щодо передбачуваної -алгебри А. Н. Ширяєв...

  Математична енциклопедія

• - однорідний у часі випадковий процес, - випадковий процес X, статистич...

  Математична енциклопедія

• - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого можуть змінюватися по ходу спостережень в залежності від поставленої мети, що полягає в мінімізації того чи іншого функціоналу, що визначає якість...

  Математична енциклопедія

• - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого не змінюються з часом...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - він імовірнісний, чи стохастичний, процес зміни у часі стану чи характеристик деякої системи під впливом різних випадкових чинників...

  Початок сучасного Природознавства

• - Функція 2-х аргументів X = X; - безліч елементарних подій, - Параметр, зазвичай інтерпретований як час. Для кожного tX - функція тільки і являє собою випадкову величину. Для фіксованого ω...

  Геологічна енциклопедія

• - імовірнісний, стохастичний, - процес, перебіг якого може бути різним залежно від випадку і для якого існує ймовірність тієї чи іншої течії.

  Великий енциклопедичний політехнічний словник

• - Дивись стаціонарний процес...

  Енциклопедичний словник з металургії

• - функція, яка при зміні параметра часу набуває випадкового значення.

  Словник бізнес термінів

• - процес, протягом якого може бути різним залежно від випадку та для якого визначено ймовірність того чи іншого його течії. Типовим прикладомС. п. може служити Броунівський рух.
• - важливий спеціальний клас випадкових процесів, що часто зустрічається в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства та техніки.

  Велика Радянська Енциклопедія

• - ВИПАДКОВИЙ процес, процес зміни в часі стану або характеристик деякої системи під впливом різних випадкових факторів, для якого визначено ймовірність того чи іншого його перебігу.
• - СТАЦІОНАРНИЙ ВИПАДКОВИЙ процес - випадковий процес, імовірнісні характеристики якого не змінюються з часом...

  Великий енциклопедичний словник

"Стаціонарний випадковий процес" у книгах

6. Випадковий інструментарій

6. Випадковий інструментарій Зміна та обмеження в еволюції тварин З усіх відмінностей між нами та нашими амебоподібними предками, які жили мільярд років тому, найголовніше полягає в тому, що у нас є тіло. Ми складаємося не з однієї, а з трильйонів клітин. І цей

Стаціонарний фонтан