Кореляційна функція випадкового процесу та її властивості. Кореляційна функція

Предметом кореляційного аналізує вивчення імовірнісних залежностей між випадковими величинами.

Величини є незалежними якщо закон розподілу кожної їх залежить від значення, яке прийняла інша. Такими величинами можна вважати, наприклад, межу витривалості матеріалу деталі та теоретичний коефіцієнт концентрації напруг у небезпечному перерізі деталі.

Величини є пов'язаними імовірнісними чи стохастичними залежностями, якщо відомого значенняоднієї величини відповідає конкретне значення, а закон розподілу інший. Імовірнісні залежності мають місце, коли величини залежать не тільки від загальних для них, а й від різних випадкових факторів.

Повна інформаціяпро ймовірнісний зв'язок двох випадкових величин є спільною щільністю розподілу f(x,у)або умовними щільностями розподілу f(x/y), f(y/x),тобто щільностями розподілу випадкових величин X і Yпри заданні конкретних значень уі хвідповідно.

Спільна щільність та умовні щільності розподілу пов'язані наступними співвідношеннями:

Основними характеристиками ймовірнісних залежностей є кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.

Кореляційний момент двох випадкових величин X і У – це математичне очікування добутку центрованих випадкових величин:

для дискретних

для безперервних

де m xта m y– математичні очікування величин X та Y; р ij- Імовірність окремих значень x iі у i.

Кореляційний момент одночасно характеризує зв'язок між випадковими величинами та їхнє розсіювання. За своєю розмірністю він відповідає дисперсії для незалежної випадкової величини. Для виділення характеристики зв'язку між випадковими величинами переходять до коефіцієнта кореляції, що характеризує ступінь тісноти залежності і може змінюватися в межах -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

де S x і S y- Середні квадратичні відхилення випадкових величин.

Значення ρ = 1 і ρ = –1 свідчать про функціональну залежність, значення ρ = 0 свідчить про некорельованість випадкових величин

Розглядають кореляцію як між величинами, так і між подіями, а також множинну кореляцію, Що характеризує зв'язок між багатьма величинами та подіями.

При більш аналізі ймовірнісного зв'язку визначають умовні математичні очікування випадкових величин m y/xі m х/в,тобто математичні очікування випадкових величин У та X при заданих конкретних значеннях хі увідповідно.

Залежність умовного математичного очікування т у/гвід хназивають регресією У по X. Залежність т х/ввід увідповідає регресії X за Y.

Для нормально розподілених величин Yі X рівняння регресії має вигляд:

для регресії У по Х

для регресії X за У

Найважливішою сферою застосування кореляційного аналізу до завдань надійності є обробка та узагальнення результатів експлуатаційних спостережень. Результати спостереження випадкових величин і Xє парними значеннями у i , x i i-го спостереження, де i=1, 2 . . . п; п- Число спостережень.

Оцінку rкоефіцієнта кореляції ρ визначають за формулою

де , – оцінки математичних очікувань т хі т увідповідно, тобто середні з пспостережень значень

s x , s y- оцінки середніх квадратичних відхилень S xі S yвідповідно:

Позначивши оцінку умовних математичних очікувань т y/x, т х/увідповідно через і , рівняння емпіричної регресії Упо Xі Xпо Yзаписують у наступному вигляді:

Як правило, практичну цінністьмає лише одну з регресій.

При коефіцієнті кореляції r=1рівняння регресій тотожні.

Питання №63 Оцінка статистичних параметрівза допомогою довірчих інтервалів

Якщо значення параметра оцінюється одним числом, воно називається точковим. Але в більшості завдань потрібно знайти не тільки найбільш вірогідне чисельне значення, а й оцінити рівень достовірності.

Потрібно знати: яку помилку викликає заміна істинного параметра айого точковою оцінкою; з яким ступенем впевненості очікується, що це помилки не перевищать відомі заздалегідь встановлені межі.

Для цієї мети в математичної статистикикористуються так званими довірчими інтервалами та довірчими ймовірностями.

Якщо для параметра аотримана з досвіду незміщена оцінка , і поставлено завдання оцінити можливу при цьому помилку, то необхідно призначити деяку досить велику ймовірність β (наприклад β = 0,9; 0,95; 0,99 і т.д.), таку, що подію з ймовірністю β можна було б вважати практично достовірним.

У цьому випадку можна знайти таке значення ε, для якого P(| - a| < ε) = β.

Рис. 3.1.1. Схема довірчого інтервалу.

У цьому випадку діапазон практично можливих помилок, що виникають при заміні ана не перевищуватиме ± ε. Великі за абсолютної величинипомилки з'являтимуться лише з малою ймовірністю α = 1 – β. Подія протилежна і невідома з ймовірністю β потраплятиме в інтервал I β= (- ε; + ε). Імовірність β можна тлумачити як ймовірність того, що випадковий інтервал I βнакриє крапку а(Рис. 3.1.1).

Імовірність β прийнято називати довірчою ймовірністю, а інтервал I βприйнято називати довірчим інтервалом. На рис. 3.1.1. розглядається симетричний довірчий інтервал. У загальному випадкуця вимога не є обов'язковою.

Довірчий інтервалзначень параметра aможна розглядати як інтервал значень a, спільних з досвідченими даними та не суперечать їм.

Вибираючи довірчу ймовірність β, близьку до одиниці, ми хочемо мати впевненість у тому, що подія з такою ймовірністю відбудеться при здійсненні певного комплексу умов.

Це рівнозначно тому, що протилежна подіяне станеться, що ми нехтуємо ймовірністю події, яка дорівнює α = 1 – β. Вкажемо, що призначення кордону, а знехтувано малих ймовірностей не є математичним завданням. Призначення такої межі знаходиться поза теорією ймовірностей і визначається в кожній області ступенем відповідальності та характером розв'язуваних завдань.

Але встановлення надто великого запасу міцності призводить до невиправданого та великого подорожчання вартості будівництва.

65 Питання №65 Стаціонарний випадковий процес.

Стаціонарна випадкова функція – випадкова функція, всі імовірнісні характеристики якої залежить від аргументу. Стаціонарні випадкові функції описують стаціонарні процеси роботи машин, нестаціонарні функції – нестаціонарні процесизокрема перехідні: пуск, зупинка, зміна режиму. Аргументом є час.

Умови стаціонарності випадкових функцій:

1. сталість математичного очікування;

2. сталість дисперсії;

3. кореляційна функція має залежати лише від різниці аргументів, але з їх значень.

Як приклади стаціонарних випадкових процесів можна навести: коливання літака на режимі горизонтального польоту, що встановився; випадкові шуми в радіоприймачі та ін.

Кожен стаціонарний процес можна як тривалий у часі невизначено довго, щодо як початку відліку можна вибрати будь-який момент часу. При дослідженні стаціонарного випадкового процесуна будь-якій ділянці часу повинні виходити ті самі характеристики.

Кореляційна функціястаціонарних випадкових процесів є парна функція.

Для стаціонарних випадкових процесів ефективний спектральний аналіз, тобто. розгляд у вигляді спектрів гармонік чи рядів Фур'є. Додатково вводять функцію спектральної щільності випадкової функції, Що характеризує розподіл дисперсій за частотами спектра

Дисперсія:

Кореляційна функція:

K x (τ) =

Спектральна щільність:

S x () =

Стаціонарні процеси можуть бути ергодичними та неергодичними. Ергодичні – якщо середнє значення стаціонарної випадкової функції досить тривалому ділянці приблизно дорівнює середньому значенню окремих реалізацій. Їх характеристики визначають як середнє за часом.

Запитання №66 Показники надійності технічних об'єктів: одиничний, комплексний, розрахунковий, експериментальний, експлуатаційний, екстраполірований.

Показник надійності – кількісна характеристикаоднієї або кількох властивостей, що становлять надійність об'єкта.

Одиничний показник надійності – показник надійності, що характеризує одну з властивостей, що становлять надійність об'єкта.

Комплексний показник надійності – показник надійності, що характеризує кілька властивостей, що становлять надійність об'єкта.

Розрахунковий показникнадійності – показник надійності, значення якого визначаються розрахунковим методом.

Експериментальний показник надійності – показник надійності, точкова або інтервальна оцінкаякого визначається за даними випробувань.

Експлуатаційний показник надійності – показник надійності, точкова чи інтервальна оцінка якого визначається за даними експлуатації.

Екстраполірований показник надійності – показник надійності, точкова чи інтервальна оцінка якого визначається на підставі результатів розрахунків, випробувань та (або) експлуатаційних даних шляхом екстраполювання на іншу тривалість експлуатації та інші умови експлуатації.

Питання №68 Показники довговічності технічних об'єктів та автомобілів.

Гамма-відсотковий ресурс - сумарна напрацювання, протягом якої об'єкт не досягне граничного стану з ймовірністю g, вираженою у відсотках.

Середній ресурс – математичне очікування ресурсу.

Гамма-відсотковий термін служби – календарна тривалість експлуатації, протягом якої об'єкт не досягне граничного стану з ймовірністю g, вираженою у відсотках

Середній термінслужби – математичне очікування терміну служби.

Примітка. При використанні показників довговічності слід зазначати початок відліку та вид дій після настання граничного стану (наприклад, гамма-відсотковий ресурс від другого капітального ремонту до списання). Показники довговічності, що відраховуються від введення об'єкта в експлуатацію до остаточного зняття з експлуатації, називаються гамма-відсотковий повний ресурс (термін служби), середній повний ресурс (термін служби)

71 71 Завдання та методи прогнозування надійності автомобілів

Розрізняють три етапи прогнозування: ретроспекцію, діагностику та прогноз. У першому етапі встановлюють динаміку зміни параметрів машини у минулому, другого етапі визначають технічний стан елементів у теперішньому, третьому етапі прогнозують зміна параметрів стану елементів у майбутньому.

Основні завдання прогнозування надійності автомобілів можуть бути сформульовані таким чином:

а) Передбачення закономірності зміни надійності автомобілів у зв'язку з перспективами розвитку, впровадженням нових матеріалів, підвищенням міцності деталей.

б) Оцінка надійності проектованої автомобілів до того, як вони будуть виготовлені. Це завдання виникає на стадії проектування.

в) Прогнозування надійності конкретного автомобіля (або його вузла, агрегату) виходячи з результатів зміни його параметрів.

г) Прогнозування надійності деякої сукупності автомобілів за результатами дослідження обмеженого числадослідних зразків. Із завданнями такого типу доводиться стикатися на етапі виробництва.

д) Прогнозування надійності автомобілів у незвичайних умовах експлуатації (наприклад, при температурі та вологості довкіллявище допустимої, складних дорожніх умов тощо).

Методи прогнозування надійності автомобілів вибирають з урахуванням завдань прогнозування, кількості та якості вихідної інформації, характеру реального процесу зміни показника надійності (прогнозованого параметра).

Сучасні методипрогнозування можуть бути поділені на три основні групи: а) методи експертних оцінок; б) методи моделювання, що включають фізичні, фізико-математичніта інформаційні моделі; в) статистичні методи.

Методи прогнозування, засновані на експертних оцінках, полягають в узагальненні, статистичної обробкита аналіз думок фахівців щодо перспектив розвитку даної галузі.

Методи моделювання базуються на основних положеннях теорії подібності. На підставі подібності показників модифікації А, рівень надійності якої досліджено раніше, і деяких властивостей модифікації Б того ж автомобіля або його вузла, прогнозуються показники надійності Б на певний періодчасу.

Статистичні методипрогнозування засновані на екстраполяції та інтерполяції прогнозованих параметрів надійності, отриманих в результаті попередніх досліджень. В основу методу покладено закономірності зміни параметрів надійності автомобілів у часі

Питання №74 Математичні методипрогнозування. Побудова математичних моделейнадійність.

При прогнозуванні надійності трансмісії можливе використання наступних моделей: 1) "найслабшої" ланки; 2) залежних ресурсів елементів деталей; 3) незалежні ресурси елементів деталей. Ресурс i-го елемента визначається із співвідношення:

x i = R i /r i ,

де R i - кількісне значеннякритерію i-го елемента, у якому відбувається його відмова;

r i - середня величинаприрощення кількісної оцінкикритерію i-го елемента за одиницю ресурсу

Величини R i та r i можуть бути випадковими з певними законами розподілу або постійними.

Для варіанта, коли R i постійні, а r i змінні і мають функціональний зв'язок з однією і тією ж випадковою величиною, розглянемо ситуацію, коли між величинами r i дотримується лінійна функціональний зв'язокщо призводить до моделі «найслабшої» ланки. У цьому випадку надійність системи відповідає надійності «найслабшої» ланки.

Модель залежних ресурсів реалізується при навантаженні за схемою, коли є наявність розкиду умов експлуатації масових машин чи невизначеності умов експлуатації унікальних машин. Модель незалежних ресурсів має місце під час навантаження за схемою з конкретними умовами експлуатації.

Вираз розрахунку надійності системи з незалежними ресурсами елементами.

Питання №79 Схематизація навантаження системи, деталей та елементів (з прикладу трансмісії).

Під трансмісією будемо мати на увазі привід машини в цілому або окрему, досить складну його частину, яку з тих чи інших причин необхідно виділити. Навантаженість трансмісії визначається силовою та швидкісною складовими. Силову складову характеризує момент, що крутить, а швидкісну – кутова швидкістьобертання, що визначає кількість циклів навантаження деталей трансмісії або швидкість ковзання контактних поверхонь.

Залежно від типу деталі схематизація моменту, що крутить, з метою отримання навантаженості деталі може бути різною. Наприклад, навантаженість зубчастих коліс та підшипників визначається поточним значенням моментів, а валів на кручення – величиною його амплітуди.

Виходячи з умов експлуатації, навантаженість трансмісії може бути представлена ​​у вигляді наступних схем.

1. Кожному режиму відповідає одновимірна крива розподілу.

2. Для кожного режиму маємо n одновимірних кривих розподілу (n – кількість умов експлуатації машини). Імовірність експлуатації у кожному з умов конкретна.

3. Для кожного режиму маємо одне двомірний розподілпоточного та середнього значень крутного моменту.

Схема 1 може бути використана для машин масового виробництва за абсолютно однакових умов експлуатації або для унікальної машини за конкретних умов її експлуатації.

Схема 2 якісно не відрізняється від схеми 1, однак у ряді випадків для розрахунку доцільно, щоб кожній умові експлуатації відповідала крива навантаження.

Схема 3 може характеризувати навантаження трансмісії унікальної машини, конкретні умови експлуатації якої невідомі, але відомий діапазон умов.

82 Питання №82 Системний підхіддо прогнозування ресурсу деталей

Автомобіль повинен розглядатися як складна система, що утворюється з точки зору надійності агрегатів, деталей, елементів, що послідовно з'єднуються.

Ресурс елемента:

T i = R i /r i ,

де R i - кількісне значення критерію граничного стану i елемента, при якому відбувається його відмова;

г i - середня величина збільшення кількісної оцінки критерію

граничного стану i-го елемента за одиницю ресурсу.

R i та r i можуть бути випадковими або постійними та можливі

такі варіанти:

1. R i – випадкові, ri – випадкові;

2. R i – випадкові, ri – постійні;

3. Ri - постійні, ri - випадкові;

4. Ri - постійні, ri - постійні.

Для перших трьох варіантів вважаємо R i незалежними між собою випадковими величинами.

1.а) r i - незалежні

Надійність системи вважається перемноженням ВБР

б) r i - випадкові та пов'язані ймовірністю

f(ri/rj) = f(ri, rj)/f(rj);

f (r j / r i) = f (r i, r j) / f (r i).

Якщо r i та r j залежать один від одного, то і ресурси також залежатимуть один від одного

друга й до розрахунку застосовується модель залежності ресурсів елементів. Т.к. зв'язок імовірнісний, то застосовується метод умовних функцій.

в) r i - випадкові та пов'язані функціонально.

У даному випадкувільні величини залежать один від одного, також залежать між собою та ресурси. Тільки через функціональної залежностізв'язок буде сильнішим, ніж в інших випадках.

2. модель незалежних ресурсів елементів.

ВБР системи дорівнює сумі ВБР всіх елементів.

3. можливі такі ж випадки як у 1, тільки у випадках б) та в) буде посилення залежних ресурсів через сталість R i . У разі в) r i - функціональний зв'язок,

можлива ситуація, коли застосовується модель "найслабшої" ланки.

R 1 , R 2 -постійні;

r 1, r 2 - випадкові;

r 1 = 1,5 ∙ r 2 ;

R 1 = T ∙ r 1;

R 2 = T ∙ r 2;

Якщо за інших двох конкретних значень r 1 , r 2 буде дотримано

таке ж співвідношення за ресурсом Т 1 >Т 2 то елемент 2 буде "найслабшим"

ланкою, тобто. він визначає надійність цієї системи.

Застосування моделі "найслабшої" ланки:

Якщо в системі є елемент, у якого критерій R значно менше, ніж цей критерій у всіх інших елементів, а всі елементи навантажені приблизно однаково;

Якщо критерій R у всіх елементів приблизно однаковий, а навантаженість одного елемента є значно вищою, ніж усіх інших елементів.

Питання №83Визначення ресурсу деталей (валів, або зубчастих коліс, або підшипників опор агрегатів трансмісії) за експериментальними режимами навантаження.

Визначення ресурсу підшипників кочення.

Для визначення довговічності підшипників кочення агрегатів трансмісії та ходової частини необхідно виконати кілька видів розрахунку: на статичну міцність, контактну втому, знос.

Модель відмови:

де f(R) – густина розподілу ресурсу;

, - Щільність і функція розподілу ресурсу для i-го виду руйнівного процесу;

n – кількість видів розрахунку.

Найбільшого поширенняотримав розрахунок підшипників кочення на контактну втому:

R = а р З д mρ No 50 [β -1 ,

де Сд - динамічна вантажопідйомність;

No 50 - число циклів кривої втоми, що відповідає 50% ймовірності неруйнування підшипника при навантаженні д;

m ρ – показник ступеня (кулькові = 3, роликові = 3,33);

Частота навантаження підшипника під час руху на k-ой передачі;

Плостивість розподілу наведеного навантаження при русі на k-ої передачі в i-их умовах експлуатації.

Основні особливості розрахунку.

1. Так як для кривої втоми підшипників замість межі витривалості вводиться С д (відповідає ймовірності неруйнування 90% при 106 циклів), то необхідно перейти до кривої втоми, що відповідає 50% неруйнування. Враховуючи, що щільність розподілу при навантаженні на підшипник С д підпорядковується закону Вейбулла, то No 50 = 4,7 10 6 циклів.

2. Інтегрування у формулі здійснюється від нуля, а параметри кривої втоми - m ρ , No 50 та С д – не коригуються. Тому, за умови = const, перестановка операцій підсумовування та інтегрування не впливає на величину R. Отже, розрахунки по узагальненому режиму навантаження і по окремих навантажувальних режимах тотожні. Якщо величини суттєво відрізняються, то розрахунок середнього ресурсу R ik виробляється окремо кожної передачі:

R ik = а р З д mρ No [β -1 ,

формула може бути записана:

R = [ -1 ,

Р = (K Fr · K v · F r + K Fa · F a) · K б · K T · K м;

де F r , F a – радіальне та осьове навантаження;

K v - Коефіцієнт обертання;

K б – коефіцієнт обертання;

K Т – температурний коефіцієнт;

K м – коефіцієнт матеріалу;

K Fr , K Fa – коефіцієнт радіального та осьового навантажень.

4. Залежність між крутним моментом на валу М і наведеним навантаженням на підшипник:

Р = K P M = (K Fr · K v · K R + K Fa · K A) · K b · K T · K м · M;

де К Р - коефіцієнт перетворення;

K R , K A – коефіцієнти перетворення моменту у сумарне радіальне та осьове навантаження на підшипник.

Частота навантаження підшипника відповідає частоті його обертання.

1000 U Σα (2πr ω)

де U Σα - загальне передатне число трансмісії від валу до провідних коліс автомобіля при включеній k-ої передачі.

5. Розрахунок щільності розподілу ресурсу підшипника та його параметрів проводиться методом статичного моделювання.

Питання №12 Питома матеріаломісткість автомобілів.

При визначенні матеріаломісткості автомобіля використовується маса спорядженого шасі. Доцільність використання в оцінці матеріаломісткості автомобіля маси шасі пояснюється широким розвитком виробництва спеціалізованих автомобілів з кузовами різних типівабо інших надбудов різної маси, що встановлюються на шасі одного і того ж базового автомобіля. Саме тому у фірмових проспектах та каталогах для закордонних вантажних автомобілів, як правило, наводяться значення маси спорядженого шасі, а не автомобіля. При цьому в масу спорядженого шасі багато зарубіжних фірм не включають масу спорядження та додаткового обладнання, а ступінь заправки паливом у різних стандартах вказується різна.

Для об'єктивної оцінкиМатеріаломісткості автомобілів різних моделей вони обов'язково повинні бути приведені до єдиної комплектації. При цьому вантажопідйомність шасі визначається як різниця між повною конструктивною масою автомобіля та масою спорядженого шасі.

Основним показником матеріаломісткості автомобіля є питома масашасі:

m уд = (m сн.шас - m з.сн) / [(m к.а - m сн.шас) Р];

де m сн.шас - маса спорядженого шасі,

m з.сн – маса заправки та спорядження,

m к.а – повна конструктивна маса автомобіля,

Р – встановлений ресурс до капітального ремонту.

Для автомобіля-тягача враховується повна маса автопоїзда:

m уд = (m сн.шас - m з.сн) / [(m к.а - m сн.шас)КР];

де К - коефіцієнт корекції показників для автомобілів-тягачів, призначених для роботи у складі автопоїзда

К = ma/m к.а;

де ma – повна маса автопоїзда.

Подібна інформація.

06 Лекція.doc

1. Поняття кореляційної функції випадкового процесу.

2. Стаціонарність у вузькому та в широкому сенсах.

3.Середнє значення по множині.

4.Середнє значення за часом.

5.Ергодичні випадкові процеси.
Математичне очікування і дисперсія є важливими характеристиками випадкового процесу, але вони не дають достатнього уявлення про те, який характер матимуть окремі реалізації випадкового процесу. Це добре видно із рис. 6.1, де показані реалізації двох випадкових процесів, абсолютно різних за своєю структурою, хоч і мають однакові значенняматематичного очікування та дис-персії. Штриховими лініями на рис. 6.1. показані значення 3  x (t) для випадкових процесів.
Процес, зображений на рис. 6.1, а,від перерізу до іншого протікає порівняно плавно, а процес на рис. 6.1, бволодіє сильною мінливістю від перерізу до перерізу. Тому статистичний зв'язок між перерізами в першому випадку більше, ніж у другому, проте ні з математичного очікування, ні з дисперсії цього встановити не можна.

Щоб певною мірою охарактеризувати внутрішню структуру випадкового процесу, тобто врахувати зв'язок між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу або, іншими словами, врахувати ступінь мінливості випадкового процесу, необхідно ввести поняття про кореляційну (автокореляційну) функцію випадок- ного процесу.

^ Кореляційна функція випадкового процесу X(t)називають невипадкову функцію двох аргументівR x (t 1 , t 2), яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів (моментів часу) t 1 іt 2 дорівнює математичному очікуванню добутку двох випадкових величинX(t 1 ) таX(t 2 ) відповідних перерізів випадкового процесу:

Де  2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) -двовимірна щільність ймовірності.

Часто користуються іншим виразом кореляційної функції, записаної не для самого випадкового процесу X(t), а для центрованої випадкової складової X(t). Кореляційну функцію в цьому випадку називають центрованою та визначають із співвідношення

(6.2)

Різні випадкові процеси в залежності від того, як змінюються їх статистичні характеристикиз часом, ділять на стаціонарніі нестаціонарні.Розрізняють стаціонарність у вузькому сенсі та стаціонарність у широкому значенні.

^ Стаціонарним у вузькому значенні називають випадковий процес X(t), якщо його n-мірні функції розподілу та щільність ймовірності при будь-якому пне залежать від положення початку відліку часу t, тобто.

Це означає, що два процеси, X(t) і X(t+ ), мають однакові статистичні властивості для будь-якого  , Т. е. статистичні характеристики стаціонарного випадкового процесу незмінні в часі. Стаціонарний випадковий процес - це свого роду аналог встановленого процесу в детермінованих системах.

^ Стаціонарним у широкому розумінні називають випадковий процес X(t), математичне очікування якого.

А кореляційна функція залежить лише від однієї змінної - різниці аргументів  =t 2 -t 1:

(6.5)

Поняття випадкового процесу, стаціонарного у сенсі,. вводиться тоді, коли як статистичні характеристики випадкового процесу використовуються тільки математичне очікування і кореляційна функція. Частина теорії випадкових процесів, яка описує властивості випадкового процесу через його математичне очікування та кореляційну функцію, називають кореляційною теорією.

Для випадкового процесу з нормальним законом розподілу математичне очікування та кореляційна функція повністю визначають його n-мірну густину ймовірності. Тому для нормальних випадкових процесів поняття стаціонарності у широкому і вузькому смислі збігаються.

Теорія стаціонарних процесів розроблена найповніше і дозволяє порівняно легко проводити розрахунки багатьом практичних випадків. Тому припущення про стаціонарності іноді доцільно робити також і тих випадків, коли випадковий процес хоч і нестаціонарний, але на аналізованому відрізку часу роботи системи статистичні характеристики сигналів не встигають скільки-небудь істотно змінитися. Надалі, якщо не буде обговорено особливо, розглядатимуться випадкові процеси, стаціонарні у сенсі.

Теоретично випадкових процесів користуються двома поняттями середніх значень. Перше поняття про середнє значення – це середнє значення по множині(або математичне очікування), яке визначається на основі спостереження над безліччю реалізації випадкового процесу в той самий момент часу. Середнє значення по множині прийнято позначати хвилястою рисою над виразом, що описує випадкову функцію:

У загальному випадку середнє значення по множині є функцією часу.

Інше поняття про середнє значення - це середнє значення за часом,яке визначається на основі спостереження за окремою реалізацією випадкового процесу x{ f) протягом досить тривалого часу Т.Середнє значення за часом позначають прямою рисою над відповідним виразом випадкової функції та визначають за формулою

(6.7)

Якщо ця межа існує.

Середнє значення за часом у випадку різне окремих реалізації безлічі, визначальних випадковий процес.

Взагалі для одного й того ж випадкового процесу середнє за множиною і середнє за часом різні, проте для так званих ергодичних стаціонарних випадкових процесів середнє значення по множині збігається із середнім значенням за часом:

(6.8)

Рівність (6.8) випливає з ергодичної теореми,в якій для деяких стаціонарних випадкових процесів доведено, що будь-яка статистична характеристика, отримана усередненням по множині, з ймовірністю, як завгодно близька до одиниці, збігається з характеристикою, усередненою за часом. Ергодична теорема доведена не для всіх стаціонарних процесів, тому в тих випадках, де вона ще не доведена, говорять про ергодичній гіпотезі.

Слід зауважити, що не всякий стаціонарний процес є ергодичним.

На рис. 6.2. зображено, наприклад, графік стаціонарного неергодичного процесу, котрого рівність (6.8) не виконується. Один і той же випадковий процес у загальному випадку може бути ергодичним по відношенню до одних статистичних характеристик і не ергодичним по відношенню до інших. Надалі вважатимемо, що умови ергодичності для математичного очікування та кореляційної функції виконуються.

Фізичний сенс ергодичної теореми (або гіпотези) глибокий і має велике практичне значення. Для визначення статистичних властивостейергодичних стаціонарних процесів, якщо важко здійснити одночасне спостереження за безліччю подібних систему довільно обраний момент часу, наприклад за наявності одного дослідного зразка, його можна замінити тривалим спостереженням за однією системою. Власне, цей факт лежить в основі експериментального визначення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу по одній реалізації. Навпаки, за наявності великої партії виробів масової продукції для аналогічних досліджень можна провести одночасне спостереження за всіма зразками партії або їх досить представницькою вибіркою.

Як очевидно з (6.5), кореляційна функція є середнє по множині. Відповідно до ергодичної теореми для стаціонарного випадкового процесу кореляційну функцію можна визначити як середнє за часом від твору x(t) і x(t+ ), тобто.

(6.9)

Де x(t)- будь-яка реалізація випадкового процесу.

Центрована кореляційна функція ергодичного стаціонарного випадкового процесу

(6.10

Між кореляційними функціями R x ( ) та R 0 x ( ) існує наступний зв'язок:

R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)

Грунтуючись на властивості ергодичності, можна дисперсію D x [див. (19)] визначити як середнє часу від квадрата центрованого випадкового процесу, тобто.

(6.12)

Порівнюючи вирази (6.10) та (6.11), можна помітити, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу дорівнює початковому значенню центрованої кореляційної функції:

(6.13)

Враховуючи (6.12), можна встановити зв'язок між дисперсією та кореляційною функцією R x ( ), тобто.

З (6.14) і (6.15) видно, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу постійна, а отже, постійно і середнє квадратичне відхилення:

Статистичні властивості зв'язку двох випадкових процесів X(t) і G(t) можна характеризувати взаємною кореляційною функцієюR xg (t 1 , t 2), яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів t 1 , t 2 дорівнює

Відповідно до ергодичної теореми, замість (6.18) можна записати

(6.19)

Де x(t) і g(t) - будь-які реалізації стаціонарних випадкових процесів X(t) і G(t) відповідно.

Взаємна кореляційна функція R xg (  характеризує взаємну статистичний зв'язокдвох випадкових процесів X(t) і G(t) в різні моментичасу, віддалені друг від друга проміжок часу т. Значення R xg(0) характеризує цей зв'язок в той самий момент часу.

З (6.19) випливає, що

(6.20)

Якщо випадкові процеси Х(t)і G(t) статистично не пов'язані один з одним і мають рівні нулюсередні значення, їх взаємна кореляційна функція всім т дорівнює нулю. Однак зворотний висновоку тому, що й взаємна кореляційна функція дорівнює нулю, то процеси незалежні, можна лише в окремих випадках (зокрема, для процесів із нормальним законом розподілу), загальної ж сили зворотний закон немає.

Центрована кореляційна функція R° x (  для невипадкових функцій часу тотожно дорівнює нулю. Проте кореляційна функція R x (  може обчислюватись і для невипадкових (регулярних) функцій. Зауважимо, однак, що коли говорять про кореляційну функцію регулярної функції x(t), то під цим розуміють просто результат формального застосуваннядо регулярної функції x(t) операції, що виражається інтегралом (6.13).

Щоб певною мірою охарактеризувати внутрішню структуру випадкового процесу, тобто. врахувати зв'язок між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу або, іншими словами, врахувати ступінь мінливості випадкового процесу, вводять поняття про кореляційну (автокореляційну) функцію випадкового процесу.

Кореляційною (або автокореляційною) функцією випадкового процесу називають невипадкову функцію двох аргументів, яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів (моментів часу) дорівнює математичному очікуванню добутку двох випадкових величин. відповідних перерізів випадкового процесу:

Кореляційну функцію для центрованої випадкової складової називають центрованою та визначають із співвідношення

(1.58)

Часто функцію називають коваріаційною, а – автокореляційної .

Різні випадкові процеси залежно від цього, як змінюються їх статистичні характеристики з часом, ділять на стаціонарніі нестаціонарні.Розрізняють стаціонарність у вузькому значенні та стаціонарність у широкому значенні.

Стаціонарним у вузькому значенні називають випадковий процес, якщо його - мірні функції розподілу та щільності ймовірності за будь-якого не залежатьвід положення початку відліку часу. Це означає, що два процеси мають однакові статистичні властивості для будь-якого, тобто статистичні характеристики стаціонарного випадкового процесу незмінні в часі. Стаціонарний випадковий процес - це свого роду аналог усталеного процесу в динамічних системах.

Стаціонарним у широкому розумінні називають випадковий процес, математичне очікування якого постійно:

а кореляційна функція залежить тільки від однієї змінної - різниці аргументів:

Поняття випадкового процесу, стаціонарного у сенсі, вводиться тоді, як статистичних характеристик випадкового процесу використовуються лише математичне очікування і кореляційна функція. Частина теорії випадкових процесів, яка описує властивості випадкового процесу через його математичне очікування та кореляційну функцію, називають кореляційною теорією.

Для випадкового процесу з нормальним законом розподілу математичне очікування та кореляційна функція повністю визначають його n-мірну густину ймовірності. Тому для нормальних випадкових процесів поняття стаціонарності у широкому та вузькому значенні збігаються.

Теорія стаціонарних процесів розроблена найповніше і дозволяє порівняно легко проводити розрахунки багатьом практичних випадків. Тому припущення про стаціонарності іноді доцільно робити також і для тих випадків, коли випадковий процес хоч і нестаціонарний, але на аналізованому відрізку часу роботи системи статистичні характеристики сигналів не встигають суттєво змінитися.

Теоретично випадкових процесів користуються двома поняттями середніх значень. Перше поняття про середнє значення – це середнє значення по множині (або математичне очікування), яке визначається на основі спостереження над безліччю реалізацій випадкового процесу в той самий момент часу. Середнє значення по множині прийнято позначати хвилястої рисоюнад виразом, що описує випадкову функцію:

У загальному випадку середнє значення по множині є функцією часу.

Інше поняття про середнє значення – це середнє значення за часом що визначається на основі спостереження за окремою реалізацією випадкового процесу протягом досить тривалого часу. Середнє значення за часом позначають прямий рисоюнад відповідним виразом випадкової функції та визначають за формулою

, (1.62)

якщо ця межа існує.

Середнє значення за часом у випадку різне окремих реалізацій безлічі, визначальних випадковий процес.

Взагалі для одного й того ж випадкового процесу середнє за множиною і середнє за часом різні, проте для так званих ергодичних стаціонарних випадкових процесів середнє значення по множині збігається із середнім значенням за часом:

Відповідно до ергодичної теореми для стаціонарного випадкового процесу кореляційну функцію можна визначити як середнє за часом однієї реалізації

(1.64)

де - будь-яка реалізація випадкового процесу.

Центрована кореляційна функція ергодичного стаціонарного випадкового процесу

З виразу (1.65) можна помітити, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу дорівнює початковому значенню центрованої кореляційної функції:

1. Математичне очікування невипадкового процесу j( t) дорівнює самому невипадковому процесу:

З виразу (1.9) випливає, що будь-яка невипадкова центрована функція дорівнює нулю, оскільки

2. Якщо випадкова величина Y(t) являє собою лінійну комбінацію функцій X i(t):

, (1.11)

де - невипадкові функції t, то

. (1.12)

Останнє співвідношення випливає з того, що операція визначення математичного очікування є лінійною.

3. Кореляційна функція невипадкового процесу тотожно дорівнює нулю. Ця властивість випливає безпосередньо з (1.10).

4. Кореляційна функція не змінюється від додавання до випадкової функції будь-якої невипадкової функції. Справді, якщо , то

Звідси випливає, що кореляційні функції випадкових процесів та

Збігаються. Тому щодо кореляційних функцій завжди вважатимуться, що аналізований процес є центрованим.

5. Якщо випадковий процес Y(t) являє собою лінійну комбінацію випадкових процесів X i(t):

,

де - невипадкові функції, то

, (1.14)

де - власна кореляційна функція процесу X i(t), - взаємна кореляційна функція процесів та .

Дійсно:

, =

.

Якщо випадкові процеси попарно некорельовані, то

. (1.15)

Вважаючи (1.14) , отримаємо вираз для дисперсії лінійної комбінації випадкових процесів:

В окремому випадку некорельованих випадкових процесів

. (1.17)

6. Кореляційна функція є невід'ємною певною функцією:

. (1.18)

Справді, представимо (1.18) у вигляді:

.

Оскільки інтеграл є межа інтегральної суми, то останнє вираз можна у вигляді межі суми математичних очікувань, яка, своєю чергою, дорівнює математичному очікуванню суми. Тому операції інтегрування та математичного очікування можна міняти місцями. В результаті отримаємо:

7. Кореляційна функція симетрична щодо своїх аргументів. Взаємна кореляційна функція цією властивістю не має.

Симетричність кореляційної функції випливає безпосередньо з її визначення:

У той же час для взаємної кореляційної функції маємо:

Взаємна кореляційна функція задовольняє наступне співвідношення:

8. Кореляційна функція та взаємна кореляційна функція задовольняють такі нерівності:

Часто замість власної та взаємної кореляційних функцій розглядають нормовані кореляційні функції :

, (1.23)

. (1.24)

На підставі (1.21) та (1.22) для нормованих кореляційних функцій справедливі нерівності:

. (1.25)

приклад Заданий випадкових процес є сумою випадкового і невипадкового процесів: . Задані , визначити

Використовуючи (1.9) та (1.12), матимемо:

Згідно (1.15)

і, нарешті, відповідно (1.17) .

КЛАСИФІКАЦІЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Стаціонарні процеси

Випадковий процес називається стаціонарним , якщо його багатовимірний законрозподілу залежить лише від взаємного розташуваннямоментів часу t 1 , t 2 , . . .t n, тобто. не змінюється при одночасному зрушенні цих моментів часу на однакові величини:

Якщо вираз (2.1) задовольняється за будь-якого n, то такий процес називається стаціонарним у вузькому значенні.

При n=1 вираз (2.1) набуває вигляду:

І при , 2.2)

тобто. одномірний закон розподілу стаціонарного процесуне залежить від часу. Отже, від часу не залежатимуть і характеристики випадкового процесу, що залежать від одновимірного закону розподілу: математичне очікування та дисперсія випадкового процесу:

, . (2.3)

При n=2 вираз (2.1) листується так:

Отже кореляційна функція стаціонарного процесу, що визначається двомірним закономрозподілу, залежатиме лише від інтервалу часу t

За визначенням А.Я.Хінчина процес є стаціонарним у широкому розумінні , якщо умова стаціонарності (2.1) задовольняється лише за n= 1 та 2.

Отже, умови стаціонарності процесу у сенсі можна сформулювати як:

· Математичне очікування та дисперсія такого процесу не залежать від часу - і D X;

· Кореляційна функція процесу залежить лише від інтервалу між перерізами за часом.

До XX(t) є парною функцієюсвого аргументу:

Слід пам'ятати, що взаємна кореляційна функція є непарну функцію:

, (). (2.7)

Нормальні процеси

Випадковий процес є нормальним , якщо нормальним є будь-який багатовимірний закон:

× ), (2.8)

де (2.9)

Відносні власні та взаємні кореляційні функції, та два значення випадкової величини Y – y 1 та y 2 . З малюнка видно, що математичне очікування реалізації при Y=y 1 одно y 1 , а при Y=y 2 – y 2 .

Рис.2.1. Приклад стаціонарного неергодичного процесу

Таким чином, за єдиною реалізацією стаціонарного, але неергодичного процесу не можна судити про характеристики процесу в цілому.

Марківські процеси

Якщо ймовірнісні властивості випадкового процесу повністю визначаються значенням його ординати в заданий момент часу і не залежать від значень ординат процесу в попередні моменти часу, такий випадковий процес називається Марківським. Іноді такі процеси називають процесами без післядії.

При дослідженні питань залежності чи незалежностідвох або більше перерізів випадкових процесів знання лише математичного очікування та дисперсії с.п. мало.

Для визначення зв'язку між різними випадковими процесами використовують поняття кореляційної функції – аналог поняття коваріації випадкових величин (див. Т.8)

Кореляційної (ковариаційної, автоковарійної, автокореляційної)функцією випадкового процесу
називається невипадкова функція двох аргументів

дорівнює кореляційному моментувідповідних перерізів
і
:

або (з урахуванням позначення центрованої випадкової функції
) маємо

Наведемо основні властивості кореляційної функції
випадкового процесу
.

1. Кореляційна функція за однакових значень аргументів дорівнює дисперсії с.п.

Справді,

Доведена властивість дозволяє обчислити м.о. та кореляційну функцію, що є основними характеристиками випадкового процесу, необхідність у підрахунку дисперсії відпадає.

2. Кореляційна функція змінюється щодо заміни аргументів, тобто. є симетричною функцією щодо аргументів: .

Ця властивість безпосередньо виводиться із визначення кореляційної функції.

3. Якщо до випадкового процесу додати невипадкову функцію, то кореляційна функція змінюється, тобто. якщо
, те. Іншими словами

є періодичною функцією щодо будь-якої невипадкової функції.

Справді, з ланцюжка міркувань

випливає, що . Звідси отримаємо необхідну властивість 3.

4. Модуль кореляційної функції вбирається у твори с.к.о., тобто.

Доказ якості 4. проводиться аналогічно як у пункті 12.2. (Теорема 12..2), з урахуванням першої властивості кореляційної функції с.п.
.

5. При множенні п.п.
на невипадковий множник
її кореляційна функція помножиться на твір
, тобто, якщо
, то

5.1. Нормована кореляційна функція

Поряд із кореляційною функцією с.п. розглядається також нормована кореляційна функція(або автокореляційнафункція)
обумовлена ​​рівністю

.

Слідство.На підставі властивості 1 має місце рівність

.

За своїм змістом
аналогічний коефіцієнту кореляції для С.В., але не є постійною величиною, а залежить від аргументів і .

Перерахуємо властивості нормованої кореляційної функції:

1.

2.

3.
.

приклад 4.Нехай с.п. визначається формулою, тобто.
с.в.,

розподілена за нормальному законуз

Знайти кореляційну та нормовану функції випадкового процесу

Рішення.За визначенням маємо

тобто.
Звідси з урахуванням визначення нормованої кореляційної функції та результатів вирішення попередніх прикладів отримаємо
=1, тобто.
.

5.2. Взаємна кореляційна функція випадкового процесу

Для визначення ступеня залежності перерізівдвох випадкових процесів використовують кореляційну функцію зв'язку чи взаємну кореляційну функцію.

Взаємною кореляційною функцією двох випадкових процесів
і
називається невипадкова функція
двох незалежних аргументів і яка при кожній парі значень і дорівнює кореляційному моменту двох перерізів
і

Два с.п.
і
називаються некорельованими,якщо взаємна кореляційна функція тотожно дорівнює нулю, тобто. якщо для будь-яких і має місце
Якщо ж для будь-яких і виявиться
, то випадкові процеси
і
називаються корельованими(або пов'язаними).

Розглянемо властивості взаємної кореляційної функції, які безпосередньо виводяться з її визначення та властивостей кореляційного моменту (див. 12.2):

1.При одночасної перестановки індексів та аргументів взаємна кореляційна функція не змінюється, тобто

2. Модуль взаємної кореляційної функції двох випадкових процесів вбирається у твори їх середніх квадратичних відхилень, тобто.

3. Кореляційна функція не зміниться, якщо до випадкових процесів
і
додати невипадкові функції
і
відповідно, тобто
, де відповідно
і

4. Невипадкові множники
можна винести за знак кореляції, тобто якщо
і то

5. Якщо
, те.

6. Якщо випадкові процеси
і
некорельовані, то кореляційна функція їхньої суми дорівнює сумі їх кореляційних функцій, тобто.

Для оцінки ступеня залежності перерізів двох п.п. використовують також нормовану взаємну кореляційну функцію
, що визначається рівністю:

Функція
має ті ж властивості, що і функція
але властивість 2

замінюється на наступну подвійну нерівність
, тобто. модуль нормованої взаємної кореляційної функції не перевищує одиниці.

Приклад 5.Знайти взаємну кореляційну функцію двох п.п.
і
, де
випадкова величина, причому

Рішення.Так як,.