Властивості бісектриси кута трикутника є доказом. Бісектриса трикутника

Середній рівень

Бісектриса трикутника. Детальна теоріяз прикладами (2019)

Бісектриса трикутника та її властивості

Чи знаєш ти, що таке середина відрізку? Звісно ж знаєш. А центр кола? Теж. А що таке середина кута? Ти можеш сказати, що такого немає. Але чому ж відрізок можна розділити навпіл, а кут не можна? Цілком можна - тільки не крапкою, а…. лінією.

Пам'ятаєш жарт: бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл. Так ось, справжнє визначення бісектриси дуже схоже на цей жарт:

Бісектриса трикутника- це відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з точкою на протилежній стороні.

Колись стародавні астрономи та математики відкрили дуже багато цікавих властивостейбісектриси. Ці знання спростили життя людей. Стало легше будувати, рахувати відстані, навіть коригувати стрілянину з гармат… Нам же знання цих властивостей допоможе вирішити деякі завдання ГІА та ЄДІ!

Перше знання, яке допоможе у цьому - бісектриса рівнобедреного трикутника.

До речі, чи пам'ятаєш ти всі ці терміни? Пам'ятаєш, чим вони відрізняються один від одного? Ні? Не страшно. Зараз розберемося.

Отже, основа рівнобедреного трикутника- це той бік, який не дорівнює жодній іншій. Подивися на малюнок, як ти думаєш, яка це сторона? Правильно – це сторона.

Медіана - це лінія, проведена з вершини трикутника і ділить протилежну сторону (це знову) навпіл.

Зауваж, ми не говоримо: «Медіана рівнобедреного трикутника». А знаєш чому? Тому що медіана, проведена з вершини трикутника, ділить протилежну сторону навпіл у БУДЬ-ЯКОМУ трикутнику.

Ну, а висота – це лінія, проведена з вершини та перпендикулярна до основи. Ти помітив? Ми знову говоримо про будь-який трикутник, а не тільки про рівнобедрений. Висота в будь-якому трикутнику завжди перпендикулярна основи.

Отже, розібралися? Ну майже. Щоб ще краще зрозуміти і назавжди запам'ятати що таке бісектриса, медіана і висота, їх потрібно порівняти один з одним і зрозуміти, у чому вони схожі і чим вони відрізняються один від одного. При цьому, щоб краще запам'ятати, краще описати все. людською мовою». Потім ти легко оперуватимеш мовою математики, але спочатку ти цю мову не розумієш і тобі потрібно осмислити все своєю мовою.

Отже, у чому вони схожі? Бісектриса, медіана та висота - всі вони «виходять» з вершини трикутника і впираються в протилежний бік і «щось роблять» або з кутом з якого виходять, або з протилежною стороною. По-моєму просто, ні?

А чим вони відрізняються?

• Бісектриса ділить кут, з якого виходить, навпіл.
• Медіана ділить протилежний бік навпіл.
• Висота завжди перпендикулярна до протилежної сторони.

Тепер все. Зрозуміти – легко. А коли зрозумів, можеш запам'ятати.

Тепер наступне питання. Чому ж у випадку з рівнобедреним трикутником бісектриса виявляється одночасно і медіаною та висотою?

Можна просто подивитися на малюнок і переконатися, що медіана розбиває на два абсолютно рівних трикутника. От і все! Але математики не люблять вірити своїм очам. Їм треба все доводити. Страшне слово? Нічого подібного – все просто! Дивись: у і рівні сторони і сторона у них взагалі загальна і. (- бісектриса!) І ось, вийшло, що два трикутники мають по дві рівні сторонита кут між ними. Згадуємо першу ознаку рівності трикутників (не пам'ятаєш, зазирни в тему) і укладаємо, що, отже = і.

Це вже добре – отже, виявилася медіаною.

А що таке?

Подивимося на картинку - . А у нас вийшло, що. Значить, і теж! Зрештою, ура! в.

Чи здався тобі цей доказ важкуватим? Подивися на картинку - два однакових трикутниківкажуть самі за себе.

У будь-якому випадку твердо запам'ятай:

Тепер складніше: ми порахуємо кут між бісектрисами в будь-якому трикутнику!Не бійся, все не так хитро. Дивись на малюнок:

Давай його порахуємо. Ти пам'ятаєш, що сума кутів трикутника дорівнює?

Застосуємо цей приголомшливий факт.

З одного боку, з:

Тобто.

Тепер подивимося на:

Але бісектриси, бісектриси ж!

Згадаймо про:

Тепер через літери

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Чи не дивно? Вийшло, що кут між бісектрисами двох кутів залежить тільки від третього кута.!

Ну ось, дві бісектриси ми подивилися. А що, якщо їх три?!! Чи перетнуться вони всі в одній точці?

Чи буде так?

Як ти думаєш? Ось математики думали-думали та довели:

Щоправда, здорово?

Хочеш знати, чому так виходить?

Отже…два прямокутний трикутник: в. У них:

• Загальна гіпотенуза.
• (Бо - бісектриса!)

Значить, - по куту та гіпотенузі. Тому й відповідні катети у цих трикутників – рівні! Тобто.

Довели, що точка однаково (або одно) віддалена від сторін кута. З пунктом 1 розібралися. Тепер перейдемо до пункту 2.

Чому ж вірно 2?

І з'єднаємо точки в.

Значить, тобто лежить на бісектрисі!

От і все!

Як же все це застосувати під час вирішення завдань? Ось наприклад, у завданнях часто буває така фраза: «Кількість стосується сторін кута….». Ну і знайти треба щось.

То швидко розумієш, що

І можна скористатися рівністю.

3. Три бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці

З якості бісектриси бути геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, випливає таке твердження:

Як саме витікає? А ось дивись: дві бісектриси точно перетнуться, правда?

А третя бісектриса могла б пройти так:

Але насправді все набагато краще!

Давай розглянемо точку перетину двох бісектрис. Назвемо її.

Що ми тут обидва рази застосовували? Так пункт 1, звичайно ж! Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона однаково віддалена від сторін кута.

Ось і вийшло в.

Але глянь уважно на ці дві рівності! Адже їх слід, що й, отже, .

А ось тепер у справу піде пункт 2: якщо відстані до сторін кута рівні, то точка лежить на бісектрисі ... якого ж кута? Ще раз дивись на картинку:

і - відстані до сторін кута, і вони рівні, отже, точка лежить на бісектрисі кута. Третя бісектриса пройшла через ту саму точку! Всі три бісектриси перетнулися в одній точці! І, як додатковий подарунок

Радіуси вписаноюкола.

(Для вірності подивися ще тему).

Ну ось, тепер ти ніколи не забудеш:

Точка перетину бісектрис трикутника - центр вписаного в неї кола.

Переходимо до наступної властивості… Ух і багато властивостей у бісектриси, правда? І це здорово, тому що чим більше властивостей, тим більше інструментів для вирішення задач про бісектрису.

4. Бісектриса та паралельність, бісектриси суміжних кутів

Той факт, що бісектриса ділить кут навпіл, у якихось випадках призводить до зовсім несподіваних результатів. Ось наприклад,

Випадок 1

Здорово, правда? Давай зрозуміємо чому так.

З одного боку, - ми ж проводимо бісектрису!

Але, з іншого боку, - як навхрест кути, що лежать (згадуємо тему).

І тепер виходить, що; викидаємо середину: ! - рівнобедрений!

Випадок 2

Уяви трикутник (або подивися на картинку)

Давай продовжимо бік за крапку. Тепер вийшло два кути:

• - внутрішній кут
• - Зовнішній кут - він же зовні, вірно?

Так от, а тепер комусь захотілося провести не одну, а одразу дві бісектриси: і для, і для. Що ж вийде?

А вийде прямокутний!

Дивно, але це так.

Розбираємось.

Як ти думаєш, чому дорівнює сума?

Звичайно ж, адже вони всі разом складають такий кут, що виходить пряма.

А тепер пригадаємо, що і -бісектриси і побачимо, що всередині кута знаходиться рівно половинавід суми всіх чотирьох кутів: і - тобто рівно. Можна написати і рівнянням:

Отже, неймовірно, але факт:

Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кута трикутника дорівнює.

Випадок 3

Бачиш, що тут так само, як і для внутрішнього і зовнішнього кутів?

Або ще раз подумаємо, чому так виходить?

Знову, як і для суміжних кутів,

(як відповідні за паралельних підставах).

І знову, складають рівно половинувід суми

Висновок:Якщо в завданні зустрілися бісектриси суміжнихкутів або бісектриси відповіднихкутів паралелограма або трапеції, то в цьому завданні неодміннобере участь прямокутний трикутник, а може навіть цілий прямокутник.

5. Бісектриса та протилежна сторона

Виявляється, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону не якось, а спеціальним і дуже цікавим чином:

Тобто:

Дивний факт, чи не так?

Зараз ми цей факт доведемо, але приготуйся: буде трохи важче, ніж раніше.

Знову – вихід у «космос» – додаткова побудова!

Проведемо пряму.

Навіщо? Зараз побачимо.

Продовжимо бісектрису до перетину з прямою.

Знайоме зображення? Так-так-так, так само, як у пункті 4, випадок 1 - виходить, що (- бісектриса)

Як навхрест лежать

Значить, це теж.

А тепер подивимося на трикутники в.

Що про них можна сказати?

Вони... подібні. Так, у них і кути рівні як вертикальні. Значить, по двох кутках.

Наразі маємо право писати відносини відповідних сторін.

А тепер у коротких позначеннях:

Ой! Щось нагадує, правда? Чи не це ми хотіли довести? Так-так, саме це!

Бачиш, як чудово виявив себе «вихід у космос» - побудова додаткової прямої - без неї нічого б не вийшло! А так ми довели, що

Тепер можеш сміливо використати! Розберемо ще одну властивість бісектрис кутів трикутника – не лякайся, тепер найскладніше скінчилося – буде простіше.

Отримуємо, що

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Теорема. Бісектриса внутрішнього кутатрикутника ділить протилежну сторону частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC (рис. 259) та бісектрису його кута В. Проведемо через вершину С пряму СМ, паралельну бісектрисі ВК, до перетину в точці М із продовженням сторони АВ. Оскільки ВК - бісектриса кута ABC, то. Далі, як відповідні кутипри паралельних прямих, і як навхрест кути, що лежать, при паралельних прямих. Звідси і тому – рівнобедрений, звідки. По теоремі про паралельні прямі, що перетинають сторони кута, маємо на увазі отримаємо, що і потрібно довести.

Бісектриса зовнішнього кута В трикутника ABC(рис. 260) має аналогічну властивість: відрізки AL і CL від вершин А і С до точки L перетину бісектриси з продовженням сторони АС пропорційні сторонам трикутника:

Ця властивість доводиться так само, як і попередня: на рис. 260 проведена допоміжна пряма СМ, ​​паралельна бісектрисі BL. Читач сам переконається у рівності кутів ВМС та ВСМ, а значить, і сторін ВМ та ВС трикутника ВМС, після чого потрібна пропорція вийде одразу.

Можна говорити, як і бісектриса зовнішнього кута ділить протилежну сторону частини, пропорційні прилеглим сторонам; Необхідно лише домовитися допускати «зовнішнє розподіл» відрізка.

Точка L, що лежить поза відрізком АС (на його продовженні), ділить його зовнішнім чином щодо якщо Отже, бісектриси кута трикутника (внутрішнього та зовнішнього) ділять протилежну сторону (внутрішнім та зовнішнім чином) на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Задача 1. Бічні сторони трапеції дорівнюють 12 і 15, основи дорівнюють 24 і 16. Знайти сторони трикутника, утвореного великою основою трапеції та її продовженими бічними сторонами.

Рішення. У позначках рис. 261 маємо для відрізка службовця продовженням бокової сторони пропорцію, звідки легко знаходимо. Аналогічним способом визначаємо другу бічну сторону трикутника Третя сторона збігається з великою основою: .

Завдання 2. Підстави трапеції дорівнюють 6 і 15. Чому дорівнює довжина відрізка, паралельного основам і ділить бічні сторони щодо 1:2, рахуючи від вершин малої основи?

Рішення. Звернемося до рис. 262, що зображує трапецію. Через вершину З малої основи проведемо лінію, паралельну бічній стороні АВ, що відсікає від трапеції паралелограм. Так як, то звідси знаходимо. Тому весь невідомий відрізок KL дорівнює Зауважимо, що для вирішення цього завдання нам не потрібно знати сторони трапеції.

3адача 3. Бісектриса внутрішнього кута В ​​трикутника ABC розтинає сторону АС на відрізки на якій відстані від вершин А і С перетне продовження АС бісектриса зовнішнього кута В?

Рішення. Кожна з бісектрис кута В ​​ділить АС в тому самому відношенні, але одна внутрішнім, а інша зовнішнім чином. Позначимо через L точку перетину продовження АС та бісектриси зовнішнього кута В. Так як АК Позначимо невідому відстань AL через тоді і ми матимемо пропорцію Рішення якої і дає нам відстань, яку шукає

Малюнок виконайте самостійно.

Вправи

1. Трапеція з основами 8 і 18 розбита прямими, паралельними підставамна шість смуг рівної ширини. Знайти довжини відрізків прямих, що розбивають трапецію на смуги.

2. Периметр трикутника дорівнює 32. Бісектриса кута А ділить сторону ВС на частини, рівні 5 та 3. Знайти довжини сторін трикутника.

3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, бічна сторона b. Знайти довжину відрізка, що з'єднує точки перетину бісектрис кутів основи з бічними сторонами.

Сьогодні буде дуже легкий урок. Ми розглянемо всього один об'єкт — бісектрису кута — і доведемо найважливішу її властивість, яка стане в нагоді нам у майбутньому.

Тільки не треба розслаблятися: іноді учні, які бажають отримати високий бална тому ж ОДЕ або ЄДІ, на першому занятті навіть не можуть точно сформулювати визначення бісектриси.

І замість того, щоб займатися справді цікавими завданнямими витрачаємо час на такі прості речі. Тому читайте, дивіться і беріть на озброєння.:)

Спочатку трохи дивне питання: що таке кут? Правильно: кут — це просто два промені, що виходять із однієї точки. Наприклад:

Як видно з картинки, кути можуть бути гострими, тупими, прямими — зараз це неважливо. Часто для зручності кожному промені відзначають додаткову точку і кажуть, мовляв, перед нами кут $AOB$ (записується як $angle AOB$).

Капітан очевидність натякає, що крім променів $OA$ і $OB$ з точки $O$ завжди можна провести ще купу променів. Але серед них буде один особливий — його й називають бісектрисою.

Визначення. Бісектриса кута - це промінь, який виходить з вершини цього кута і ділить кут навпіл.

Для наведених вище кутів бісектриси виглядатимуть так:

Приклади бісектрис для гострого, тупого та прямого кута.

Оскільки на реальних кресленнях далеко не завжди очевидно, що якийсь промінь (у нашому випадку це промінь $ OM $) розбиває вихідний кут на два рівні, в геометрії прийнято помічати рівні кутиоднаковою кількістю дуг (у нас на кресленні це 1 дуга для гострого кута, дві – для тупого, три – для прямого).

Добре, із визначенням розібралися. Тепер потрібно зрозуміти, які властивості є у бісектриси.

Основна властивість бісектриси кута

Насправді у бісектриси купа властивостей. І ми обов'язково розглянемо їх у наступному уроці. Але є одна фішка, яку потрібно зрозуміти прямо зараз:

Теорема. Бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін даного кута.

У перекладі з математичної на російську це означає відразу два факти:

1. Будь-яка точка, що лежить на бісектрисі деякого кута, знаходиться на однаковій відстані від сторін цього кута.
2. І навпаки: якщо точка лежить на однаковій відстані від сторін даного кута, то вона гарантовано лежить на бісектрисі цього кута.

Перш ніж доводити ці твердження, давайте уточнимо один момент: а що, власне, називається відстанню від точки до боку кута? Тут нам допоможе старе-добре визначення відстані від точки до прямої:

Визначення. Відстань від точки до прямої - це довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Наприклад, розглянемо пряму $l$ і точку $A$, що не лежить на цій прямій. Проведемо перпендикуляр $AH$, де $H\in l$. Тоді довжина цього перпендикуляра і буде відстанню від точки $A$ до прямої $l$.

Оскільки кут – це просто два промені, а кожен промінь – це шматок прямий, легко визначити відстань від точки до сторін кута. Це просто два перпендикуляри:

От і все! Тепер ми знаємо, що таке відстань і що таке бісектриса. Тому можна доводити основну властивість.

Як і обіцяв, розіб'ємо доказ на дві частини:

1. Відстань від точки на бісектрисі до сторін кута однакові

Розглянемо довільний кутз вершиною $O$ і бісектрисою $OM$:

Доведемо, що ця точка $M$ знаходиться на однаковій відстані від сторін кута.

Доведення. Проведемо з точки $M$ перпендикуляри до сторін кута. Назвемо їх $M((H)_(1))$ і $M((H)_(2))$:

Провели перпендикуляри до сторін кута.

Отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. У них загальна гіпотенуза $OM$ і рівні кути:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ за умовою (оскільки $OM$ - бісектриса);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ по побудові;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, оскільки сума гострих кутівпрямокутного трикутника завжди дорівнює 90 градусів.

Отже, трикутники рівні по стороні та двом прилеглих кутів(Див. ознаки рівності трикутників). Тому, зокрема, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, тобто. відстані від точки $O$ до сторін кута справді рівні. Що й потрібно було довести.:)

2. Якщо відстані рівні, то точка лежить на бісектрисі

Тепер зворотна ситуація. Нехай дано кут $O$ і точка $M$, рівновіддалена від сторін цього кута:

Доведемо, що промінь $ OM $ - бісектриса, тобто. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Доведення. Для початку проведемо цей самий промінь $ OM $, інакше доводити буде нічого:

Провели промінь $OM$ усередині кута

Знову отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно, що вони рівні, оскільки:

1. Гіпотенуза $ OM $ - загальна;
2. Катети $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ за умовою (адже точка $M$ рівновіддалена від сторін кута);
3. Решта катети теж рівні, т.к. за теоремою Піфагора $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Отже, трикутники $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$ по трьох сторонах. Зокрема, рівні їх кути: $ angle MO((H)_(1))=angle MO((H)_(2))$. А це якраз і означає, що $OM$ - бісектриса.

На закінчення докази відзначимо червоними дугами рівні кути, що утворилися:

Бісектриса розбила кут $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два рівні

Як бачите, нічого складного. Ми довели, що бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених до сторін цього кута.:)

Тепер, коли ми більш-менш визначилися з термінологією, настав час переходити на новий рівень. У наступному уроці ми розберемо складніші властивості бісектриси і навчимося застосовувати їх для вирішення справжніх завдань.