Формула бічної поверхні конуса та циліндра. Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

1. Об'єм конуса дорівнює 16.Через середину висоти паралельно основі конуса проведено переріз, який є основою меншого конусаз тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Очевидно, що об'єм меншого конуса в 8 разів менший за об'єм великого і дорівнює двом.

Для вирішення деяких завдань корисні початкові знаннястереометрії. Наприклад - що таке правильна пірамідачи пряма призма. Корисно пам'ятати, що у циліндра, конуса та кулі є ще загальна назва- Тіла обертання. Що сферою називається поверхня кулі. А, наприклад, фраза «утворююча конуса нахилена до площини основи під кутом 30 градусів передбачає, що ви знаєте, що таке кут між прямою та площиною. Вам також може стати в нагоді теорема Піфагора і прості формулиплощ фігур.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного під правильним чотирикутної пірамідибільше обсягу конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого колау раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде вдвічі більшим.

Вправи для самостійної роботи.

1.Вимірювання прямокутного паралелепіпеда 15, 50 і 36 м. Знайти ребро рівновеликого йому куба.

2.У правильній 4-кутній піраміді висота 3 см, бічне ребро 5 см. Знайти об'єм піраміди.

3. Осевий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 8 дм та 12 дм. Знайти об'єм циліндра.

4.Утворююча конуса нахилена до площини основи під кутом 30°, радіус основи дорівнює 3 дм. Знайти об'єм конуса.

5.Радіус кулі дорівнює 4 м. Знайти обсяг кульового сегмента заввишки, що дорівнює 3 м.

Список літератури

Геометрія, 10-11: Навч. для загальноосвітніх установ/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін-Москва: Просвітництво, 2009 рік

2. Єршова А.П., Голобородько В.В., Єршова А.С. Самостійні та контрольні роботиз геометрії для 10 класу. - 4-е видання, випр. і доп. - М.: Ілекса, 2007, - 175 с.

3. Геометрія. 10-11 класи: тести для поточного та узагальнюючого контролю / авт.сост.Г.І.Ковальова, Н.І.Мазурова. - Волгоград: Вчитель, 2009, 187 стор.

4. Віртуальна школа Кирила та Мефодія. Репетитор з математики. Москва. 2007 рік

5. Навчальне електронне видання. Математика 5-11 класи. Практикум. За редакцією Дубровського В.М., 2004.

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 16

«Використання координат та векторів при вирішенні математичних завдань»

Мета уроку:

1) Узагальнити теоретичні знанняна тему: «Використання координат і векторів під час вирішення математичних завдань».

2) Розглянути алгоритми розв'язання завдань темі «Використання координат і векторів під час вирішення математичних завдань», розв'язати задачі.

3) Формувати потреба до самопізнання, самоконтролю, досягнення поставленої мети.

Теоретичний матеріал

Схожа інформація:

1. F. Новий максимум цін супроводжується збільшенням обсягу, аналогічно точці А. Продовжуйте утримувати позицію на підвищення

Циліндр є геометричне тіло, обмежена двома паралельними площинами та циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, і бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриттяОтримані банки ми побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінкациліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхніциліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Цілі уроку:

Освітні: ввести поняття циліндра, конуса та кулі, познайомити учнів із формулами знаходження площ тіл обертання, сформувати вміння застосовувати формули (отримані знання)при вирішенні завдань на циліндр, конус та кулю;

Виховні: виховання уважності в учнів.

Розвиваючі: розвиток просторової уяви, логічного мислення, культури усного математичного мовлення.

План уроку:

1. Організаційний момент;
2. Пояснення нового матеріалу;
3. закріплення нового матеріалу;
4. Постановка домашнього завданнята підбиття підсумків уроку.

Обладнання:Комп'ютер, проектор, екран.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

ІІ. Пояснення нового матеріалу.

Сьогодні на уроці ми познайомимося з новими для вас поняттями: поняттям циліндра, конуса та сфери, площами бічних поверхонь даних тіл та розглянемо перерізи циліндра та конуса різними площинами, а також взаємне розташування сфери та площини.

1. Почнемо ми з поняття циліндра.

Розглянемо дві паралельні площини та коло L з центром у точці O радіуса r, розташовану в площині (слайд 2). Через кожну точку кола L проведемо пряму, перпендикулярну до площини.

Відрізки цих прямих, укладені між площинами і утворюють циліндричну поверхню. Самі відрізки називаються утворюючимициліндричної поверхні.

Тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома колами з межами L і L 1 називається циліндром(Слайд 2).

Циліндрична поверхня називається бічною поверхнеюциліндра, а кола – основами циліндра.

Утворювальні циліндричної поверхні називаються утворюючими циліндра, пряма OO 1 – віссю циліндра.

Всі утворювальні циліндри паралельні і рівні один одному. Чому? (як відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами).

Довжина твірної називається заввишкициліндра, а радіус основи – радіусомциліндра.

Діти, давайте зобразимо у своїх зошитах циліндр і запишемо його визначення.

Циліндр може бути отриманий обертанням прямокутника навколо однієї з сторін (слайд 2).

Тепер давайте знайдемо площу повної поверхні конуса. Які будуть пропозиції? (Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площ бічної поверхні та основи) Чому дорівнює площа основи конуса? () А площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи на твірну, тобто. (Пояснити). Тоді отримуємо, що .

Про усіченому конусіВи прочитаєте вдома (стор.125) і зробите конспект цього пункту.

3. Поняття з фера та куля.

- Сфероюназивається поверхня, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані від цієї точки (слайд 6).

Ця точка називається центромсфери, а ця відстань – радіусомсфери. Відрізок, що з'єднує дві точки сфери та проходить через її центр, називається діаметромсфери.

Сфера може бути отримана обертанням півкола навколо її діаметра (слайд 6).

Тіло, обмежена сферою, називається кулею. Центр, радіус та діаметр сфери називаються також центром, радіусом та сферою кулі.

А тепер, хлопці, давайте виведемо рівняння сфери радіусу Rз центром у точці C(x 0 , y 0 , z 0). Зображуємо в зошитах малюнок такий самий, як у мене (слайд 7).

Відстань від довільної точки M (x, y, z)до точки Cобчислюється за формулою. Якщо точка M лежить у цій сфері, чи , тобто. координати точки M задовольняють рівняння.

Якщо ж точка M (x, y, z)не лежить у цій сфері, те , тобто. координати точки Mне задовольняють рівняння. Отже, у прямокутній системі координат рівняння сфери радіусу Rз центром у точці C(x 0 , y 0 , z 0)має вигляд . Запишемо це собі у зошит. У кого є питання?

Розглянемо перерізу циліндра різними площинами. Якщо січна площина проходить через вісь циліндра, то переріз є прямокутником, дві сторони якого – утворюють, а дві інші – діаметри основ циліндра (слайд 8). Такий переріз називається осьовим.

Якщо січна площина перпендикулярна до осі циліндра, перетин є кругом (слайд 8). Зображаємо у себе в зошитах.

Розглянемо перерізи конуса різними площинами. Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то переріз є рівнобедреним трикутником. (чому?), основа якого – діаметр основи конуса, а бічні сторони – утворюють конуса. Такий переріз називається осьовим.

Якщо січна площина перпендикулярна до осі конуса, то переріз є коло, розташованим на осі конуса. Зображаємо у себе в зошитах перерізу конуса. Давайте звіримо малюнки, подивіться на екран (слайд 8).

Про взаємне розташуваннясфери та площини ви дізнаєтеся самостійно, зараз поговоримо про дотичну площину до сфери.

Записуємо визначення: площина, що має зі сферою лише одну загальну точку, називається дотичною площиною до сфери, а їхня загальна точка називається точкою торканняплощини та сфери (слайд 10).

Дотична площина до сфери має таку властивість:

Теорема. Радіус сфери, проведений у точку торкання сфери та площини, перпендикулярний до дотичної площини.

Доведення.

Повернемося до нашого малюнку. Доведемо, що радіус перпендикулярний до площини .

Припустимо, що це негаразд. Тоді радіус є похилою до площини, і, отже, відстань від центру сфери до площини менша за радіус сфери. Тому сфера та площина перетинаються по колу. Але це суперечить з того що площина – дотична, тобто. сфера та площина мають лише одну загальну точку. Отримане протиріччя доводить, що радіус перпендикулярний до площини . Теорему доведено.

Вірна та зворотна теорема . Давайте сформулюємо її разом (якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, то ця площина є дотичною до сфери)

Формула обчислення площі сферы: .

ІІІ. Закріплення нового матеріалу.

Завдання 539. Скільки знадобиться фарби, щоб пофарбувати бак циліндричної форми з діаметром основи 1,5 м та висотою 3 м, якщо на один квадратний метрвитрачається 200 г фарби?

Тепер перевіримо, як ви засвоїли матеріал. (Залежно від умов проведення уроку тест може бути представлений учням в електронному варіанті або у друкованому.)

Вирішіть тест (друкований варіант). Я вам зараз видам таблицю, у першому рядку таблиці записано номери завдань, у другому рядку ви пишете номери правильних відповідей.

IV. Постановка домашнього завдання та підбиття підсумків уроку.

Домашнє завдання: підручник глава VI (вивчити основні визначення, теореми), завдання 541

Підсумки: на даному заняттіми познайомилися з такими поняттями як циліндр, конус, куля та сфери (показати

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємних фігурах.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми повсякденному життідостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точкиотримали назву «утворюючі».

Важливо, що основи циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множиниутворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один із елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндраутворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо даний кутвідрізняється від 90 °, циліндр - похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

У даному випадку, В результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ та бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі основи (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частинаємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична формачастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.

Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса чи площу сфери – вважайте, що пощастило.

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого кола в раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.

Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у завданнях частини В варіантів ЄДІз математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких завданнях завдання формулюється, наприклад, так: «Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, поділену на».

А де ще застосовуються формули об'єму і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.