Теореми про кути. Теореми про кути, утворені двома паралельними прямими
Відеоурок про теореми про кути між двома паралельними прямими та їх січній містить матеріал, що представляє особливості будови теореми, приклади формування та докази зворотних теорем, наслідків з них. Завдання даного відеоуроку - поглибити поняття теореми, розклавши її на складові, розглянувши поняття зворотної теореми, формувати вміння будувати теорему, обернену до цієї, наслідків з теореми, формувати вміння доводити твердження.
Форма відеоуроку дозволяє вдало розставити акценти при демонстрації матеріалу, полегшуючи розуміння та запам'ятовування матеріалу. Тема даного відеоуроку складна та важлива, тому використання наочного посібника не лише доцільно, а й бажано. Він дає змогу підвищити якість навчання. Анімовані ефекти покращують виставу навчального матеріалу, наближають процес навчання до традиційного, а використання відео звільняє вчителя для поглиблення індивідуальної роботи.
Відеоурок починається з оголошення його теми. На початку уроку розглядається розкладання теореми на складові для кращого розумінняїї будови та можливостей для подальшого дослідження. На екрані демонструється схема, що демонструє, що теорема полягає в їхніх умовах і висновках. Поняття умови й укладання описується з прикладу ознаки паралельності прямих, зазначивши, частина твердження є умовою теореми, а висновок - укладанням.
Поглиблюючи отримані знання будову теореми, учням дається поняття теореми, зворотної даної. Вона утворюється в результаті заміни – умова стає укладанням, висновок – умовою. Щоб сформувати вміння учнів будувати теореми, обернені даними, вміння доводити їх, розглядаються теореми, обернені до тих, які розглянуті в уроці 25 про ознаки паралельності прямих.
На екрані відображається теорема, обернена до першої теореми, що описує ознаку паралельних прямих. Помінявши місцями умову і висновок, отримуємо твердження, що якщо пересічені січею будь-які паралельні прямі, то утворені при цьому навхрест кути, що лежать, будуть рівними. Доказ демонструється на малюнку, де зображені прямі а, b, а також січна, що проходить через ці прямі в їх точках M і N. На зображенні позначаються навхрест кути, що лежать ∠1 і ∠2. Необхідно довести їхню рівність. Спочатку в ході доказу робиться припущення, що ці кути не є рівними. Для цього через точку М проводиться деяка пряма Р. Будується кут ∠PMN, що є навхрест лежачим з кутом ∠2 по відношенню до MN. Кути ∠PMN і ∠2 за побудовою рівні, отже МРb. Висновок - через точку проведено дві прямі, паралельні b. Однак це неможливо, тому що не відповідає аксіомі паралельних прямих. Зроблене припущення виявляється помилковим, доводячи справедливість початкового затвердження. Теорему доведено.
Далі звертається учня на спосіб доказу, який був використаний в ході міркувань. Доказ, у якому передбачається помилковість доказуваного затвердження, називається у геометрії доказом протилежного. Цей спосібчасто використовується для підтвердження різних геометричних тверджень. У даному випадку, Припустивши, нерівність навхрест лежачих кутів, в ході міркувань виявилося протиріччя, що заперечує справедливість такого протиріччя.
Учням нагадується, що такий спосіб вже був використаний раніше у доказах. Прикладом цього є доказ теореми в уроці 12 про те, що дві прямі, які перпендикулярні до третьої, не перетинаються, а також докази наслідків в уроці 28 з аксіоми паралельності прямих.
Ще одне доведене слідство стверджує, що пряма перпендикулярна до обох паралельних прямих, якщо вона перпендикулярна до однієї з них. На малюнку зображуються прямі і b і перпендикулярна їм пряма с. Перпендикулярність прямої c а означає, що утворений з нею кут дорівнює 90°. Паралельність а і b, перетин їх прямої з означає, що пряма з перетинає b. Кут ∠2, утворений із прямою b, є навхрест лежачим до кута ∠1. Оскільки за умовою прямі паралельні, то дані кути рівні. Відповідно, величина кута ∠2 також дорівнюватиме 90°. Це означає, що пряма з виявилася перпендикулярною прямою b. Теорема, що розглядається, доведена.
Наступною доводиться теорема, обернена до другої ознаки паралельних прямих. Зворотна теорема стверджує, за умови паралельності двох прямих утворень відповідні кутибудуть рівними. Доказ починається з побудови січної с, паралельних між собою прямих а та b. Створені у своїй кути відзначаються малюнку. Є пара відповідних кутів, названі ∠1 і ∠2, також відзначений кут ∠3, який навхрест лежить куту ∠1. Паралельність а та b означає рівність ∠3=∠1 як навхрест лежачих. Враховуючи, що ∠3, ∠2 – вертикальні, вони також рівні. Наслідком таких рівностей є твердження, що ∠1=∠2. Теорема, що розглядається, доведена.
Остання доводиться на даному уроцітеорема - обернена до останньої ознаки паралельних прямих. Її текст свідчить, що у разі проходження через паралельні прямі деякою січною сума утворених при цьому односторонніх кутів дорівнює величині 180°. Хід доказу демонструється на малюнку, де зображені прямі а і b, що перетинаються із січною с. Необхідно довести, що величина суми односторонніх кутів дорівнюватиме 180°, тобто ∠4+∠1 = 180°. З паралельності прямих а і b випливає рівність відповідних кутів ∠1 та ∠2. Суміжність кутів ∠4, ∠2 означає, що у сумі вони становлять 180°. При цьому кути ∠1= ∠2 - отже, ∠1 у сумі з кутом ∠4 становитиме 180°. Теорему доведено.
Для глибшого розуміння, як формуються і доводяться зворотні теореми, окремо наголошується, що якщо теорема доведена і вірна, то це не означає, що також вірною буде зворотна теорема. Щоб це зрозуміти, наводиться простий приклад. Є теорема про те, що всі вертикальні кутирівні. Зворотна теорема звучить так, що всі рівні кути вертикальні, що не відповідає дійсності. Адже можна збудувати два рівних кута, які не будуть вертикальні. Це можна побачити на продемонстрованому малюнку.
Відеоурок «Теореми про кути, утворені двома паралельними прямими та січною» є наочним посібником, яке може бути використане вчителем на уроці геометрії, а також успішно сформувати уявлення про зворотних теоремахта наслідках, а також їх доказі при самостійному вивченніматеріалу, бути корисним у дистанційному навчанні.
\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))]]
Визначення
Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.
Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі.
Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.
Теорема
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусного заходудуги, яку він спирається.
Доведення
Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:
Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:
1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумідуг, куди вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Рис. 1.
2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (Котрий дорівнює різниціцих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, куди вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Рис. 2.
Наслідки
1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.
3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]
Визначення
Існує три типи взаємного розташуванняпрямий та кола:
1) пряма (a) перетинає коло у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань (d) від центру кола до прямої менше радіуса (R) кола (рис. 3).
2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, а їх загальна точка\ (B \) - Крапкою торкання. У цьому випадку (d = R) (рис. 4).
Теорема
1. Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.
2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.
Слідство
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.
Доведення
Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\):
Значить, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники\(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .
Слідство
Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]
Теорема про вугілля між січними
Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що ними висікаються.
Доведення
Нехай \(M\) - точка, з якої проведено дві січучі як показано на малюнку:
Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\), тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\)але кути \(\angle DAB\) і \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що і потрібно було довести.
Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.
Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доведення
\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.
З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]
Теорема про вугілля між хордою та дотичною
Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку дотику, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
Доведення
Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить (OB), перетинає (a) в точці (M). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Так як \(OA\) та \(OB\) - радіуси, то \(OA = OB\) і \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами
Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.
І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.
Доведення
1) Нехай (AB = CD). Доведемо, що менші півкола дуги .
По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)по обидва боки \(AO=BO=CO=DO\) і кут між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .
Теорема
Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.
Вірно і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.
Доведення
1) Нехай (AN = NB) . Доведемо, що (OQ perp AB) .
Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \ (ON \) - Медіана, проведена до основи, то вона також є і висотою, отже, \ (ON \ perp AB \) .
2) Нехай (OQ perp AB). Доведемо, що (AN = NB) .
Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, (AN = NB) .
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]
Теорема про створення відрізків хорд
Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.
Доведення
Нехай хорди (AB) і (CD) перетинаються в точці (E).
Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, оскільки вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) і (CBE\) подібні (за першою ознакою подоби трикутників).
Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \ (AE \ cdot BE = CE \ cdot DE \) .
Теорема про дотичну та січну
Квадрат відрізка дотичної дорівнює творусіче на неї зовнішню частину.
Доведення
Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Розглянемо трикутники \(MBA\) і \(MCA\): \(\angle M\) - загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). За теоремою про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.
З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Слідство
Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).
Теореми про кути, утворені
Геометрія, Розділ III, 7 клас
До підручника Л.С.Атанасяна
вчитель математики вищої категорії
МОУ «Упшинська основна загальноосвітня школа»
Оршанського району Республіки Марій Ел
Теорема, обернена даною
Теорема: У рівнобедреному трикутникукути при основі рівні .
Теорема: Якщо трикутник - рівнобедрений, то в ньому кути при підставі рівні .
Умова теореми (Дано): трикутник - рівнобедрений
Висновок теореми (Довести): кути при основі рівні
Умова теореми : кути при основі рівні
Висновок теореми : трикутник - рівнобедрений
НОВЕ ТВЕРДЖЕННЯ
Зворотній
теорема
Якщо у трикутнику два кути
рівні, то він - рівнобедрений .
Теорема, обернена даною
Чи завжди зворотне затвердженнявірно?
Теорема
Зворотна теорема
Якщо сума двох кутів дорівнює 180 0 , то кути - суміжні
Сума суміжних кутів
дорівнює 180 0 .
Якщо кути рівні,
то вони – вертикальні
Вертикальні кути рівні
Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до однієї з його сторін, є і медіаною, проведеною до цієї сторони, то цей трикутник - рівнобедрений
У рівнобедреному трикутнику, бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою
Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до однієї з його сторін, є і висотою, проведеною до цієї сторони, то цей трикутник - рівнобедрений
Е якщо трикутник - рівнобедрений, то бісектриса, проведена до основи , є і медіаною та висотою
Кути, утворені двома паралельними прямими та січній
Чи завжди правильне зворотне твердження?
Теорема
Зворотна теорема
Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то навхрест лежачі кути рівні
навхрест лежачі кути рівні то прямі паралельні .
Але це суперечить аксіомі паралельних , значить наше припущення неправильне
МЕТОД ВІД
ПРОТИ
Висуваємо припущення, протилежне тому, що треба довести
Шляхом міркувань приходимо до суперечності з відомою аксіомою чи теоремою
Робимо висновок про невірність нашого припущення та вірність утвердження теореми
Але це суперечить аксіомі паралельних
Отже, наше припущення неправильне
Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то навхрест кути, що лежать, рівні
СЛІДСТВО З ТЕОРЕМИ
Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої
Кути, утворені
двома паралельними прямими та січною
Теорема
Зворотна теорема
Якщо при перетині двох прямих січній відповідні кути рівні , то прямі паралельні .
Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то відповідні кути рівні
Кути, утворені
двома паралельними прямими та січною
Теорема
Зворотна теорема
Якщо при перетині двох прямих січній 0 , то прямі паралельні .
Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то сума односторонніх кутів дорівнює 180 0
Прямі а та b паралельні.
Знайдіть кут 2.
Прямі а та b паралельні.
Знайдіть невідомі кути
Прямі а та b паралельні.
Знайдіть невідомі кути
Знайдіть невідомі кути
Знайдіть невідомі кути
Знайдіть невідомі кути
Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо сума двох навхрест лежачих кутів дорівнює 100 0 .
Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо сума двох відповідних кутів дорівнює 260 0 .
Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо різниця двох односторонніх кутів дорівнює 50 0 .
Рибалко Павло
У цій презентації містяться: 3 теореми з доказами та 3 завдання на закріплення вивченого матеріалу з докладним рішенням. Презентація може бути корисною вчителю на уроці, тому що заощадить багато часу. Також її можна використовувати як узагальнююче повторення наприкінці навчального року.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Теореми про кутах, утворених двома паралельними прямими та січною. Виконавець: учень 7 «А» класу Рибалко Павло м. Митищі, 2012 рік
Теорема: Якщо дві паралельні прямі пересічені січною, то навхрест кути, що лежать, рівні. а в А В 1 2 1 = 2 c
Нехай прямі АВ і СD паралельні, МN - їх січна. Доведемо, що навхрест кути 1 і 2, що лежать, рівні між собою. Припустимо, що 1 та 2 не рівні. Проведемо через точку О пряму К F. Тоді при точці О можна побудувати KON , навхрест лежачий і рівний 2. Але якщо KON = 2, то пряма К F буде паралельна СD. Отримали, що через точку Про проведено дві прямі АВ і F, паралельні прямий СD. Але цього може бути. Ми дійшли суперечності, тому що припустили, що 1 і 2 не рівні. Отже, наше припущення є неправильним і 1 має дорівнювати 2, тобто навхрест кути, що лежать, рівні. F
Теорема: Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то відповідні кути рівні. а в А В 1 2 1 = 2
Доказ: 2 а в АВ 3 1 Нехай паралельні прямі а і b перетнуті січною АВ, то навхрест 1 і 3, що лежать, будуть рівні. 2 та 3 рівні як вертикальні. З рівностей 1 = 3 та 2 = 3 випливає, що 1 = 2. Теорема доведена
Теорема: Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то сума односторонніх кутів дорівнює 180°. а в АВ 3 1 1 + 3 = 180°
Доказ: Нехай паралельні прямі а і b перетнуті секучою АВ, то відповідні 1 і 2 дорівнюють, 2 і 3 – суміжні, тому 2 + 3 = 180 °. З рівностей 1 = 2 і 2 + 3 = 180° випливає, що 1 + 3 = 180°. Теорему доведено. 2 а в А В 3 1
Рішення: 1. Нехай Х – це 2, тоді 1 = (Х+70°), т.к. сума кутів 1 і 2 = 180°, тому що вони суміжні. Складемо рівняння: Х+ (Х+70°) = 180° 2Х = 110° Х = 55° (Кут 2) 2. Знайдемо 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, т.е. до. вони вертикальні. 3 = 5, т.к. вони навхрест лежать. 125° 5 = 7, т.к. вони вертикальні. 2 = 4, т.к. вони вертикальні. 4 = 6, т.к. вони навхрест лежать. 55 ° 6 = 8, т.к. вони вертикальні. Завдання №1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Умова: знайдіть усі кути, утворені при перетині двох паралельних A і B січної C, якщо один із кутів на 70° більший за інший.
Рішення: 1. Т.к. 4 = 45°, то 2 = 45°, тому що 2 = 4(як відповідні) 2. 3 зміщений з 4, тому 3+ 4=180°, і з цього випливає, що 3 = 180 ° - 45 ° = 135 °. 3. 1 = 3, т.к. вони навхрест лежать. 1 = 135 °. Відповідь: 1 = 135 °; 2=45°; 3 = 135 °. Завдання №2: A B 1 Умова: на малюнку прямі А II B і C II D, 4 = 45 °. Знайти кути 1, 2, 3. 3 2 4
Рішення: 1. 1= 2, т.к. вони вертикальні, отже 2= 45°. 2. 3 зміщений з 2, тому 3+ 2=180°, і з цього випливає, що 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, т.к. вони однобічні. 4 = 45 °. Відповідь: 4 = 45 °; 3 = 135 °. Завдання №3: A B 2 Умова: дві паралельні прямі А і B пересічені січною С. Знайти, до чого дорівнюють 4 і 3, якщо 1=45°. 3 4 1
