Хтось винайшов теорію ймовірності. Теорія імовірності

ВСТУП

Багато речей нам незрозумілі не тому, що наші поняття слабкі;
але тому, що ці речі не входять до кола наших понять.
Козьма Прутков

Основна мета вивчення математики в середніх спеціальних навчальних закладахполягає в тому, щоб дати студентам набір математичних знань та навичок, необхідних для вивчення інших програмних дисциплін, що використовують у тій чи іншій мірі математику, для вміння виконувати практичні розрахунки, для формування та розвитку логічного мислення.

У цій роботі послідовно вводяться всі базові поняття розділу математики "Основи теорії ймовірностей та математичної статистики", передбачені програмою та Державними освітніми стандартами середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002 р.), формулюються основні теореми, більшість яких не доводиться . Розглядаються основні завдання та методи їх вирішення та технології застосування цих методів до вирішення практичних завдань. Виклад супроводжується докладними коментарями та численними прикладами.

Методичні вказівки можуть бути використані для первинного ознайомлення з матеріалом, що вивчається, при конспектуванні лекцій, для підготовки до практичним заняттям, Закріплення отриманих знань, умінь і навичок. Крім того, посібник буде корисним і студентам-старшокурсникам як довідковий посібник, що дозволяє швидко відновити в пам'яті те, що було вивчено раніше.

Наприкінці роботи наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Методичні вказівки призначені для студентів заочної та денний формнавчання.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Теорія ймовірностей вивчає об'єктивні закономірності масових подій. Вона є теоретичною базоюдля математичної статистики, що займається розробкою методів збирання, опису та обробки результатів спостережень. Шляхом спостережень (випробувань, експериментів), тобто. досвіду в широкому значенніслова, відбувається пізнання явищ справжнього світу.

В своїй практичної діяльностічасто зустрічаємося з явищами, результат яких неможливо передбачити, результат яких залежить від випадку.

Випадкове явище можна охарактеризувати ставленням числа його наступів до випробувань, у кожному з яких за однакових умов усіх випробувань воно могло наступити або не наступити.

Теорія ймовірностей є розділ математики, у якому вивчаються випадкові явища (події) і виявляються закономірності при їх повторенні.

Математична статистика - це розділ математики, який має своїм предметом вивчення методів збору, систематизації, обробки та використання статистичних даних для отримання науково обґрунтованих висновків та прийняття рішень.

При цьому під статистичними даними розуміється сукупність чисел, які представляють кількісні характеристики цікавих для нас ознак об'єктів, що вивчаються. Статистичні дані виходять у результаті спеціально поставлених дослідів, спостережень.

Статистичні дані за своєю сутністю залежить від багатьох випадкових чинників, тому математична статистика тісно пов'язані з теорією ймовірностей, що є її теоретичної основою.

I. ІМОВІРНІСТЬ. ТЕОРЕМИ ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ

1.1. Основні поняття комбінаторики

У розділі математики, який називається комбінаторикою, вирішуються деякі завдання, пов'язані з розглядом множин та складанням різних комбінацій з елементів цих множин. Наприклад, якщо взяти 10 різних цифр 0, 1, 2, 3,: 9 і складати з них комбінації, то будемо отримувати різні числанаприклад, 143, 431, 5671, 1207, 43 і т.п.

Ми бачимо, що деякі з таких комбінацій відрізняються лише порядком цифр (наприклад, 143 і 431), інші - цифрами, що входять до них (наприклад, 5671 і 1207), треті різняться і числом цифр (наприклад, 143 і 43).

Таким чином, отримані комбінації задовольняють різні умови.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій: перестановки, розміщення, поєднання.

Попередньо познайомимось із поняттям факторіалу.

Твір усіх натуральних чиселвід 1 до n включно називають n-факторіалом і пишуть.

Обчислити: а); б); в).

Рішення. а) .

б) Так як і , то можна винести за дужки

Тоді отримаємо

в) .

Перестановки.

p align="justify"> Комбінація з n елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.

Перестановки позначаються символом Р n , де n-число елементів, що входять до кожної перестановки. ( Р- перша літера французького слова permutation- Перестановка).

Число перестановок можна обчислити за формулою

або за допомогою факторіалу:

Запам'ятаємо, що 0!=1 та 1!=1.

Приклад 2. Скільки можна розставляти на одній полиці шість різних книг?

Рішення. Потрібне число методів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто.

Розміщення.

Розміщеннями з mелементів у nу кожному називаються такі з'єднання, які відрізняються один від одного або самими елементами (хоча б одним), або порядком з розташування.

Розміщення позначаються символом , де m- Число всіх наявних елементів, n- Число елементів у кожній комбінації. ( А-перша літера французького слова arrangement, Що означає "розміщення, упорядкування").

При цьому вважають, що nm.

Число розміщень можна обчислити за формулою

,

тобто. число всіх можливих розміщеньз mелементів по nодно твору nпослідовних цілих чисел, з яких є більше m.

Запишемо цю формулу у факторіальній формі:

Приклад 3. Скільки варіантів розподілу трьох путівок до санаторію різного профілю можна скласти для п'яти претендентів?

Рішення. Шукане число варіантів дорівнює кількості розміщень з 5 елементів по 3 елементи, тобто.

.

Поєднання.

Поєднаннями називаються всі можливі комбінації з mелементів по n, які відрізняються один від одного принаймні хоча б одним елементом (тут mі n-натуральні числа, причому n m).

Число поєднань з mелементів по nпозначаються ( З-перша буква французького слова combination- Поєднання).

У загальному випадкучисло з mелементів по nдорівнює кількості розміщень з mелементів по n, поділеному на число перестановок з nелементів:

Використовуючи для чисел розміщень та перестановок факторіальні формули, отримаємо:

Приклад 4. У бригаді з 25 чоловік потрібно виділити чотирьох для роботи на певній ділянці. Скільки способами це можна зробити?

Рішення. Оскільки порядок обраних чотирьох осіб немає значення, це можна зробити способами.

Знаходимо за першою формулою

.

Крім того, при вирішенні задач використовуються такі формули, що виражають основні властивості поєднань:

(За визначенням вважають і);

.

1.2. Розв'язання комбінаторних завдань

Завдання 1. На факультеті вивчається 16 предметів. На понеділок потрібно в розклад поставити 3 предмети. Скільки можна це зробити?

Рішення. Способів постановки на розклад трьох предметів з 16 стільки, скільки можна скласти розміщень з 16 елементів по 3.

Завдання 2. З 15 об'єктів слід відібрати 10 об'єктів. Скільки способами це можна зробити?

Завдання 3. У змаганнях взяли участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?

.

Завдання 4. Скільки способами можна скласти дозор з трьох солдатів і одного офіцера, якщо є 80 солдатів і 3 офіцери?

Рішення. Солдат у дозор можна вибрати

методами, а офіцерів методами. Так як з кожною командою з солдатів може піти будь-який офіцер, то є способів.

Завдання 5. Знайти , якщо відомо, що .

Так як , то отримаємо

,

,

За визначенням поєднання слід, що , . Т.о. .

1.3. Поняття про випадковій події. Види подій. Ймовірність події

Будь-яка дія, явище, спостереження з декількома різними наслідками, що реалізується при даному комплексіумов, називатимемо випробуванням.

Результат цієї дії чи спостереження називається подією .

Якщо подія при заданих умовможе статися чи не статися, то воно називається випадковим . У тому випадку, коли подія повинна неодмінно відбутися, її називають достовірним , а в тому випадку, коли воно свідомо не може статися, - неможливим.

Події називаються несумісними якщо кожен раз можлива поява тільки одного з них.

Події називаються спільними якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появу іншого при тому ж випробуванні.

Події називаються протилежними , якщо за умов випробування вони, будучи єдиними його результатами, несовместны.

Події прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту: А, В, С, Д, : .

Повною системою подій А 1 , А 2 , А 3 , : , А n називається сукупність несумісних подій, наступ хоча одного з яких обов'язково при даному випробуванні.

Якщо повна система складається з двох несумісних подій, такі події називаються протилежними і позначаються А і .

приклад. У коробці є 30 пронумерованих куль. Встановити, які з таких подій є неможливими, достовірними, протилежними:

дістали пронумеровану кулю (А);

дістали кулю з парним номером (В);

дістали кулю з непарним номером (С);

дістали кулю без номера (Д).

Які їх утворюють повну групу?

Рішення . А- достовірна подія; Д- неможлива подія;

В і З- Протилежні події.

Повну групу подій складають Аі Д, Ві З.

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

1.4. Класичне визначенняймовірності

Число, що є виразом міри об'єктивної можливості настання події, називається ймовірністю цієї події і позначається символом Р(А).

Визначення. Ймовірністю події Аназивається відношення числа результатів m, що сприяють настанню цієї події Адо числа nвсіх результатів (неспільних, єдино можливих і рівноможливих), тобто. .

Отже, знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, підрахувати всі можливі несовместные результати n,вибрати число цікавих для нас результатів m і обчислити ставлення mдо n.

З цього визначення випливають такі характеристики:

Імовірність будь-якого випробування є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці.

Дійсно, число m подій, що шукаються, укладено в межах . Розділивши обидві частини на n, отримаємо

2. Можливість достовірного події дорівнює одиниці, т.к. .

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю, оскільки .

Завдання 1. У лотереї із 1000 квитків є 200 виграшних. Виймають навмання один квиток. Чому дорівнює можливість того, що цей квиток виграшний?

Рішення. Загальна кількість різних результатів є n=1000. Число результатів, що сприяють отриманню виграшу, становить m=200. Згідно з формулою, отримаємо

.

Завдання 2. У партії із 18 деталей перебувають 4 браковані. Навмання вибирають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що із цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Рішення. Число всіх рівноможливих незалежних результатів nдорівнює кількості поєднань з 18 по 5 тобто.

Підрахуємо число m, що сприяють події А. Серед 5 взятих навмання деталей має бути 3 якісних та 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:

Число способів вибірки трьох якісних деталей з 14 наявних якісних дорівнює

.

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому загальне числокомбінацій mскладає

Шукана ймовірність події А дорівнює відношенню числа результатів m, що сприяють цій події, до n всіх рівноможливих незалежних результатів:

.

Сумою кінцевого числаподій називається подія, що полягає у настанні хоча б одного з них.

Суму двох подій позначають символом А+В, а суму nподій символом А1+А2+: +Аn.

Теорема складання ймовірностей.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Наслідок 1. Якщо подія А 1 , А 2 , :, n утворюють повну систему, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

.

Завдання 1. Є 100 лотерейних білетів. Відомо, що на 5 квитків потрапляє виграш по 20000 руб., на 10 – по 15000 руб., на 15 – по 10000 руб. і на решту нічого. Знайти ймовірність того, що на куплений квиток буде отримано виграш не менше ніж 10000 руб.

Рішення. Нехай А, У, і С- події, які у тому, що у куплений квиток падає виграш, рівний відповідно 20000, 15000 і 10000 крб. оскільки події А, В та С несумісні, то

Завдання 2. заочне відділеннятехнікуму надходять контрольні роботи з математики з міст А, Ві З. Імовірність надходження контрольної роботи з міста Адорівнює 0,6, із міста У- 0,1. Знайти ймовірність того, що чергова контрольна роботанадійде з міста З.

Як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися у наочних уявленнях. Найкращі ранні роботивчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII віці. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірні закономірності, що виникають при киданні кісток. Під впливом порушених і розглянутих ними питань вирішенням тих самих завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля та Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій запроваджуються основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне очікуваннядля дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використовуються теореми складання та множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657) видання листів Паскаля і Ферма (1679).

Важливий внесок у теорію ймовірностей зробив Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел у найпростішому випадку незалежних випробувань. У першій половині ХІХ століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас та Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття основний внесок зробили російські вчені П. Л. Чебишев, А. А. Марков та А. М. Ляпунов. У цей час було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасний виглядтеорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, запропонованої Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. В результаті теорія ймовірностей набула суворого математичний вигляді остаточно стала сприйматися як один із розділів математики.

Основні поняття теорії

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Теорія ймовірностей"

Примітки

Вступні посилання

• Ймовірностей теорія // Велика радянська енциклопедія: [30 т.] / гол. ред. А. М. Прохоров. - 3-тє вид. -М. : Радянська енциклопедія, 1969-1978.
• - стаття з енциклопедії «Кругосвіт»

Література

А

• Ахтямов, А. М. «Економіко-математичні методи»: навч. посібник Башк. держ. ун-т. – Уфа: БДУ, 2007.
• Ахтямов, А. М. «Теорія ймовірностей». - М: Фізматліт, 2009

Б

• Боровков, А. А. "Математична статистика", М: Наука, 1984.
• Боровков, А. А. "Теорія імовірності", М: Наука, 1986.
• Булдик, Г. М. , Мн., Вищ. шк., 1989.
• Булінський, А. Ст, Ширяєв, А. М. «Теорія випадкових процесів» , М.: Фізматліт, 2003.
• Бекарєва, Н. Д. "Теорія імовірності. Конспект лекцій", Новосибірськ НДТУ
• Баврін, І. І. « Вища математика»(Частина 2 «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики»), М.: Наука, 2000.

У

• Вентцель Є. З. Теорія імовірності.- М: Наука, 1969. - 576 с.
• Вентцель Є. З.Теорія імовірності. – 10-те вид., стер. – М.: «Академія», 2005. – 576 с. - ISBN 5-7695-2311-5.

Г

• Гихман І. І., Скороход А. В. Введення в теорію випадкових процесів. - М: Наука, 1977.
• Гмурман, Ст Є. «Теорія ймовірностей та математична статистика»: Навч. посібник - 12-те вид., перераб.- М.: Вища освіта, 2006.-479 с.: іл (Основи наук).
• Гмурман, Ст Є. «Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики» : Навч. посібник - 11-те вид., перераб. – К.: Вища освіта, 2006.-404 с. (Основи наук).
• Гнєденко, Б. В. «Курс теорії ймовірностей», - М: Наука, 1988.
• Гнєденко, Б. В. «Курс теорії ймовірностей», УРСС. М: 2001.
• Гнеденко Б. В., Хінчін А. Я., 1970.
• Гурський Є. І. «Збірник завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики», - Мінськ: вища школа, 1975.

Д

• П. Є. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевніков. Вища математика у вправах та завданнях. (У 2-х частинах) - М.: Вищ.шк, 1986.

Е

• А. В. Єфімов, А. Є. Поспєлов та ін. 4 частина // Збірник задач з математики для втузів. - 3-тє вид., перероб. та доповн.. – М.: «Фізматліт», 2003. – Т. 4. – 432 с. - ISBN 5-94052-037-5.

До

• Колемаєв, Ст А. та ін. «Теорія ймовірностей та математична статистика», - М: Вища школа, 1991.
• Колмогоров, О. М. «Основні поняття теорії ймовірностей», М: Наука, 1974.
• Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Збірник завдань та вправ з теорії ймовірностей», Новосибірськ, 1997.
• Коршунов, Д. А., Чернова, Н. І. «Збірник завдань та вправ з математичної статистики», Новосибірськ. 2001.
• Кремер Н. Ш. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник для ВНЗ. - 2- вид., перероб. та доп.-М: ЮНІТІ-ДАНА, 2004. – 573 с.
• Кузнєцов, А. В. «Застосування критеріїв згоди при математичне моделювання економічних процесів» , Мн.: БГІНХ, 1991.

Л

• Лихолетов І. І., Мацкевич І. Є. «Керівництво до вирішення завдань з вищої математики, теорії ймовірностей та математичної статистики», Мн: Виш. шк., 1976.
• Лихолетов І. І. «Вища математика, теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1976.
• Лоєв М.В "Теорія імовірності", - М: Видавництво іноземної літератури, 1962.

М

• Маньковський Б. Ю., "Таблиця ймовірності".
• Мацкевич І. П., Свірід Г. П. "Вища математика. Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1993.
• Мацкевич І. П., Свирид Г. П., Булдик Г. М. «Збірник завдань та вправ з вищої математики. Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1996.
• Мейєр П.-А. Імовірність та потенціали. Видавництво Мир, Москва, 1973.
• Млодінов Л.

П

• Прохоров, А. Ст, Ст Р. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Завдання з теорії ймовірностей», наука. М: 1986.
• Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А. "Теорія імовірності", - М: Наука, 1967.
• Пугачов, В. С. «Теорія ймовірностей та математична статистика», наука. М: 1979.

Р

• Ротар Ст І., "Теорія імовірності", - М: Вища школа, 1992.

З

• Свєшніков А. А. та ін., «Збірник завдань з теорії ймовірностей, математичної статистики та теорії випадкових функцій» , - М: Наука, 1970.
• Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. І. «Рішення завдань математичної статистики на ПЕОМ», Мн., вищ. шк., 1996.
• Севастьянов Би. А., «Курс теорії ймовірностей та математичної статистики», - М: Наука, 1982.
• Севастьянов, Би. А., Чистяков, Ст П., Зубков, А. М. «Збірник завдань з теорії ймовірностей», М: Наука, 1986.
• Соколенко О. І., "Вища математика", підручник. М: Академія, 2002.

Ф

• Феллер, Ст. «Введення в теорію ймовірностей та її застосування».

Х

• Хамітов, Г. П., Ведернікова, Т. І. «Вірогідності та статистики», БДУЕП. Іркутськ.: 2006.

Ч

• Чистяков, В. П. «Курс теорії ймовірностей», М., 1982.
• Чернова, Н. І. «Теорія ймовірностей», Новосибірськ. 2007.

Ш

• Шейнін О. Б.Берлін: NG Ferlag, 2005, 329 с.
• Ширяєв, А. Н. «Вірогідність», наука. М: 1989.
• Ширяєв, А. Н. «Основи стохастичної фінансової математики У 2-х т.», ФАЗИС. М: 1998.

Уривок, що характеризує Теорія ймовірностей

Через годину після цього Дуняша прийшла до княжни з звісткою, що прийшов Дрон і всі мужики, за наказом княжни, зібралися біля комори, бажаючи переговорити з пані.
– Та я ніколи не кликала їх, – сказала княжна Марія, – я тільки сказала Дронушці, щоб роздати їм хліба.
— Тільки ради бога, княжна матінко, накажіть їх прогнати і не ходіть до них. Все обман один, – казала Дуняша, – а Яків Алпатич приїдуть, і поїдемо… і ви не будьте ласкаві…
- Який же обман? – здивовано спитала княжна
- Та я знаю, тільки послухайте мене, заради бога. От і няньку хоч спитайте. Кажуть, не згодні їхати за вашим наказом.
- Ти що-небудь не те кажеш. Та я ніколи не наказувала їхати... – сказала князівна Марія. - Поклич Дронушку.
Дрон, що прийшов, підтвердив слова Дуняші: мужики прийшли за наказом княжни.
– Та я ніколи не кликала їх, – сказала княжна. - Ти, мабуть, не так передав їм. Я тільки сказала, щоб ти віддав їм хліб.
Дрон, не відповідаючи, зітхнув.
- Якщо накажете, вони підуть, - сказав він.
– Ні, ні, я піду до них, – сказала княжна Мар'я
Незважаючи на відмовляння Дуняші та няні, княжна Марія вийшла на ґанок. Дрон, Дуняша, няня та Михайло Іванович ішли за нею. «Вони, мабуть, думають, що я пропоную їм хліб для того, щоб вони залишилися на своїх місцях, і сама поїду, кинувши їх на свавілля французів, – думала княжна Мар'я. – Я їм обіцятиму місячину в підмосковній квартирі; я впевнена, що Andre ще більше зробив би на моєму місці», - думала вона, підходячи в сутінках до натовпу, що стояв на вигоні біля комори.
Натовп, нудьгуючи, заворушився, і швидко знялися капелюхи. Княжна Мар'я, опустивши очі і плутаючись ногами у сукні, близько підійшла до них. Стільки різноманітних старих і молодих очей було спрямоване на неї і стільки було різних осіб, що княжна Мар'я не бачила жодної особи і, відчуваючи необхідність говорити раптом з усіма, не знала, як бути. Але знову свідомість того, що вона – представниця батька та брата, надало їй сили, і вона сміливо розпочала свою промову.
— Я дуже рада, що ви прийшли, — почала княжна Мар'я, не зводячи очей і відчуваючи, як швидко і сильно билося її серце. - Мені Дронушка сказав, що вас розорила війна. Це наше спільне горе, І я нічого не пошкодую, щоб допомогти вам. Я сама їду, бо вже небезпечно тут і ворог близько... бо... Я вам віддаю все, мої друзі, і прошу вас взяти все, весь хліб наш, щоб у вас не було потреби. А якщо вам сказали, що я віддаю вам хліб, щоб ви залишилися тут, то це неправда. Я, навпаки, прошу вас їхати з усім вашим майном у нашу підмосковну, і там я беру на себе і обіцяю вам, що ви не потребуватимете. Вам дадуть і будинки, і хліба. - Княжна зупинилася. У натовпі тільки чулися зітхання.
– Я не від себе роблю це, – продовжувала княжна, – я це роблю ім'ям покійного батька, який був вам гарним паном, і за брата, та його сина.
Вона знову зупинилася. Ніхто не переривав її мовчання.
– Горе наше спільне, і ділитимемо все навпіл. Все, що моє, то ваше, – сказала вона, оглядаючи обличчя, що стояли перед нею.
Всі очі дивилися на неї з однаковим виразом, Значення якого вона не могла зрозуміти. Чи це була цікавість, відданість, подяка, чи переляк і недовіра, але вираз на всіх обличчях був однаковий.
– Багато задоволені вашою милістю, тільки нам брати панський хліб не доводиться, – сказав ззаду голос.
- Та чому ж? - Сказала княжна.
Ніхто не відповів, і княжна Мар'я, озираючись по натовпу, помічала, що тепер усі очі, з якими вона зустрічалася, одразу ж опускалися.
- Чому ж ви не хочете? - Запитала вона знову.
Ніхто не відповів.
Княжне Мар'ї ставало тяжко від цього мовчання; вона намагалася вловити чийсь погляд.
- Чому ви не кажете? - звернулася княжна до старого старого, який, спершись на ціпок, стояв перед нею. - Скажи, якщо ти думаєш, що ще що-небудь потрібно. Я все зроблю, - сказала вона, вловивши його погляд. Але він, ніби розсердившись за це, опустив зовсім голову і промовив:
- Чого погоджуватися те, не треба нам хліба.
– Що ж, нам усе кинути щось? Не згодні. Не згодні... Немає нашої згоди. Ми тебе шкодуємо, а нашої згоди нема. Їдь сама, одна… – пролунало в натовпі з різних сторін. І знову на всіх обличчях цього натовпу з'явився один і той же вираз, і тепер це був уже напевно не вираз цікавості та вдячності, а вираз озлобленої рішучості.
– Та ви не зрозуміли, мабуть, – з сумною посмішкою сказала княжна Мар'я. – Чому ви не хочете їхати? Я обіцяю вас поселити, годувати. А тут ворог розорить вас.
Але її голос заглушали голоси натовпу.
– Немає нашої згоди, хай розоряє! Не беремо твого хліба, немає згоди нашої!
Княжна Мар'я намагалася вловити знову чийсь погляд з натовпу, але жоден погляд не був спрямований на неї; очі, очевидно, уникали її. Їй стало дивно і ніяково.
- Бач, навчила спритно, за нею у фортецю йди! Вдома розори та в кабалу і йди. Як же! Я хліб, мовляв, віддам! – чулися голоси у натовпі.
Княжна Мар'я, опустивши голову, вийшла з кола і пішла до хати. Повторивши Дрону наказ про те, щоб завтра були коні для від'їзду, вона пішла до своєї кімнати і залишилася сама зі своїми думками.

Довго цієї ночі княжна Мар'я сиділа біля відчиненого вікна у своїй кімнаті, прислухаючись до звуків говірки мужиків, що долинало з села, але вона не думала про них. Вона відчувала, що, хоч би скільки вона думала про них, вона не могла б зрозуміти їх. Вона думала все про одне - про своє горе, яке тепер, після перерви, проведеної турботами про сьогодення, вже стало для неї минулим. Вона тепер могла згадувати, могла плакати і могла молитися. З заходом сонця вітер стих. Ніч була тиха та свіжа. О дванадцятій годині голоси стали затихати, заспівав півень, з-за лип стала виходити повний місяць, піднявся свіжий, білий туманроса, і над селом, і над будинком запанувала тиша.
Одна за одною представлялися їй картини близького минулого – хвороби та останніх хвилинбатька. І з сумною радістю вона тепер зупинялася на цих образах, відганяючи від себе з жахом тільки одне останнє уявлення його смерті, яке – вона відчувала – вона не могла споглядати навіть у своїй уяві в цю тиху і таємничу годину ночі. І картини ці уявлялися їй з такою ясністю і такими подробицями, що вони здавались їй то дійсністю, то минулим, то майбутнім.
То їй жваво представлялася та хвилина, коли з ним став удар і його з саду в Лисих Горах тягли під руки і він бурмотів щось безсилим язиком, смикав сивими бровами і неспокійно і несміливо дивився на неї.
Він і тоді хотів сказати мені те, що він сказав мені в день своєї смерті, думала вона. – Він завжди думав те, що сказав мені». І ось їй з усіма подробицями згадалася та ніч у Лисих Горах напередодні удару, що стався з ним, коли княжна Марія, передчуваючи біду, проти його волі залишилася з ним. Вона не спала і вночі навшпиньки зійшла вниз і, підійшовши до дверей у квіткову, в якій цієї ночі ночував її батько, прислухалася до його голосу. Він змученим, втомленим голосом говорив щось із Тихоном. Йому, мабуть, хотілося поговорити. «І чому він мене не покликав? Чому він не дозволив мені бути тут на місці Тихона? – думала тоді й тепер княжна Марія. - Він уже не висловить ніколи нікому тепер усього того, що було в його душі. Ніколи вже не повернеться для нього і для мене ця хвилина, коли б він говорив усе, що йому хотілося висловити, а я, а не Тихін, слухала б і розуміла його. Чому я тоді не ввійшла до кімнати? – думала вона. - Можливо, він тоді сказав би те, що він сказав у день смерті. Він і тоді в розмові з Тихоном двічі спитав про мене. Йому хотілося мене бачити, а я стояла за дверима. Йому було сумно, важко говорити з Тихоном, який не розумів його. Пам'ятаю, як він заговорив з ним про Лізу, як живу, - він забув, що вона померла, і Тихін нагадав йому, що її вже немає, і він закричав: "Дурень". Йому важко було. Я чула з-за дверей, як він, крехтячи, ліг на ліжко і голосно прокричав: „Бог мій! Чому я не зійшла тоді? Що б він зробив мені? Що б я втратила? А може, тоді він би втішився, він сказав би мені це слово». І княжна Марія вголос промовила щось лагідне слово, що він сказав їй у день смерті. «Ду шенька! – повторила княжна Мар'я це слово і заридала сльозами, що полегшували душу. Вона бачила тепер перед собою обличчя. І не те обличчя, яке вона знала з того часу, як себе пам'ятала, і яке вона завжди бачила здалеку; а то обличчя - боязке і слабке, яке вона в останній день, пригинаючись до його рота, щоб чути те, що він говорив, вперше розглянула поблизу всіх його зморшок і подробиць.

Ліберт Олена

Азарт і спрага розбагатіти дали поштовх виникненню нової надзвичайно суттєвої математичної дисципліни: теорії ймовірностей У розробці її основ брали участь математики такого масштабу, як Паскаль та Ферма, Гюйгенс.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МБОУ ЗОШ №8 м. Ярцево Смоленської області

Проект з математики:

"Історія виникнення теорії ймовірностей"

Підготувала: учениця 11 класу

середньої школи №8 Ліберт Олена

Керівник: учитель математики

Борисенкова Ольга Володимирівна

Г. Ярцеве, 2015р.

Історія виникнення теорії ймовірностей…………………………………………………………..…...3

Середньовічна Європа та початок Нового часу……………………….4

XVII століття: Паскаль, Ферма, Гюйгенс…..………………………………….5

XVIII століття……..…………………………………………………………….7

ХІХ століття. Загальні тенденціїі критика……………………….…………..7

Застосування теорії ймовірності XIX-XX століттях……………….…..…8

1. Астрономія………………………………………………………….8
2. Фізика………………………….……………………………………9
3. Біометрія……………...……………………………………………9
4. Сільське господарство………………………..………………………..9
5. Промисловість …………………………………………………..10
6. Медицина…………………………………………………………....10
7. Біоінформатика……………...…………………………………….10
8. Економіка та банківська справа…….……………………………….11

Історія виникнення теорії ймовірностей

Французький дворянин, пан Де Мере, був азартним гравцем у кістки і пристрасно хотів розбагатіти. Він витратив багато часу, щоб відкрити таємницю гри у кістки. Він вигадував різні варіантиігри, припускаючи, що таким чином набуде великого стану. Так, наприклад, він пропонував кидати одну кістку по черзі чотири рази і переконував партнера, що принаймні один раз випаде при цьому шістка. Якщо за 4 кидки шістка не виходила, то вигравав супротивник.

У ті часи ще не існувала галузь математики, яку сьогодні ми називаємо теорією ймовірностей, а тому, щоб переконатися, чи вірні його припущення, пан Мере звернувся до свого знайомого, відомого математика та філософа Б. Паскаля з проханням, щоб він вивчив два знаменитих питанняПерший з яких він спробував вирішити сам. Запитання були такі:

Скільки разів треба кидати дві гральні кістки, щоб випадків випадання одразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидань?

Як справедливо розділити поставлені на кон двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Паскаль не тільки сам зацікавився цим, а й написав листа відомому математику П. Ферма, чим спровокував його зайнятися загальними законамиігри в кістки та ймовірністю виграшу.

Таким чином, азарт і спрага розбагатіти дали поштовх виникненню нової надзвичайно суттєвої математичної дисципліни: теорії ймовірностей. У розробці її основ брали участь математики такого масштабу, як Паскаль і Ферма, Гюйгенс (1629-1695), який написав тракти "Про розрахунки при азартних іграх", Яків Бернуллі (1654-1705), Муавр (1667-1754), Лаплас ( 1749 - 1827), Гаусс (1777-1855) та Пуассон (1781-1840). В наш час теорія ймовірності використовується майже у всіх галузях знань: у статистиці, синоптиці (прогноз погоди), біології, економіці, технології, будівництві тощо.

Середньовічна Європа та початок Нового часу

Перші завдання імовірнісного характерувиникли в різних азартних іграх - кістках, картах та ін Французький канонік XIII століття Рішар де Фурніваль правильно підрахував усі можливі суми очок після кидка трьох кісток і вказав кількість способів, якими може вийти кожна з цих сум. Цю кількість способів можна розглядати як першу числову міру очікуваності події, аналогічну ймовірності. До Фурнівалю, а іноді і після нього, цей захід часто підраховували невірно, вважаючи, наприклад, що суми 3 і 4 очки рівноймовірні, оскільки обидва можуть вийти «тільки одним способом»: за результатами кидка «три одиниці» та «двійка з двома» одиницями» відповідно. При цьому не враховувалося, що три одиниці насправді виходять лише одним способом: ~1+1+1, а двійка з двома одиницями - трьома: ~1+1+2;\;1+2+1;\;2+ 1+1, тому ці події не рівноймовірні. Аналогічні помилки неодноразово зустрічалися і в подальшої історіїнауки.

У великій математичній енциклопедії «Сума арифметики, геометрії, відносин і пропорцій» італійця Лукі Пачолі (1494) містяться оригінальні завдання на тему: як поділити ставку між двома гравцями, якщо серію ігор перервано достроково. приклад подібного завдання: гра йде до 60 очок, переможець отримує всю ставку в 22 дукати, під час гри перший гравець набрав 50 очок, другий - 30, і тут гру довелося припинити; потрібно справедливо поділити вихідну ставку. Рішення залежить від того, що розуміти під «справедливим» розділом; сам Пачолі запропонував ділити пропорційно набраним очкам (55/4 та 33/4 дуката); Пізніше його рішення було визнано помилковим.

Розподіл суми очок після кидання двох кісток

Великий алгебраїст XVI століття Джероламо Кардано присвятив аналізу гри змістовну монографію «Книга про гру в кістки» (1526, опублікована посмертно). Кардано провів повний і безпомилковий комбінаторний аналіз для значень суми очок і вказав на різні події очікуване значення частки «сприятливих» подій: наприклад, при киданні трьох кісток частка випадків, коли значення всіх 3 кісток збігаються, дорівнює 6/216 або 1/36. Кардано зробив проникливе зауваження: реальна кількість досліджуваних подій може при невеликій кількості ігор сильно відрізнятися від теоретичного, але чим більше ігор у серії, тим частка цієї різниці менша. Фактично, Кардано близько підійшов до поняття ймовірності:

Отже, є одне загальне правилодля розрахунку: необхідно врахувати загальну кількість можливих випадень і число способів, якими можуть з'явитися дані випадання, а потім знайти відношення останнього числа до можливих випадень, що залишилися.

Інший італійський алгебраїст, Нікколо Тарталья, розкритикував підхід Пачолі до вирішення завдання про розділ ставки: адже якщо один із гравців ще не встиг набрати жодного очка, то алгоритм Пачолі віддає всю ставку його супернику, але це важко назвати справедливим, оскільки деякі шанси на виграш у відстаючого все ж таки є. Кардано і Тарталья запропонували свої (різні) методи поділу, але згодом і ці методи були визнані невдалими.

Дослідженням цієї теми займався і Галілео Галілей, який написав трактат «Про вихід очок при грі в кістки» (1718, опублікований посмертно). Виклад теорії гри у Галілея відрізняється вичерпною повнотою та ясністю. У своїй головній книзі «Діалог про два найголовніших системахсвіту, птоломєєвої та коперникової» Галілей також вказав на можливість оцінки похибки астрономічних та інших вимірювань, причому заявив, що малі помилки вимірювання ймовірніші, ніж великі, відхилення в обидві сторони рівноймовірні, а середній результатмає бути близьким до істинному значеннювимірюваної величини. Ці якісні міркування стали першим в історії пророкуванням нормального розподілупомилок.

XVII століття: Паскаль, Ферма, Гюйгенс

У XVII столітті почало формуватися виразне уявлення про проблематику теорії ймовірностей та з'явилися перші математичні (комбінаторні) методи вирішення ймовірнісних завдань. Засновниками математичної теоріїймовірностей стали Блез Паскаль та П'єр Ферма.

Перед цим математик-аматор шевальє де Мере звернувся до Паскаля з приводу так званої «завдання про окуляри»: скільки разів треба кидати дві кістки, щоб ставити на одночасне випадання хоча б разів дві шістки було вигідно? Паскаль і Ферма розпочали листування друг з одним щодо цього завдання та родинних питань (1654). У рамках цього листування вчені обговорили низку проблем, пов'язаних із ймовірнісними розрахунками; зокрема, розглядалося старе завдання про поділ ставки, і обидва вчені прийшли до рішення, що треба розділити ставку відповідно до шансів на виграш, що залишаються. Паскаль вказав де Мере на помилку, допущену ним при вирішенні «завдання про окуляри»: тоді як де Мере невірно визначив рівноймовірні події, отримавши відповідь: 24 кидки, Паскаль дав правильну відповідь: 25 кидків.

Паскаль у своїх працях далеко просунув застосування комбінаторних методів, які систематизував у своїй книзі "Трактат про арифметичний трикутник" (1665). Спираючись на імовірнісний підхід, Паскаль навіть доводив (у посмертно опублікованих нотатках), що бути віруючим вигідніше, ніж атеїстом.

Гюйгенс спочатку використовував термін «вартість», а термін «очікування» з'явився вперше при перекладі трактату Гюйгенса Ван Схоутеном на Латинська моваі став загальноприйнятим у науці.

У книзі велике числозавдань, деякі з рішеннями, інші «для самостійного рішення». З останніх особливий інтересі жваве обговорення викликало «завдання про руйнування гравця». У дещо узагальненому вигляді вона формулюється так: у гравців A та B є a та b монет відповідно, у кожній грі виграється одна монета, ймовірність виграшу A у кожній грі дорівнює p, потрібно знайти ймовірність повного його руйнування. Повне спільне рішення«Завдання про руйнування» дав Абрахам де Муавр через півстоліття (1711). У наші дні ймовірнісна схема «завдання про руйнування» використовується при вирішенні багатьох завдань типу «випадкове блукання».

Гюйгенс проаналізував і завдання розділ ставки, давши її остаточне рішення: ставку треба розділити пропорційно до ймовірностей виграшу при продовженні гри. Він також вперше застосував ймовірнісні методи до демографічної статистики та показав, як розрахувати середню тривалістьжиття.

До цього ж періоду належать публікації англійських статистиків Джона Граунта (1662) та Вільяма Петті (1676, 1683). Обробивши дані більш ніж за сторіччя, вони показали, що багато хто демографічні характеристикилондонського населення, незважаючи на випадкові коливання, мають досить стійкий характер - наприклад, співвідношення числа новонароджених хлопчиків та дівчаток рідко відхиляється від пропорції 14 до 13, невеликі коливання та відсотки смертності від конкретних випадкових причин. Ці дані підготували наукову громадськість до нових ідей.

Граунт також уперше склав таблиці смертності – таблиці ймовірності смерті як функції віку. Питаннями теорії ймовірностей та її застосування до демографічної статистики зайнялися також Йоган Худде та Ян де Вітт у Нідерландах, які у 1671 році також склали таблиці смертності та використовували їх для обчислення розмірів довічної ренти. Більш детально дане колопитань було викладено у 1693 році Едмундом Галлеєм.

XVIII століття

На книгу Гюйгенса спиралися, що з'явилися в початку XVIIIстоліття трактати П'єра де Монмора «Досвід дослідження азартних ігор» (опублікований в 1708 і перевиданий з доповненнями в 1713) і Якоба Бернуллі «Мистецтво припущень» (опубліковано вже після смерті вченого, в тому ж 1713). Останній мав для теорії ймовірностей особливо велике значення.

XIX століття

Загальні тенденції та критика

У ХІХ столітті число робіт з теорії ймовірностей продовжувало зростати, були навіть компрометуючі науку спроби поширити її методи далеко за розумні межі - наприклад, на область моралі, психології, правозастосування і навіть богослов'я. Зокрема, валлійський філософ Річард Прайс, а слідом за ним і Лаплас, вважали за можливе розрахувати за формулами Байєса ймовірність майбутнього сходу Сонця, Пуассон намагався провести ймовірнісний аналіз справедливості судових вироків та достовірності показань свідків. Філософ Дж. С. Мілль в 1843, вказавши на подібні спекулятивні застосування, назвав обчислення ймовірностей «ганьбою математики». Ця та інші оцінки свідчили про недостатню суворість обґрунтування теорії ймовірностей.

Математичний апарат теорії ймовірностей тим часом продовжував удосконалюватись. Основною сферою її застосування у той період була математична обробка результатів спостережень, що містять випадкові похибки, а також розрахунки ризиків у страховій справі та інших статистичних параметрів. Серед головних прикладних завдань теорії ймовірностей та математичної статистики ХІХ століття можна назвати такі:

визначити ймовірність того, що сума незалежних випадкових величин з однаковим (відомим) законом розподілу перебуває у заданих межах. Особливу важливість ця проблема представляла для теорії помилок виміру, насамперед з метою оцінки похибки спостережень;

встановлення статистичної значимостівідмінності випадкових значеньчи серій таких значень. Приклад: порівняння результатів застосування нового та старого видів ліків для ухвалення рішення про те, чи справді нові ліки кращі;

Вивчення впливу заданого фактора на випадкову величину (факторний аналіз).

Вже до середині XIXстоліття формується імовірнісна теорія артилерійської стрілянини. У більшості великих країнЄвропи було створено національні статистичні організації. Наприкінці століття сфера застосування ймовірнісних методівпочала успішно поширюватися на фізику, біологію, економіку, соціологію.

Застосування теорії ймовірності у XIX-XX століттях.

У 19 і 20 століттях теорія ймовірностей проникає спочатку в науку (астрономію, фізику, біологію), потім у практику (сільське господарство, промисловість, медицину), і нарешті, після винаходу комп'ютерів, повсякденне життябудь-якої людини, яка користується сучасними засобамиотримання та передачі інформації. Простежимо застосування у різних галузях.

1.Астрономія.

Саме для використання в астрономії був розроблений знаменитий метод найменших квадратів” (Лежандр 1805, Гаус 1815). Головним завданням, Для вирішення якої він був спочатку використаний, став розрахунок орбіт комет, який доводилося робити за малою кількістю спостережень. Зрозуміло, що надійне визначення типу орбіти (еліпс чи гіпербола) і точний розрахунок її параметрів виявляється важким, оскільки орбіта спостерігається лише на невеликій ділянці. Метод виявився ефективним, універсальним і викликав бурхливі суперечки про пріоритет. Його стали використовувати в геодезії та картографії. Зараз, коли мистецтво ручних розрахунків втрачено, важко уявити, що з складанні карт світового океану в 1880-х роках в Англії методом найменших квадратів було чисельно вирішено систему, що з приблизно 6000 рівнянь із кількома сотнями невідомих.

2.Фізика.

У другій половині 19 століття була в роботах Максвелла, Больцмана та Гіббса була розвинена статистична механіка, Яка описувала стан розряджених систем, що містять величезну кількість частинок (порядку числа Авогадро). Якщо раніше поняттярозподілу випадкової величинибуло переважно пов'язане з розподілом помилок виміру, то тепер розподіленими виявилися найбільш різні величини- Швидкості, енергії, довжини вільного пробігу.

3. Біометрія.

У 1870-1900 роках бельгієць Кетле та англійці Френсіс Гальтон та Карл Пірсон заснували нове науковий напрямок– біометрію, в якій вперше стала систематично та кількісно вивчатися невизначена мінливість живих організмів та успадкування кількісних ознак. У науковий обігбуло запроваджено нові поняття – регресії та кореляції.

Отже, аж до початку 20 століття основні додатки теорії ймовірності були пов'язані з науковими дослідженнями. Впровадження у практику – сільське господарство, промисловість, медицину відбулося 20 столітті.

4.Сільське господарство.

На початку 20 століття в Англії було поставлено завдання кількісного порівняння ефективності різних методівведення сільського господарства. Для вирішення цього завдання була розвинена теорія планування експериментів, дисперсійний аналіз. Основна заслуга у розвитку цього вже чисто практичного використаннястатистики належить серу Рональду Фішеру, астроному за освітою, а надалі фермеру, статистику, генетику, президенту англійської Королівського товариства. Сучасна математична статистика, придатна для широкого застосуванняна практиці була розвинена в Англії (Карл Пірсон, Стьюдент, Фішер). Стьюдент уперше вирішив завдання оцінки невідомого параметра розподілу без використання байєсівського підходу.

5.Промисловість.

Введення методів статистичного контролю на виробництві ( контрольні картиШухарта). Скорочення необхідної кількостівипробувань якості продукції. Математичні методивиявляються настільки важливими, що й стали засекречивать. Так книга з описом нової методики, що дозволяла скоротити кількість випробувань (“Послідовний аналіз” Вальда), була видана лише після закінчення Другої світової війни у ​​1947 році.

6.Медицина.

Широке застосування статистичних методіву медицині розпочалося порівняно недавно (друга половина 20 століття). Розвиток ефективних методівлікування (антибіотики, інсулін, ефективна анестезія, штучний кровообіг) вимагало достовірних методівоцінки їхньої ефективності. Виникло нове поняття “ Доказова медицина”. Почав розвиватися формальніший, кількісний підхідДо терапії багатьох захворювань - введення протоколів, guidelines.

З середини 1980-х років виник новий та найважливіший фактор, що революціонізував всі додатки теорії ймовірностей - можливість широкого використанняшвидких та доступних комп'ютерів. Відчути всю величезність перевороту можна, якщо врахувати, що один сучасний персональний комп'ютерперевершує по швидкодії та пам'яті всі комп'ютери СРСР і США, що були до 1968 року, часу, коли вже було здійснено проекти, пов'язані з будівництвом атомних електростанцій, польотами на Місяць, створенням термоядерної бомби. На даний момент методом прямого експериментування можна отримувати результати, які раніше були недоступні - мисленняfunkinkable.

7. Біоінформатика.

Починаючи з 1980-х років кількість відомих послідовностей білків та нуклеїнових кислотстрімко зростає. Обсяг накопиченої інформації такий, що тільки комп'ютерний аналіз цих даних може розв'язувати завдання щодо вилучення інформації.

8.Економіка та банківська справа.

Широке застосування має теорія ризику. Теорія ризику є теорія прийняття рішень за умов імовірнісної невизначеності. З математичної точки зору вона є розділом теорії ймовірностей, а застосування теорії ризику практично безмежні. Найбільш просунута фінансова сфера додатків: банківська справа та страхування, управління ринковими та кредитними ризиками, інвестиціями, бізнес-ризиками, телекомунікаціям. Розвиваються і нефінансові програми, пов'язані з загрозами здоров'ю, навколишньому середовищі, ризиками аварій та екологічних катастроф, та іншими напрямками.

Деякі програмісти після роботи в галузі розробки звичайних комерційних програм замислюються про те, щоб освоїти машинне навчання і стати аналітиком даних. Часто вони не розуміють, чому ті чи інші методи працюють і більшість методів машинного навчання здаються магією. Насправді машинне навчання базується на математичній статистиці, а та, у свою чергу, заснована на теорії ймовірностей. Тому в цій статті ми приділимо увагу базовим поняттям теорії ймовірностей: торкнемося визначення ймовірності, розподілу і розберемо кілька простих прикладів.

Можливо вам відомо, що теорія ймовірностей умовно ділиться на 2 частини. Дискретна теоріяймовірностей вивчає явища, які можна описати розподілом із кінцевою (або лічильною) кількістю можливих варіантівповедінки (кидання гральних кісток, монет). Безперервна теорія ймовірностей вивчає явища, розподілені на якійсь щільній множині, наприклад, на відрізку або в колі.

Можна розглянути предмет теорії ймовірностей на простому прикладі. Уявіть себе розробником шутера. p align="justify"> Невід'ємною частиною розробки ігор цього жанру є механіка стрілянини. Зрозуміло, що шутер, в якому вся зброя стріляє абсолютно точно, буде малоцікавий гравцям. Тому обов'язково потрібно додавати зброї розкид. Але проста рандомізація точок влучення зброї не дозволить зробити її тонке налаштування, тому коригування ігрового балансубуде складним. У той же час, використовуючи випадкові величини та їх розподіли, можна проаналізувати те, як працюватиме зброя із заданим розкидом, і допоможе внести необхідні коригування.

Простір елементарних результатів

Допустимо, з деякого випадкового експерименту, який ми можемо багаторазово повторювати (наприклад, кидання монети), ми можемо отримати деяку інформацію, що формалізується (випав орел або решка). Ця інформація називається елементарним результатом, при цьому доцільно розглядати безліч всіх елементарних результатів, що часто позначається буквою Ω (Омега).

Структура цього простору цілком залежить від природи експерименту. Наприклад, якщо розглядати стрілянину по досить великій круговій мішені, - простором елементарних результатів буде коло, для зручності розміщене з центром в нулі, а результатом - точка в цьому колі.

Крім того, розглядають безліч елементарних наслідків - події (наприклад, потрапляння в «десятку» - це концентричне коло маленького радіусу з мішенню). У дискретному випадку все досить просто: ми можемо отримати будь-яку подію, включаючи або виключаючи елементарні наслідки за кінцевий час. У безперервному випадку все набагато складніше: нам знадобиться деяке досить хороше сімейство множин для розгляду, зване алгеброю за аналогією з простими речовими числами, які можна складати, віднімати, ділити і множити. Багато алгебр можна перетинати і об'єднувати, при цьому результат операції перебуватиме в алгебрі. Це дуже важлива властивістьдля математики, що лежить за цими поняттями. Мінімальна родина складається всього з двох множин - з порожньої множинита простору елементарних результатів.

Міра та ймовірність

Імовірність - це спосіб робити висновки щодо поведінки дуже складних об'єктів, не вникаючи в принцип їхньої роботи. Таким чином, ймовірність визначається як функція від події (з того найкращого сімейства множин), яка повертає число - деяку характеристику того, наскільки часто може відбуватися така подія в реальності. Для певності математики домовилися, що це число має лежати між нулем та одиницею. Крім того, до цієї функції пред'являються вимоги: ймовірність неможливої ​​події нульова, ймовірність всієї множини результатів одинична, і ймовірність об'єднання двох незалежних подій(Непересічних множин) дорівнює сумі ймовірностей. Інша назва ймовірності - ймовірнісний захід. Найчастіше використовується міра Лебегова , узагальнююча поняття довжина, площа, обсяг на будь-які розмірності (n -мірний обсяг), і таким чином вона застосовна для широкого класу множин.

Разом сукупність безлічі елементарних наслідків, сімейства множин та ймовірнісної міри називається імовірнісним простором. Розглянемо, як можна побудувати імовірнісне простір для прикладу зі стріляниною в ціль.

Розглянемо стрілянину у велику круглу мету радіуса R , яку неможливо промахнутися. Безліч елементарних подійпокладемо коло із центром на початку координат радіуса R . Оскільки ми збираємося використовувати площу (заходу Лебега для двовимірних множин) для опису ймовірності події, то будемо використовувати сімейство вимірних (для яких ця міра існує) множин.

Примітка Насправді це технічний моменті в простих задачахпроцес визначення міри та сімейства множин не відіграє особливої ​​ролі. Але розуміти, що ці два об'єкти існують, необхідно, адже в багатьох книгах з теорії ймовірності теореми починаються зі слів: « Нехай (Ω, Σ, P) - імовірнісний простір …».

Як сказано вище, ймовірність всього простору елементарних результатів повинна дорівнювати одиниці. Площа (двовимірна міра Лебега, яку ми позначимо λ 2 (A) , де А — подія) кола за добре відомою зі школи формулою дорівнює π *R 2 . Тоді ми можемо запровадити ймовірність P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , і ця величина вже лежатиме між 0 і 1 для будь-якої події А.

Якщо припустити, що попадання в будь-яку точку мішені рівноймовірне, пошук ймовірності попадання стрільцем в якусь область мішені зводиться до пошуку площі цієї множини (звідси можна зробити висновок, що ймовірність попадання в конкретну точку нульова, адже площа точки дорівнює нулю).

Наприклад, ми хочемо дізнатися, яка ймовірність того, що стрілець потрапить у «десятку» (подія A — стрілок потрапив у потрібну множину). У нашій моделі «десятка» представляється навколо з центром в нулі і радіусом r. Тоді ймовірність влучення в це коло P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Це один із найпростіших різновидів завдань на « геометричну ймовірність», – більшість таких завдань вимагають пошуку площі.

Випадкові величини

Випадкова величина - функція, що переводить елементарні результати в речові числа. Наприклад, у розглянутому завданні ми можемо запровадити випадкову величину ρ(ω) — відстань від точки влучення до центру мішені. Простота нашої моделі дозволяє явно задати простір елементарних результатів: Ω = (ω = (x, y) такі числа, що x 2 + y 2 ≤ R 2). Тоді випадкова величина ρ(ω) = ρ(x, y) = x 2 + y 2.

Засоби абстракції від імовірнісного простору. Функція розподілу та щільність

Добре коли структура простору добре відома, але насправді так буває далеко не завжди. Навіть якщо структура простору відома, вона може бути складною. Для опису випадкових величин, якщо їх вираз невідомий, існує поняття функції розподілу, яку позначають F ξ(x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функція розподілу має кілька властивостей:

1. По-перше, вона знаходиться між 0 та 1 .
2. По-друге, вона не зменшується, коли її аргумент x зростає.
3. По-третє, коли число -x дуже велике, функція розподілу близька до 0 , а коли саме х велике, функція розподілу близька до 1 .

Ймовірно, сенс цієї конструкції при першому читанні не дуже зрозумілий. Одне з корисних властивостей- Функція розподілу дозволяє шукати ймовірність того, що величина набуває значення з інтервалу. Отже, P (випадкова величина ξ приймає значення з інтервалу) = F ξ(b)-F ξ(a). Виходячи з цієї рівності, можемо дослідити, як змінюється ця величина, якщо межі a та b інтервалу близькі.

Нехай d = b-a тоді b = a + d . А отже, Fξ(b)-Fξ(a) = Fξ(a+d) - Fξ(a). При малих значеннях d зазначена вище різниця так само мала (якщо розподіл безперервний). Має сенс розглядати відношення p ξ (a, d) = (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Якщо при досить малих значеннях d це відношення мало відрізняється від деякої константи p ξ (a), яка не залежить від d, то в цій точці випадкова величина має щільність, рівну p ξ (a).

Примітка Читачі, які раніше стикалися поняттям похідної, можуть помітити, що p ξ (a) — похідна функції F ξ (x) у точці a . Принаймні, можна вивчити поняття похідної у цій статті статті на сайті Mathprofi.

Тепер зміст функції розподілу можна визначити так: її похідна (щільність p ξ , яку ми визначили вище) в точці а описує, наскільки часто випадкова величина потраплятиме в невеликий інтервал з центром у точці а (околиця точки а) порівняно з околицями інших точок . Інакше кажучи, що швидше зростає функція розподілу, то ймовірніше поява такого значення при випадковому експерименті.

Повернемося, наприклад. Ми можемо обчислити функцію розподілу для випадкової величини, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , що означає відстань від центру до точки випадкового потрапляння у мета. За визначенням F ρ(t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Ми можемо знайти густину p ρ цієї випадкової величини. Відразу зауважимо, поза інтервалу вона нульова, т.к. функція розподілу у цьому проміжку незмінна. На кінцях цього інтервалу густина не визначена. Всередині інтервалу її можна знайти, використовуючи таблицю похідних (наприклад, на сайті Mathprofi) та елементарні правила диференціювання. Похідна від t 2 /R 2 дорівнює 2t/R 2 . Значить, щільність ми виявили на всій осі дійсних чисел.

Ще одна корисна властивість щільності - ймовірність того, що функція набуває значення з проміжку, обчислюється за допомогою інтеграла від щільності по цьому проміжку (ознайомитися з тим, що це таке, можна в статтях про власний, невласний, невизначений інтеграл на сайті Mathprofi).

При першому читанні інтеграл по проміжку від функції f(x) можна уявляти як площу криволінійної трапеції. Її сторонами є фрагмент осі Ох, проміжок (горизонтальної осі координат), вертикальні відрізки, що з'єднують точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривій з точками (a,0), (b,0 ) на осі Ох. Останньою стороною є фрагмент графіка функції f від (a, f (a)) до (b, f (b)). Можна говорити про інтеграл проміжку (-∞; b] , коли для досить великих негативних значень, значення інтеграла по проміжку буде змінюватися знехтовано мало в порівнянні зі зміною числа a. Аналогічним чином визначається і інтеграл за проміжками Тематики інформаційні технології в цілому EN probability теоріїтеорії змін можливості калькуляції … Довідник технічного перекладача

Теорія імовірності- є частина математики, що вивчає залежності між ймовірностями різних подій. Перелічимо найважливіші теореми, які стосуються цієї науки. Імовірність появи однієї з кількох несумісних подій дорівнює… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ– математич. наука що дозволяє за ймовірностями одних випадкових подій знаходити ймовірності випадкових подій, пов'язаних к. л. чином із першими. Сучасна Т.В. заснована на аксіоматиці (див. Метод аксіоматичний) А. Н. Колмогорова. На… … Російська соціологічна енциклопедія

Теорія імовірності- Розділ математики, в якому за даними ймовірностями одних випадкових подій знаходять ймовірності інших подій, пов'язаних деяким чином з першими. Теорія ймовірностей вивчає також випадкові величини та випадкові процеси. Одна з основних… Концепція сучасного природознавства. Словник основних термінів

теорія імовірності- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ймовірність теорії vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теорія ймовірностей f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теорія імовірності- … Вікіпедія

Теорія імовірності- математична дисципліна, що вивчає закономірності випадкових явищ. Початки сучасного природознавства

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ- (probability theory) див. Імовірність … Великий тлумачний соціологічний словник

Теорія ймовірностей та її застосування- («Теорія ймовірностей та її застосування»,) науковий журнал Відділення математики АН СРСР. Публікує оригінальні статті та короткі повідомлення з теорії ймовірностей, загальних питань математичної статистики та їх застосуванням у природознавстві та… Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Теорія імовірності. , Вентцель Е.С.. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного втузівського курсу і тих, хто цікавиться технічними додатками теорії ймовірностей, в … Купити за 2056 грн (тільки Україна)
• Теорія імовірності. , Вентцель Е.С.. Ця книга буде виготовлена ​​відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. Книга є підручником, призначеним для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного…