Складіть усі можливі ненульові багаточлени стандартного вигляду. Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів

Подання чисел у комп'ютері

Цілі числа є найпростішими числовими даними, з якими оперує ЕОМ. Цілі числа у комп'ютері зберігаються у форматі з фіксованою комою. У цьому випадку кожному розряду комірки пам'яті відповідає завжди той самий розряд числа, а «кома» знаходиться праворуч після молодшого розряду.

Для зберігання цілого не негативного числавідводиться одна осередок пам'яті 1 байт (8 біт), тобто діапазон чисел, які можуть зберігатися в оперативної пам'ятіу форматі цілих невід'ємних чисел, від 0 до 255 (загалом 256). Мінімальне число 0 відповідає восьми нулям, а максимальне 255 відповідає восьми одиницям (255 10 = 11111111 2).

Для уявлення цілого числа зі знаком найстарший (лівий) біт відводиться під знак числа, інші розряди - під саме число. Якщо число позитивне, то знаковий розряд міститься 0, якщо негативне - 1. Наприклад, в байті можна представити знакові числа від -128 до 127.

Для комп'ютерного представлення цілих чисел зазвичай використовується один, два або чотири байти, тобто осередок пам'яті складатиметься з восьми, шістнадцяти або тридцяти двох розрядів відповідно.

Подання числа у звичній формі "знак"-"величина", при якій старший розряд осередку відводиться під знак, а решта - під запис числа в двійковій системі, називається прямим кодом двійкового числа.

Наприклад, прямий код двійкових чисел 1001 і -1001 для 8-розрядного осередку дорівнює 00001001 і 10001001 відповідно.

Позитивні числа в ЕОМ завжди надаються за допомогою прямого коду. Прямий код числа повністю збігається із записом самого числа в комірці машини.

Прямий код від'ємного числа відрізняється від прямого коду відповідного позитивного числалише вмістом знакового розряду.
Але негативні цілі числа не видаються в ЕОМ за допомогою прямого коду, для їх подання використовується додатковий код.

Додатковий код позитивного числа дорівнює прямому коду цього числа.

Додатковий код від'ємного числа m дорівнює 2 n -|m|, де n - кількість розрядів у комірці.

Додатковий код використовується для спрощення виконання арифметичних операцій.Якби обчислювальна машинапрацювала з прямими кодами позитивних та негативних чисел, то при виконанні арифметичних операцій слід було б виконувати низку додаткових дій. Наприклад, при додаванні потрібно було б перевіряти знаки обох операндів і визначати знак результату. Якщо знаки однакові, то обчислюється сума операндів і їй надається той самий знак. Якщо знаки різні, то з більшого по абсолютної величиничисла віднімається менше і результату надається знак більшого числа. Тобто при такому поданні чисел (у вигляді прямого коду) операція додавання реалізується через достатньо складний алгоритм. Якщо ж негативні числа представляти як додаткового коду, то операція складання, зокрема і різного знаку, зводиться до їх порозрядного складання.

Алгоритм отримання додаткового коду від'ємного числа.

Для отримання додаткового k-розрядного коду від'ємного числа необхідно:

модуль від'ємного числа представити прямим кодом в k-двійкових розрядах;

значення всіх бітів інвертувати: всі нулі замінити на одиниці, а одиниці на нулі, таким чином виходить k-розрядний зворотний код вихідного числа);

до отриманого зворотного коду додати одиницю.

Приклад:

Отримаємо 8-розрядний додатковий код числа -52:
00110100 - число |-52|=52 у прямому коді
11001011 - число -52 у зворотному коді
11001100 - число -52 у додатковому коді

Подання дійсних чиселу комп'ютері.

Для представлення дійсних чисел у сучасних комп'ютерах прийнятий спосіб подання з плаваючою комою.

Цей спосіб подання спирається на нормалізований (експоненційний) запис дійсних чисел.
Нормалізований запис відмінного від нуля дійсного числа A – це запис виду:
А = m * q n,
де
m - мантіса числа ( правильний дріб, у якої перша цифра після коми не дорівнює нулю),
q - основа системи,
n – порядок числа.

Приклади:
1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 101;
2. 1000=0,1 * 104;
3. 0,123456789 = 0,123456789 * 100;
4. 0,00001078 = 0,1078 * 8-4; (порядок записаний у 10-й системі)
5. 1000,00012 = 0, 100000012 * 24.

При поданні чисел з плаваючою комою частина розрядів осередку відводиться запису порядку числа, інші розряди - для запису мантиси. По одному розряду в кожній групі приділяється зображення знака порядку і знака мантиси.

Після вивчення одночленів переходимо до багаточленів. Ця стаття розповість про всіх необхідні відомості, необхідні виконання дій з них. Ми визначимо багаточлен з супутніми визначеннямичлена багаточлена, тобто вільний і подібний, розглянемо багаточлен стандартного виду, введемо ступінь та навчимося його знаходити, попрацюємо з його коефіцієнтами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

Визначення многочлена треба було ще в 7 клас після вивчення одночленів. Розглянемо повне визначення.

Визначення 1

Багаточленомвважається сума одночленів, причому сам одночлен – це окремий випадокбагаточлена.

З визначення випливає, що приклади багаточленів можуть бути різними: 5 , 0 , − 1 , x, 5 · a · b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z і так далі. З визначення маємо, що 1+x, a 2 + b 2 і вираз x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x є многочленами.

Розглянемо ще визначення.

Визначення 2

Членами багаточленуназиваються його складові одночлени.

Розглянемо такий приклад, де маємо багаточлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , що складається з 4 членів: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 та − y 3. Такий одночлен вважатимуться многочленом, що з одного члена.

Визначення 3

Багаточлени, які мають у своєму складі 2 , 3 тричлени мають відповідну назву – двочлені тричлен.

Звідси випливає, що вираз виду x + y– є двочленом, а вираз 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – тричленом.

за шкільній програміпрацювали з лінійним двочленом виду a · x + b , де а та b є деякими числами, а х – змінною. Розглянемо приклади лінійних двочленів виду: x + 1, x · 7, 2 - 4 з прикладами квадратних тричленів x 2 + 3 · x - 5 і 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Для перетворення та рішення необхідно знаходити та наводити подібні доданки. Наприклад, багаточлен виду 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x має подібні доданки 1 і - 3, 5 х та 2 х. Їх поділяють у особливу групупід назвою таких членів багаточлена.

Визначення 4

Подібні члени багаточлену– це подібні доданки, що перебувають у багаточлені.

У наведеному вище прикладі маємо, що 1 і - 3 , 5 х і 2 х є подібними членами многочлена або подібними доданками. Для того, щоб спростити вираз, застосовують знаходження та приведення подібних доданків.

Багаточлен стандартного вигляду

У всіх одночленів і багаточленів є певні назви.

Визначення 5

Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, у якого кожен член, що входить до нього, має одночлен стандартного вигляду і не містить подібних членів.

З визначення видно, що можливе приведення багаточленів стандартного виду, наприклад, 3 · x 2 - x · y + 1 та __formula__, причому запис у стандартному вигляді. Вирази 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z та 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z багаточленами стандартного виду не є, тому що перший з них має подібні доданки у вигляді 3 · x 2 та − x 2, а другий містить одночлен виду x · y 3 · x · z 2 відрізняється від стандартного многочлена.

Якщо цього вимагають обставини, іноді багаточлен наводиться до стандартного вигляду. Багаточлен стандартного виду вважається і поняття вільного члена многочлена.

Визначення 6

Вільним членом багаточленає багаточлен стандартного вигляду, що не має буквеної частини.

Інакше висловлюючись, коли запис многочлена у стандартному вигляді має число, його називають вільним членом. Тоді число 5 є вільним членом многочлена x 2 · z + 5 а багаточлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 вільного члена не має.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Визначення самого ступеня багаточлена базується на визначенні багаточлена стандартного виду та на ступенях одночленів, які є його складовими.

Визначення 7

Ступенем багаточлена стандартного виглядуназивають найбільший зі ступенів, що входять до його запису.

Розглянемо з прикладу. Ступінь многочлена 5 · x 3 - 4 дорівнює 3 тому, як одночлени, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0, а більше з них 3 відповідно. Визначення ступеня із многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x дорівнює найбільшому з чисел, тобто 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 і 1, отже 5 .

Слід з'ясувати, як знаходиться сама ступінь.

Визначення 8

Ступінь багаточлена довільного числа - це ступінь відповідного багаточлена в стандартному вигляді.

Коли многочлен записаний над стандартному вигляді, але потрібно знайти його ступінь, необхідно приведення до стандартного, після чого шукати ступінь.

Приклад 1

Знайти ступінь багаточлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 - 2 · a 12 − a 12.

Рішення

Для початку представимо багаточлен у стандартному вигляді. Отримаємо вираз виду:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При отриманні многочлена стандартного виду отримуємо, що чітко виділяються два з них - 2 · a 2 · b 2 · c 2 та y 2 · z 2 . Для знаходження ступенів порахуємо та отримаємо, що 2 + 2 + 2 = 6 та 2 + 2 = 4 . Видно, що найбільша їх дорівнює 6 . З визначення випливає, що саме 6 є ступенем многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , отже вихідного значення.

Відповідь: 6 .

Коефіцієнти членів багаточлену

Коли всі члени багаточлена є одночленами стандартного виду, то у такому випадку вони мають назву коефіцієнтів членів багаточлену.Інакше висловлюючись, їх можна називати коефіцієнтами многочлена.

При розгляді прикладу видно, що багаточлен виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 має у своєму складі 4 багаточлени: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x та 7 з відповідними коефіцієнтами 2 , − 0 , 5 , 3 і 7 . Значить, 2 , − 0 , 5 , 3 та 7 вважаються коефіцієнтами членів заданого багаточлена виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При перетворенні важливо звертати увагу на коефіцієнти, що стоять перед змінними.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

на даному уроціми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного вигляду та обчислення чисельного значення при заданих значенняхзмінних. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різного родузадач.

Тема:Багаточлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Приведення багаточлена до стандартного вигляду. Типові завдання

Нагадаємо основне визначення: багаточлен – це сума одночленів. Кожен одночлен, що входить до складу багаточлена як доданок називається його членом. Наприклад:

Двучлен;

Багаточлен;

Двучлен;

Оскільки багаточлен складається з одночленів, то перша дія з багаточленом слід звідси – треба привести усі одночлени до стандартного вигляду. Нагадаємо, що для цього потрібно перемножити всі чисельні множники – отримати чисельний коефіцієнт, та перемножити відповідні ступені – отримати літерну частину. Крім того, звернемо увагу на теорему про добуток ступенів: при множенні ступенів показники їх складаються.

Розглянемо важливу операцію- Приведення багаточлена до стандартного виду. Приклад:

Коментар: щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, потрібно привести до стандартного вигляду всі одночлени, що входять до його складу, після цього, якщо є подібні одночлени – а це одночлени з однаковою літерною частиною – виконати дії з ними.

Отже, ми розглянули перше типове завдання – приведення багаточлена до стандартного вигляду.

Наступна типове завдання- Обчислення конкретного значеннямногочлена при заданих чисельних значеннях змінних, що входять до нього. Продовжимо розглядати попередній приклад і поставимо значення змінних:

Коментар: нагадаємо, що одиниця в будь-якій натурального ступенядорівнює одиниці, а нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулюКрім того, нагадаємо, що при множенні будь-якого числа на нуль отримуємо нуль.

Розглянемо ряд прикладів на типові операції приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення його значення:

Приклад 1 – привести до стандартного вигляду:

Коментар: перша дія - наводимо одночлени до стандартного вигляду, потрібно навести перший, другий та шостий; друга дія - наводимо подібні члени, тобто виконуємо над ними задані арифметичні дії: перший складаємо з п'ятим, другий з третім, решту переписуємо без змін, тому що у них немає подібних.

Приклад 2 - обчислити значення многочлена прикладу 1 при заданих значеннях змінних:

Коментар: при обчисленні слід згадати, що одиниця в будь-якій натуральній мірі це одиниця, при утрудненні обчислень ступенів двійки можна скористатися таблицею ступенів.

Приклад 3 - замість зірочки поставити такий одночлен, щоб результат не містив змінної:

Коментар: незалежно від поставленого завдання, перша дія завжди однакова – привести багаточлен до стандартного вигляду. У нашому прикладі ця дія зводиться до приведення таких членів. Після цього слід ще раз уважно прочитати умову і подумати, яким чином ми можемо позбутися одночлена. очевидно, що для цього потрібно до нього додати такий самий одночлен, але з протилежним знаком- . далі замінюємо зірочку цим одночленом і переконуємось у правильності нашого рішення.

Наприклад, вирази:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- багаточлени

Одночлени, що входять до складу багаточлена, називаються членами багаточлена. Розглянемо багаточлен:

7a + 2b - 3c - 11

вирази: 7 a, 2b, -3cі -11 – це члени многочлена. Зверніть увагу на член -11 він не містить змінної, такі члени, що складаються тільки з числа, називаються вільними.

Прийнято вважати, що кожен одночлен це окремий випадок многочлена, що складається з одного члена. І тут одночлен є назвою для многочлена з одним членом. Для багаточленів, що складаються з двох та трьох членів, теж є спеціальні назви - двочлен і тричлен відповідно:

7a- одночлен

7a + 2b- двочлен

7a + 2b - 3c- тричлен

Подібні члени

Подібні члени- одночлени, що входять до багаточленів, які відрізняються один від одного тільки коефіцієнтом, знаком або зовсім не відрізняються (протилежні одночлени теж можна назвати подібними). Наприклад, у багаточлені:

члени 3 a 2 b, 2a 2 bі 2 a 2 b, так само як і члени 5 abc 2 та -7 abc 2 – це подібні члени.

Приведення таких членів

Якщо багаточлен містить подібні члени, його можна призвести до більш простому виглядушляхом з'єднання подібних членів до одного. Така дія називається приведенням подібних членів. Насамперед укладемо в дужки окремо всі подібні члени:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Щоб з'єднати кілька подібних одночленів до одного, треба скласти їх коефіцієнти, а літерні множникизалишити без змін:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Приведення подібних членів – це операція заміни алгебраїчної сумикількох подібних одночленів одним одночленом.

Багаточлен стандартного вигляду

Багаточлен стандартного вигляду- це багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, серед яких немає таких членів.

Щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, достатньо зробити приведення подібних членів. Наприклад, подайте у вигляді багаточлена стандартного виду вираз:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Спочатку знайдемо такі члени:

Якщо всі члени многочлена стандартного виду містять одну і ту ж змінну, то його члени прийнято розташовувати від більшою міроюдо меншої. Вільний член багаточлена, якщо він є, ставиться на останнє місце- Праворуч.

Наприклад, багаточлен

3x + x 3 - 2x 2 - 7

має бути записано так:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Багаточленом називають суму одночленів. Якщо всі члени багаточлена записати в стандартному вигляді (див. п. 51) і виконати приведення таких членів, то вийде багаточлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду - у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

Розглянемо приклади, у яких цілий вираз слід призвести до стандартного виду многочлена.

Рішення. Спочатку наведемо до стандартного вигляду члени багаточлена. Отримаємо Після приведення подібних членів отримаємо багаточлен стандартного вигляду

Рішення. Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

Рішення. Якщо перед дужками стоїть зіак «мінус», то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків ув'язнених у дужки. Скориставшись цим правилом паскриття дужок, отримаємо:

Рішення. Добуток одночлена та багаточлена згідно з розподільчим законом дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного члена багаточлена. Отримуємо

Рішення. Маємо

Рішення. Маємо

Залишилося навести таких членів (вони підкреслені). Отримаємо:

53. Формули скороченого множення.

У деяких випадках приведення цілого виразу до стандартного виду багаточлена здійснюється з використанням тотожностей:

Ці тотожності називають формулами скороченого множення,

Розглянемо приклади, у яких необхідно перетворити заданий вираз у миогочлеи стандартного виду.

приклад 1. .

Рішення. Скориставшись формулою (1), отримаємо:

Приклад 2. .

Рішення.

Приклад 3. .

Рішення. Скориставшись формулою (3), отримаємо:

приклад 4.

Рішення. Скориставшись формулою (4), отримаємо:

54. Розкладання багаточленів на множники.

Іноді можна перетворити багаточлен на твір кількох співмножників - багаточленів або одпочленів. Таке тотожне перетворенняназивається розкладанням многочлена на множники. І тут кажуть, що многочлен ділиться кожен із цих множників.

Розглянемо деякі способи розкладання багаточленів на множники,

1) Винесення загального множника за дужку. Це перетворення є безпосереднім наслідком розподільчого закону (для наочності потрібно лише переписати цей закон «праворуч наліво»):

Приклад 1. Розкласти на множники багаточленів

Рішення. .

Зазвичай при винесенні загального множника за дужки кожну змінну, що входить у всі члени многочлена, виносять з найменшим показником, який вона має у цьому багаточлені. Якщо всі коефіцієнти многочлена - цілі числа, то як коефіцієнт загального множника беруть найбільший за модулем спільний дільниквсіх коефіцієнтів многочлена.

2) Використання формул скороченого множення. Формули (1) - (7) з п. 53, будучи прочитаними «праворуч наліво, у багатьох випадках виявляються корисними для розкладання багаточленів на множники.

Приклад 2. Розкласти на множники.

Рішення. Маємо. Застосувавши формулу (1) (різницю квадратів), отримаємо . Застосувавши

тепер формули (4) і (5) (сума кубів, різницю кубів), отримаємо:

Приклад 3. .

Рішення. Спочатку винесемо за дужку загальний множник. Для цього знайдемо найбільший спільний дільник коефіцієнтів 4, 16, 16 та найменші показникиступенів, з якими змінні а та b входять до складових даний багаточлен одночлени. Отримаємо:

3) Спосіб угруповання. Він заснований на тому, що переміщувальний та сполучний законидодавання дозволяють групувати члени багаточлена у різний спосіб. Іноді вдається таке угруповання, що після винесення за дужки загальних множників у кожній групі в дужках залишається один і той самий багаточлен, який у свою чергу як загальний множник може бути винесений за дужки. Розглянемо приклади розкладання многочлена на множники.

приклад 4. .

Рішення. Зробимо угруповання наступним чином:

У першій групі винесемо за дужку загальний множник у другій – загальний множник 5. Отримаємо Тепер багаточлен як загальний множник винесемо за дужку: Таким чином, отримуємо:

Приклад 5.

Рішення. .

Приклад 6.

Рішення. Тут ніяке угруповання не призведе до появи у всіх групах одного й того ж багаточлена. У таких випадках іноді виявляється корисним уявити якийсь член багаточлена у вигляді деякої суми, після чого знову спробувати застосувати спосіб угруповання. У нашому прикладі доцільно подати у вигляді суми.

Приклад 7.

Рішення. Додамо та віднімемо одночлен Отримаємо

55. Багаточлени від однієї змінної.

Багаточлен, де a, b - числа змінна, називається многочленом першого ступеня; багаточлен де а, b, с - числа змінна, називається многочленом другого ступеня або квадратним тричленом; многочлен де а, b, з, d - числа змінна називається многочленом третього ступеня.

Взагалі якщо о, змінна, то багаточлен

називається лсмогочленол ступеня (щодо х); , m-члени многочлена, коефіцієнти, старший член многочлена, а - коефіцієнт при старшому члені, вільний член многочлена. Зазвичай многочлен записують по спадних ступенях змінної, т. е. ступеня змінної поступово зменшуються, зокрема, першому місці стоїть старший член, останньому - вільний член. Ступінь многочлена – це ступінь старшого члена.

Наприклад, багаточлен п'ятого ступеня, у якому старший член, 1 - вільний член багаточлена.

Коренем багаточлена називають таке значення при якому багаточлен перетворюється на нуль. Наприклад, число 2 є коренем багаточлена, оскільки