Тілесний кут дорівнює. Величини деяких тілесних кутів

При вимірі кута між двома променями на площині зручно розглядати цей кут як центральний кут деякої дуги кола одиничного радіусу. Тоді довжина цієї дуги і дає радіальний захід центрального кута. Повний кутотримує у своїй міру, рівну . Щось подібне доводиться робити, коли ми хочемо ввести міру об'ємного, тілесного кута, тобто міру, що показує «широту розчину» конічної поверхні (рис. 414), частку простору, що потрапляє всередину такої поверхні, в порівнянні з повним простором (повним) тілесним кутом).

При цьому зовсім не обов'язково цей кут укладати в круговий конус: це може бути будь-який конус, або кут може бути багатогранним (рис. 415). Для запровадження суворого поняття тілесного кута візьмемо сферу одиничного радіусу з центром у вершині кута (рис. 416).

За міру тілесного кута приймається площа частини поверхні сфери, що лежить усередині даного кута. Повний тілесний кут вимірюється всією площею поверхні сфери, т. е. його міру приймається Одиницею тілесного кута служить стерадиан.

Завдання. Знайти тілесний кут, обмежений конусом обертання з кутом при вершині осьового перерізу, рівним 0 (рис. 417).

Рішення. Проведемо сферу одиничного радіусу із центром у вершині конуса. Завдання зводиться до обчислення площі шапочки цієї поверхні, що лежить усередині конічної поверхні. Знаходимо висоту стрілки відповідного сегмента сфери:

Площа шуканої поверхні дорівнює. Отже, тілесний кут при вершині конуса вимірюється числом

Якщо , то формула дає міру зовнішнього кута тіла. При отримаємо повний тілесний кут (зовнішній кут по відношенню до конуса, що перетворився на промінь).

Вправи

1. Знайти об'єм і поверхню кулі, описаної навколо правильного тетраедраз ребром, рівним і.

2. Відношення об'єму кулі до об'єму вписаного в нього циліндра дорівнює 16/9. Визначити кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра та його віссю.

3. Три паралельні площинирозсікають діаметр кулі на чотири рівні частини. Знайти обсяги частин кулі, куди він розбитий цими площинами.

4. Яким має бути кут нахилу, що утворює до основи конуса, щоб площа поверхні вписаної в нього кулі ділилася колом, по якому куля стосується конуса, щодо

Частина простору, яка є об'єднанням усіх променів, що виходять з даної точки ( вершиникута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, стягуючоюцей тілесний кут). Приватними випадками тілесного кута є тригранні та багатогранні кути. Кордоном тілесного кута є деяка конічна поверхня. Позначається тілесний кут зазвичай буквою Ω.

Тілесний кут вимірюється відношенням площі тієї частини сфери з центром у вершині кута, що вирізається цим тілесним кутом, до квадрату радіусу сфери:

Тілесні кути вимірюються абстрактними (безрозмірними) величинами. Одиницею вимірювання тілесного кута в системі СІ є стерадіан, рівний тілесному куту, що вирізує зі сфери радіуса rповерхня з площею r 2 . Повна сфераутворює тілесний кут, що дорівнює 4π стерадіан ( повний тілесний кут), для вершини, розташованої всередині сфери, зокрема для центру сфери; таким же є тілесний кут, під яким видно будь-яку замкнуту поверхню з точки, що повністю охоплюється цією поверхнею, але не належить їй. Окрім стерадіанів, тілесний кут може вимірюватися у квадратних градусах, квадратних хвилинах та квадратних секундах, а також у частках повного тілесного кута.

Тілесний кут має нульову фізичну розмірність.

Подвійний тілесний кут до даного тілесного кута Ω визначається як кут, що складається з променів, що утворюють з будь-яким променем кута Ω гострий кут.

Коефіцієнти перерахунку одиниць тілесного кута.

Обчислення тілесних кутів

Для довільної стягуючої поверхні Sтілесний кут Ω , під яким вона видно з початку координат, дорівнює

де - сферичні координатиелемента поверхні - його радіус-вектор, - одиничний вектор, нормальний

Властивості тілесних кутів

1. Повний тілесний кут (повна сфера) дорівнює 4π стерадіан.
2. Сума всіх тілесних кутів, двоїстих до внутрішніх тілесних кутів опуклого багатогранника, що дорівнює повному куту.

Величини деяких тілесних кутів

де - змішаний твірданих векторів, - скалярні творивідповідних векторів, напівжирним шрифтомпозначені вектори, нормальним шрифтом – їх довжини. Використовуючи цю формулу, можна обчислювати тілесні кути, стягнуті довільними багатокутниками з відомими координатамивершин (для цього достатньо розбити багатокутник на трикутники, що не перетинаються).

• Тілесний кут двогранного кута в стерадіанах дорівнює подвоєного значеннядвогранного кута у радіанах.

Опис поля випромінювання засноване на уявленні про інтенсивність як енергії, що протікає перпендикулярно плоскій поверхні одиничної площі за одиницю часу в заданому напрямку в обраному інтервалі частот. Повне визначенняінтенсивності потребує попереднього запровадження деяких понять.

1.1Контрольний майданчик

Назвемо контрольним майданчиком плоску поверхню S невеликих розмірів, якою проходить випромінювання. Позначимо через D S її площа, а n- Перпендикулярний їй одиничний вектор. Під напрямом майданчика, як завжди, розумітимемо напрям вектора n. Контрольний майданчик може мати фізичну межу як ділянку поверхні планети. Але її можна уявити подумки, наприклад, усередині атмосфери деякої зірки. Майданчик може бути заповнена речовиною, яка поглинає падаюче на нього випромінювання і перевипромінює його в іншому напрямку. Але її можна уявити і зовсім прозорою, навіть позбавленою речовини. Важливо лише, що через майданчик проходить випромінювання. Напрямок випромінювання характеризується двома величинами: вектором kта тілесним кутом DWнавколо нього.

1.2 Тілесний кут

Опишемо сферу радіусу Rнавколо точки Про, в якій розташований спостерігач . На поверхні сфери виділимо ділянку S площею S.Ставлення

називається тілесним кутом, під яким видно поверхню S з точки Про. Діапазон DWє необхідним елементомвизначення інтенсивності Справа в тому, що кількість енергії, що протікає в будь-якому точно фіксованому напрямку ( DW=0), дорівнює нулю.

Щоправда, є один виняток – точкові джерела. В астрономії поняття точкового джерела є дуже важливим: до них належать усі зірки, окрім Сонця, а також деякі інші джерела випромінювання. До точкових джерел ми відносимо всі об'єкти, кутові розміри яких менші за дозвіл застосовуваної апаратури. Тому для малих телескопів протяжний об'єкт може бути точковим. Повернемося до визначення інтенсивності. Величина DWмає бути настільки мала, щоб випромінювання не змінювалося помітним чином усередині виділеного тілесного кута. Якщо ця умова виконана, то енергія D E, що пройшла крізь контрольний майданчик у заданому напрямку, пропорційна. Іноді говорять просто про випромінювання у певному напрямку, неявно маючи на увазі деяку величину тілесного кута.

1.3 Інтенсивність

Визначення інтенсивності містить кілька моментів, кожен із яких корисно викласти окремо. Спочатку розгорнемо майданчик уздовж вектора k ,потім розглянемо довільний напрямок і, нарешті, обговоримо угоду про знак енергії, що проходить через майданчик.

Інтенсивність у напрямку контрольного майданчика

Випромінювання на рис.3 проходить у напрямку вектора n. Величину DSпокладемо настільки малою, що випромінювання можна вважати однорідним уздовж майданчика. Будемо вести спостереження протягом такого короткого проміжку часу, що його характеристики не встигають змінитися. У таких умовах кількість енергії, що протікала через майданчик, пропорційна добутку DS× DW× Dt. тому ставлення

не залежить від розмірів контрольного майданчика, тривалості вимірювання та обраного кута розчину. Іншими словами, воно характеризує саме поле випромінювання у напрямку вектора n.

Інтенсивність у довільному напрямку

Позначимо за допомогою qкут між векторами kі n. У силу довільності їх відносного розташування, він може набувати будь-якого значення між нулем і p. Міркування попереднього розділувідповідають нагоді q=0. Ми виключаємо ситуацію, коли вектори kі nперпендикулярні ( q=p/2), оскільки питання про протікання енергії вздовж ребра майданчика позбавлений сенсу. Таким чином, ми приходимо до діапазону

Розмір енергії, що протік крізь майданчик при фіксованому полі, пропорційна площі її проекції на площину хвильового фронту:

На рис.4 утворює горизонтального циліндра спрямована вздовж вектора k.Строго кажучи, ми мали намалювати не циліндр, а усічений конусз деяким тілесним кутом DWале для ілюстрації формули (3.2) це не має значення. Контрольні майданчики є перерізом циліндра похилими площинами. Усі майданчики ми бачимо з ребра. Стрілки позначені напрям вектора nкожного майданчика. Усередині циліндра протікає та сама енергія, незалежно від напрямку майданчиків. Величина DEпропорційна вертикальному перерізу циліндра. Отже, відношення

вже не залежить від напрямку контрольного майданчика і може бути прийнято як характеристику поля випромінювання у цьому напрямку.

Інтенсивністю називається межа відносини (3.3), коли Dt,DSі DWпрагнуть до нуля:

Нижче, у десятому розділі цього розділу ми уточнимо останнє визначення, включивши залежність інтенсивності від частоти чи довжини хвилі випромінювання.

Інтенсивність може залежати від часу, від положення точки у просторі та від напрямку. Якщо поле випромінювання не змінюється у часі, воно називається стаціонарним. І тут інтенсивність від часу залежить. Аналогічно, інтенсивність залежить від просторових координат у разі однорідного поля випромінювання і залежить від напрямку, якщо поле випромінювання ізотропно.

Угода про енергетичний знак

Інтенсивність завжди вважається позитивною величиною, тобто D E cos q>  0. У той же час cos qможе приймати як позитивні, так і від'ємні значення. Це змушує нас приписувати певний знак енергії, що проходить через майданчик:

.

Якщо θ - гострий кут, то говорять про випромінювання, що "виходить" з майданчика (ΔE > 0). Інакше вважають, що випромінювання "входить" до неї. Цієї термінології ми дотримуватимемося надалі. Щоправда, слід пам'ятати, що вона умовна, оскільки визначається вибором знака напряму вектора n. Змінивши напрям n на протилежне, ми перетворюємо "вхідне" випромінювання на "вихідне" і навпаки.

1.4 Потік

Потік є мірою повної енергії, що протікає через контрольний майданчик. Розіб'ємо повний тілесний кут 4π на N ділянок малого розміру:

з урахуванням угоди (3.5) про знак Δ Ei. У межі (4.1) перетворюється на інтеграл

за всіма напрямками з урахуванням знаку dE. Під час підсумовування за кутами ми вважали величини DSі Dtнастільки малими, що енергія DEпропорційна добутку DS× Dt.

потоком Fназивається межа відношення

при знаменнику, що прагне до нуля:

Порівнюючи визначення інтенсивності (3.4) і потоку (4.2), приходимо до важливої ​​формули

що виражає потік через інтенсивність.

Відзначимо відмінність інтенсивності потоку. Хоча поняття інтенсивності ми запровадили за допомогою контрольного майданчика, проте інтенсивність є характеристикою тільки поля випромінювання і ніяк не залежить від вимірювального приладу. Ми говоримо про інтенсивність випромінювання у довільно вибраному напрямку, не уточнюючи, як розташований вимірювальний прилад. Навпаки, безглуздо говорити про «потік у певному напрямі», оскільки за його обчисленні виконується підсумовування з усіх кутах. Щоправда, величина потоку залежить від напряму контрольного майданчика. Але ми завжди припускатимемо, що контрольний майданчик S спрямований уздовж променя зору на джерело світла.

1.5 Поле випромінювання джерела малих кутових розмірів

В астрономічних додатках часто потрібно знати інтенсивність та потік випромінювання, що створюється джерелом, кутовий розмір якого малий. Наприклад, радіус Сонця дорівнює 15 = 4.36∙10 -3 рад. Характеристики випромінювання ізотропного та однорідного джерела малих кутових розмірів можуть бути знайдені порівняно простим шляхом. На рис. 5 джерело світла, лінійний радіус якого дорівнює R ,розташований на великій відстані r>>Rвід спостерігача. При малих кутових розмірах справедливо

і кутовий радіус джерела дорівнює

Остання формула справедлива, якщо ми нехтуємо різницею довжин дуги і хорди, що стягує її. Площу, яку займає джерело на сфері, у тому ж наближенні можна оцінити як pR 2 , звідки стягується ним тілесний кут W 0 , згідно з визначенням (1.1), виходить рівним

.

Світність джерела позначимо L.Через поверхню сфери радіусу rцентр якої збігається з джерелом випромінювання, за одиницю часу проходить кількість енергії, що дорівнює L ,а через одиницю поверхні, відповідно, L / 4π r 2 . Згідно з наведеним вище визначенням, ця величина і є потік випромінювання F:

.

При виведенні цієї формули скористалися припущенням про ізотропію джерела випромінювання.

Перейдемо до обчислення інтенсивності. Згідно з припущенням про однорідність, з будь-якої ділянки одиничної площі, розташованої на поверхні джерела в одиницю часу виходить та сама енергія, яку ми позначимо I 0 . Поза диском джерела випромінювання немає. В силу його малих кутових розмірів ми можемо вважати величину cos θ рівної одиниціпри θ< θ 0 . В этом случае (4.3) сводится к

.

З (5.1) – (5.3) отримуємо явний вираз для I 0:

.

Тепер ми можемо записати остаточну формулу для інтенсивності як функції спрямування:

,

де I 0 надається формулою (5.4).

Інтенсивність та потік по-різному описують зміну поля випромінювання у міру видалення джерела. Як випливає з (5.2), потік зменшується обернено пропорційно квадрату відстані r.Амплітуда інтенсивності I 0 згідно (5.4), від відстані не залежить, але зменшується діапазон кутів θ 0 , в якому інтенсивність відмінна від нуля.

Точкове джерело випромінювання

Щоб перейти до випадку точкового джерела, треба радіус Rспрямувати до нуля. В результаті амплітуда I 0 із (5.4) стає необмежено великою, а область, в якій інтенсивність відмінна від нуля, згідно з (5.5), стягується в точку. Таким чином, для опису точкового джерела інтенсивність виявляється незручним інструментом і нею слід користуватися тільки для протяжних джерел.

Поняття потоку позбавлене такого недоліку. У формулу (5.2) входить лише одна характеристика джерела – світність L.Потік не залежить від радіусу об'єкта, тому він застосовується як для протяжних, так і для точкових джерел випромінювання.

Отже, у разі протяжного джерела можемо виміряти інтенсивність і потік випромінювання, а разі точкового - лише потік.

1.6 Середня інтенсивність та щільність енергії

Середня інтенсивність J визначається як поділений на 4π інтеграл від інтенсивності в усіх напрямках:

У разі ізотропного поля випромінювання інтенсивність як постійну величину можна винести знак інтеграла. Враховуючи, що тілесний кут повної сфери дорівнює 4π, отримаємо

Середня інтенсивність, на відміну від потоку, не залежить від напрямку контрольного майданчика, тому що ми підсумовуємо саме інтенсивність, а не енергію, що пройшла через майданчик.

Важливою характеристикою випромінювання є густина енергії U. За своїм змістом вона залежить від напряму. Але для її обчислення введемо проміжну величину UΩ -щільність енергії квантів, що летять у напрямку kусередині конуса з тілесним кутом ΔΩ. За час Dtчерез майданчик DS, розташовану перпендикулярно даному напрямку, проходить кількість енергії, рівне твору UΩ на об'єм паралелепіпеда площею DSта заввишки cDt, де з- швидкість світла. Скориставшись (3.4), отримаємо

Проінтегрувавши останній вираз у всіх напрямках, приходимо до остаточного результату:

Отже, середня інтенсивність пов'язані з щільністю енергії випромінювання.

1.7 Інтегрування за кутовими змінними.

У розділі 1.5 ми знайшли зв'язок між інтенсивністю та потоком, не виконуючи обчислень інтегралів за напрямками. Нам це вдалося зробити через єдину причину: джерело випромінювання передбачалося настільки малим, що ми могли прийняти sinθ ≈ θ і cos θ ≈ 1. Але у разі джерела довільних розмірів необхідно розвинути математичний апарат, що дозволяє нам фактично виконати інтегрування в (4.3) та інших подібних виразах.

Сферична система координат

Обчислення інтеграла типу (4.3) потребує запровадження системи координат у сфері. Відлік кутів проводиться від великого кола PQ, що називається «нульовим меридіаном», і від точки P на ньому, що називається «полюсом». На рис.6 зображено сферу з центром у точці О, полюсом Р і нульовим меридіаном. Велике коло E означає екватор. Площина екватора проходить через центр сфери перпендикулярно радіусу OP. Екватор перетинає нульовий меридіан у точці Q.

Нехай M – довільна точка на сфері. Проведемо через P і M меридіан ( велике коло) і позначимо як R його точку перетину з екватором, а θ - кут між OP та OM . Використання тієї ж літери, що і для кута між введеними вище векторами kі nє традиційним і не призводить до плутанини. Більше того, в розрахунках, що проводяться нижче, ми будемо вибирати систему відліку таким чином, що OP і OM дійсно будуть мати сенс nі k. Площина екватора при цьому збігається з контрольним майданчиком. Кут θ приймає значення з діапазону

Якщо точка M знаходиться у верхній півсфері (як на рис.6), то θ<π/2, а если в нижней, то θ>π/2. Положення M на екваторі відповідає θ=π/2, на «північному» (P ) полюсі θ=0, а на «південному» θ=π.

Напрямок нульового меридіана PM визначається кутом φ, що відраховується в площині екватора між OQ і OT:

Отже, положення будь-якої точки на сфері можна встановити за допомогою кутів θ і φ, що змінюються в діапазоні (7.1).

Елемент тілесного кута

Виразимо елемент тілесного кута ΔΩ через інтервали лінійних кутівΔθ та Δφ. На рис.7 сферичний прямокутник ABCD утворений перетином двох меридіанів сфери радіусу Rз двома паралелями – малими колами, паралельними екватору. Вважатимемо його розміри AB і BC настільки малими, що за формою він близький до плоского прямокутника, отже, його площа Δ Sприблизно дорівнює добутку прилеглих сторін a=AB та b = BC. Введемо позначення Δθ для кута між радіусами OA та OB. Довжина дуги AB дорівнює R ∙Δθ. Позначимо за допомогою F точку перетину малого кола BC та осі OP. Радіус Rθ паралелі BC дорівнює

,

де Δφ - кут між FB та FC. Таким чином,

Спрямувавши Δθ і Δφ до нуля і слідуючи визначенню тілесного кута, остаточно отримаємо

.

У всіх задачах, які ми вирішуємо, ми обмежимося ізотропними джерелами. Їхнє поле випромінювання має достатньо високим ступенемсиметрії. Принаймні, воно завжди циліндрично симетричне, якщо полюс P сферичної системи координат спрямований в центр джерела. j. Тому інтегрування по jв даному випадкузводиться просто до множення на 2 p. Надалі ми вважатимемо, що система відліку обрана саме в такий спосіб. Отже, інтенсивність залежить лише від азимутального кута. q, а при інтегруванні по тілесному куту справедлива рівність

.

Нижче ми завжди будемо користуватися простою формулою (7.3), припускаючи виконаними умови її застосування.

1.8. Потік – міра анізотропії інтенсивності

Випромінювання, як говорилося вище, називається ізотропним, якщо його інтенсивність залежить від напрями:

де I 0 – деяке число.

Потік ізотропного випромінювання через будь-який майданчик дорівнює нулю. Це твердження стане очевидним, якщо ми виберемо наступний спосіб підсумовування енергії (4.1). Для кожного напряму складемо кількість енергії, що протікає у позитивну та негативну сторони. За припущенням, вони однакові, отже їх сума дорівнює нулю. Таким чином, ми розбили суму (4.1) на нульові доданки, отже, і повний потікдорівнює нулю.

У рівності нулю повного потоку випромінювання можна переконатись і шляхом прямого обчисленняза формулою (7.3). Виносячи константу I 0 за знак інтеграла, отримаємо

.

Рівність нуля потоку є необхідною, але не достатньою умовоюізотропії випромінювання. Розглянемо, наприклад, функцію

.

Вона визначає анізотропне випромінювання. Однак потік дорівнює нулю:

.

Це сталося з наступної причини. Ми підібрали напрямок контрольного майданчика таким чином, що інтенсивність в обох напрямках вздовж вектора nоднакова:

.

За будь-якого іншого вибору nпотік буде відмінний від нуля. Отже, висновок про ступінь ізотропії випромінювання можна зробити тільки після вимірювання потоку за всіх можливих напрямків контрольного майданчика.

1.9 Кордон ізотропного джерела та астрофізичний потік

Нехай джерело є напівпростір, обмежений площиною G . Будемо вважати, що всередині джерела поле випромінювання є ізотропним, а випромінювання, що входить до нього, відсутнє. Таким чином, праворуч від кордону G випромінювання є анізотропним. Направимо вектор nперпендикулярно до кордону G , як на рис.8, і запишемо інтенсивність як функцію кута θ:

.

Така модель є основою теорії зоряних атмосфер. Обчислення потоку проводимо за формулою (7.3):

.

Формула, що зв'язує потік та амплітуду інтенсивності для межі плоскопаралельної атмосфери

,
часто використовується в іншій формі. Ведемо величину

Її прийнято називати "астрофізичним потоком". Формула (9.2) тепер набуває дуже простого вигляду:

.

Підкреслимо, що (9.2) і (9.4) у жодному разі немає зв'язок між інтенсивністю і потоком. Це хоча б з те, що потік - це число, а інтенсивність - функція кута. Рівність числа та функції можлива лише в тому випадку, якщо функція зводиться до постійній величині. Але інтенсивності, що дорівнює I 0 у всіх напрямках, відповідає потік, що дорівнює нулю. Співвідношення (9.2) і (9.4) між потоком та амплітудою анізотропної інтенсивності справедливі саме для функції I(θ) із (9.1). Для стислості іноді пишуть, що «астрофізичний потік на межі випромінюючого тіла дорівнює інтенсивності», маючи на увазі сказане вище.

1.10 Спектральні характеристики випромінювання

Перейдемо до вивчення інтенсивність як функції частоти. Для цього повернемося до визначення (3.3). Крім всіх зазначених там характеристик, будемо вважати, що енергія, що проходить через контрольний майданчик Δ Eзосереджена в деякому інтервалі частот Δν, настільки вузькому, що величина Δ Eпропорційна Δν. Коефіцієнт пропорційності Iν називається інтенсивністю, розрахованою на одиничний інтервал частот:

Аналогічно можна запровадити Iλ - інтенсивність в одиничному інтервалі довжин хвиль:

В області

Максимума I n .

На досить великому спектральному інтервалі функції Iλ та Iν залежать від частоти (або від довжини хвилі) немонотонно: вони зростають в області малих частот, проходять через максимум і далі зменшуються. Нелінійність зв'язку між частотою і довжиною хвилі призводить до того, що положення максимумів Iλ та Iрозрізняються. Покажемо це двома способами, обравши спочатку наочніший. На рис.9 діапазон частот поблизу максимуму Iν розбитий на рівні проміжки Δν. У цій галузі спектра величина Iν майже не змінюється від інтервалу до інтервалу. Але з нелінійного зв'язку (10.3) однаковим частотним інтервалам відповідають зменшуються з частотою проміжки довжин хвиль Δλ. Насправді, згідно (10.4) маємо:

Отже, зменшення інтервалу довжин хвиль в області максимуму Iν супроводжується збільшенням Iλ. Отже, максимум Iλ припадає на більші частоти, ніж максимум I ν .

Той самий результат можна отримати шляхом диференціювання (10.5):

Зі співвідношення (10.3) між частотою і довжиною хвилі випливають такі нерівності:

.

Тому в точці максимуму Iν , де

похідна dI λ / dν виявляється позитивною. Отже, її максимум лежить більш високих частотах.

З (10.7) ясно видно, що відмінність частот максимумів Iν та Iλ зумовлено саме нелінійністю функції ν(λ). При лінійному зв'язку другий доданок праворуч було б нулю, що означає збіг максимумів.

Зоряна величина

Зоряна величина визначається потоком випромінювання від джерела Fλ та спектральною чутливістю приймача W(λ):

.

Тут A- деяка константа, чисельне значення якої можна вибрати будь-яким. Нагадаємо, що в силу (10.5) той же результат вийде, якщо як змінна інтеграція вибрати частоту і замінити Fλ на F n .

Відзначимо важливу відмінність зоряної величини від потоку. Потік випромінювання через фіксований майданчик залишається одним і тим же, яким би приладом його не вимірювали, тоді як зоряна величина залежить від спектральної чутливості приймача. Вимірявши зоряну величину одного й того джерела випромінювання з допомогою різних приладів, ми отримаємо, взагалі кажучи, різні результати. Поняття зоряної величини не має сенсу, якщо не вказано функцію W(λ) та константа A, або, як кажуть, не встановлена ​​фотометрична система.

Нині є кілька фотометричних систем; причому найпоширенішою є система UBV , чи система Джонсона. Вона складається з декількох фільтрів, криві реакції трьохїх наведені на рис.10. Зоряні величиниу системі Джонсона визначаються так

Тут введено позначення

Інтеграли Δ Bта Δ Vобчислюються аналогічно, лише у підінтегральних функціях замість кривої пропускання W U (λ) треба писати, відповідно, W B (λ) та W V (?). Джерело випромінювання у системі UBV характеризується показниками кольору U -Bі B -V:

Чисельні значення констант Aу правій частині (10.9) системи Джонсона обрані таким чином, щоб показники кольору U -Bі B -Vвиявилися рівними нулю для зірок спектрального класуА0.

Тілесний кут

Тілесний кут

Тілесний кут- частина простору, яка є об'єднанням усіх променів, що виходять з даної точки ( вершиникута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, стягуючоюцей тілесний кут). Приватними випадками тілесного кута є тригранні та багатогранні кути. Кордоном тілесного кута є деяка конічна поверхня.

Тілесний кут вимірюється відношенням площі тієї частини сфери з центром у вершині кута, що вирізається цим тілесним кутом, до квадрату радіусу сфери:

Очевидно, тілесні кути вимірюються абстрактними (безрозмірними) величинами. Одиницею вимірювання тілесного кута в системі СІ є стерадіан, рівний тілесному куту, що вирізує зі сфери радіусу поверхню з площею. Повна сфера утворює тілесний кут, рівний стерадіан ( повний тілесний кут), для вершини, розташованої всередині сфери, зокрема для центру сфери; таким же є тілесний кут, під яким видно будь-яку замкнуту поверхню з точки, що повністю охоплюється цією поверхнею, але не належить їй. Окрім стерадіанів, тілесний кут може вимірюватися у квадратних градусах, квадратних хвилинах та квадратних секундах, а також у частках повного тілесного кута.

Тілесний кут має нульову фізичну розмірність.

Позначається тілесний кут зазвичай буквою.

Подвійний тілесний кут до цього тілесного кута визначається як кут, що складається з променів, що утворюють з будь-яким променем кута негострий кут.

Коефіцієнти перерахунку одиниць тілесного кута.

Обчислення тілесних кутів

Для довільної стягуючої поверхні тілесний кут, під яким вона видно з початку координат, дорівнює

де - сферичні координати елемента поверхні - його радіус-вектор - одиничний вектор, нормальний до

Властивості тілесних кутів

Величини деяких тілесних кутів

де - змішаний добуток даних векторів, - скалярні твори відповідних векторів, напівжирним шрифтом позначені вектори, нормальним шрифтом - їх довжини. Використовуючи цю формулу, можна обчислювати тілесні кути, стягнуті довільними багатокутниками з відомими координатами вершин (для цього достатньо розбити багатокутник на трикутники, що не перетинаються).

• Тілесний кут двогранного кута в стерадіанах дорівнює подвійному значенню двогранного кута в радіанах:

Див. також

• Багатогранний кут

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Тілесний кут" в інших словниках:

ТЕЛІВИЙ КУТ- частина простору, обмежена конічною поверхнею. Тілесний кут вимірюють площею частини сфери одиничного радіусу, що вирізується, з центром у вершині кута. Одиницею тілесного кута СІ є (див.) … Велика політехнічна енциклопедія

тілесний кут - просторовий кут- [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїв цілому Синоніми просторовий кут EN solid angle … Довідник технічного перекладача

ТІЛЬСЬКИЙ КУТ, просторовий кут, утворений у центрі сфери ВЕРШИНОГО КОНУСА, основа якого знаходиться на поверхні сфери. Тілесні кути вимірюються в стерадіанах і визначаються як відношення поверхні, яку займає основа конуса, до … Науково-технічний енциклопедичний словник

Частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею, зокрема тригранний та багатогранний кутиобмежені відповідно трьома та багатьма плоскими гранями, що сходяться у вершині тілесного кута. Одиницю виміру тілесного кута. Великий Енциклопедичний словник

тілесний кут,- 3.36 тілесний кут, (СР) (solid angle): Тілесний кут з його вершиною в центрі сфери радіусу r є відношення площі А, що вирізається цим кутом на поверхні сфери, на квадрат радіусу (див. малюнок 3) Ω = A/r2. Повний тілесний кут дорівнює 4p пор. Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею (рис., 1); окремими випадками Т. в. є тригранні та багатогранні кути. Т. в. вимірюється ставленням площі S тієї частини сфери з центром у вершині конічної… Велика Радянська Енциклопедія

Частина простору, обмежується. деякий коннч. поверхнею (див. рис.), зокрема 3 гранний та багатогранний кути частини простору, обмеж. трьома або більше площинами, що проходять через одну точку (вершину Т. в.). Значення Т. в. одно відношенню ... ... Великий енциклопедичний політехнічний словник

тілесний кут- erdvinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. solid angle; space angle; spatial angle vok. körperlicher Winkel, m; Raumwinkel, m rus. просторовий кут, m; тілесний кут, m pranc. angle solide, m … Fizikos terminų žodynas

частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею (рис. 1); зокрема, тригранний (рис. 2) і багатогранний (рис. 3) кути обмежені відповідно трьома та багатьма плоскими гранями, що сходяться у вершині тілесного кута. Одиницю ... ... Енциклопедичний словник

частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею (рис. 1); окремими випадками Т. в. є тригранні та багатогранні кути. Т. в. вимірюється ставленням площі Sтієї частини сфери з центром у вершині конічної поверхні, що вирізається цим Т. у., до квадрата радіусу Rсфери. Очевидно, Т. в. вимірюються абстрактними числами; наприклад, Т. у., що містить ⅛ частину простору (октант, Мал. , 2), вимірюється числом 4π R 2 /8R 2= π/2. Одиницею виміру Т. в. є Стерадіан , рівний Т. у., що вирізає зі сфери одиничного радіусу поверхню з площею в 1 квадратну одиницю. Повна сфера утворює Т. у., що дорівнює 4π стерадіан.

• - Частина простору, обмежена деякий коніч. поверхнею; зокрема, тригранний і багатогранний кути обмежені відповідно.

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - Неузаконена позасистемна од. тілесного кута. 1 П. т. у. = 4ПІ ср = 12,566 37 ср...
• - Частина простору, обмеж. деякий коннч. поверхнею, зокрема 3-гранний та багатогранний кути – частини простору, обмеж. трьома або більше площинами, що проходять через одну точку.

  Великий енциклопедичний політехнічний словник

• - кут між лінією мети та горизонтом зброї.

  Морський словник

• - частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею.

  Велика Радянська Енциклопедія

• - частина простору, обмежена деякою конічною поверхнею, зокрема тригранний та багатогранний кути обмежені відповідно трьома та багатьма плоскими гранями, що сходяться у вершині тілесного кута.

  Великий енциклопедичний словник

• - ТЕЛЕСНИЙ, -а, -ое; -сен, -сну. 1. див. тіло. 2. повн. Завданий тілу, фізичний. Телесні ушкодження. Тілесне покарання. 3. перекл. Земний, матеріальний, протип. духовному. 4...

  Тлумачний словникОжегова

• - ТЕЛЕСНИЙ, тілесна, тілесна; тілесний, тілесна, тілесно. 1. тільки повн. дод. до тіла в 1 знач. . Тілесні властивості кулі. 2. тільки повн. дод. до тіла у 2 знач. Тілесна робота. Панчохи тілесного кольору. 3...

  Тлумачний словник Ушакова

• - тілесний I дод. соотн. із сут. тіло I, пов'язане з ним II дод. 1. соотн. із сут. тіло II 1., 2., пов'язаний з ним 2. Має тіло; матеріальний. Ant: духовний 3. Пов'язаний із тілом, заснований на фізичній близькості. 4...

  Тлумачний словник Єфремової

• - ...

  Орфографічний словник-довідник

• - дух "овно-тіл"...
• - тел"...

  Українська орфографічний словник

• - @font-face (font-family: "ChurchArial"; src: url;) span (font-size:17px;font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;)   дод. - має тіло; властивий тілу; хто не має духовних початків або живе не за духовними початками...

  Словник церковнослов'янської мови

• - ...

  Форми слова

• - земний, плотський, матеріальний, блідо-рожевий, фізичний, тригранний, еротичний, еротичний, фізіологічний, бланжений, речовинний, чуттєвий, тільний, одягнений у плоть, одягнений плоттю, багатогранний,...

  Словник синонімів

"Тілесний кут" у книгах

Тілесний розум