Що називається вершинами багатокутника. Види багатокутників» у рамках технології «Розвиток критичного мислення через читання та лист

Словник медичних термінів

Тлумачний словник російської. Д.М. Ушаков

багатокутник

багатокутника, м. (мат.). Плоска фігура, Обмежена трьома, чотирма і т. д. прямими лініями.

Тлумачний словник російської. С.І.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

багатокутник

А, м. У математиці: геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією

Новий тлумачно-словотвірний словник російської, Т. Ф. Єфремова.

багатокутник

м. Геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, ланки якої утворюють понад чотири кути.

Енциклопедичний словник, 1998

багатокутник

Багатокутник (на площині) геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, ланки якої називаються сторонами багатокутника, а їх кінці - вершинами багатокутника. За кількістю вершин розрізняють трикутники, чотирикутники тощо. Багатокутник називається опуклим, якщо він весь лежить по одну сторону від прямої, що несе будь-яку з його сторін, і неопуклим - інакше. Багатокутник називається правильним, якщо всі його сторони та кути рівні.

Багатокутник

замкнута ламана лінія. Докладніше, М. - лінія, яка виходить, якщо взяти n будь-яких точок A1, A2, ..., An і з'єднати прямолінійним відрізком кожну з них з наступною, а останню - з першою (див. Рис. 1, а). Точки A1, A2, ..., An називаються вершинами М., а відрізки A1A2, А2А3, ..., An-1An, AnA1 - його сторонами. Далі розглядаються лише плоскі М. (тобто передбачається, що М. лежить в одній площині). М. може сам себе перетинати (див. Рис. 1, б), причому точки самоперетину можуть бути його вершинами.

Існують і інші точки зору на те, що вважати М. Багатокутником можна називати зв'язкову частину площини, вся межа якої складається з кінцевого числа прямолінійних відрізків, які називаються сторонами багатокутника. М. у цьому сенсі може бути багатозв'язною частиною площини (див. Рис. 1, г), тобто такий М. може мати «багатокутні дірки». Розглядаються також нескінченні М. частини площини, обмежені кінцевим числомпрямолінійних відрізків та кінцевим числом напівпрямих.

Подальший виклад спирається на вище перше визначення М. Якщо М. не перетинає сам себе (див., наприклад, Рис. 1, а і б), то він поділяє сукупність усіх точок площини, на ньому не лежать, на дві частини - кінцеву (внутрішню) і нескінченну (зовнішню) в тому сенсі, що якщо дві точки належать одній з цих частин, то їх можна з'єднати один з одним ламаною, що не перетинає М., а якщо різним частинам, То не можна. Незважаючи на досконалу очевидність цієї обставини, суворий висновок з аксіом геометрії досить важкий (т. зв. теорема Жордана для М.). Внутрішня по відношенню до М. частина площини має певну площу. Якщо М. ≈ самоперетинається, він розрізає площину на певна кількістьшматків, з яких один нескінченний (називається зовнішнім по відношенню до М.), а решта кінцевих однозв'язних (називаються внутрішніми), причому межа кожного з них є деяким самонепересічним М., сторони якого є цілі сторони або частини сторін, а вершини ≈ вершини або точки самоперетину даного М. Якщо кожній стороні М. приписати напрямок, тобто вказати, яку з двох визначальних її вершин ми вважатимемо її початком, а яку ≈ кінцем, і притому так, щоб початок кожної сторони був кінцем попередньої, то вийде замкнутий багатокутний шлях, або орієнтований М. Площа області, обмеженої самоперетинається орієнтованим М., вважається позитивною, якщо контур М. обходить цю область проти годинникової стрілки, тобто нутрощі М. залишається ліворуч від ідучого цим шляхом, і негативною ≈ в у протилежному випадку. Нехай М. ≈ самопересічний і орієнтований; якщо з точки, що лежить у зовнішній стосовно нього частини площини, провести прямолінійний відрізок до точки, що лежить всередині одного з внутрішніх його шматків, і М. перетинає цей відрізок р раз зліва направо і q раз справа наліво, то число р ≈ q ( ціле позитивне, негативне або нуль) не залежить від вибору зовнішньої точки і називається коефіцієнтом цього шматка. Сума простих площ цих шматків, помножених з їхньої коефіцієнти, вважається «площею» аналізованого замкнутого шляху (орієнтованого М.). Так визначається «площа замкнутого шляху» грає велику рольтеоретично математичних приладів (планіметр та інших.); вона виходить там зазвичай як інтеграла ═(в полярних координатах r, w) або ═(в декартових координатахх, у) де кінець радіус-вектора r або ординати y один раз оббігає цей шлях.

Сума внутрішніх кутів будь-якого самонепересічного М. з n сторонами дорівнює (n ≈ 2)180╟. М. називається опуклим (див. Рис. 1а), якщо ніяка сторона М., будучи необмежено продовженою, не розрізає М. на дві частини. Випуклий М. можна охарактеризувати також наступною властивістю: прямолінійний відрізок, що з'єднує будь-які дві точки площини, що лежать усередині М., не перетинає М. Будь-який опуклий М. ≈ самонеперетинальний, але не навпаки. Наприклад, на Рис. 1, б зображений самонепересекающийся М., який не є опуклим, тому що відрізок PQ, що з'єднує деякі його внутрішні точки, перетинає М.

Найважливіші М: трикутники, зокрема прямокутні, рівнобедрені, рівносторонні (правильні); чотирикутники, зокрема трапеції, паралелограми, ромби, прямокутники, квадрати. Випуклий М. називається правильним, якщо всі його сторони рівні та всі внутрішні кути рівні. У давнину вміли по боці або радіусу описаного кола будувати за допомогою циркуля і лінійки правильні М. тільки в тому випадку, якщо число сторін М. дорівнює m = 3 2n, 4 ​​2n,5 2n, 3 5 2n, де n ≈ будь-яке додатне числочи нуль. Німецький математик К. Гаусс в 1801 р. показав, що можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки правильний М., коли число його сторін має вигляд: m = 2n ╥ p1 ╥ p2 ╥ ... ╥ pk, де p1, p2, ... pk ≈ різні прості числавиду ═(s ≈ ціле позитивне число). До цього часу відомі лише п'ять таких р: 3, 5, 17, 257, 65537. З теорії Галуа (див. Галуа теорія) випливає, що жодних інших правильних М., крім зазначених Гауссом, побудувати за допомогою циркуля та лінійки не можна. Т. о., побудова можлива при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... і неможлива при m = 7, 9, 11 , 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

У наведеній нижче таблиці вказані радіус описаного кола, радіус вписаного кола та площа правильного n-yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона якого дорівнює k.

Радіус описаного кола

Радіус вписаного кола

Починаючи з п'ятикутника існують також неопуклі (самоперетинаються, або зірчасті) правильні М., тобто такі, у яких всі сторони рівні і кожна наступна зі сторін повернена в тому самому напрямку і на той самий кут по відношенню до попередньої . Усі вершини такого М. також лежать на одному колі. Така, наприклад, п'ятикутна зірка. на Рис. 2дано всі правильні (як опуклі, так і непуклі) М. від трикутника до семикутника.

Літ. див. при ст. Багатогранник.

Вікіпедія

Багатокутник

Багатокутник- це геометрична фігура, яка зазвичай визначається як замкнута ламана.

Існують три різних варіантивизначення багатокутника:

• Плоска замкнута ламана - найбільш загальний випадок;
• Плоска замкнута ламана без самоперетинів, будь-які дві сусідні ланки якої не лежать на одній прямій;
• Частина площини, обмежена замкненою ламаною без самоперетинів. плоский багатокутник

У будь-якому випадку вершини ламаної називаються вершинамибагатокутника, а її відрізки - сторонамибагатокутник.

Багатокутник (значення)

• Багатокутник у геометрії
• Кам'яний багатокутник у мерзлотознавстві

Приклади слова багатокутник в літературі.

Джилмен був навіть радий поринути в похмуру безодню з її звичним приглушеним ревом, хоча і там наполегливе переслідування двох істот, схожих на скупчення бульбашок, що переливаються, і маленький багатокутникзі сторонами, що змінюються немов у калейдоскопі, викликало особливо гостре відчуття загрози і надзвичайно дратувало.

Похмурі ревючі прірви - зелений кам'янистий схил пагорба - блискуча всіма кольорами веселки тераса - тяжіння невідомих планет - чорна спіраль ефіру - чорна людина - брудний провулок і скрипучі сходи - стара чаклунка і маленька кудлата тварюка з довгими іклами - скупчення бульбашок і маленький багатокутник- дивна засмага - ранки на руці - щось маленьке і безформне в руках у старої - покриті брудом ноги - казки та страхи забобонних іноземців - що все це нарешті означало?

Чи можу я з прямокутної текстової рамки зробити багатокутнику формі зірки?

Багатогранник, основа якого являє собою багатокутника інші грані - трикутники із загальною вершиною.

Потрібно було, отже, намітити, де і як безпосередньо розмістити резерви на Західному напрямку, причому особливо неспокійним місцем залишався якраз неправильний формою багатокутникКалінінського фронту.

Перед вами - неправильний, що різко вдався на північ багатокутник, що іменувався Маньчжурією.

Якщо графічна рамка має форму овалу або багатокутника

Якщо текстова рамка має форму овалу або багатокутника, то ця опція стає недоступною.

Беруться три або більше предмети з однаковою масою, що містяться у вершинах рівностороннього багатокутникаі розганяються до однакової кутовий швидкостіщодо центру їхньої загальної маси.

Майже всупереч своїй волі він парив по сутінковій прірві слідом за скупченням бульбашок, що переливаються, і маленьким багатокутником, коли помітив, що краї гігантських призмів, що знаходилися осторонь від нього, утворюють на подив правильні повторювані кути.

Рівні, незаймані, білі, подекуди понівечені зрушеннями, схожі на незлічені багатокутники, окантовані чорні смужки відкритої води.

Ех, бачити б аргусовим оком багатокутникикорала і волоконці, вплетені в грані, та нутрощі волокон.

Це відполіровані вітрами глинисті такири, що потріскалися на безліч багатокутників, гладкі, немов ковзанка, тверді, як бетон.

Ось фонтан фалічної форми, який виднівся чи то з-під арки, чи то з-під портика, з Нептуном, що стоїть верхи на дельфіні, ворота з колонами, що нагадували ассірійські, і знову арка невизначеної форми, щось на зразок нагромадження трикутників і багатокутників, причому верхівку кожного з них вінчала фігурка тварини - лося, мавпи, лева.

Картинки можуть розташовуватися не тільки у прямокутних графічних рамках, а й у видозмінюваних багатокутникахта овалах.

Тема: «Багатокутники. Види багатокутників»

9 клас

ШЛ №20

Вчитель: Харитонович Т.І.Ціль уроку: дослідження видів багатокутників.

Навчальне завдання:актуалізувати, розширити та узагальнити знання учнів про багатокутники; сформувати уявлення про “ складових частинах” багатокутника; провести дослідження кількості складових елементівправильних багатокутників (від трикутника до n – косинця);

Розвиваюча задача:розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки, розвивати обчислювальні навички, усну та письмову математичну мову, пам'ять, а також самостійність у мисленні та навчальної діяльності, вміння працювати в парах та групах; розвивати дослідницьку та пізнавальну діяльність;

Виховне завдання:виховувати самостійність, активність, відповідальність за доручену справу, завзятість у досягненні поставленої мети.

Обладнання: Інтерактивна дошка(Презентація)

Хід уроку

Показ презентації: «Багатокутники»

“Природа говорить мовою математики, літери цієї мови. математичні постаті”. Г.Галлілей

На початку уроку клас ділиться на робочі групи (у разі розподіл на3 групи)

1.Стадія виклику-

а) актуалізація знань учнів на тему;

б) пробудження інтересу до теми, що вивчається, мотивація кожного учня до навчальної діяльності.

Прийом: Гра “Чи вірите ви, що…”, організація роботи з текстом.

Форми роботи: фронтальна, групова.

"Чи вірите ви в те, що ...."

1. … слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів"?

2. … трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед ножів різних геометричних фігур на площині?

3. … квадрат – це правильний восьмикутник (чотири сторони + чотири кути)?

Сьогодні на уроці мова підепро багатокутники. Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Один із плоских багатокутників – трикутник, з яким ви давно і добре знайомі (можна продемонструвати учням плакати із зображенням багатокутників, ламаною, показати їх різні види, також можна скористатися і ТЗН).

2. Стадія осмислення

Ціль: отримання нової інформації, її осмислення, відбір.

Прийом: зигзаг.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

Кожному з групи видається текст на тему уроку, причому текст складено в такий спосіб, що він включає як інформацію вже відому учням, і інформацію абсолютно нову. Разом з текстом учні отримують питання, відповіді на які необхідно знайти в цьому тексті.

Багатокутники. Види багатокутників.

Хто не чув про загадкове Бермудський трикутник, в якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Крім вже відомих нам видів трикутників, що поділяються по сторонах (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній) і кутах (гострокутний, тупокутний, прямокутний) трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед безлічі різних геометричних фігур на площині.

Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Для характеристики фігури цього мало.

Ломаною А1А2 ... Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2, ... Аn і з'єднують їх відрізків А1А2, А2А3, .... Крапки називаються вершинами ламаною, а відрізки ланками ламаною. (РИС.1)

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).

Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (рис.4)

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5).

Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Або 5. Тоді – п'ятикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

Багатокутник розбиває площину на дві області: внутрішню та зовнішню (рис.6).

Плоським багатокутником або багатокутною областю називається кінцева частина площини обмежена багатокутником.

Дві вершини багатокутника, що є кінцями однієї сторони, називаються сусідніми. Вершини, які є кінцями однієї боку – несусідні.

Багатокутник з n вершинами, отже, і з n сторонами називається n-кутником.

Хоча найменше числосторін багатокутника - 3. Але трикутники, з'єднуючись, один з одним, можуть утворювати інші фігури, які також є багатокутниками.

Відрізки, що з'єднують не сусідні вершинибагатокутники називаються діагоналями.

Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік. При цьому сама пряма вважається такою, що належить ПІВПЛОСКИ

Кутом опуклого багатокутникапри цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Доведемо теорему (про суму кутів опуклого n – косинця): Сума кутів опуклого n – косинця дорівнює 1800*(n - 2).

Доведення. Що стосується n=3 теорема справедлива. Нехай А1А2 ... А n - даний опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі. Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n – 2 трикутника. Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 1800, а число цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А1А2…Аn дорівнює 1800* (n – 2). Теорему доведено.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Рівносторонні трикутники також є правильними. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. З правильних восьмикутниківпаркет скласти не можна. Справа в тому, що у них кожен кут дорівнює 1350. І якщо якась точка є вершиною двох таких восьмикутників, то на їх частку доведеться 2700, і третьому восьмикутнику там поміститися ніде: 3600 - 2700 = 900. Але для квадрата цього достатньо. Тому можна скласти паркет із правильних восьмикутників та квадратів.

Правильними бувають і зірки. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка. А якщо повернути квадрат навколо центру на 450, то вийде правильна восьмикутна зірка.

Що називається ламаною? Поясніть, що таке вершини та ланки ламаної.

Яка ламана називається простою?

Яка ламана називається замкненою?

Що називається багатокутником? Що називається вершинами багатокутника? Що називається сторонами багатокутника?

Який багатокутник називається плоским? Наведіть приклади багатокутників.

Що таке n – косинець?

Поясніть, які вершини багатокутника сусідні, а які ні.

Що таке діагональ багатокутника?

Який багатокутник називається опуклим?

Поясніть, які кути багатокутника зовнішні, а які внутрішні?

Який багатокутник називається правильним? Наведіть приклади правильних багатокутників.

Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника? Доведіть.

Учні працюють з текстом, шукають відповіді на поставлені питання, після чого формуються експертні групи, робота в яких йде з одних і тих самих питань: учні виділяють головне, складають опорний конспект, надають інформацію однією з графічних форм. Після закінчення роботи учні повертаються до своїх робочих груп.

3.Стадія рефлексії-

а) оцінка своїх знань, виклик до наступного кроку пізнання;

б) осмислення та присвоєння отриманої інформації.

Прийом: дослідження.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

У робочих групах виявляються фахівці з відповідей кожен із розділів запропонованих питань.

Повернувшись до робочої групи, експерт знайомить інших членів групи з відповідями на свої запитання. У групі відбувається обміну інформацією всіх учасників робочої групи. Таким чином, у кожній робочій групі, завдяки роботі експертів, складається загальне уявленняпо темі, що вивчається.

Дослідницька роботаучнів- Заповнення таблиці.

Правильні багатокутники Креслення Кількість сторін Кількість вершин Сума всіх внутр.кутів Градусний західвнутр. кута Градусна міра зовнішн.кута Кількість діагоналей

А)трикутник

Б) чотирикутник

В)п'ятиуГольник

Г) шестикутник

Д) n-кутник

Рішення цікавих завданьна тему уроку.

1) Скільки сторін має правильний багатокутник, кожен із внутрішніх кутів якого дорівнює 1350?

2)У деякому багатокутнику всі внутрішні кути рівні між собою. Чи може сума внутрішніх кутів цього багатокутника дорівнювати: 3600, 3800?

3) Чи можна побудувати п'ятикутник із кутами 100,103,110,110,116 градусів?

Підбиття підсумків уроку.

Запис домашнього завдання: СТР66-72 №15,17 І ЗАВДАННЯ:У ЧОТИРИКУТНИКУ, ПРОВЕДІТЬ ПРЯМУ ТАК, ЩОБ ВОНА РОЗДІЛИЛА ЙОГО НА ТРИ ТРИКУТНИКИ.

Рефлексія у вигляді тестів (на інтерактивній дошці)

Що називається багатокутником? Види багатокутників. МНОГОКУТНИК, плоска геометрична фігура з трьома або більше сторонами, що перетинаються в трьох або більше точках (вершинах). Визначення. Багатокутник - це геометрична фігура, обмежена з усіх боків замкнутою ламаною лінією, що складається з трьох і більше відрізків (ланок). Трикутник, безумовно, є багатокутником. А багатокутник — це постать, яка має від п'яти кутів і більше.

Визначення. Чотирьохкутник - це плоска геометрична фігура, що складається з чотирьох точок (вершин чотирикутника) і чотирьох відрізків, що їх послідовно з'єднують (сторін чотирикутника).

Прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Вони називаються відповідно до числа сторін або вершин: ТРИКУТНИК (тристоронній); ЧОТИРИКУТНИК (чотирьохсторонній); П'ятикутник (п'ятисторонній) і т.д. В елементарній геометрії М. називається фігура, обмежена прямими лініями, які називаються сторонами. Точки, в яких сторони перетинаються, називаються вершинами. У багатокутника кутів більше ніж три. Так прийнято чи обумовлено.

Трикутник – він і є трикутником. І чотирикутник теж не багатокутник, та й чотирикутником не зветься - це або квадрат, або ромб, або трапеція. Той факт багатокутник з трьома сторонами та трьома кутами має власна назваТрикутник не позбавляє його статусу багатокутника.

Дивитися що таке «Багатокутник» в інших словниках:

Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Хто не чув про загадковий Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Хоча звичайно фігура, що складається з трьох кутів, теж може вважатися багатокутником.

Для характеристики фігури цього мало. Ломаною А1А2 ... Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2, ... Аn і з'єднують їх відрізків А1А2, А2А3, .... Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5). Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.

Нехай А1А2 ... А n - даний опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі

Сума кутів кожного трикутника дорівнює 1800, а число цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А1А2…Аn дорівнює 1800* (n – 2). Теорему доведено. Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

У чотирикутнику проведіть пряму так, щоб вона розділила його на три трикутники

У чотирикутника ніколи на одній прямій не лежать три вершини. Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).

Довжиною ламаною називається сума довжин її ланок (рис.4). Що стосується n=3 теорема справедлива. Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки.

Число вершин дорівнює кількості сторін. Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка.

Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. Розглянемо докладніше два види багатокутників: трикутник та чотирикутник. Багатокутник, у якого всі внутрішні кути рівні, називається правильним. Багатокутники називаються відповідно до числа його сторін або вершин.

Властивості багатокутників

Багатокутник - це геометрична фігура, що зазвичай визначається як замкнута ламана без самоперетинів (простий багатокутник (рис. 1а)), проте іноді самоперетину допускаються (тоді багатокутник не є простим).

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника. Вершини багатокутника називаються сусідніми, якщо є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, які з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, при цьому кут вважається з боку багатокутника. Зокрема кут може перевищувати 180°, якщо багатокутник невипуклий.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У загальному випадкузовнішній кут це різниця між 180 ° та внутрішнім кутом. З кожної вершини -кутника при > 3 виходять - 3 діагоналі, тому загальне числодіагоналей-кутника одно.

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма - чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Багатокутник з nвершинами називається n-косинцем.

Плоським багатокутником називається фігура, що складається з багатокутника та обмеженої ним кінцевої частини площі.

Багатокутник називають опуклим, якщо виконано одну з наступних (еквівалентних) умов:

• 1. він лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини. (Тобто продовження сторін багатокутника не перетинають інших його сторін);
• 2. він є перетином (тобто. загальною частиною) декількох напівплощин;
• 3. будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать багатокутнику, цілком належить йому.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні та всі кути рівні, наприклад рівносторонній трикутник, квадрат і пентагон.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола

Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі кути та всі сторони рівні між собою.

Властивості багатокутників:

1 Кожна діагональ опуклого -кутника, де >3, розкладає його на два опуклі багатокутники.

2 Сума всіх кутів опуклого -кутника дорівнює.

Д-во: Теорему доведемо методом математичної індукції. При = 3 вона очевидна. Припустимо, що теорема правильна для -кутника, де <, і доведемо її для -кутника.

Нехай-даний багатокутник. Проведемо діагональ цього багатокутника. По теоремі 3 багатокутник розкладено на трикутник і опуклий -кутник (рис. 5). За припущенням індукції. З іншого боку, . Складаючи ці рівності та враховуючи, що (- внутрішній промінь кута ) і (- внутрішній промінь кута ), отримуємо.При отримуємо: .

3 Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Д-во: Нехай правильний багатокутник, а й – бісектриси кутів, та (рис. 150). Тому що, отже, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О.Доведемо, що O = ОА 2 = Про =… = ОА п . Трикутник Прорівнобедрений, тому Про= Про. За другою ознакою рівності трикутників, отже, Про = Про. Аналогічно доводиться, що Про = Проі т.д. Таким чином, точка Прорівновіддалена від усіх вершин багатокутника, тому коло з центром Прорадіусу Проє описаною біля багатокутника.

Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад, А 2 , . Оскільки через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника … не можна описати більш ніж одне коло.

• 4 У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і лише одну.
• 5 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.
• 6 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
• 7 Симетрія:

Кажуть, що фігура має симетрію (симетрична), якщо існує такий рух (не тотожний), що переводить цю фігуру в себе.

• 7.1. Трикутник загального вигляду немає осей чи центрів симетрії, він несиметричний. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії: серединний перпендикуляр до основи.
• 7.2. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (серединні перпендикуляри до сторін) та поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту 120°.

7.3 Будь-який правильний n-кутник має n осей симетрії, всі вони проходять через його центр. Він також має поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту.

При парному nодні осі симетрії проходять через протилежні вершини, інші – через середини протилежних сторін.

При непарному nкожна вісь проходить через вершину та середину протилежної сторони.

Центр правильного багатокутника з парним числом сторін є центром симетрії. У правильного багатокутника з непарною кількістю сторін центру симетрії немає.

8 Подібність:

При подобі і -кутник переходить в -кутник, напівплощина - напівплощина, тому опуклий n-кутник переходить у опуклий n-кутник.

Теорема: Якщо сторони і кути опуклих багатокутників і задовольняють рівності:

де - коефіцієнт подія

то ці багатокутники подібні.

• 8.1 Відношення периметрів двох подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності.
• 8.2. Відношення площ двох опуклих подібних багатокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

багатокутник трикутник периметр теорема

Трикутник, квадрат, шестикутник – ці фігури відомі практично всім. Але про те, що таке правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але це все ті ж Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути і сторони. Таких фігур дуже багато, але вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й самі формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь-який правильний багатокутник, будь то квадрат або октагон, може бути вписаний у коло. Ця основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, коло можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику дорівнюватиме кількості його сторін. Важливо, що коло, вписане у правильний багатокутник, матиме спільний центр. Ці геометричні постаті підпорядковані одним теоремам. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного біля нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи таку формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через нього можна знайти не тільки сторони, а й периметр багатокутника.

Як знайти кількість сторін правильного багатокутника

Кожен складається з певної кількості рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнуту лінію. При цьому всі кути фігури, що утворилася, мають однакове значення. Багатокутники поділяються на прості та складні. До першої групи відносяться трикутник та квадрат. Складні багатокутники мають більшу кількість сторін. До них також відносять зірчасті фігури. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування в коло. Наведемо доказ. Накресліть правильний багатокутник із довільним числом сторін n. Опишіть навколо нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дано деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на колі і дорівнюють одна одній, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник – це правильний багатокутник. Формули щодо нього застосовуються самі, як і квадрату, і n-угольнику. Трикутник вважатиметься правильним, якщо в нього однакові по довжині сторони. При цьому кути дорівнюють 60⁰. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану та висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього використовуватимемо спосіб знаходження через формулу а = х: cosα, де х - медіана або висота. Оскільки всі сторони трикутника рівні, то отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = = с = х: cosα. Аналогічно можна знайти значення сторін у рівнобедреному трикутнику, але х буде задана висота. При цьому проектуватись вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо бік а рівнобедреного трикутника за формулою а = в = х: cosα. Після знаходження значення а можна обчислити довжину основи с. Застосуємо теорему Піфагора. Шукатимемо значення половини основи c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тоді c = 2xtg. Ось таким нескладним способом можна знайти число сторін будь-якого багатокутника вписаного.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні сторони та кути. До нього застосовуються самі формули, як і до трикутнику. Обчислити сторони квадрата можна за значення діагоналі. Розглянемо цей метод більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після поділу утворюються два Їх кути при підставі дорівнюватимуть 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата дорівнюватиме, тобто: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, де е - це діагональ квадрата, або основа прямокутного трикутника, що утворився після розподілу. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цього кола R, знайдемо бік квадрата. Обчислюватимемо її наступним чином a4 = R√2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360 o: 2n), де а – довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх сторін. Обчислити його нескладно. Для цього потрібно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників є спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь-який правильний багатокутник має рівні боки. Тому для того, щоб обчислити його периметр, достатньо знати хоча б одну з них. Формула залежатиме від кількості сторін фігури. Загалом вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата та ромба

Залежно від цього, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже, на відміну від інших фігур, у цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Незважаючи на те, що це різні фігури, формула для них одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр так: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелограма рівні лише протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину і ширину у фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони і кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього та прямокутного трикутника

Периметр правильного можна знайти за формулою Р = 3а де а - довжина сторони. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають лише дві сторони. Підставу можна знайти через теорему Піфагора. Після того, як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в – рівні сторони, а с – основа. Нагадаємо, що в рівнобедреному трикутнику а = в = а, отже, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу та периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи за теоремою Піфагора з = √а 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається у нашому житті щодня, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це лише на перший погляд. Щоб побудувати будь-який n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як їх знайти? Ще вчені давнини намагалися збудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх у коло. А потім на ній відзначали потрібні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих постатей проблема побудови була вирішена. Формули та теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своїй знаменитій праці «Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо, як це зробити для 15-кутника. Спочатку потрібно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використати формулу S = 180⁰(n-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер необхідно набути значення кожного з них. Усього кутів 15. Робимо обчислення 2340⁰: 15 = 156⁰. Отже, кожен внутрішній кут дорівнює 156⁰, тепер за допомогою лінійки та циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з більш складними n-кутниками? Багато століть вчені билися над розв'язанням цієї проблеми. Воно було знайдено лише у 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цього часу проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників у радіанах

Звісно, ​​є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна висловити їх у радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти в такий спосіб. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Отже, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається лише розділити отриманий добуток на число кутів у n-кутнику. Розглянемо дані обчислення на прикладі того ж п'ятнадцятикутника. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п(n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Це, звичайно, не єдиний спосіб розрахувати кут у радіанах. Можна просто поділити розмір кута в градусах на число 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів у градах

Крім градусів та радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти у градах. Робиться це так. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на кількість сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До речі, така одиниця виміру кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна вирахувати ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для інших постатей. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника необхідно знати значення внутрішнього. Далі нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо так: 180⁰ мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і дорівнюватиме значення суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, отже, зовнішній становитиме 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може набувати значення від +180⁰ до, відповідно, -180⁰.