Ціле рівняння з однією змінною. Розв'язання цілих і дрібно раціональних рівнянь

Цілими рівняннями називаються рівняння, у яких права та ліва частини є цілими виразами. Наприклад, наступні рівняння будуть цілими:

1. 2 * (x 2 + 1) * (x - 1) = 6 * x - (x + 7);

2. (x 4 - 1) / 4 - (x 2 + 1) / 2 = 3 * x 2

Виконаємо над цими рівняннями рівносильні перетворення: розкриємо дужки, наведемо подібні доданки. Отримаємо:

1. 2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2 * x 3 - 2 * x 2 - 3 * x + 5 = 0.

2. x 4 - 1 - 2*(x 2 + 1) = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 = 12*x 2

x 4 - 1 - 2 * x 2 - 2 - 12 * x 2 = 0

x 4 - 14 * x 2 - 3 = 0.

В результаті отримали рівняння виду P(x) = 0, де P(x) - багаточлен у стандартному вигляді. Ступінь цього многочлена буде також ступенем рівняння.

Ступінь рівняння

ступенем довільного рівнянняназиватиметься ступінь багаточлена, отриманого з рівняння шляхом проведення рівносильних перетворень. Рівняння першого ступенязавжди будуть приведені до вигляду a * x + b = 0, де х - деяка змінна, а і b - деякі числа, причому а не повинно дорівнювати нулю.

З цього рівняння отримуємо вираз для х.

Це число (-b/a) називається коренем рівняння. Рівняння першого ступеня матиме один корінь. Коренем рівняння P(x) =0 називають будь-яке значення змінної х, таке, що багаточлен P(x) перетворюється на нуль.

Рівняння другого ступенязавжди можна привести до вигляду a * x 2 + b * x + x = 0, де х - деяка незалежна змінна, а а, b, c - довільні числа, причому а не дорівнює нулю. Коріння рівняння знаходиться за формулою x = (-b ± √D)/(2*a), де D = b 2 - 4*a*c.

Вираз D (b 2 - 4 * a * c) називається дискримінантом. Залежно від того, яке значення має дискримінант, квадратне рівняння матиме два або один корінь або коріння.

Якщо дискримінант більше нуля, то рівняння має два корені: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь: (x = (-b/(2*a)) Якщо дискримінант негативний, то рівняння не має коріння.

Рівняння третього ступеняможна привести до вигляду a*x3+b*x2+c*x+d=0. Рівняння четвертого ступеняможна привести до вигляду a*x4+b*x3+c*x2+d*x+e=0.

Будь-яке рівняння n-го ступеня має трохи більше n коренів. Формули для коренів рівнянь третього та четвертого ступеня відомі, але вони дуже складні. Для рівнянь великих ступенівформул коріння немає.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У даному уроціми продовжуємо заглиблюватись у тему «Рівняння з однією змінною». Нагадаємо, що для того, щоб вирішити абсолютно будь-яке рівняння, необхідно знайти всі відповідні значення аргументів, які роблять рівняння правильною рівністю. Відповідне значення або значення невідомих або коріння рівняння- все це синоніми, і необхідно їх знайти або довести, що коренів в рівнянні немає.

Правда тепер варто поговорити про те, що таке ціле рівнянняі скільки коренів у нього. Тому необхідно розглянути такі два приклади.

Квадрат різниці «х» куб і «х» п'ятою мірою дорівнює «х» шостою мірою мінус два, помножене на різницю «х» і одного.

У другому рівнянні «х» в четвертому ступені мінус один, поділений на чотири, мінус «х» у квадраті плюс один, поділений на два, дорівнює три «х» квадрат.

Якщо уважно, то обидві частини цих рівнянь самостійно є цілими виразами. Це і є цілим рівнянням. Тепер варто дати чітке визначення цілого рівняння з однією змінною (це таке рівняння, де обидві частини є цілими виразами ).

Що, якщо ми спростимо приклади? У першому рівнянні для початку розкриємо дужки, а після цього перенесемо всі члени в ліву частинуі наведемо подібні доданки. Всі зроблені перетворення дозволяють знайти значення: "х" у п'ятій мірі мінус два "х" у кубі плюс два "х" мінус один дорівнює нулю. У другому рівнянні повторюємо виконані операції з перетворення. Однак спочатку позбавляємося знаменника, помножуючи рівняння на чотири. У результаті ми отримуємо, що "х" в четвертому ступені мінус чотирнадцять "х" у квадраті мінус три дорівнює нулю. Ми зробили ряд трансформацій у першому та другому рівняннях, але вони не змінили значення, а лише призвели до рівносильних рівнянь.

Нагадаємо, що рівносильні рівняння також називають еквівалентними. Еквівалентність створює додаткові властивостірівняння: симетрія (коли перше рівняння рівносильне другому, тобто друге рівносильно першому) і транзитивність (якщо маємо три рівняння, де перше рівносильно другому, а друге рівносильно третьому, це означає, що перше рівносильно третьому зокрема). Зручність рівносильності рівнянь у тому, що з них можна робити ряд спрощень, які допомагають зробити рішення простішим.

У результаті бачимо рівняння наступного виду: «Р» від «х» і нулю, де «Р» від «х» є многочленом стандартного вигляду. Абсолютно будь-яке ціле рівняння заміняться за допомогою рівносильного, де одна частина виступає багаточленом стандартного вигляду, а друга – банкрутом. Рівняння може мати формат запису, де "Р" від "х" виступають багаточленом стандартного вигляду. У цьому вигляді ступенем рівняння виступає ступінь многочлена. Якщо взяти довільне ціле рівняння, його ступенем виступає ступінь рівносильного рівняння, Що має вигляд «Р» від «х» дорівнює нуль. Тут "Р" від "х" є багаточлен стандартного виду. Тобто ми отримуємо, що перше рівняння – рівняння п'ятого ступеня, а друге – рівняння четвертого ступеня.

Якщо говорити про елементарний приклад, де рівняння має одну змінну першого ступеня, воно має наступний формат: сума «ах» і «b» дорівнює нулю. Невідомою змінною виступає «х», а «а» та «b» є деякими числами. Більше того, "а" не може дорівнювати нулю, тому що є коефіцієнтом при змінній "х" і в іншому випадку змінна зникає. Коли зробимо необхідні перетворення, то бачимо, що дорівнює «х» (мінус «b», поділений на «а»). Це і є коренем рівняння або його значенням (також кажуть, що корінь задовольняє даному рівнянню). Може виникнути питання: навіщо взагалі дізнаватися, скільки коренів у рівняння? Відповідь проста: так ми розумітимемо, скільки рішень воно має. Наприклад, перевагою рівняння першого ступеня у цьому, що має лише одне рішення (корінь).

До того, як ми перейдемо до складніших прикладів, необхідно згадати, які операції можна здійснити з перетворення рівнянь. Серед них:

• Розкриття дужок у будь-якій частині рівняння;
• Приведення подібних до будь-якої частини рівняння;
• Перенесення будь-якого члена в іншу частину, попередньо змінивши знак на протилежний;
• Додаток однакового виразудо обох частин рівняння;
• Віднімання однакового виразу в обох частин рівнянь;
• Множення та розподіл на число, що не є нулем, обох частин рівняння. Однак ця властивість може додати нове коріння або позбавити їх.

Провівши низку таких перетворень, ми отримуємо рівносильне рівняння.

Тепер розглянемо рівняння другого ступеня. Його можна привести до виду суми «ах» у квадраті, «bx» та «с», рівне нулю. Тут ми бачимо змінну «х», а також деякі числа (особливо «а» не може бути нульовим, адже тоді рівняння другого ступеня перетворитися на рівняння першого ступеня). Щоб зрозуміти, яке число коренів має рівняння, необхідно знайти значення дискримінанта «D», формулою якого є різниця «b» у квадраті і чотирьох «ас». Коли ми знайшли дискримінант, ми розуміємо, що рівняння може мати два рішення (якщо дискримінант більший за нуль), може мати один корінь (якщо дорівнює нулю) і не мати коріння (якщо менше нуля). Рівняння другого ступеня не може мати більше двох коренів. У тих випадках, коли є два рішення, доступна формула кореня, де «х» дорівнює мінус «b» плюс корінь із дискримінанта, поділений на два «а».

Рівняння другого ступеня або квадратне рівняння має корінь, яке звертає тричлен у значення нуля або так зване тотожність. Якщо говорити про коефіцієнти, які використовують у квадратному рівнянні, то кожен має певна назва: "а" виступає старшим коефіцієнтом, "b" - коефіцієнт при "х" або другий коефіцієнт, а "с" - вільний член рівняння. Є приклади, коли старший коефіцієнт дорівнює одиниці, у разі квадратне рівняння називається наведеним. Рівняння другого ступеняможе бути повним та неповним. Неповне квадратне рівняння – таке, у якому другий коефіцієнт чи вільний член дорівнює нулю. Що є графіком рівняння другого ступеня? Цілком вірно, це парабола, яка симетрична щодо осі ординат, і може мати значення функції від нуля до плюс нескінченності або від нуля до мінус нескінченності. Згадаймо за графіком, яку кількість перетинів парабола може мати, адже саме від цього залежить кількість коренів чи рішень. Коли перетин відбувається в одній точці, тобто при вершині, то отримуємо один корінь або, як кажуть, два корені, що збігаються. Коли ж парабола зустрічається з віссю абсцис двічі, то значить у нас два корені або два рішення. За низкою принципів можна визначити спрямованість параболи. Позитивність основного коефіцієнта свідчить про напрямі гілок нагору. Схожість старшого та другого коефіцієнтів говорить про те, що графік розташований у лівій напівплощині щодо осі ординат. Відмінність цих коефіцієнтів свідчить, що фігура перебуває у правій частині.

Якщо говорити про рівняння вищого ступеня, то їх можна привести до основного виду. Наприклад, рівняння третього ступеня виглядає як сума твору «а» і «х» у кубі, «b» і «х» у квадраті, «сх» і d, однаково нулю. Кубічне рівняннятакож має графік функцій, який на декартовій системіпредставлений у вигляді кубічної параболи. Що з приводу рівняння четвертого ступеня: сума твору «а» та «х» у четвертому ступені, «b» і «х» у кубі, «с» і «х» у квадраті, «dх» та «е». Рівняння четвертого ступеня виступає найвищим, тому що тільки до четвертого ступеня можливе рішення в радикалах або при різних значенняхкоефіцієнтів. У всіх випадках «а» не може дорівнювати нулю тому, що рівняння стане більш низькою мірою. Відмітимо, що рівняння з n-им ступенем не може мати більше n-ої кількості коренів. Можна вивести формули коренів для рівнянь третього та четвертого ступеня, проте вони будуть дуже складні, і запам'ятати їх буде неможливо для учня. Якщо говорити про рівняння п'ятого ступеня і вище, то навіть формули коріння не виведені. Як тоді можна вирішити рівняння третього ступеня та вище?

У даному випадкунеобхідно використовувати прийоми, які допоможуть спростити рішення. Перша підказка – розкласти багаточлени на множники. Спробуємо застосувати даний прийомна практиці, вирішуючи приклад "х" куб мінус вісім "х" квадрат мінус "х" плюс вісім дорівнює нулю. Коли зробимо необхідні перетворення (винесемо «х» квадрат за дужки, далі різницю «х» і вісім винести за дужки, наостанок розкладемо формулу, що вийшла). У результаті бачимо, що різниця «х» і вісім дорівнює нулю, різниця «х» і один дорівнює нулю і добуток «х» і один дорівнює нулю. Так ми й довели, що початкове рівняння має три корені або три значення (вісім, один та мінус один).

При розв'язанні рівняння вище другого ступеня можна часом використовувати прийом введення нової змінної. Наприклад, є рівняння, де добуток «х» квадрат мінус п'ять «х» плюс чотири та «х» квадрат мінус п'ять «х» плюс шість, він дорівнює сто двадцяти. У даному прикладіЩоб знайти рішення, необхідно все перенести в ліву частину і розкрити дужки, зробивши необхідні перетворення. Отримуємо «х» в четвертій мірі мінус десять «х» у кубі плюс тридцять п'ять «х» у кубі мінус п'ятдесят «х» мінус дев'яносто діть і нулю. Навіть якщо ми наведемо такі, то рівняння все одно вийде дуже складне, а вирішити його буде абсолютно неможливо. Тому подивимося уважніше на формулу і побачимо, що різниця «х» у квадраті та п'ять «х» повторюється в обох дужках. Що якщо ми введемо нову змінну "у" замість цієї частини? Тоді ми отримуємо добуток суми «у» та чотири та суми «у» та шести, що дорівнює сто двадцяти. Спростивши, ми отримуємо квадратне рівняння з корінням мінус шістнадцять і шість. Тепер замість "у" ми можемо підставити різницю "х" квадрат і п'ять "х". Рівняння «х» квадрат мінус п'ять «х» і мінус шістнадцять не має коріння, тому що дискримінант негативний. А друге квадратне рівняння має дискримінант вище за нуль, тому отримуємо два корені: мінус один і шість.

Метод введення нової змінної дозволяє легко вирішити рівняння четвертого ступеня, які мають наступний вигляд: добуток «а» і «х» четвертою мірою плюс твір «b» і «х» другою мірою плюс «с» дорівнює нулю. У разі «а» неспроможна дорівнювати нулю. Це приклад біквадратного рівняння, тому що рівняння є квадратним щодо «х» у квадраті. Застосуємо теорію практично, вирішивши рівняння дев'ять «х» четвертою мірою мінус десять «х» на другий ступеня плюс один і нулю. Замість «х» квадрат введемо нову змінну «у», тоді вийде квадратне рівняння з «у», де дискримінант вищий за нуль, тому отримуємо два корені: один дев'ятий і один. Тепер підставляємо "х" у квадраті і отримуємо чотири значення кореня "х": мінус одна третя, одна третя, мінус один і один. Виходить, що вихідне біквадратне рівняннямає чотири рішення.

В результаті уроку нам вдалося узагальнити та створити систему знань у темі “Рівняння”. Тепер учні зможуть логічно вирішувати складні приклади, застосовуючи нові прийоми, та аналізую процес вирішення. Якщо залишилося додатковий час, то варто провести невелике опитування серед учнів. Почніть із того, щоб вам дали визначення, що таке рівняння з однією змінною. Далі попросіть розповісти про процес вирішення, і що таке корінь, скільки коренів може мати рівняння. Наступна важлива частина знань – рівносильні чи еквівалентні рівняння, тому необхідно, щоб учні розклали по поличках характерні такими рівняннями властивості.

Школа: Філія МОУ ЗОШ с. Святославка у с. Воздвиженка

Предмет математики.

Навчальний план – 5 годин на тиждень (з них 3 год. – алгебра, 2 год. – геометрія)

Тема: Ціле рівняння та його коріння. Розв'язання цілих рівнянь.

Тип уроку: вдосконалення умінь та навичок.

Цілі уроку:

дидактична : систематизація та узагальнення, розширення та поглиблення знань учнів за рішенням цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня; підготовка учнів до застосування знань у нестандартної ситуаціїдо ЄДІ.

розвиваюча : розвиток особистості учня через самостійну творчу роботу, розвиток ініціативи учнів; забезпечити стійке мотиваційне середовище, інтерес до теми, що вивчається; розвивати вміння узагальнювати, правильно відбирати способи розв'язання рівняння;

виховна: розвиток інтересу до вивчення математики, підготовка учнів до застосування знань у нестандартній ситуації; виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів

(Додаток 1)

1.Організаційний момент– ставляться цілі та завдання уроку.

Хлопці! Вам належить підсумкова атестаціяз математики у формі ДІА та ЄДІ. Щоб успішно здати ГІА та ЄДІ, ви повинні знати математику не лише на мінімальному рівні, а й застосувати ваші знання у нестандартних ситуаціях. У частинах В та С ЄДІ часто зустрічаються рівняння вищих ступенів. Наше завдання: систематизація та узагальнення, розширення та поглиблення знань щодо вирішення цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня; підготовка до застосування знань у нестандартній ситуації, до ДІА та ЄДІ.

Девізнашого уроку: «Що більше я знаю, то більше вмію.»

Епігаф:

Хто нічого не помічає,

Той нічого не вивчає.

Хто нічого не вивчає,

Той вічно пхикає і нудьгує.

(Поет Р. Сеф).

Рівняння-це найпростіша і найпоширеніша математична задача. Ви нагромадили деякий досвід розв'язання різноманітних рівнянь і нам потрібно привести свої знання до ладу, розібратися в прийомах розв'язання нестандартних рівнянь.

Урівняння власними силами представляють інтерес вивчення. Найраніші рукописи свідчать про те, що в Стародавньому Вавилоніі Стародавньому Єгиптібули відомі прийоми рішення лінійних рівнянь. Квадратні рівняннявміли вирішувати близько 2000 років тому до н. е. вавилоняни.

Стандартні прийомита методи вирішення елементарних алгебраїчних рівняньє складовоюрозв'язання всіх типів рівнянь.

У найпростіших випадках рішення рівняння з одним невідомим розпадається на два кроки: перетворення рівняння до стандартного та рішення стандартного рівняння. Повністю алгоритмізувати процес розв'язування рівнянь не можна, проте корисно запам'ятати найбільш уживані прийоми, загальні всім типів рівнянь. Багаторівняння при застосуванні нестандартних прийомів вирішуються набагато коротше та простіше.

На них ми й загостримо нашу увагу.

(Додаток 2)

Актуалізація знань.

На будинок вам було дано завдання повторити тему рівняння та способи їх вирішення.

Ø Що називається рівнянням? (Рівність, що містить змінну, називається рівнянням з однією змінною)

Ø Що називається коренем рівняння?(Значення змінної, при якому рівняння звертається у вірне числове

рівність.)

Ø Що означає розв'язати рівняння?(Знайти все його коріння або довести, що коріння немає.)

Я вам пропоную вирішити кілька рівнянь усно:

а) x2 = 0 е) x3 - 25x = 0

б) 3x - 6 = 0 ж) x (x - 1) (x + 2) = 0

в) x2 - 9 = 0 з) x4 - x2 = 0

г) x2 = 1/36 і) x2 - 0,01 = 0,03

д) x2 = - 25 к) 19 - c2 = 10

Скажіть, що поєднує ці рівняння?(Одна змінна, цілі рівняння і т. д.)

Ø Що називається цілим рівнянням із однією змінною? (Рівняння, в яких ліва і права частинає цілими

виразами

Ø Що називається ступенем цілого рівняння?(Ступінь рівносильного йому рівняння виду Р(х) = 0,де Р(х) -багаточлен

стандартного виду)

Ø Скільки коренів може мати ціле рівняння з однією змінною 2, 3, 4, п-ого ступеня(не більше 2, 3, 4, д)

Чи знаю я методи розв'язання цілих рівнянь?

Чи можу я застосовувати ці методи?

Чи можу я вирішувати рівняння самостійно?

Чи відчували себе комфортно на уроці?

6. На «3» - табл№1 + 1 рівняння з таблиць, що залишилися.

На «4» - табл№1 + за 1 рівнянням з двох таблиць

На «5» - Табл№1 + по 1 рівнянню з кожної, що залишилася

таблиці

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Підведення підсумків:

Заповнення таблиці самооцінки

Виставлення оцінок

Будинки: рівняння, що залишилися невирішеними, зі всіх таблиць дорішати.