Доповнення нечітких множин. Операції з нечіткими множинами

Наведемо деякі з основних операцій, які можна здійснювати над нечіткими множинами.

1. Доповненнянечіткої множини Апозначається символом і визначається так:

(5.15)

Операція доповнення відповідає логічному запереченню. Наприклад, якщо А- назва нечіткої множини, то "не А"розуміється як (див. приклад нижче).

2. Об'єднаннянечітких множинАі Упозначається А+В(або АЕВ) і визначається :

(5.16)

Об'єднання відповідає логічному зв'язку « або». Наприклад, якщо Аі У- Назви нечітких множин, то запис « А чи В» розуміється як А+В.

u більшез .

Примітка:слід мати на увазі, що логічна зв'язка Ú в даному контексті означає визначення max (тобто ); Ù означає min (тобто.).

3. Перетин Аі Упозначаються АСВі визначається так:

(5.17)

Перетин відповідає логічному зв'язку « u», тобто .

А і В = АÇВ(5.18)

При визначенні ступеня належності елементів uнової нечіткої множини, вибирають менше(див. зауваження вище).

4. Твір Аі Упозначається АВта визначається формулою

(5.19)

якщо (5.20)

Приклад 5.5.Якщо

U=1+2+…+10

A=0.8/3+1/5+0.6/6 (5.21)

B=0.7/3+1/4+0.5/6,

То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6

АÇВ=0.7/3+0.5/6 (береться min із двох значень m)(5.22)

АВ=0.56/3+0.3/6

0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6

5. Декартове твірнечітких множин А 1, …, А nуніверсальних множин U 1 ,…,U nвідповідно позначається А 1 ´…´А nі визначається як нечітка підмножина множини U 1 ´…´U nз функцією власності.

Приклад 5.6.Якщо

U 1 =U 2 =3+5+7

A 1 =0.5/3+1/5+0.6/7

A 2 =1/3+0.6/5, то

A 1 ´A 2 =0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5

Нечіткі стосунки.

Нечітке ставлення R: X®Yє нечіткою множиною декартового твору X'Y. Rнаступним чином описується за допомогою функції приналежності двох змінних:

(5.25)

Нечітким ставленням на безлічі X'Y називається сукупність пар

(5.26)

де - функція приналежності нечіткоговідносини R, має той самий сенс, як і функція власності нечіткої множини.

Взагалі n- Арне ставлення є нечітке підмножина декартового твору X 1 ´X 2 ´…´X n, причому

(5.27)

Приклади нечітких відносин:

« Xприблизно дорівнює Y»,

« Xзначно більше Y»,

« Аістотно краще У».

Приклад 5.7.Припустимо, що X = (Юрій, Сергій), Y=(Максим, Михайло).

Тоді бінарне нечітке відношення «подібності» між елементами множин X та Y можна записати у вигляді

подібність = 0.8 / (Юрій, Максим) + 0.6 / (Юрій, Михайло) + 0.2 / (Сергій, Максим) + 0.9 / (Сергій, Михайло).

Крім цього, дане відношенняможна уявити у вигляді матриці відносин.

(5.28)

В якій (i,j)-й елемент дорівнює значеннюфункції для i-го значення xта j-го значення y.

Якщо R- Відношення X®Y(або, що те саме, ставлення до X'Y), а S- Відношення Y®Z, то композицією Rі Sє нечітке відношення X®Z, що позначається R° Sта визначається формулою

де ° – знак композиції, знаки Ú і Ù позначають відповідно maxі min, V y – верхня граньпо області значень у.

Тут (5.29) є композицією відносин.

Вираз (5.29) визначає максмінний твір Rі S.

Так, для дійсних чисел аі b:

(5.30)

(5.31)

Якщо X,Y,Z- Кінцеві множини, то матриця відносини R° Sє максмінний твір матриць відносин Rі S. У максмінному добутку матриць замість операції складання та множення використовуються операції Ú і Ù відповідно.

Приклад максмінного твору

(5.32)

Тут кількість рядків має дорівнювати кількості стовпців. Рядок множиться на стовпець і береться максимальне значенняз мінімальних значеньпар.

Увімкнення. Нехай A і B – нечіткі множини на універсальній множині E. Кажуть, що A міститься в B, якщо "x ÎE m A (x) > m B (x). Позначення: A Ì B.

Рівність. A та B рівні, якщо "xÎE m A (x) = m B (x). Позначення: A = B.

Доповнення. Нехай M = , A та B – нечіткі множини, задані на E. A та B доповнюють один одного, якщо
"xÎE m A (x) = 1 – m B (x). Позначення: B = або A = . Очевидно, що . (Додаток визначено для M = , але очевидно, його можна визначити для будь-якого впорядкованого M) .

Перетин. A Ç B - найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в A і B;

m A Ç B(x) = min(m A ( x), m B ( x)}.

Об'єднання.А È В – найменше нечітке підмножина, що включає як А, так і В, з функцією приналежності

m A È B(x) = max ((m A ( x), m B ( x)}.

Різниця. А \ B= А Ç з функцією власності:

m A\B ( x) = min (m A ( x), 1 - m B ( x)}.

Наприклад.

Нехай: A = 0,4 / x 1 0,2 / x 2 0 / x 3 1 1 / x 4;

1. A B, тобто. A міститься в B, незрівнянно ні з A, ні з B.

2. A ¹ B ¹ C .

3. = 0,6/ x 1 È 0,8/ x 2 È 1/ x 3 È 0/ x 4 ;
= 0,3/ x 1 È 0,1/ x 2 È 0,9/ x 3 È 0/ x 4 .

Для нечітких множин можна будувати візуальне подання. Розглянемо прямокутну системукоординат, на осі ординат якої відкладаються значення m A ( x), на осі абсцис у довільному порядкурозташовані елементи E (ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо E впорядковано за своєю природою, то цей порядок бажано зберегти в розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості операції над нечіткими множинами.

Мал. 1. Мал. 2

Мал. 3. Мал. 4.

На рис. 1 темна частина відповідає нечіткий множині A і, якщо говорити точно, зображує область значень А і всіх нечітких множин, що містяться в A. Рис. 2 – 4 дані , A Ç , AÈ , відповідно.

Властивості операцій І та Ç.

Нехай А, В, С – нечіткі множини, тоді виконуються такі співвідношення:

а) - Комутативність;

б) - Асоціативність;

в) – ідемопотентність;

г) - Дистрибутивність;

д) AÈÆ = A, де Æ – порожня безліч, тобто. m Æ (x) = 0"xÎE;

AÇE = A, де E – універсальна множина;

е) - Теореми де Моргана.

На відміну від чітких множин, для нечітких множин загальному випадку AÇ Æ, AÈ ¹ E, що, зокрема, проілюстровано вище у прикладі наочного уявлення нечітких множин.

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний добуток A і B позначається A×B і визначається так:

"xÎE m A × B ( x) = m A ( x)m B ( x).

Алгебраїчна сумацих множин позначається А + і визначається так:

"xÎE m A+В ( x) = m A ( x) + m B ( x)-m A ( x)m B ( x).

Для операцій (×, +) виконуються властивості:

· - Комутативність;

· - Асоціативність;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E;

· - Закони де Моргана.

Не виконуються:

· - Ідемопотентність;

· - Дистрибутивність;

· А також A× = Æ, A+ = E.

Доведемо перший закон де Моргана. Позначимо mA(x) через a, mB(x) через b. Тоді в лівій частині рівності для кожного елемента х маємо: 1– ab, а у правій, згідно з формулою алгебраїчної складання: (1 - a) + (1 - b) - (1 - a) (1 - b) = 1 - ab.

Доведемо, що перше властивість дистрибутивності не виконується, тобто. A×(B+C) ¹ (A×B) + (A×C). Для лівої частини маємо: a(b+c – bc) = ab + ac - abc; для правої: ab + ac - (ab) (ac) = ab + ac + a 2 bc. Це означає, що дистрибутивність не виконується при a1a 2 .

Зауваження.При спільному використанніоперацій (È, Ç,+,×) виконуються властивості:

· А×(B×C) = (A×B)×(A×C);

· А× (B Ç C) = (A×B) Ç (A×C);

· А + (B C) = (A + B) È (A + C);

· А + (B C) = (A + B) C (A + C).

Декартове твір нечітких множин. Нехай A 1 , A 2 , ..., A n – нечіткі підмножини універсальних множин E 1 , E 2 , ..., E n відповідно. Декартове твір A = A 1 ´A 2 ´ ...´A n є нечітким підмножиною множини E = E 1 ´E 2 ´ ... ´E n з функцією приладдя:

m A ( x 1 ,x 1 , ...,x n) = min(m A1 ( x 1), m A2 ( x 2) , ... , m Ai ( x n)).

Принцип узагальнення

Принцип узагальнення – одна з основних ідей теорії нечітких множин – носить евристичний характер і використовується для розширення сфери застосування нечітких множин на відображення. Будемо говорити, що є нечітка функція f, визначена на множині X зі значенням у множині Y, якщо вона кожному елементу xÎX ставить у відповідність елемент yÎY зі ступенем приналежності m f(x,y). Нечітка функція f визначає нечітке відображення f : X Y.

Принцип узагальнення полягає в тому, що при заданому чіткому f: X®Y або нечіткому f : X Y відображенні для будь-якої нечіткої множини А, заданої на Х, визначається нечітка множина f(A) на Y, що є чином A.

Нехай f: X®Y задане чітке відображення, а A = (m A (x)/х) – нечітка множина в Х. Тоді А при відображенні f є нечітка множина f(A) на Y з функцією приналежності:

m f(A) (y) = ; yÎY,

де f -1 (y) = (x | f (x) = y).

У разі нечіткого відображення f : X Y, коли для будь-яких xÎX і yÎY визначена двомісна функція приналежності m f (x, y), образом нечіткої множини А, заданої на Х, є нечітке безліч f( A) на Yз функцією приналежності m f (A) (y) = ( min (m A (x), m f (x, y))).

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ

1. Нехай: A = 0,4 / x 1 0,2 / x 2 0 / x 3 1 / x 4;

B = 0,7/ x 1 È 0,9/ x 2 È 0,1/ x 3 È1/ x 4 ;
C = 0,1 / x 1 / 1 / x 2 / 0,2 / x 3 / 0,9 / x 4 .

Побудувати множини: а) AÇB;

в) А\В; В\А.

2. Для універсальної множини E = (Запорожець, Жигулі, Мерседес, Феррарі) прямим методом побудувати нечіткі множини: а) "швидкісні";

б) "середні";

в) "тихохідні".

3. Нехай E = (1, 2, 3, ..., 100) і відповідає поняттю "вік". Прямим методом побудувати нечіткі множини

а) "літній";

б) "пора заміж";

в) "призовник",

і побудувати апроксимуючу формулу для відповідних функцій приналежності.

4. У разі завдання 2 побудувати нечіткі множини а) – в) непрямим методом з урахуванням парних порівнянь елементів Е.

РОЗДІЛ 2. БІНАРНІ ВІДНОСИНИ

І ФУНКЦІЯ ВИБОРУ

Логічні операції

Увімкнення.Нехай Аі У- нечіткі множини на універсальній множині е.Кажуть що Аміститься в В,якщо

Позначення: А⊂ Ст.

Іноді використовують термін домінування,тобто. у випадку, коли А⊂ В,кажуть що Удомінує А.

Рівність.А і В рівні, якщо

Позначення: А = В.

Доповнення.Нехай М = , Аі У– нечіткі множини, задані на Є. Аі Удоповнюють один одного, якщо

Позначення:

Очевидно, що (додаток визначено для М= , але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).

Перетин. А⋂ У- найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в Аі В:

Об'єднання.A∪У- найменше нечітке підмножина, що включає як А,так і В,з функцією приналежності:

Різниця. з функцією приналежності:

Диз'юнктивна сума

А ⊕ У = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

з функцією приналежності:

приклади. Нехай

Тут:

1) А ⊂ В,тобто А міститься в Bабо Bдомінує А; З незрівнянноні з A, ні з В,тобто. пари ( А, С) та ( А, С) - пари недомінованих нечітких множин.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) А⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .

5) A∪ У= 0,7/ x 1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) А - В= А⋂̅В = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

У- А= ̅А⋂ У= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .

7) А⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наочне уявлення логічних операцій над нечіткими множинами. Для нечітких множин можна будувати візуальну виставу. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення μ А (х),на осі абсцис у довільному порядку розташовані елементи Е(Ми вже використовували таке уявлення в прикладах нечітких множин). Якщо Еза своєю природою впорядковано, цей порядок бажано зберегти у розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості логічні операції над нечіткими множинами (див. рис. 1.3).

Мал. 1.3. Графічна інтерпретація логічних операцій: α - нечітка безліч А; б- нечітка безліч ̅А, в - А⋂̅А; г- A∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихована частина відповідає нечіткому множині Аі, якщо говорити точно, зображує область значень Аі всіх нечітких множин, що містяться в А.На рис. 1.3 б, в, гдані ̅ А, А ⋂ ̅ A, A U ̅А.

Властивості операцій ∪ і ⋂

Нехай А, В, С- нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості:

На відміну від чітких множин, для нечітких множин загалом

випадку:

A⋂̅A ≠∅, A ∪ ̅A ≠ E

(що, зокрема, проілюстровано вище з прикладу наочного уявлення нечітких множин).

Зауваження . Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max min. Теоретично нечітких множин розробляються питання побудови узагальнених, параметризованих операторів перетину, об'єднання та доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних їм зв'язок «і», «або», «ні».

Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їх визначенні класі трикутних норм та конорм.

Трикутною нормою(t-Нормою) називається двомісна дійсна функція T: x → , що задовольняє наступним умовам:

Приклади трикутних норм

min( μ A, μ B)

твір μ A· μ B

max(0, μ A+ μ B- 1 ).

Трикутною конормою(t-конормою) називається двомісна дійсна функція S: x → із властивостями:

Прикладиt-конорм

max( μ A, μ B)

μ A+ μ B- μ A· μ B

min(1, μ A+ μ B).

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний твір Аі Упозначається A· Уі визначається так:

Алгебраїчна сумацих множин позначається А+ Ві визначається так:

Для операцій (-, +) виконуються властивості:

Не виконуються:

Зауваження.При спільному використанні операцій ( U, ⋂, + , ) виконуються властивості:

На основі операції алгебраїчного твору визначається операція зведення у ступінь αнечіткої множини А,де α - додатне число. Нечітка безліч А αвизначається функцією приналежності μ α A = μ α A ( x). Окремим випадком зведення у ступінь є:

1) CON( А) = А 2- Операція концентрування (ущільнення);

2) DIL( А) = А 0,5- Операція розтягування,

які використовуються під час роботи з лінгвістичними невизначеностями (рис. 1.4).

Мал. 1.4. Ілюстрація до поняття операцій концентрування (ущільнення) та розтягування

Множення на число.Якщо α - позитивне число, таке, що, то нечітка безлічαАмає функцію приналежності:

μ αА(х) = αμA(x).

Випукла комбінація нечітких множин.Нехай A 1 , А 2,..., Аn- нечіткі множини універсальної множини Е, a ω 1 , ω 2 , …, ωn- Невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Випуклою комбінацією A 1 , А 2 , ..., Аnназивається нечітка безліч Аз функцією приналежності:

Декартове(пряме) твір нечітких множин.Нехай A 1 , А 2 , ..., Аn- нечіткі підмножини універсальних множин Е 1, Е 2, ..., Еnвідповідно. Декартово, або прямий твір А = А 1 x А 2 x... x Аnє нечітким підмножиною множини Е = Е 1 x Е 2 x... x Еnз функцією приналежності:

Оператор збільшення нечіткостівикористовується для перетворення чітких множин у нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткої множини.

Нехай А- нечітка множина, Е- Універсальна безліч і для всіх хϵ Евизначено нечіткі множини До(х).Сукупність усіх До(х)називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф на нечітку множину Ає нечітка безліч виду

де μ А(х)К(х)- Добуток числа на нечітку безліч.

приклад . Нехай

Е =(1,2,3,4); А = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4; До(1)= 1/1 + 0,4/2;

До(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; До(3) = 1/3 + 0,5/4; До(4)= 1/4.

Тоді

Чітка безліч α-рівня(або рівня α).Безліч α-рівня нечіткої множини Ауніверсальної множини Еназивається чіткепідмножина А αуніверсальної множини Е,що визначається у вигляді

А α ={ x/μ A(x) ≥ α },

де α ≤ 1.

приклад.Нехай А = 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 , тоді A 0,3 = { x 3 , x 4 } , A 0,7 = {х 4} .

Досить очевидна властивість: якщо α 1≥ 2, то А α1≤ А α2.

Лекція №4. Операції з нечіткими множинами

Визначення операцій, що виконуються з нечіткими множинами, багато в чому аналогічно операціям із звичайними (чіткими) множинами.

Еквівалентність.Дві нечіткі множини Аі Уеквівалентні (це
позначається як ) тоді і лише тоді, коли для всіх має місце .

Мал. 2.4. Операції з нечіткими множинами

Увімкнення. Нечітка безліч Аміститься в нечіткій множині У() тоді і тільки тоді, коли

Об'єднання, або диз'юнкція(disjunction), двох нечітких множин А і відповідає логічної операції "АБОі визначається як найменша нечітка множина, що містить обидва множини А і В. Функція приналежності для цієї множини знаходиться за допомогою операції взяття максимуму(Рис.2.4, б)

Перетин, або кон'юнкція(Conjunction), відповідає логічній операції " Іі визначається як найбільша нечітка множина, що є одночасно підмножиною обох множин.

Функція приналежності множини виражається за допомогою операції знаходження мінімуму(Рис. 2.4, в)

Доповнення(complement) нечіткої множини А, що позначається через (або A), відповідає логічному запереченню " НЕі визначається формулою (рис. 2.4, г)

Легко бачити, що стосовно класичних "чітких" множин, для яких функції приналежності приймають лише 2 значення: 0 або 1, формули визначають відомі операціїлогічного "АБО", "І", "НЕ".

Наведемо визначення ще двох досить поширених операцій над нечіткими множинами - твори алгебри та алгебраїчної суми нечітких множин.

Алгебраїчний твір АВнечітких множин Аі Увизначається так:

Алгебраїчна сума:

Крім перелічених є й інші операції, які виявляються корисними під час роботи з лінгвістичними змінними.

Операція концентрації(concentration) CON(А) визначається як алгебраїчне твір нечіткої множини Ана самого себе: тобто.

В результаті застосування цієї операції до множини Азменшуються ступеня належності елементів хцій множині, причому якщо , то це зменшення відносно мало, а для елементів з малим ступенем приналежності - відносно велике. У природною мовоюзастосування цієї операції до того чи іншого значення лінгвістичної змінної А відповідає використанню підсилюючого терму "дуже" (наприклад, "дуже високий", "дуже старий" і т.д.).

Операція розтягування(dilation) DIL(A) визначається як

DIL(A)= A 0,5 , де

Дія цієї операції протилежна дії операції концентрації і відповідає невизначеному терму "досить", що виконує функцію ослаблення наступного за ним (основного) терму А: "досить високий", "досить старий" і т.п.

Можна ввести інші аналогічні за змістом операції, що дозволяють модифікувати значення лінгвістичної змінної, збільшуючи, таким чином, їх кількість. Так, терм "більше ніж" можна визначити наступним чином:

складовий терм "дуже-дуже":

Розглянемо застосування зазначених операцій на наступному наочний приклад. Нехай змінна ххарактеризує "вік людини", X- інтервал. Тоді нечіткі підмножини, що описуються термами "молодий" і "старий", можна уявити за допомогою функції приналежності (рис. 2.5).

Мал. 2.5. Графічне уявленнялінгвістичної змінної "вік людини"

Тоді, відповідно до виразу, знаходимо (рис. 2.5)

Так само, використовуючи (2.10) і (2.14), отримуємо (рис. 2.5)

Наприклад, якщо конкретній людинівиповнилося 55 років (тобто. х= 55), то відповідно до цих функцій приналежності маємо:

Досі передбачалося, що мова йдепро єдину змінну , що приймає значення на речовій числовій осі.

Для випадку двох речових змінних (і) можна говорити про нечіткому відношенні R: X→Y, яке визначає деяку відповідність між елементами множини X і множини У за допомогою двовимірної функціїприладдя μ( х,у):

Наведемо ще один приклад.

Припустимо, що ми маємо два набори чисел

і нехай суб'єктивні думкиекспертів про порівняльну величину цих чисел представлені у вигляді нечітких відносин:

R 1 (x, y) = "x більше, ніж у",

R 2 (x, y) = "x приблизно дорівнює у".

Задамо відношення R1 за допомогою табл.2.1, а відношення R2 - за допомогою табл. 2.2.

Тут ( i,j) - й елемент таблиці дорівнює значенню відповідної функції приналежності для i-го значення хі j-го значення у. Тоді операції об'єднання та перетину зазначених відносин можуть бути інтерпретовані як

Функції власності та за допомогою операцій знаходження максимуму та мінімуму, і набувають вигляду табл. 2.3, 2.4.

Лекція №4. Операції з нечіткими множинами

Мал. 2.4. Операції з нечіткими множинами

Увімкнення. Нечітка безліч Аміститься в нечіткій множині У() тоді і тільки тоді, коли

Об'єднання, або диз'юнкція(disjunction), двох нечітких множин А і відповідає логічної операції " АБОі визначається як найменша нечітка множина, що містить обидва множини А і В. Функція приналежності для цієї множини знаходиться за допомогою операції взяття максимуму(Рис.2.4, б)

Функція приналежності множини виражається за допомогою операції знаходження мінімуму(Рис. 2.4, в)

Алгебраїчний твір АВнечітких множин Аі Увизначається так:

Алгебраїчна сума:

Крім перелічених є й інші операції, які виявляються корисними під час роботи з лінгвістичними змінними.

В результаті застосування цієї операції до множини Азменшуються ступеня належності елементів хцій множині, причому якщо , то це зменшення відносно мало, а для елементів з малим ступенем приналежності - відносно велике. У природній мові застосування цієї операції до того чи іншого значення лінгвістичної змінної А відповідає використанню терму, що посилює, "дуже" (наприклад, "дуже високий", "дуже старий" і т.д.).

Операція розтягування(dilation) DIL(A) визначається як

DIL(A)= A 0,5 , де

складовий терм "дуже-дуже":

Розглянемо застосування зазначених операцій на наступному прикладі. Нехай змінна ххарактеризує "вік людини", X- інтервал. Тоді нечіткі підмножини, що описуються термами "молодий" і "старий", можна уявити за допомогою функції приналежності (рис. 2.5).

Мал. 2.5. Графічне уявлення лінгвістичної змінної "вік людини"

Тоді, відповідно до виразу, знаходимо (рис. 2.5)

Так само, використовуючи (2.10) і (2.14), отримуємо (рис. 2.5)

Наприклад, якщо конкретній людині виповнилося 55 років (тобто. х= 55), то відповідно до цих функцій приналежності маємо:

До цих пір передбачалося, що йдеться про єдину змінну , Що приймає значення на числової числової осі.