Яка стадія передбачає наявність функції власності. Методи визначення значень функцій належності нечіткої множини

Визначення

Для простору міркування та цієї функції приналежності нечітка множина визначається як

Функція приналежності кількісно градуює приналежність елементів фундаментальної множини простору міркування нечіткої множини. Значення означає, що елемент не включений у нечіткість, описує повністю включений елемент. Значення між ними і характеризують нечітко включені елементи.

Класифікація функцій належності нормальних нечітких множин

Нечітке безліч називається нормальним, якщо його функції власності справедливо твердження, що є такий , у якому .

s

Функція приналежності класу sвизначається як:

Функція приналежності класу π

Функція приналежності класу π визначається через функцію класу s:

Функція приналежності класу γ

Функція приналежності класу γ визначається як:

Функція приналежності класу t

Функція приналежності класу tвизначається як:

Функція приналежності класу L

Функція приналежності класу Lвизначається як:

Див. також

• Грубе безліч
• Евентологія

Зовнішні посилання

Література

• Д. Рутковська, М. Пилиньський, Л. Рутковський. Нейронні мережі, генетичні алгоритмита нечіткі системи: Пер. з польського І. Д. Рудінського. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2004. – 452 с – ISBN 5-93517-103-1

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Теорія нечіткої міри
• Крапель

Дивитись що таке "Функція приналежності" в інших словниках:

функція приналежності- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїв цілому EN membership function … Довідник технічного перекладача

Функція та поле мови та мови у психоаналізі- «ФУНКЦІЯ І ПОЛІ МОВЛЕННЯ І МОВИ У ПСИХОАНАЛІЗІ» («Fonction et champ de la parole et du langage en psychanalyse») програма переосмислення психоаналізу, висунута 1953 франц. психіатром та психоаналітиком Жаком Лаканом. Цей текст був… … Енциклопедія епістемології та філософії науки

Характеристична функція (нечітка логіка)- Функція приналежності нечіткої множини це узагальнення індикаторної (або характеристичної) функції класичної множини. У нечіткій логіці вона представляє ступінь приналежності кожного члена простору міркування до цього нечіткого ... Вікіпедія

Індикаторна функція

Характеристична функція множини- Індикатор, або характеристична функція, або індикаторна функція підмножини - це функція, визначена на множині X, яка вказує на приналежність елемента підмножини A. Термін характеристична функція вже зайнятий теорією.

ВИПУКЛА ФУНКЦІЯ- комплексного змінногог регулярна однолистова функція в одиничному колі, що відображає одиничний коло на деяку опуклу область. Регулярна однолистова функція є Ст ф. тоді і тільки тоді, коли при обході будь-якого кола… Математична енциклопедія

Нечітка множина- Цю сторінку пропонується поєднати з Теорія нечітких множин... Вікіпедія

Нечіткі множини

Нечітка безліч- Нечітка (або розмита, розпливчаста, туманна, пухнаста) безліч поняття, введене Лотфі Заде в 1965 р. у статті «Fuzzy Sets» (нечіткі множини) в журналі Information and Control. Л. Заде розширив класичне канторське поняття… … Вікіпедія

Нечіткі множини- Нечітка (або розмита, розпливчаста, туманна, пухнаста) безліч поняття, введене Лотфі Заде в 1965 р. у статті «Fuzzy Sets» (нечіткі множини) в журналі Information and Control. Л. Заде розширив класичне канторське поняття… … Вікіпедія

Вирішуючи завдання, доводиться зустрічатися з ситуаціями, коли елемент певною мірою належить цій множині. Наприклад, визначається безліч невеликих величин. Хто може точно сказати, починаючи з якого значення величини вважатимуться величину невеликий? На це питання немає однозначної відповіді. Тому одним із способів математичного опису нечіткої множиниє визначення ступеня належності елемента нечіткої множини. Ступінь приладдя задається числом з інтервалу. Межі інтервалу – 0, 1, означають, відповідно, «не належить» та «належить». У розд. 1 приналежність елемента xбезлічі Азаписується у формалізованому вигляді xÎА. Цей запис може бути представлений у вигляді характеристичної функції:

Приналежність безлічі може бути представлена ​​в графічному вигляді. Наприклад, в одновимірному арифметичному просторі R задані дві множини AÎ R і BÎ R . Приналежність xÎАможна уявити у вигляді прямокутника П А, показаного на рис. 2.1, а належність xÎВ- у вигляді прямокутника П В, показаного на рис. 2.2. Приналежність xоб'єднанню множин xÎАÇВпредставлена ​​прямокутником П А Ç В, показано на рис. 2.3. Приналежність двовимірній множині буде представлена ​​паралепіпедом в тривимірному просторі, а належність n-мірній множині - ( n+1)-мірним паралепіпедом.

Мал. 2.1 Мал. 2.2

Нечітким підмножиною Aбезлічі Xназивається безліч двійок. Функція m A, що є відображенням елементів xÎXелементи множини (m a:X®), називається функцією приналежності нечіткої множини , а X- базовим безліччю.

Конкретне значення m A (x), заданий для елемента xназивається ступенем приналежності елемента x нечіткої множини. Hосителем нечіткої множини називається підмножина ÎX, що містить ті елементи xÎX, для яких значення функції приладдя більше нуля.

приклад.Нехай X- безліч натуральних чисел X = (1,2,3, ..., x max)призначених для визначення ціни виробу. Нечітке підмножина «невелика ціна» може бути задано в наступному вигляді:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Приналежність значень ціни нечітко підмножини «невелика ціна» показано на рис.2.4.

Якщо розглядати безліч Xяк безперервна безлічнатуральних чисел, то належність значень ціни нечіткого підмножини «невелика ціна» матиме вигляд безперервної функції, як показано на рис.2.5. Розглянемо властивості нечітких множин.

Висота (height - hgt) нечіткої множини: .

Нечітка безліч з hgtA=1називається нормальним, а при hgtA<1 - субнормальним. Ядро (core, kernal, nucleus) або центр нечіткої множини: core =(xÎX/m A (x)=1). Підстава (support – supp) нечіткої множини: supp =(xÎX/m A (x)>1). Поперечними точками (crossover point) нечіткої множини називається сукупність core (xÎX/m A (x)=0,5). Рівень a, або a-Розріз (перетин) нечіткої множини: a=(xÎX/m A (x)³a). a-Розріз нечіткої множини ще позначають: a-cut. Суворий a-Розріз нечіткої множини: a=(xÎX/m A (x)>a). Випукла (convex) нечітка множина: "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)).При невиконанні нерівності нечітка множина називається неопуклим. На рис. 2.6 наведено ілюстрацію вищезгаданих властивостей.

Окремим видомнечіткої множини Ає нечітке число (нечіткий синглтон) при виконанні умов: Ає опуклим, висота є нормальною ( hgt А=1), m А (x)є шматково-безперервною функцією, ядро ​​або центр множини A (core A) містить одну точку. Приклад приладдя xнечіткому числу «приблизно 5» показано на рис. 2.7.

Іншим видом нечіткої множини є завдання деяких змінних у вигляді нечіткого інтервалу. Відоме визначення.

Нечіткий інтервал – це опукла нечітка величина A, функція приналежності якої квазі увігнута, так що

"u,v, "wA, mA(w)³min(mA(u), mA(v)), u,v,wÎX.

Тоді нечітке число - напівбезперервний зверху нечіткий інтервал з компактним носієм та єдиним модальним значенням. Завдання параметрів завдання як нечіткого інтервалу – це дуже зручна форма для формалізації неточних величин. Традиційний інтервал нерідко є незадовільним уявленням, т.к. необхідно фіксувати його межі. Можуть бути оцінки завищеними чи заниженими, що викликає сумнів у результатах розрахунків. Завдання параметрів завдання у вигляді нечіткого інтервалу буде одночасно і завищеним, і заниженим, а носій (базова безліч) нечіткого інтервалу буде обрано так, що ядро ​​містить найбільш правдоподібні значення і буде гарантовано знаходження параметра, що розглядається в необхідних межах.

Завдання нечітких інтервалів може бути здійснено експертами в такий спосіб. Нечіткий інтервал задають четвіркою параметрів М=() (див. рис.2.8), де і - відповідно нижнє та верхнє модальні значеннянечіткого інтервалу, а aі bявляють собою лівий та правий коефіцієнт нечіткості. Завдання нечіткого інтервалу може бути виконане такими способами.

Варіант 1. Нижнє та верхнє модальні значення інтервалу збігаються, а a і b дорівнюють нулю. Значення x визначається з невизначеністю рівної нулю. Для завдання нечіткої вхідної змінної на множині X визначимо формально нечіткий інтервал = (x min = x, x m ax = x,0,0), де x imin - нижнє модальне значення, а x m ax - верхнє модальне значення.

Чітке завдання x на множині значень X, як це показано на рис. 2.9 є окремим випадком завдання нечіткого інтервалу, причому, m A (x) - значення ступеня належності інтервалу.

Варіант 2. Завдання xвизначається з невизначеністю відмінною від нуля. Приклад показано на рис. 2.10. Нечіткий інтервал визначено як =(x min , x m ax =x min ,0,b),тобто. верхнє та нижнє модальні значення інтервалу збігаються.

Мал. 2.9 Мал. 2.10

Варіант 3. Завдання xможе бути отримано з інтервалу [А,В]. Приклад показано на рис. 2.11. Ступінь приналежності дорівнює одиниці, причому = (А = x min, В = x m ax, 0,0), де А– нижнє модальне значення (мінімально можливе значення вхідної змінної x), У- Верхнє модальне значення ( максимальне значеннявхідний змінної x.

Варіант 4. Значення вхідної змінної x iможе бути отримано з інтервалу значень [А,С] [А,В] (A?B?С).Формально нечіткий інтервал визначено у вигляді = (А = x min, В = x max, 0, b). Приклад завдання показано на рис. 2.12, де b = С-В.

Варіант 5. Значення вхідної змінної q iекспертами може бути визначено з інтервалу значень [А, D]таким чином, що в інтервалі [В, C]невизначеність отримання дорівнює одиниці (A£B£С£D).Формально нечіткий інтервал у цьому випадку визначимо у вигляді = (B = x min, C = x max, a, b). Приклад завдання нечіткого інтервалу показано на рис. 2.13, де a = B-A, b = D-C.

Розглянемо операції над нечіткими інтервалами.

Мал. 2.11 Мал. 2.12

Операція нечіткого підсумовування для нечітких інтервалів визначається в такий спосіб. Сума двох нечітких інтервалів М i = () і М j = (),записується у вигляді М i М j, також є нечіткий інтервал М i М j =, де a = a i + a j; b = b i + b j;, . Сума nнечітких інтервалів визначиться формулами:

.

Якщо , a , де і - опуклі інтервали, то , причому - сукупність інтервалів, що визначена за попередніми формулами

Операція різниці нечітких інтервалів визначається в такий спосіб. Нечітка різниця двох нечітких інтервалів і є трапецієподібний інтервал, для якого c=|a-h|, d=|b-l|,, , де - відповідно нижні модальні значення нечітких інтервалів, - верхні модальні значення нечітких інтервалів.

p align="justify"> Прийняття рішень пов'язане зі здійсненням порівнянь отриманого нечіткого інтервалу або експертами, або за даними моделювання з дійсним числом. Операція порівняння нечіткого інтервалу та дійсного числа виконується в такий спосіб.

Дійсна кількість Апредставимо у вигляді інтервалу (А,А,0,0). Визначення меншого або більшого значеннянечіткого інтервалу по відношенню до дійсного числа Апроводиться за формулами:

А, якщо |A-()|£|A-()|і A£;

А, якщо |A-()|³|A-()|і A³ .

Для нечітких інтервалів існує операція твору та поділу. Добуток двох нечітких інтервалів і визначиться у вигляді трапецієподібного інтервалу, параметри якого визначають за формулами:

c=ah, d=bl, ; .

Ці правила для множення двох нечітких інтервалів залежно від знаків чисел , , , набувають вигляду:

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо , то.

Розглянемо операцію поділу. Поділ двох нечітких інтервалів і дасть трапецієподібний інтервал, параметри якого визначаються таким чином:

c=ah, d=bl, ; ,

причому залежно від знаків чисел , , , це правилодля поділу двох нечітких інтервалів виглядатиме так:

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо то ;

Якщо , то.

Функції приладдя

Функції власності є суб'єктивним поняттям, т.к. вони визначаються людьми (експертами) і кожна людина дає оцінку. Існують різні методизавдання функцій власності.

Вважатимемо, що функція приналежності - це деяке неймовірне суб'єктивний вимірнечіткості і що вона відрізняється від ймовірнісної міри, тобто. ступінь належності m A (x)елемента xнечіткій множині є суб'єктивна міра того, наскільки елемент xÎXвідповідає поняттю, зміст якого формалізується нечітким безліччю.

Ступінь відповідності елемента xпоняттю, формализуемому нечітким безліччю , визначається опитуванням експертів і є суб'єктивну міру.

Існує два класи методів побудови функцій приналежності множини: прямі та непрямі.

2.2.1. Прямі методи побудови.Прямими методами побудови функцій приналежності називають такі методи, у яких ступеня приналежності елементів xбезлічі Xбезпосередньо задаються чи одним експертом, чи колективом експертів. Прямі методи поділяються на прямі методи одного експерта й у групи експертів залежно кількості експертів.

Прямий метод для одного експерта полягає в тому, що експерт кожному елементу xÎXставить у відповідність певний ступінь належності m A (x), яка, на його думку, найкращим чиномузгоджується зі смисловою інтерпретацією множини.

Застосування простих методівдля групи експертів дозволяє інтегровано враховувати думку всіх експертів та будувати графік відповідності між елементами з множини X. Можлива наступна процедура побудови функції приладдя m A (x).

Експертам, що складають групу з mлюдина, ставить питання про належність елемента xÎXнечіткий безлічі. Нехай частина експертів, що складається з n 1людина, відповіла на запитання позитивно, а інша частина експертів n 2 = m-n 1відповіла негативно. Тоді приймається рішення, що m A (x)=n 1 /m.

У більш загальному випадкуоцінками експертів зіставляються вагові коефіцієнти a i Î. Коефіцієнти a iвідбивають ступінь компетентності експертів. Ступінь приналежності елемента x нечіткої множини визначиться

де p i =1при позитивній відповіді та p i =0за негативної відповіді експерта.

Недоліки прямих методів перебувають у властивому їм суб'єктивізмі, т.к. людині властиво помилятися.

2.2.2. Непрямі методи побудови функцій власності.Непрямими методами побудови функцій приналежності називають такі методи, у яких досягається зниження суб'єктивного впливу за рахунок розбиття спільного завданнявизначення ступеня належності m A (x), xÎXряд більш простих подзадач. Одним із непрямих методів є метод попарних порівнянь. Розглянемо його суть.

На основі відповідей експертів будується матриця попарних порівнянь M=½½m ij ½½, в якій елементи m ijє оцінкою інтенсивності приналежності елементів x i ÎXпідмножини в порівнянні з елементами x j ÎX. Функція приладдя ma (x)визначається з матриці M. Припустимо, що відомі значення функції приналежності m A (x)для всіх значень xÎХ. Нехай m A (x)=r i ,Тоді попарні порівняння визначаються m ij =r i /r j. Якщо відносини точні, то виходить співвідношення в матричному вигляді MR=n*R, де R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n- Власне значення матриці M, за яким відновлюється вектор Rз урахуванням умови Емпіричний вектор Rмає рішення у завданні на пошук власного значення M*R=l max, де l max- Найбільш власне значення. Завдання зводиться до пошуку вектора R, який задовольняє рівняння

M*R=l max *R. (2.1)

Це рівняння має єдине рішення. Значення координат власного вектора, що відповідають максимальному власним значенням l max, поділені з їхньої суму, будуть шуканими ступенями власності. Поняття, запропоновані експертам, і навіть відповідність цих понять величинам m ij, наведені у табл.2.1.

Таблиця 2.1

Проводиться опитування експертів щодо того, наскільки, на їхню думку, величина m A (xi)перевищує величину m A (xi), тобто. наскільки елемент x iбільш значущий поняття, описуваного нечітким безліччю , ніж елемент x j. Опитування дозволить побудувати матрицю попарних порівнянь, що має вигляд

Визначення елемента r i ÎRвідбувається в такий спосіб. Обчислюється сума кожного j-го стовпця матриці M.З побудови матриці Mвипливає, що Звідси слідує що r i =1/k i .

Визначивши всі величини k j, отримаємо значення елементів вектора R. Виходячи з того, що матриця M, як правило, побудована неточно, знайдений вектор Rвикористовується як початковий в ітераційному методі розв'язування рівняння (2.1).

2.2.3. Види функцій власності.Вище було визначено, що функції приналежності можуть мати трапецеїдальний вигляд (див. рис. 2.7), трикутний вигляд(Див. рис. 2.7). Функції приналежності можуть мати також і дзвоноподібний вигляд (рис. 2.14).

Для дзвоноподібного вигляду функція приналежності визначена виразом

,

де m- задане число, d- Показник нечіткості.

Для трапецеїдального виду функцію приналежності визначено виразом: m A (x)=min(max(a-k|x-b|;0);1),де a, b - задані числа, k- Показник нечіткості.

При вирішенні завдань нечіткого управління можуть бути застосовані інші функції:

m A (x) = e-kx, x> 0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k; m A (x) = (1 + kx 2) -1, k>1.

Нечітка множина з одномірною функцією приналежності m A (x)прийнято називати нечітким безліччю першого роду.

Існують нечіткі множини другого роду, Для якого функція власності: .

Двовимірна нечітка безліч Aвизначено у такому вигляді: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)), де A 1 ´A 2- декартове твір, m A (x 1 x 2) = min (a-k 1 | x 1 -b | - k 2 | x 2 -c |; (x 1 = 0, x 2 = 0));- двомірна функція приналежності трапецеїдального виду, в якій: a, b c - задані числа, k 1, k 2- Показники нечіткості. Приклад завдання двовимірної функції приналежності трапецеїдального виду наведено на рис. 2.15.

Двовимірна функціяприналежності дзвоноподібного виду визначено формулою:

де m 1 , m 2- задані числа, d 1 , d 2- Показники нечіткості.

Нехай X - універсальна (базова) безліч, x - елемент X, а R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина A універсальної множини X , елементи якого задовольняють властивості R визначається як безліч упорядкованих пар
A = μ A x / x , де μ A x – характеристична функція, що приймає значення 1 якщо x задовольняє властивості R , і 0 – в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тем, Що з елементів x з X немає однозначної відповіді «так-ні» щодо властивості R . У зв'язку з цим, нечітка підмножина A універсальної множини X визначається як безліч упорядкованих пар A = μ A x / x , де μ A x – характеристична функція власності(або просто функція приналежності), що приймає значення в деякому цілком упорядкованому множині M = 0; 1 . Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента x під множиною A . Безліч M називають безліччю приладдя. Якщо M = 0; 1 то нечітке підмножина A може розглядатися як звичайне або чітке безліч. Ступінь приналежності μ A x є суб'єктивною мірою того, наскільки елемент x ∈ X відповідає поняттю, сенс якого формалізується нечіткою множиною A .

Носіємнечіткої множини A є чітке підмножина S A універсальної множини X з властивістю μ A x > 0, тобто. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Іншими словами, носієм нечіткої множини A є підмножина S A універсальної множини X , для елементів якого функція приналежності μ A x > 0 більша за нуль. Іноді носій нечіткої множини позначають support A .

Якщо носієм нечіткої множини A є дискретна підмножина S A , то нечітке підмножина A універсальної множини X , що складається з n елементів, можна подати у вигляді об'єднання кінцевого числаодноточкових множин μ A x / x за допомогою символу ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / xi. У цьому мається на увазі, що елементи x i упорядковані зростанням відповідно до своїми індексами, тобто. x 1< x 2 < x 3 < … < x n .

Якщо носієм нечіткої множини A є безперервне підмножина S A , то нечітке підмножина A універсальної множини X , розглядаючи символ ∫ як безперервний аналог введеного вище символу об'єднання для дискретних нечітких множин ∑ , можна представити у вигляді об'єднання нескінченного числа x:

A = ∫ X μ A x / x.

приклад.Нехай універсальна множина X відповідає безлічі можливих значень товщини виробу від 10 мм до 40 мм з дискретним кроком 1 мм. Нечітка множина A , що відповідає нечіткому поняття «мала товщина виробу», може бути представлена ​​в наступному вигляді:

A = 1/10; 0,9/11; 0,8/12; 0,7/13; 0,5/14; 0,3/15; 0,1/16; 0/17; …; 0 / 40 ,

A = 1/10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

де знак підсумовування означає не операцію арифметичного складання, А об'єднання елементів в одну множину. Носієм нечіткої множини A буде кінцева підмножина (дискретний носій):

S A = 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16 .

Якщо ж універсальна множина X є множиною дійсних чиселвід 10 до 40, тобто. товщина виробу може приймати всі можливі значення в цих межах, то носієм нечіткої множини є відрізок S A = 10 ; 16 .

Нечітка множина з дискретним носієм може бути представлена ​​у вигляді окремих точокна площині, нечітка множина з безперервним носієм може бути представлена ​​у вигляді кривої, що відповідає дискретній і безперервної функційприладдя μ A x , заданим на універсальному множині X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функції приналежності нечітких множин з (а)-дискретним та (б)-безперервним носіями

приклад.Нехай X = 0; 1; 2; … – безліч цілих невід'ємних чисел. Нечітка множина ital малий можна визначити як μ ital малий x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графічне уявленнянечіткої множини малий

Нечітка множина A називається кінцевимякщо його носій S A є кінцевим чітким безліччю. При цьому, за аналогією зі звичайними множинами, можна говорити, що така нечітка множина має кінцеву потужність card A = card S A . Нечітка множина A називається нескінченним, якщо його носій SA не є кінцевим чітким безліччю. При цьому рахунковимнечіткою множиною буде називатися нечітка множина з рахунковим носієм, що має лічильну потужність у звичайному розумінніу термінах теорії чітких множин, тобто. якщо S A містить нескінченне числоелементів, які можна пронумерувати натуральними числами 1,2 ,3 . . . , причому досягти останнього елементаза нумерації принципово неможливо. Нечисленнимнечіткою множиною буде називатися нечітка множина з незліченним носієм, що має незліченну потужність континууму, тобто. якщо SA містить нескінченну кількість елементів, які неможливо пронумерувати натуральними числами 1,2 ,3 . . .

приклад.Нечітке поняття «дуже маленька кількістьдеталей» може бути представлено у вигляді кінцевої нечіткої множини A = 1/0 + 0,9/1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … з потужністю card (A) = 6 та носієм S A = 0 ; 1; 2; 3; 4; 5 який є кінцевим чітким безліччю. Нечітке поняття «дуже велика кількістьдеталей» може бути представлено у вигляді A = 0/0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечіткої множини з нескінченним рахунковим носієм S A ≡ N (множина натуральних чисел), який має лічильну потужність у звичайному сенсі.

приклад.Численна нечітка множина A , що відповідає нечіткому поняттю «дуже гаряче», задано на універсальній множині значень температур (у Кельвінах) температурою x ∈ [ 0 ; ∞) та функцією приналежності μ A = 1 − e − x , з носієм S A ≡ R + (безліч невід'ємних дійсних чисел), який має незліченну потужність континууму.

Розмір sup x ∈ X μ A x називається заввишкинечіткої множини.

Нечітка множина A нормально, Якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межайого функції приналежності sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x< 1 субнормальним.

Нечітка множина називається порожнімякщо ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непорожню субнормальну множину завжди можна нормалізувати, розділивши всі значення функції належності на її максимальне значення μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечітка множина називається унімодальнимякщо μ A x = 1 тільки для однієї точки x ( моди) універсальної множини X .

Нечітка множина називається точковимякщо μ A x > 0 тільки для однієї точки x універсальної множини X .

Безліч α -рівнянечіткої множини A , визначеної на універсальній множині X , називається чітке підмножина A α універсальної множини X , що визначається у вигляді:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, де α ∈ 0; 1 .

приклад. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4, A 0,5 = 1; 2; 4 , де A 0,5 – чітка множина, що включає ті елементи x упорядкованих пар μ A x / x , що становлять нечітку множину A , для яких значення функції приналежності яких задовольняє умові μ A x ≥ α .

Для множин -рівня виконується наступна властивість: якщо α 1 ≥ α 2 , то потужність підмножини A α 1 не більше потужностіпідмножини A α 2 .

Елементи x ∈ X , для яких μ A x = 0,5 називаються точками переходунечіткої множини A .

Ядромнечіткої множини A , визначеної на універсальній множині X , називається чітка множина core A , елементи якої задовольняють умові core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Кордономнечіткої множини A, визначеної на універсальній множині X, називається чітка множина front A, елементи якої задовольняють умові front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .

приклад.Нехай X = 0; 1; 2; …; 10, M = 0; 1 . Нечітка множина кілька можна визначити на універсальній множині натуральних чисел наступним чином: декілька = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; його характеристики: висота = 1, носій = 3; 4; 5; 6; 7; 8, точки переходу = 3; 8, ядро ​​= 5; 6, межа = 3; 4; 7; 8 .

Нечітка множина A, визначена на універсальній множині X, називається опуклимякщо μ A x ≥ min μ A a ; μ A b; a< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функції приналежності опуклої та невипуклої нечітких множин

Нечітка логіка– одне з найцікавіших та активно розвиваютьсятеорії штучного інтелекту. Відмінність теорії нечітких множин від класичної теоріїчітких множин полягає в тому, що якщо для чітких множин результатом обчислення функції приналежності можуть бути тільки два значення - нуль або одиниця, то для нечітких множин ця кількість нескінченна, але обмежена діапазоном від нуля до одиниці. У статті розглядаються способи та приклади визначення значень функції приналежності, зокрема частотний аналіз, експертний метод нормування і метод попарних порівнянь, L-R – функції. Розглянуті методи прості у застосуванні. Матеріали цієї статті представляють методичну та практичну цінністьдля викладачів та студентів, які цікавляться питаннями нечіткого моделювання та аналізу даних.

Ключові слова: нечітка логіка

функція приналежності

1. Курзаєва Л.В., Новікова Т.Б., Лактіонова Ю.С., Петеляк В.Є. Застосування методу попарних порівнянь для визначення функції належності нечіткої змінної у завданнях управління соціально- економічними системами// Науково-практичний журнал «Нотатки вченого». – 2015 – №5. - С.87-90

2. Курзаєва Л.В. Нечітка логіка та нейронні мережі. - Магнітогорськ: Вид-во Магнітогорськ, гос.тех. ун-ту ім. Г.І.Носова, 2016.

4. Курзаєва Л.В. Введення в теорію систем та системний аналіз: навч. посібник/Л.В. Курзаєва. -Магнітогорськ: МаГУ, 2015. -211 с.

5. Курзаєва Л.В. Введення в методи та засоби отримання та обробки інформації для завдань управління соціальними та економічними системами: навч. посібник/Л.В. Курзаєва, І.Г. Овчиннікова, Г.М. Чусавітін. -Магнітогорськ: Магнітогорськ. держ. техн. ун-ту ім. Г.І. Носова, 2016. –118 с.

Усі методи визначення значень функцій приналежності умовно можна поділити на такі групи: прямі методи, опосередковані методи, L-R & dash; функції.

До першої групи методів можна віднести частотний аналіз за результатами опитувань експертів.

приклад. За результатами опитувань респондентів за прогнозами ціни літра молока у 2016 р. отримано такі результати (табл.1).

До другої групи методів можна віднести експертні методи(наприклад, анкетний методнормування, і навіть метод попарних порівнянь).

Метод нормування полягає в наступному. Експерту пропонується оцінити ступінь приналежності до множини кожного елемента з Ux1 & dash; х, співвіднісши свою думку зі значеннями за деякою, заздалегідь обраною шкалою (наприклад, від 0 до 100%, або відносних величинахвід 0 до 1, або будь-який інший).

Результати опитування кількох експертів зводяться до матриці опитування (табл. 2).

Потім виконуються наступна послідовність дій:

Таблиця 1

Дані щодо опитування експертів про прогнозовану ціну на молоко у 2016 р.

Матриця опитування кількох експертів

приклад. У табл. 3 наведено результати опитування чотирьох експертів щодо ступеня належності трьох елементів & dash; автомобілів "Chevrolet iva", "JeepGra dCherokee", "CheryTiggo F" безлічі "Позашляховики", оцінені за 100 бальною шкалою.

Таблиця 3

Матриця опитування

Розраховується сума ваг, що даються i-м експертомвсім елементам:

Таблиця 4

Розраховується відносна вага j-го елемента на підставі оцінки i-го експерта:

Таблиця 5

Матриця опитування з елементами розрахунків

Розраховується результуюча вага j-го елемента:

Таблиця 6

Отже, згідно з зібраними даними і методом розрахунку множинно «Позашляховики» = (0,43 / «JeepGra dCherokee»; 0,29 / «Chevrolet iva»; 0,28 / «CheryTiggo F»)

Метод попарних порівнянь полягає в тому, що лише один експерт на основі свого суб'єктивної думкиоцінює приналежність елемента даної множини щодо іншого елемента. Для проведення суб'єктивних парних порівнянь Т. Сааті була розроблена шкала відносної ваги, її модифікація наведена в табл. 7:

Таблиця 7

Матриця опитування з елементами розрахунків та результатами

Результати попарного порівняння елементів заносяться в матрицю порівняння розмірності n×n, де число порівнюваних елементів. Елемент зазначеної матриці виражає результат порівняння елементів i та j. Якщо при порівнянні елементів i та j отримано a(i,j)=b, то результатом порівняння елементів jі iмає бути a(j,i)=1/b. Очевидно, що діагональні елементи матриці дорівнюють 1.

Т. Сааті запропонував спрощену процедуру обчислення вектора w. Нехай v‐ вектор геометричних середніх рядків деякої матриці порівняння:

Тоді вектор wвизначатиметься таким чином:

приклад. За результатами оцінки експерта ступеня належності трьох елементів & dash; значень температур у градусах Цельсія визначити множину «Холодно».

Вектори локальних пріоритетів, що відповідають матрицям порівняння, знаходяться наступним чином:

Мал. 1. Приклади L-R-функцій

Отже, за даними розрахунків «Холодно»=(0,747/-25; 0,134/-10; 0,119/-5).

Третю групу складають способи на основі використання так звані L-R & dash; функцій ( типових формкривих рис. 1) завдання функцій власності з уточненням їх параметрів шляхом наближення до реальним данным.

приклад. Якщо ми оцінюємо параметр якісно, ​​наприклад, кажучи: "Це значення параметра є середнім", необхідно ввести уточнююче висловлювання типу "Середнє значення - це приблизно від a до b", яке є предметом експертної оцінки(нечіткої класифікації), і тоді можна використовувати для моделювання трапецієподібну функцію.

Якщо хочемо висловити «приблизно дорівнює α», можна використовувати трикутні функції.

Бібліографічне посилання

Визначення

Під нечітким безліччю розумієтьсясукупність , де X - універсальна множина, а - функція приналежності (характеристична функція), що характеризує ступінь приналежності елемента X нечіткий множині A.

Функція набуває значення в деякому лінійно впорядкованому множині М. Множина М називають безліччю приладдя, часто як вибирається відрізок (0,1). Якщо, то нечітка множина може розглядатися як звичайна, точна множина. M = (0,1).

Приклади запису нечіткої множини

Нехай E = (x1, x2, x3, x4, x5), M =; A - нечітка множина, для якої

Тоді A можна подати у вигляді:

A = (0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 ) або

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, або

Зауваження. Тут знак "+" не є позначенням операції

складання, а має сенс об'єднання.

Характеристична функціязвичайної множини -це функція, що встановлює приналежність елемента до множини. Особливість: має бінарний характер.

f(x)=(1, x належить М; 0, x не належить М.).

Функція приладдя- функція, яка дозволяє обчислити ступінь належності похідного елемента універсальної множини до нечіткої множини.

Ступінь приналежності- це будь-яке число діапазону Z (наприклад, Z=).

Чим вище ступінь належності, тим більшою мірою елемент універсальної множини відповідає властивостям нечіткої множини.

Безліч Z називають безліччю приладдя. Якщо Z=(0,1), то нечітка множина F може розглядатися як звичайна (чітка) множина.

2. Які нечіткі числа називають нормальними, унімодальними та опуклими?

Носієм (супортом) нечіткої множини називається безліч

Supp(F)=(x|f(x)>0), для будь-якого x належить Е.

Нечітка множина називається порожньою, якщо її носій теж порожня множина.

F=порожня множина<=>supp(F)=порожня множина, тобто f(x)=0 для будь-якого x від Е.

Нечітка множина є унімодальною, якщо mA(x)=1 лише одного x з E.

Елементи x із Е для яких f(x)=0,5 називаються точками переходу множини F.

Висотою нечіткої множини F називається верхня межа його функції приналежності hgt(F) = sup x із E f(x).

Нечітка множина F називається нормальнимякщо його висота дорівнює одиниці. В іншому випадку воно називається субнормальним.

Нормалізація- це перетворення субнормальної нечіткої множини F в нормальну F визначається так:

F=norm (F)<=>f(x)=f(x)/hgt(F), для будь-якого x з Е.

3. Дайте визначення Нечіткі числа (L-R)-типу.

Нечіткі числа (L-R)-типу- це різновид нечітких чисел спеціального виду, тобто. що задаються певним правиламз метою зниження обсягу обчислень під час операцій над ними.

Нечіткі числа та інтервали, які найчастіше використовуються для представлення нечітких множин у нечіткому моделюванні, є нормальними. Однак дані вищі визначення нечіткогочисла та нечіткого інтервалу надто загальні, що ускладнює їх практичне використання. З обчислювальної точки зору зручно використовувати більше конкретні визначеннянечітких чисел та інтервалів у формі аналітичної апроксимації за допомогою так званих ( L-R)-функцій.Отримані в результаті нечіткі числа та інтервали у формі (L-R)-функцій дозволяють охопити досить широкий клас конкретних функцій власності. Визначення 6.14.Функція L-muna(а також і R-muna),у випадку визначається як довільна функція L: R→ і R: /R→, задана на безлічі дійсних чисел, що не зростає на підмножині невід'ємних чисел R+і задовольняє наступним додатковим умовам: L(-x)= L(x), R(-x)=R(x)- умова парності;(6.7) L(0)=R(0) = 1 -умова нормування.(6.8) Примітка: Іноді в літературі можна зустріти ще одну умову, якій повинні, на думку деяких авторів, задовольняти функції ( L-R)-типу: L(1) = R(1) = 0. Оскільки з одного боку ця умова істотно обмежує клас функцій ( L-R)-типу, а з іншого боку, що розглядаються нижче трикутні нечіткі числа і трапецієподібні нечіткі інтервали узгоджуються з виконанням цієї властивості, ми не будемо його включати у визначення функцій ( L-R)-типу.