Функція приладдя може набувати значень. Функції приладдя

Класифікація функцій належності нормальних нечітких множин

Нечітке безліч називається нормальним, якщо його функції власності справедливо ствердження, що є такий , у якому .

s

Функція приналежності класу sвизначається як:

Функція приналежності класу π

Функція приналежності класу π визначається через функцію класу s:

Функція приналежності класу γ

Функція приналежності класу γ визначається як:

Функція приналежності класу t

Функція приналежності класу tвизначається як:

Функція приналежності класу L

Функція приналежності класу Lвизначається як:

Визначимо лінгвістичну змінну (ЛП) як змінну, значення якої визначається набором словесних характеристикдеякої якості. Наприклад, ЛП "вік" може мати значення

ЛП = МЛВ, ДВ, ВВ, ЮВ, МВ, ЗВ, ПВ, СВ,

що позначають вік дитячий, дитячий, підлітковий, юнацький, молодий, зрілий, похилий і старий, відповідно. Безліч M - це шкала прожитих людиною років. Функція приналежності визначає, наскільки ми впевнені, що цю кількість прожитих років можна зарахувати до даному значеннюЛП. Припустимо, що деяким експертом до молодому вікувіднесені люди у віці 20 років зі ступенем впевненості 0,8, у віці 25 років зі ступенем впевненості 0,95, у віці 30 років зі ступенем впевненості 0,95 та у віці 35 років зі ступенем впевненості 0,7. Отже:

μ(X 1)=0,8; μ(X 2)=0,95; μ(X 3)=0,95; μ(X 4)=0,7;

Значення ЛП=МВ можна записати:

МВ = μ (X 1) / X 1 + μ (X 2) / X 2 + μ (X 3) / X 3 + μ (X 4) / X 4 = = 0,8 / X 1 + 0,95 / X2+0,95/X3+0,7/X4.

Таким чином, нечіткі множини дозволяють враховувати суб'єктивні думки окремих експертів. Для більшої наочності покажемо безліч МВ графічно з допомогою функції власності (рис. 2.7).

Мал. 2.7.Графік функції приладдя

Для операцій з нечіткими множинамиіснують різні операції, наприклад, операція "нечітке АБО" (інакше) задається в логіці Заде , :

μ(x)=max(μ 1 (x), μ 2 (x))

і при ймовірнісному підходітак:

μ(x)=μ 1 (x)+μ 2 (x)-μ 1 (x) · μ 2 (x).

Розглянемо ці операції як діаграм. У ранній статті про нечіткі множини Заде запропонував оператор мінімуму для перетину та оператор максимуму для об'єднання двох нечітких множин. Легко бачити, що ці оператори збігаються з чітким об'єднанням і перетином, якщо ми розглядаємо лише належність до 0 та 1.

Щоб роз'ясняти це, розглянемо кілька прикладів. Припустимо, А є нечіткий інтервал між 5 і 8, а B - нечітке число, приблизно 4. Наступна діаграмапоказує нечітку множину між 5 і 8 І (AND - перетин) приблизно 4 (синя лінія).

Нечітка множина між 5 і 8 АБО (OR-об'єднання) приблизно 4 показується в наступній діаграмі (знов, синій лінією).

Наступна діаграма є прикладом заперечення. Синя лінія - ЗАМОВИТИ нечіткої множини A.

Існують інші операції над нечіткими числами, такі як розширені бінарні арифметичні операції (складення, множення тощо) для нечітких чисел, що визначаються через відповідні операції для чітких чисел з використанням принципу узагальнення і т.д.

Baldwin J.F. Fuzzy logic and fuzzy reasoning. - London, Academic Press, 1981.

Для завдання нечіткої істинності Балдвін запропонував такі функції приналежності нечітких "істинно" та "хибно".

При цьому виконуються наступні співвідношення

Щоб за допомогою можна було порівнювати нечіткі множини, що мають різні носії, треба нормувати , вимагаючи, щоб будь-якого безлічі міра нечіткості не перевищувала якийсь певний поріг, наприклад, 1. Нормована відстань між нечіткою множиною і найближчим до нього звичайним множиною називають індексом нечіткості і позначають .

У таблиці 6.3 наведено основні формули обчислення індексу нечіткості. - звичайна множина, найближча до нечіткої множини, - характеристична функціямножини , що обчислюється за формулою (6.7) .

Основні формули обчислення індексів нечіткості множин

Приклад 6.9

Для множин і прикладу 6.1 розрахуємо в MathCad індекси нечіткості, використовуючи метрику Евкліда і за метрикою Хеммінга.

Індекси нечіткості по Евкліду і Хеммінгу для множин і :

6.7 Експертні оцінки методом нечітких множин

В процесі прийняття рішеньз питань управління організаціями досить часто вдаються до методу експертних оцінок. Суть методу полягає в наступному: експерти аналізують проблему, даючи кількісну оцінкухарактеристикам об'єктів, що надалі отримані результати обробляються, і на підставі аналізу думок групи експертів приймається вирішення проблеми.

У такій процедурі виникає принаймні дві проблеми, пов'язані між собою.

Перша - при оцінці об'єктів експерти зазвичай розходяться в думках щодо проблеми, що вирішується. У зв'язку з цим виникає потреба оцінити ступінь згоди експертів кількісно. Отримання кількісної міри узгодженості дозволяє більш обґрунтовано інтерпретувати причини розбіжностей. Друга - вибір кращої альтернативи з наявних на основі агрегації результатів або, як то кажуть, пакунки з урахуванням ваги думки експерта чи вагомості критерію. Для отримання адекватних оцінок у цьому аналізі можна використовувати апарат теорії нечітких множин. Автором Назаровим Д.М. розроблено методику для вирішення таких завдань.

Методика Назарова

Якщо мається універсальна безліч U, елементи якого мають неоднозначну складову, можна побудувати нечітке підмножина множини та розглянути її характеристичну функцію . Якщо близько до значення 1 або 0, то внесок елемента в нечіткість множини малий. І навпаки, якщо близько до значення 0,5 (значно відрізняється як від 1, і від 0), його внесок у нечіткість буде значний. Таким чином, внесок у нечіткість кожного елемента множини визначається близькістю або віддаленістю значення функції приналежності на цьому елементі до чисел 1 і 0, а міра нечіткості всієї множини визначається як сума вкладів кожного елемента. Щоб порівнювати нечіткі множини, що мають різні носії, треба їх нормувати. Подаючи наявні дані у вигляді нормованих нечітких множин, можна аналізувати їх з використанням індексів нечіткості. Для обчислення індексу нечіткості треба побудувати найближче до нечіткого безліч з функцією приналежності (див. 6.6) і розрахувати нормовану відстань по Хеммінгу (Див. 6.7).

Таким чином, щоб відповісти на запитання: "Яка з двох множин "нечіткіше"?", треба обчислити і порівняти індекси нечіткості цих множин. "Нечіткішим" є те безліч, яке має більший індекс нечіткості.

Розглянемо запропоновану методику з прикладу завдання.

Завдання 6.1

Нехай є дані експертних оцінок із низки питань. Було поставлено 10 питань, 30 експертів давали оцінки з 10- бальної системи. Потрібно опрацювати результати анкетування щодо узгодженості оцінок. З яких питань було дано найбільш узгоджені оцінки. З іншого боку, які експерти були більш визначені у своїх оцінках. Для вирішення використовуємо методику Назарова.

Постановка задачі

Неоднозначність оцінок викликана з одного боку, можливо, нечіткою постановкою питань, з іншого боку, у кожного експерта своє бачення проблеми. Враховуючи неоднозначність оцінок експертів, розглядатимемо масив даних як безліч, для якого побудуємо нечітке підмножина з характеристичною функцією. Проведемо аналіз нечіткої множини за методикою Назарова. Для цього розрахуємо індекси нечіткості множин оцінок експертів та порівняємо їх. При цьому завдання розпадається на дві:

Завдання 6.1.1

Визначити індекси нечіткості множин оцінок всіх експертів з кожного питання і, тим самим, виявити неоднозначні питання, при відповіді на які думки експертів максимально розходилися.

Завдання 6.1.2

Визначити індекси нечіткості множин оцінок з усіх питань кожного експерта та виявити, який експерт давав найбільш неоднозначні відповіді,

Розв'язання задачі 6.1.1.

Уявімо рішення в системі MathCad. Використовуємо матричне подання даних.

Подаємо безліч оцінок у вигляді матриці. Маємо масив оцінок за 10-бальною системою: з 10 питань (стовпці) 30 експертів (рядки).

Оцінки 30 експертів:



Побудуємо функцію приналежності. нечіткої множини оцінок при відповідях експертів на кожне запитання наступним чином:

• Підрахуємо частоту різних оцінок при відповіді на кожне запитання:

  Матриця частоти оцінок:

  

  Підрахуємо частки різних оцінок при відповіді кожне питання. Таким чином, ми виявимо ступеня належності кожної оцінки до безлічі оцінок з питання, що розглядається. Для цього значення кожного осередку попередньої таблиці розділимо на 30 – за кількістю експертів (Рис.6.14).

  

  Нечітка кількість експертних оцінок:

  

  Нормуємо значення попередньої таблиці, розділимо їх на максимальне значенняпо кожному стовпцю. При цьому максимальне значення ступеня належності кожної оцінки нечіткої кількості оцінок при відповіді експертів на кожне питання стане рівним одиниціі ми отримаємо значення функції належності оцінок.

  

  Нормована нечітка кількість експертних оцінок:

  

Нами отримано нечітку множину оцінок експертів з кожного питання. Застосуємо умовну функцію.

Безліч , найближче до розглянутої нечіткої множини:



Розрахуємо індекс нечіткості за лінійною метрикою (відстань за Хеммінгом) за формулою: .

Для цього:



Відхилення - розлад по Хемінгу

Нечітка логіка– одне з найцікавіших та активно розвиваютьсятеорії штучного інтелекту. Відмінність теорії нечітких множин від класичної теоріїчітких множин полягає в тому, що якщо для чітких множин результатом обчислення функції приналежності можуть бути тільки два значення - нуль або одиниця, то для нечітких множин ця кількість нескінченна, але обмежена діапазоном від нуля до одиниці. У статті розглядаються способи та приклади визначення значень функції приналежності, зокрема частотний аналіз, експертний метод нормування і метод попарних порівнянь, L-R – функції. Розглянуті методи прості у застосуванні. Матеріали цієї статті представляють методичну та практичну цінністьдля викладачів та студентів, які цікавляться питаннями нечіткого моделювання та аналізу даних.

Ключові слова: нечітка логіка

функція приналежності

1. Курзаєва Л.В., Новікова Т.Б., Лактіонова Ю.С., Петеляк В.Є. Застосування методу попарних порівнянь для визначення функції належності нечіткої змінної у завданнях управління соціально- економічними системами// Науково-практичний журнал «Нотатки вченого». – 2015 – №5. - С.87-90

2. Курзаєва Л.В. Нечітка логіка та нейронні мережі. - Магнітогорськ: Вид-во Магнітогорськ, гос.тех. ун-ту ім. Г.І.Носова, 2016.

4. Курзаєва Л.В. Введення в теорію систем та системний аналіз: навч. посібник/Л.В. Курзаєва. -Магнітогорськ: МаГУ, 2015. -211 с.

5. Курзаєва Л.В. Введення в методи та засоби отримання та обробки інформації для завдань управління соціальними та економічними системами: навч. посібник/Л.В. Курзаєва, І.Г. Овчиннікова, Г.М. Чусавітін. -Магнітогорськ: Магнітогорськ. держ. техн. ун-ту ім. Г.І. Носова, 2016. –118 с.

Усі методи визначення значень функцій приналежності умовно можна поділити на такі групи: прямі методи, опосередковані методи, L-R & dash; функції.

До першої групи методів можна віднести частотний аналіз за результатами опитувань експертів.

приклад. За результатами опитувань респондентів за прогнозами ціни літра молока у 2016 р. отримано такі результати (табл.1).

До другої групи методів можна віднести експертні методи(наприклад, анкетний методнормування, і навіть метод попарних порівнянь).

Метод нормування полягає в наступному. Експерту пропонується оцінити ступінь приналежності до множини кожного елемента з Ux1 & dash; х, співвіднісши свою думку зі значеннями за деякою, заздалегідь обраною шкалою (наприклад, від 0 до 100%, або відносних величинахвід 0 до 1, або будь-який інший).

Результати опитування кількох експертів зводяться до матриці опитування (табл. 2).

Потім виконуються наступна послідовність дій:

Таблиця 1

Дані щодо опитування експертів про прогнозовану ціну на молоко у 2016 р.

Матриця опитування кількох експертів

приклад. У табл. 3 наведено результати опитування чотирьох експертів щодо ступеня належності трьох елементів & dash; автомобілів "Chevrolet iva", "JeepGra dCherokee", "CheryTiggo F" безлічі "Позашляховики", оцінені за 100 бальною шкалою.

Таблиця 3

Матриця опитування

Розраховується сума ваг, що даються i-м експертомвсім елементам:

Таблиця 4

Розраховується відносна вага j-го елемента на підставі оцінки i-го експерта:

Таблиця 5

Матриця опитування з елементами розрахунків

Розраховується результуюча вага j-го елемента:

Таблиця 6

Отже, згідно з зібраними даними і методом розрахунку множинно «Позашляховики» = (0,43 / «JeepGra dCherokee»; 0,29 / «Chevrolet iva»; 0,28 / «CheryTiggo F»)

Метод попарних порівнянь полягає в тому, що лише один експерт на основі свого суб'єктивної думкиоцінює приналежність елемента даної множини щодо іншого елемента. Для проведення суб'єктивних парних порівнянь Т. Сааті була розроблена шкала відносної ваги, її модифікація наведена в табл. 7:

Таблиця 7

Матриця опитування з елементами розрахунків та результатами

Результати попарного порівняння елементів заносяться в матрицю порівняння розмірності n×n, де число порівнюваних елементів. Елемент зазначеної матриці виражає результат порівняння елементів i та j. Якщо при порівнянні елементів i та j отримано a(i,j)=b, то результатом порівняння елементів jі iмає бути a(j,i)=1/b. Очевидно, що діагональні елементи матриці дорівнюють 1.

Т. Сааті запропонував спрощену процедуру обчислення вектора w. Нехай v‐ вектор геометричних середніх рядків деякої матриці порівняння:

Тоді вектор wвизначатиметься таким чином:

приклад. За результатами оцінки експерта ступеня належності трьох елементів & dash; значень температур у градусах Цельсія визначити множину «Холодно».

Вектори локальних пріоритетів, що відповідають матрицям порівняння, знаходяться наступним чином:

Мал. 1. Приклади L-R-функцій

Отже, за даними розрахунків «Холодно»=(0,747/-25; 0,134/-10; 0,119/-5).

Третю групу складають способи на основі використання так звані L-R & dash; функцій ( типових формкривих рис. 1) завдання функцій власності з уточненням їх параметрів шляхом наближення до реальним данным.

приклад. Якщо ми оцінюємо параметр якісно, ​​наприклад, кажучи: "Це значення параметра є середнім", необхідно ввести уточнююче висловлювання типу "Середнє значення - це приблизно від a до b", яке є предметом експертної оцінки(нечіткої класифікації), і тоді можна використовувати для моделювання трапецієподібну функцію.

Якщо хочемо висловити «приблизно дорівнює α», можна використовувати трикутні функції.

Бібліографічне посилання

Нечітка безліч- ключове поняттянечіткої логіки. Нехай Е- Універсальна безліч, х- Елемент Е, a R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Ауніверсальної множини Е,елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) -Характеристична функція,приймаюча значення 1, якщо хзадовольняє властивості R, і 0 - інакше.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тем, що для елементів хз Енемає однозначної відповіді «так-ні» щодо властивості R. У зв'язку з цим нечітке підмножина Ауніверсальної множини Евизначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) — характеристична функція власності(або просто функція власності), Що приймає значення в деякому цілком упорядкованому множині М(наприклад, М = ).

Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента хпідмножиною А.Безліч Мназивають безліччю приладдя. Якщо М= (0, 1), то нечітка підмножина Аможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Приклади запису нечіткої множини

Нехай Е = {x 1 , x 2 , х з,x 4 , x 5), М = ; А— нечітка множина, для якої μ A ( x 1 )= 0,3; μ A ( х 2)= 0; μ A ( х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( х 5)= 0,9.

Тоді Аможна уявити у вигляді

А ={0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 } ,

або

А={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

або

Зауваження. Тут знак «+» перестав бути позначенням операції складання, а має сенс об'єднання.

Основні характеристики нечітких множин

Нехай М= і А- нечітка множина з елементами з універсальної множини Еі безліччю приладдя М.

Величина називається заввишкинечіткої множини А.Нечітка безліч А нормально,якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межайого функції власності дорівнює 1 (= 1). При< 1нечеткое множество называется субнормальним.

Нечітка безліч порожньо,якщо ∀ xϵ E μ A ( x) = 0. Непусте субнормальне безліч можна нормалізувати за формулою

Нечітка безліч унімодально,якщо μ A ( x) = 1 тільки на одному хз е.

. Носіємнечіткої множини Ає звичайна під-множина з властивістю μ A ( x)>0, тобто. носій А = {x/x ϵ E, μ A ( x)>0}.

Елементи xϵ E, для яких μ A ( x) = 0,5 , називаються точками переходубезлічі А.

Приклади нечітких множин

1. Нехай Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М =. Нечітка безліч«Декілька» можна визначити наступним чином:

"Кілька" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; його характеристики:висота = 1, носій = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки переходу — {3, 8}.

2. Нехай Е = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Нечітку безліч «Малий» можна визначити:

3. Нехай Е= (1, 2, 3, . . ., 100) і відповідає поняттю «Вік», тоді нечітка множина «Молодий» може бути визначена за допомогою

Нечітка безліч «Молодий» на універсальній множині Е"= (ІВАНІВ, ПЕТРІВ, СИДОРІВ,...) задається за допомогою функції приналежності μ Молодий ( x) на Е =(1, 2, 3, . . ., 100) (вік), званої по відношенню до Е"функцією сумісності, при цьому:

де х- Вік СИДОРОВА.

4. Нехай Е= (ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,… ) - безліч марок автомобілів, а Е"= - Універсальна безліч «Вартість», тоді на Е"ми можемо визначити нечіткі множини типу:

Мал. 1.1. Приклади функцій приладдя

«Для бідних», «Для середнього класу», «Престижні», з функціями приналежності виду рис. 1.1.

Маючи ці функції та знаючи вартості автомобілів з Ев Наразічасу, ми тим самим визначимо на Е"нечіткі множини з цими ж назвами.

Так, наприклад, нечітка множина «Для бідних», задана на універсальній множині Е =(ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,...), виглядає так, як показано на рис. 1.2.

Мал. 1.2. Приклад завдання нечіткої множини

Аналогічно можна визначити нечітку множину «Швидкісні», «Середні», «Тихохідні» тощо.

5. Нехай Е- безліч цілих чисел:

Е= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тоді нечітке підмножина чисел, по абсолютної величиниблизьких до нуля, можна визначити, наприклад, так:

А ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин

У наведених вище прикладах використано пряміспособи, коли експерт чи легко ставить кожному за х ϵ Езначення μ А (х),чи визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т.д., або коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і кожного з них визначити полярні значення, відповідні значенням функції власності, 0 чи 1.

Наприклад, завдання розпізнавання осіб можна назвати шкали, наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1. Шкали в задачі розпізнавання облич

Для конкретної особиАексперт, виходячи з наведеної шкали, задаєμ A(х) ϵ, формуючи векторну функцію приналежності (μ A(х 1) , μ A(х 2),…, μ A(х 9)}.

При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред'являють конкретна особа і кожен повинен дати одну з двох відповідей: «ця людина лиса» або «ця людина не лиса», тоді кількість ствердних відповідей, ділена на загальне числоекспертів, дає значення μ лисий ( даної особи). (У цьому прикладі можна діяти через функцію сумісності, але тоді доведеться вважати число волосин на голові у кожного з пред'явлених експерту осіб.)

Непряміметоди визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікава для нас нечітка безліч. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, μ A(х-i) = ω i , i= 1, 2, ..., nто попарні порівняння можна представити матрицею відносин А= (a ij), де a ij= ω i/ ω j(Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю А, У цьому передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів симетричних щодо діагоналі a ij = 1/a ij , тобто. якщо один елемент оцінюється в α раз сильніше, ніж інший, цей останній має бути в 1/α раз сильніше, ніж перший. У загальному випадкузадача зводиться до пошуку вектора ω, що задовольняє рівняння виду Aw= λ max w, де λ max - найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця Апозитивна по побудові, розв'язання цієї задачі існує і є позитивним.

Можна відзначити ще два підходи:

• використання типових формкривих для завдання функцій належності (у формі (L-R)-Типу - див. нижче) з уточненням їх параметрів відповідно до даних експерименту;
• використання відносних частотза даними експерименту як значень приналежності.

Нехай Х = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } , M = ; A- нечітка множина, для якої

 A (x 1 )=0,3;  A (x 2 )=0;  A (x 3 )=1;  A (x 4 )=0,5;  A (x 5 )=0,9 .

Тоді A можна уявити у вигляді: A = {0,3/ x 1 ; 0/ x 2 ; 1/ x 3 ; 0,5/ x 4 ; 0,9/ x 5 }, або A = 0,3/ x 1 + 0/ x 2 + 1/ x 3 + 0,5/ x 4 + 0,9/ x 5 , або таблицею (табл.1)

Таблиця 1

Подання нечіткої множини А

Зауваження. Тут знак " + не є позначенням операції складання, а має сенс об'єднання.

Методи побудови функцій приналежності нечітких множин

При побудові функцій власності використовуються пряміі непряміметоди. При використанні прямих методів експерт або просто задає для кожного x  Х значення  A (x ) або визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т.д., або коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і кожного з них визначити полярні значення, відповідні значенням функції належності 0 чи 1.

Наприклад, у задачі розпізнавання осіб можна назвати такі шкали (табл. 2)

Таблиця 2

Шкали в задачі розпізнавання образів

Для конкретної особи А експерт, виходячи з наведеної шкали, задає  A (x ) на , формуючи векторну функцію приналежності {  A (x 1 ) ,  A (x 2 ) ,...,  A (x 9 )}.

При побудові функцій власності використовуються також груповіпрямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред'являють конкретну особу, і кожен має дати одну з двох відповідей: « ця людина лиса» або« ця людина не лиса», тоді кількість ствердних відповідей, поділена на загальну кількість експертів, дає значення  « лисий» (Цей особи).

Введемо такі позначення: K- кількість експертів; - думка k-го експерта про наявність елемента u jвластивостей нечіткої множини suppI j , k=1,…,K, i=1,…,n, j=1,…,m,. Вважатимемо, що експертні оцінки бінарні, тобто.  { 0,1} , де 1 (0 ) вказує на наявність (відсутність) у елемента u jвластивостей нечіткої множини suppI j. За результатами опитування експертів, ступеня належності нечіткої множини suppI j , j=1,…,mрозраховуються наступним чином:

, i= 1,…,n. (1)

приклад.Побудувати функції належності значень "низький", "середній", "високий", що використовуються для лінгвістичної оцінки змінної "зростання чоловіка". Результати опитування п'яти експертів наведено у табл. 3.

Таблиця 3

Результати опитування експертів

Результати обробки експертних думок наведено в табл. 4. Числа курсивом – це кількість голосів, відданих експертами за належність нечіткої множини відповідного елемента універсальної множини. Числа простим шрифтом – ступеня власності, розраховані за такою формулою (1). Графіки функцій власності показано на рис. 6.

Таблиця 4

Результати обробки думок експертів

Мал. 6. Функції приналежності нечітких множин з прикладу

Непрямі Методи визначення значень функції належності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, якими визначається нечітка безліч. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приладдя були нам відомі, наприклад,  A (x i ) =w i , i =1,2,...,n , то попарні порівняння можна уявити матрицею відносин A ={a ij ), де a ij =w i /w j (Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю A , при цьому передбачається, що діагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів, симетричних щодо діагоналі, a ij =1/a ij , тобто. якщо один елемент оцінюється в  разів сильніше за інший, то цей останній повинен бути в 1/ разів сильніший, ніж перший. У випадку завдання зводиться до пошуку вектора w , що задовольняє рівняння виду А w = max w , де  max- найбільше значення матриці A . Оскільки матриця А позитивна по побудові, розв'язання цього завдання є і є позитивним.