Як знайти умовний екстремум функції двох змінних. Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області

Визначення1: Кажуть, що функція має в точці локальний максимум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції< 0.

Визначення2: Кажуть, що функція має в точці локальний мінімум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції > 0.

Визначення 3: Точки локальних мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.

Умовні екстремуми

При відшуканні екстремумів функції багатьох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом.Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.

Нехай задані функція та лінія Lна площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії Lзнайти таку точку P(x, y),в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції у точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки Pназиваються точками умовного екстремумуфункції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише в тих, що лежать на лінії L.

Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (кажуть також безумовного екстремуму) є точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції є верхня напівсфера (Додаток 3 (Рис 3)).

Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина Mпівсфери. Якщо лінія Lє пряма, що проходить через крапки Аі У(її рівняння x+y-1=0), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значенняфункції досягається в точці, що лежить посередині між точками Аі Ст.Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції даної лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.

Зазначимо, що в заключній частині задачі про віднайдення найбільшого та найменшого значень функції в замкнутої областінам доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.

Приступимо тепер до практичного відшукання точок умовного екстремуму функції Z = f (x, y) за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням (x, y) = 0. Це співвідношення називатимемо рівняння зв'язку. Якщо рівняння зв'язку y можна виразити явно через х: y=(x), ми отримаємо функцію однієї змінної Z= f(x, (x)) = Ф(х).

Знайшовши значення х, при яких ця функція досягає екстремуму, і визначивши потім рівняння зв'язку відповідні їм значення у, ми отримаємо шукані точки умовного екстремуму.

Так, у наведеному вище прикладі з рівняння зв'язку x+y-1=0 маємо y=1-х. Звідси

Легко перевірити, що z досягає максимуму за х = 0,5; але тоді з рівняння зв'язку y=0,5, і ми отримуємо якраз точку P, знайдену з геометричних міркувань.

Дуже просто вирішується завдання на умовний екстремум і тоді, коли рівняння зв'язку можна уявити параметричними рівняннямих = х (t), y = y (t). Підставляючи вирази для х і у цю функцію, Знову приходимо до завдання відшукання екстремуму функції однієї змінної.

Якщо рівняння зв'язку має більше складний вигляді нам не вдається ні явно висловити одну змінну через іншу, ні замінити його параметричними рівняннями, то завдання відшукання умовного екстремуму стає складнішим. Будемо, як і раніше, вважати, що у вираженні функції z=f(x, y) змінна (x, y) = 0. Повна похідна від функції z=f(x, y) дорівнює:

Де похідна y`, знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовного екстремуму знайдена повна похідна повинна дорівнювати нулю; це дає одне рівняння, що зв'язує х та у. Оскільки вони повинні задовольняти ще й рівняння зв'язку, ми отримуємо систему двох рівнянь із двома невідомими

Перетворимо цю систему до більш зручної, записавши перше рівняння у вигляді пропорції і ввівши нову допоміжну невідому:

(Знак мінус перед поставлений для зручності). Від цих рівностей легко перейти до наступної системи:

f ` x = (x, y) + ` x (x, y) = 0, f ` y (x, y) + ` y (x, y) = 0 (*),

яка разом із рівнянням зв'язку (x, y) = 0 утворює систему трьох рівнянь з невідомими х, у в.

Ці рівняння (*) найлегше запам'ятати за допомогою наступного правила: щоб знайти точки, які можуть бути точками умовного екстремуму функції

Z= f(x, y) при рівнянні зв'язку (x, y) = 0, потрібно утворити допоміжну функцію

Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)

Де - деяка стала, і скласти рівняння для відшукання точок екстремуму цієї функції.

Зазначена система рівнянь доставляє, як правило, тільки необхідні умови, тобто. не кожна пара значень х і у, що задовольняє цій системі, обов'язково є точкою умовного екстремуму. Достатні умови для точок умовного екстремуму я наводити не стану; Найчастіше конкретний зміст завдання саме підказує, чим є знайдена точка. Описаний прийом розв'язання задач на умовний екстремум називається методом множників Лагранжа.

приклад

Знайти екстремум функції за умови, що хі упов'язані співвідношенням: . Геометрично завдання означає таке: на еліпсі
площиною
.

Це завдання можна вирішувати так: із рівняння
знаходимо
х:

за умови, що
, звелася до завдання знаходження екстремуму функції однієї змінної, на відрізку
.

Геометрично завдання означає таке: на еліпсі отриманому при перетині циліндра
площиною
, потрібно знайти максимальне або мінімальне значення аплікати (Рис.9). Це завдання можна вирішувати так: із рівняння
знаходимо
. Підставляючи знайдене значення у рівняння площини, отримуємо функцію однієї змінної х:

Тим самим завдання про знаходження екстремуму функції
за умови, що
, Звелася до завдання знаходження екстремуму функції однієї змінної, на відрізку.

Отже, завдання відшукання умовного екстремуму- Це завдання про знаходження екстремуму цільової функції
, за умови, що змінні хі упідкоряються обмеженню
званого рівнянням зв'язку.

Говоритимемо, що крапка
, що задовольняє рівняння зв'язку, є точкою локального умовного максимуму (мінімуму), якщо існує околиця
така, що для будь-яких точок
координати яких задовольняють рівняння зв'язку, виконано нерівність.

Якщо з рівняння зв'язку можна знайти вираз для у, то, підставляючи цей вираз на вихідну функцію, перетворюємо останню на складну функцію однієї змінної х.

Загальним методом вирішення завдання на умовний екстремум є метод множників Лагранжа. Складемо допоміжну функцію, де ─ деяке число. Ця функція називається функцією Лагранжа, а ─ множником Лагранжа. Таким чином, завдання знаходження умовного екстремуму звелося знайти точки локального екстремуму для функції Лагранжа. Для знаходження точок можливого екстремуму треба вирішити систему з 3-х рівнянь із трьома невідомими х, ув.

Потім слід скористатися наступною достатньою умовою екстремуму.

ТЕОРЕМА. Нехай точка є точкою можливого екстремуму функції Лагранжа. Припустимо, що в околиці точки
існують безперервні приватні похідні другого порядку функцій і . Позначимо

Тоді, якщо
, то
─ точка умовного екстремуму функції
при рівнянні зв'язку
при цьому, якщо
, то
─ точка умовного мінімуму, якщо
, то
─ точка умовного максимуму.

§8. Градієнт та похідна за напрямком

Нехай функція
визначена у деякій (відкритій) області. Розглянемо будь-яку точку
цій галузі та будь-яку спрямовану пряму (вісь) , що проходить через цю точку (рис. 1). Нехай
- Яка-небудь інша точка цієї осі,
- Довжина відрізка між
і
, взята зі знаком «плюс», якщо напрямок
збігається з напрямком осі , та зі знаком «мінус», якщо їхні напрямки протилежні.

Нехай
необмежено наближається до
. Межа

називається похідною від функції
у напрямку (або вздовж осі ) і позначається так:

.

Ця похідна характеризує швидкість зміни функції в точці
у напрямку . Зокрема, і звичайні приватні похідні ,також можна розглядати як похідні «у напрямку».

Припустимо тепер, що функція
має у аналізованої області безперервні приватні похідні. Нехай вісь утворює з осями координат кути
і . При зроблених припущеннях похідна за напрямом існує і виражається формулою

.

Якщо вектор
заданий своїми координатами
, то похідну функції
за напрямом вектора
можна обчислити за такою формулою:

.

Вектор з координатами
називається вектор-градієнтфункції
у точці
. Вектор-градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в даній точці.

приклад

Дана функція , точка A(1, 1) та вектор
. Знайти: 1) grad z у точці A; 2) похідну в точці A у напрямку вектора .

Приватні похідні цієї функції у точці
:

;
.

Тоді вектор-градієнт функції у цій точці:
. Вектор-градієнт ще можна записати за допомогою розкладання векторів і :

. Похідна функції за напрямом вектора :

Отже,
,
.◄

Необхідні й достатні умови екстремуму функцій двох змінних.Точка називається точкою мінімуму (максимуму) функції якщо у певній околиці точки функція визначена і задовольняє нерівності (відповідно Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму функції).

Необхідна умова екстремуму. Якщо точці екстремуму функція має перші приватні похідні, всі вони звертаються у цій точці нанівець. Звідси випливає, що для відшукання точок екстремуму такої функції слід вирішити систему рівнянь точки, координати яких задовольняють цій системі, називаються критичними точками функції. Серед них можуть бути точки максимуму, точки мінімуму, а також точки, які не є точками екстремуму.

Достатні умови екстремуму використовуються виділення точок екстремуму з безлічі критичних точок і наведені нижче.

Нехай функція має у критичній точці безперервні другі приватні похідні. Якщо у цій точці виконується

умова то вона є точкою мінімуму при і точкою максимуму при Якщо в критичній точці вона не є точкою екстремуму. Що стосується потрібно більш тонке дослідження характеру критичної точки, яка у разі може бути точкою екстремуму, і може й бути такий.

Екстремуми функцій трьох змінних.У разі функції трьох змінних визначенняточок екстремуму дослівно повторюють відповідні визначення функції двох змінних. Обмежимося викладом порядку вивчення функції на екстремум. Вирішуючи систему рівнянь слід знайти критичні точки функції, а потім у кожній із критичних точок обчислити величини

Якщо всі три величини позитивні, то розглядається критична точкає точкою мінімуму; якщо дана критична точка є точкою максимуму.

Умовний екстремум функції двох змінних.Точка називається точкою умовного мінімуму (максимуму) функції за умови, якщо існує околиця точки в якій функція визначена і в якій (відповідно) для всіх точок координати яких задовольняють рівнянню

Для знаходження точок умовного екстремуму використовують функцію Лагранжа

де число називається множником Лагранжа. Вирішуючи систему трьох рівнянь

знаходять критичні точки функції Лагранжа (і навіть значення допоміжного множника Л). У цих критичних точках може бути умовний екстремум. Наведена система дає лише необхідні умови екстремуму, але не достатні: їй можуть задовольняти координати точок, які не є точками умовного екстремуму. Проте, з суті завдання, часто вдається встановити характер критичної точки.

Умовний екстремум функції багатьох змінних.Розглянемо функцію змінних за умови, що пов'язані рівняннями

Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій ділянці D і нехай Мо (хо, Уо) - внутрішня точка цієї області. Визначення. Якщо існує таке число, що для всіх, що задовольняють умовам, вірна нерівність то точка Мо(хо, уо) називається точкою локального максимумуфункції /(х, у); якщо для всіх Дх, Ду, що задовольняють умовам | то точка Мо(хо,уо) називається тонкою локального мінімуму. Іншими словами, точка М0(х0, у0) є точка максимуму або мінімуму функції /(х, у), якщо існує 6-околиця точки А/о(хо,уо) така, що у всіх точках М(х, у) цієї околиці збільшення функції зберігає знак. приклади. 1. Для функції точка – точка мінімуму (рис. 17). 2. Для функції точка 0(0,0) є точкою максимуму (рис.18). 3. Для функції точка 0(0,0) є точкою локального максимуму. 4 Насправді, існує околиця точки 0(0, 0), наприклад, коло радіусу j (див. рис. 19), у будь-якій точці якого, відмінної відточки 0(0,0), значення функції /(х,у) менше 1 = Ми будемо розглядати тільки точки строгдго максимуму та мінімуму функцій, коли сувора нерівністьабо сувора нерівність виконується для всіх точок М(х) у) з деякою проколотий 6-околиця точки Mq. Значення функції у точці максимуму називається максимумом, а значення функції у точці мінімуму - мінімумом цієї функції. Точки максимуму та точки мінімуму функції називаються точками екстремуму функції, а самі максимуми та мінімуми функції – її екстремумами. Теорема 11 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція Екстремум функції кількох змінних Поняттяекстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій має екстремум у точці то в цій точці кожна приватна похідна і або звертається в нуль, або не існує. Нехай у точці М0(х0, уо) Функція z = f(x) у) має екстремум. Дамо змінної значення уо. Тоді функція z = / (х, у) буде функцією однієї змінної х \ Так як при х = хо вона має екстремум (максимум або мінімум, рис. 20), то її похідна при х = «о, | (*о,л>)" дорівнює нулю, або не існує. Аналогічно переконуємося в тому, що) або дорівнює нулю, або не існує. Точки, в яких = 0 і щ = 0 або не існують, називаються критичними точками функції z = Дх, у) Точки, в яких $ £ = щ = 0, називаються також стаціонарними точками функції.Теорема 11 виражає лише необхідні умови екстремуму, які не є достатніми. Але ця функція а тонка на імват "страмума. Дійсно, функція дорівнює нулю в точці 0(0,0) і приймає в точках М(х,у), як завгодно близьких до точки 0(0,0), позитивні квк, так і від'ємні значення. Для неї так що в точках в точках (0, у) при скільки завгодно малих точку 0(0,0) зазначеного типуназивають точкою міні-максу (рис. 21). Достатні умови екстремуму функції двох змінних виражаються наступною теоремою. Теоремі 12 (достатні умови екстремуму фужцім д§ух змінних). Нехай точка Мо(хо» Уо) є стаціонарною точкою функції f(x, у), і в деякій околиці точки / включаючи саму точку Мо, функція / (г, у) має безперервні похідні приватні до другого порядку включно. Тоді". 1) у точці Mq(xq, Уо) функція /(ж, у) має максимум, якщо в цій точці визначник 2) у точці Мо(я0, Уо) функція /(ж, у) має мінімум, якщо в точці Мо(го, Уо) функція /(ж, у) не має екстремуму, якщо D(xо, уо)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Уо) екстремум функції f(x, у) лягає бути, може і не бути. І тут потрібно подальше дослідження. м Обмежимося доказом тверджень 1) та 2) теореми. Напишемо формулу Тейлора другого порядку для функції/(я, у): де. За умовою звідки видно, що знак збільшення Д/ визначається знаком тричлена в правій частині (1), тобто знаком другого диференціала d2f. Позначимо для стислості. Тоді рівність (l) можна записати так: Нехай у точці MQ(so, Уо) маємо. околиці точки M0 (s0, yo). Якщо виконано умову (у точці Л/0, і через безперервність похідна /,z(s,y) зберігатиме знак у певній околиці точки Af0. В області,де А Ф 0, маємо Звідси видно, що й ЛС - В2 > 0 в деякій околиці точки М0(х0) у0), то знак тричлена ААх2 -I- 2ВАхАу + СДу2 збігається зі знаком А в точці (so, Уо) (а також і зі знаком С, оскільки при АС - В2 > 0 А і Не можуть мати різні знаки). Так як знак суми AAs2 + 2ВАхАу + САу2 у точці (s0 + $ Ах, уо + 0 Ду) визначає знак різниці, то ми приходимо до наступного висновку: якщо для функції /(s,y) у стаціонарній точці (s0, Уо) виконано умова, то досить малих || виконуватиметься нерівність. Тим самим, у точці (sq, Уо) функція / (s, у) має максимум. Якщо ж стаціонарної точці (s0, уо) виконано умова), то всім досить малих |Дг| та |Ду| Правильно нерівність, отже, у точці (so,yo) функція /(s, у) має мінімум. приклади. 1. Дослідити на екстремум функцію 4 Користуючись необхідними умовами екстремуму, розшукуємо стаціонарні точки функції. Для цього знаходимо приватні похідні, що прирівнюємо їх нулю. Отримуємо систему рівнянь, звідки - стаціонарна точка. Скористаємося тепер теоремою 12. Маємо Значить, у точці Мл екстремум є. Оскільки, то це – мінімум. Якщо перетворити функцію г на вигляд то неважко помітити, що права частина(«) буде мінімальною, коли - абсолютний мінімум цієї функції. 2. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції, для чого складаємо систему рівнянь Звідси так що точці – стаціонарна. Так як і через теорему 12 в точці М екстремуму немає. * 3. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції. З системи рівнянь отримуємо, що, так що стаціонарною є точка. Далі маємо так що і теорема 12 не дає відповіді на питання про наявність чи відсутність екстремуму. Вчинимо тому так. Для функції про всі точки, відмінні відточки так що, за визначенням, а точці Л/о(0,0) функція г має абсолютний мінімум. Аналогічними розважаннями встановлюємо, що функція має в точці) максимум, а функція в точці екстремуму не має. Нехай функція п незалежних змінних диференційована в точці Точка Мо називається стаціонарною точкою функції якщо Теорема 13 (досить умовам екстремуму). Нехай функція визначена і має безперервні приватні похідні другого порядку в деякій околиці тонкі Мц(хі..., яка є стаціонарною тонкою функцією, якщо квадратинна форма (другий диференціал функції f у тонкому є позитивно визначеною (негативно визначеною), точкою мінімуму (відповідно) максимуму) функції f є тонкою Якщо ж квадратинна форма (4) є знакозмінною, то в тонкій ЛГ0 екстремуму немає, щоб встановити, чи буде квадратична форма (4) положггельноили негативно визначеної, можна скористатися, наприклад, критерієм Сильвестра позитивної (негативної) визначеності квадратичної форми. 15.2. Умовний екстремум До цих пір ми займалися відшуканням локальних екстремумів функції у всій області її визначення, коли аргументи функції не пов'язані ніякими додатковими умовами. Такі екстремуми називають безумовними. Однак часто зустрічаються завдання знайти так званих умовних екстремумів. Нехай функцію z = /(х, у) визначено в області D. Припустимо, що в цій області задана крива L, і потрібно знайти екстремуми функції f(x> у) тільки серед тих її значень, які відповідають точкам кривої L. Також екстремуми називають умовними екстремумами функції z = f(x) у) на кривій L. Визначення Кажуть, що в точці, що лежить на кривій L, функція /(ж, у) має умовний максимум (мінімум), якщо нерівність відповідно виконується у всіхточках М(s, у) кривої L, що належать деякому околиці точки М0(х0, Уо) і відмінних від точки М0 (Якщо крива L задана рівнянням, то задача про знаходження умовного екстремуму функції г - f(x,y) на кривій! може бути сформульована так: знайти екстремуми функції х = /(я, у) в області D за умови, що Таким чином, при знаходженні умовних екстремумів функції z = у) аргументи гну вже не можна розглядати як незалежні змінні: вони пов'язані між собою співвідношенням у) = 0, яке називають рівнянням зв'язку. Щоб пояснити розрізнивши м«* у безумовним і умовним екстремумом, розглянемо такий приклад, безумовний максимум функції (рис.23) рвеен одиниці і досягається в точці (0,0). Йому відповідає точів М - вершині пврвбо-лоїда, приєднаємо рівняння зв'язку у = j. Тоді умовний максимум буде, очевидно, він досягається а точці (о, |), і йому відверне вершині Afj пврвболи, що є лінією перетину пврвболоїда з площиною у = j . У разі безумовного мвксимумв ми маємо мвксимвальну аплікату серед усіх впліквт поверхні * = 1 - л;2 ~ у1; слумвв умовного - тільки серед влліквт точок пpабололоїдв, відвчввющих точці * прямий у = j не площині хОу. Один з способів пошуку умовного екстремуму функції при наявності і зв'язку полягає в наступному. Нехай рівняння зв'язку у)- Про визначає як однозначну диференційовану функцію аргументу х: Підставляючи в функцію замість функцію, отримуємо функцію одного аргументу в якій умова зв'язку вже враховано. Екстремум (безумовний) функції є умовним екстремумом. приклад. Знайти екстремум функції за умови Екстремум функції кількох змінних Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій А З рівняння зв'язку (2") знаходимо у = 1-х. Підставляючи це значення у (V), отримаємо функцію одного аргументу х: Досліджуємо її на екстремум: звідки х = 1 - критична точка;, так що доставляє умовний мінімум функції г (рис.24).Вкажемо інший спосіб розв'язання задачі про умовний екстремум, званий методом множитимей Лагран-жа. визначає єдину безперервно диференційовану функцію в деякій околиці точки хй. дорівнює нулюдиференціал від f(x, у) у точці Мо" О) З рівняння зв'язку маємо (5) Помножуючи останню рівність на невизначений поки числовий множник А і складаючи почленно з рівністю (4), матимемо (вважаємо, що). Тоді в силу довільності dx отримаємо Рівності (6) і (7) виражають необхідні умови безумовного екстремуму в точці функції, яка називається функцією Лагранжа. числовий коефіцієнт. Звідси отримуємо правило для відшукання умовних екстремумів: щоб знайти точки, які можуть бути точками повсюдного екстремуму функції за наявності зв'язку 1) складаємо функцію Лагранжа, 2) прирівнюючи нулю похідні і Щ цієї функції і приєднуючи до отриманих рівнянь рівнянь зв'язку з якої знаходимо значення А та координати х, у можливих точокекстремуму. Питання про існування та характер умовного екстремуму вирішується на підставі вивчення знака другого диференціалу функції Лагранжа для аналізованої системи значень x0, Уо, А, отриманої з (8) за умови, що Якщо, то в точці (х0, Уо) функція /(х,у ) має умовний максимум; якщо d2F > 0 – то умовний мінімум. Зокрема, якщо в стаціонарній точці (хо, J/o) визначник D для функції F(x, у) позитивний, то в точці (®о, Уо) є умовний максимум функції /(х, у), якщо і умовний мінімум функції /(ж, у), якщо Приклад. Знову звернемося до умов попереднього прикладу: знайти екстремум функції за умови, що х + у = 1. Розв'язуватимемо задачу методом множників Лагранжа. Функція Лагранжа в даному випадкумає вигляд Для відшукання стаціонарних точок складаємо систему З перших двох рівнянь системи отримуємо, що х = у. Потім із третього рівняння системи (рівняння зв'язку) знаходимо, що х – у = j – координати точки можливого екстремуму. При цьому (вказується, що А = -1. Таким чином, функція Лагранжа. є точка умовного мінімуму функції * = х2 + у2 за умови Відсутність безумовного екстремуму для функції Л агранжа. Р(х, у) ще не означає відсутності умовного екстремума для функції /(ж, у) за наявності зв'язку Знайти екстремум функції за умови у 4 Складаємо функцію Лагранжа і виписуємо систему для визначення А та координат можливих точок екстремуму: З перших двох рівнянь отримуємо х + у = 0 і приходимо до системи звідки х = у = А = 0. Таким чином, відповідна функція Лагранжа має вигляд У точці (0,0) функція F(x, у; 0) не має безумовного екстремуму, проте умовний екстремум функції г = ху. коли у = х, є Дійсно, в цьому випадку г = х 2. Звідси видно, що в точці (0,0) є умовний мінімум.» Метод множників Лагранжа переноситься на випадок функцій будь-якого числа аргументів/ Нехай шукається екстремум функції за наявності рівнянь зв'язку А|, Аз,..., А„, - не певні постійні множники. Прирівнюючи нулю всі окремі похідні першого порядку від функції F і приєднуючи до отриманих рівнянь рівняння зв'язку (9), отримаємо систему n + m рівнянь, з яких визначаємо Аь А3|... Ат і координати х\) х2) . »хп можливих точок умовного екстремуму. Питання, чи є знайдені за методом Лагранжа точки справді точками умовного екстремуму найчастіше може бути вирішено виходячи з міркувань фізичного чи геометричного характеру. 15.3. Найбільше і найменше значення безперервних функцій Нехай потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції z = /(х, у), безперервної в деякій обмеженій області D. За теоремою 3 в цій області знайдеться точка (хо, Уо), в якій функція приймає найбільше (найменше) значення. Якщо точка (хо, у0) лежить всередині області D, то в ній функція / має максимум (мінімум), так що в цьому випадку точка, що цікавить нас, міститься серед критичних точок функції / (х, у). Проте свого найбільшого (найменшого) значення функція /(х, у) може досягати і межі області. Тому, щоб знайти найбільше (найменше) значення, що приймається функцією z = /(х, у) в обмеженій замкнутій області 2), потрібно знайти всі максимуми (мінімуми) функції, що досягаються всередині цієї області, а також найбільше (найменше) значення функції на межі цієї галузі. Найбільше (найменше) з усіх цих чисел і буде шуканим найбільшим (найменшим) значенням функції z = /(х,у) в області 27. Покажемо, як це робиться у випадку функції, що диференціюється. Прммр. Знайти найбільше та найменше значення функції області 4 Знаходимо критичні точки функції всередині області D. Для цього складаємо систему рівнянь Звідси отримуємо х = у «0, так що точка 0(0,0) – критична точка функції х. Так як Знайдемо тепер найбільше і найменше значення функції на межі Г області D. На частині кордону маємо так що у = 0 - критична точка, і тому що = то в цій точці функція z = 1 + у2 має мінімум, рівний одиниці. На кінцях відрізка Г», у точках (, маємо. Користуючись міркуваннями симетрії, ті ж результати отримуємо для інших частин кордону. Остаточно отримуємо: найменше значенняфункції z = х2+у2 в області "Б дорівнює нулю і досягається воно в внутрішньої точки 0(0, 0) області, а найбільше значення цієї функції, що дорівнює двом, досягається в чотирьох точках кордону (рис.25) Рис.25 Вправи Знайдіть область визначення функцій: Побудуйте лінії рівня функцій: 9 Знайдіть поверхні рівня функцій трьох незалежних змінних: Обчисліть межі функцій: Знайдіть приватні похідні функцій та їх повні диференціали: Знайдіть похідні складних функцій: 3 Знайдіть J. Екстремум функції кількох змінних Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій 34. Використовуючи формулу похідної складної функціїдвох змінних, знайдіть функцій: 35. Використовуючи формулу похідної складної функції двох змінних, знайдіть |J і функцій: Знайдіть jj функцій, заданих неявно: 40. Знайдіть кутовий коефіцієнтдотичної кривої в точці перетину її з прямою х = 3. 41. Знайдіть точки, в яких дотична крива х паралельна осі Ох. . У наступних задачах знайдіть і Ц: Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі поверхні: 49. Складіть рівняння дотичних площин поверхні х2 + 2у2 + Зг2 = 21, паралельних площиніх + 4у + 6z = 0. Знайдіть три-чотири перші члени розкладання за формулою Тейлора: 50. у околиці точки (0, 0). Використовуючи визначення екстремуму функції, досліджуйте на екстремум такі функції:). Використовуючи достатні умови екстремуму функції двох змінних, досліджуйте на екстремум функції: 84. Знайдіть найбільше та найменше значення функції z = х2 - у2 у замкнутому колі 85. 0, у = 0, х + у = б. 88. Визначте розміри прямокутного відкритого басейну, що має найменшу поверхню, за умови, що його об'єм дорівнює V. 87. Знайдіть розміри прямокутного паралелепіпеда, що має приданої повної поверхні 5 максимальний об'єм. Відповіді 1. та | Квадрат, утворений відрізками прямих x включаючи його сторони. 3. Сімейство концентричних кілець 2 = 0,1,2,....4. Вся площина крім точок прямих у. Частина площини, розташована вуше параболи у = -х? 8. Точки кола х. Вся площина за винятком прямих х Підкорене виразневід'ємно у двох випадках j * ^ або j х ^ ^ що рівносильно нескінченній серії нерівностей відповідна Область визначення - заштриховані квадрати (рис.26); л що рівносильно нескінченної серії Функція визначена в точках. а) Прямі, паралельні прямий х б) концентричні кола з центром на початку координат. 10. а) параболи у) параболи у а) параболи б) гіперболи | .Плоскості xc. 13.Прим-одно-порожнинні гіперболоїди обертання навколо осі Oz; при і - двопорожнинні гіперболоїди обертання навколо осі Oz, обидва сімейства поверхонь розділяє конус; Межі немає, б) 0. 18. Покладемо у = kxt тоді z lim z = -2, отже задана функціяу точці (0,0) межі немає. 19. а) Крапка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Лінія розриву - коло х2 + у2 = 1; б) лінія розриву – пряма у = х. 21. а) Лінії розриву – координатні осі Ох та Оу; б) 0 ( порожня безліч). 22. Усі точки (т, п), де і п -цілі числа