Косокутна фронтальна ізометричної проекції спотворення. Аксонометричні проекції

Косокутна диметрична проекція (фронтальна)

Якщо розташувати координатні осі Хі Yпаралельно площині П¢, то показники спотворення по цих осях стануть рівним одиниці (К = т=1). Показник спотворення по осі Yзазвичай приймають рівним 0,5. Аксонометричні осі X"і Z"складуть прямий кут, вісь Y"зазвичай проводять як бісектрису цього кута. Ось Хможе бути спрямована як праворуч від осі Z", і ліворуч.

Переважно користуватися правою системою, оскільки зручніше зображати предмети у розсіченому вигляді. У цьому виді аксонометрії добре креслити деталі, що мають форму циліндра чи конуса.

Для зручності зображення цієї деталі вісь Yтреба поєднати з віссю обертання поверхонь циліндрів. Тоді всі кола зображатимуться в натуральну величину, а довжина кожної поверхні зменшуватиметься вдвічі (рис.10.21).

Похилі перерізи.

За виконання креслень деталей машин доводиться нерідко застосовувати похилі перерізи.

При вирішенні таких завдань необхідно насамперед усвідомити: як повинна бути розташована площина, що сить, і які поверхні беруть участь у перерізі для того, щоб деталь читалася краще. Розглянемо приклади.

Дано чотиригранну піраміду, яка розсікається похилою фронтально-проєкувальною площиною. А-А(Рис.11.1). Перетином буде чотирикутник.

Спочатку будуємо проекції його на П 1і на П 2. Фронтальна проекція збігається з проекцією площини, а горизонтальну проекцію чотирикутника будуємо за належністю піраміди.

Потім будуємо натуральну величину перерізу. Для цього вводиться додаткова площина проекцій П 4, паралельна заданій січній площині А-А, на неї проектуємо чотирикутник, а потім поєднуємо його з площиною креслення.

Це четверте основне завдання перетворення комплексного креслення (модуль №4, стор.15 або завдання №117 з робочого зошитаз накреслювальної геометрії).

Побудови виконуються у наступній послідовності (рис.11.2):

1. 1.На вільному місці креслення проводимо осьову лінію, паралельну площині А-А.

2. 2.З точок перетину ребер піраміди з площиною проводимо проецірующие промені, перпендикулярно до січої площини. Крапки 1 і 3 лежатимуть на лінії, розташованій перпендикулярно до осьової.

3. 3. Відстань між точками 2 і 4 переноситься із горизонтальної проекції.

4. Аналогічно будується справжня величина перерізу поверхні обертання – еліпс.

Відстань між точками 1 і 5 -Велика вісь еліпса. Малу вісь еліпса треба будувати шляхом розподілу великої осі навпіл ( 3-3 ).

Відстань між точками 2-2, 3-3, 4-4 переносяться з горизонтальної проекції.

Розглянемо більше складний приклад, Що включає багатогранні поверхні та поверхні обертання (рис.11.3)

Задано чотиригранну призму. У ній розташовані два отвори: призматичне, розташоване горизонтально та циліндричний, вісь якого збігається з висотою призми.

Сікуча площина фронтально-проецірующая, тому фронтальна проекція перерізу збігається з проекцією цієї площини.

Чотирикутна призмапроекція до горизонтальній площиніпроекцій, отже, і горизонтальна проекція перерізу теж є на кресленні, вона збігається з горизонтальною проекцією призми.

Натуральна величина перерізу, в який потрапляють обидві призми та циліндр, будуємо на площині, паралельній січній площині А-А(Рис.11.3).

Послідовність виконання похилого перерізу:

1. Проводиться вісь перерізу, що паралельно січе площині, на вільному полі креслення.

2. Будується переріз зовнішньої призми: довжина його переноситься з передньої проекції, а відстань між точками з горизонтальною.

Доатегорія:

Технічні креслення

Фронтальна косокутна диметрична проекція

У передній косоугольной диметричної проекції прийнято таке положення аксонометричних осей: вісь ох спрямована горизонтально; вісь оу - під кутом 45 ° до осі ох і вісь oz - вертикально. По цих осях і слід вести побудову передньої проекції предмета. Допускається застосовувати «ліве» розташування осей.

Лінійні розміри, паралельні осі оу, відкладають у масштабі, удвічі меншому, ніж по осях ох та oz. Характерним цього виду аксонометрических проекцій і те, що фігури, паралельні фронтальної площини проекцій V, зображуються без спотворень. Тому такі аксонометричні проекції називаються фронтальними. Побудова фронтальної проекції завжди починають із нанесення осей, які проводять тонкими суцільними лініями. Послідовність побудови передніх проекцій деяких фігур показана на рис. 2.

Мал. 1. Положення аксонометричних осей: а – «праве»; б – «ліве».

Якщо розташувати вісь обертання циліндра паралельно осі oz чи ох, його підстави проектуються як еліпсів.

Фронтальна диметрична проекція куба з вписаними в його межі колами зображена на рис. 34. Коло, розташоване на передній грані куба, зображується без спотворень, а кола, розташовані на верхній та бічній гранях, зображуються у вигляді еліпсів. однакової формита розмірів.

Для побудови еліпса на гранях знаходять вісім точок, які плавно з'єднують по лекалу. Чотири точки визначаються відразу - це середини сторін паралелограмів, що зображують грані куба. Чотири інші точки визначаються на діагоналях паралелограм шляхом перенесення їх з діагоналей квадрата.

Для побудови еліпса на верхньої граніспочатку на передній грані куба відзначають точки 1 і 2 перетину діагоналей квадрата з колом. Потім із цих точок проводять прямі паралельно осі oz до верхнього ребра куба (верхньої сторони квадрата). З отриманих на ребрі точок проводять прямі паралельно осі оу до перетину їх з діагоналями паралелограма. І це будуть точки еліпса.

Мал. 2. Послідовність побудови фронтальної косокутної диметричної проекції: а – куба; б – циліндра; 8 – шестигранної призми.

Мал. 3. Фронтальна днметрична проекція куба з вписаними в його межі колами.

Аналогічно знаходять діагональні точки при побудові еліпса на бічній межі куба. Поєднавши знайдені точки плавною кривою по лекалу, отримаємо еліпси.

Кут нахилу великої осі еліпс дорівнює приблизно 7° по відношенню до осі ох, якщо еліпс зображує коло на верхній грані куба, і по відношенню до осі oz, якщо еліпс зображує коло на бічній грані куба. Малу вісь еліпса мають у своєму розпорядженні перпендикулярно великий.

Насправді при побудові фронтальних проекцій деталей циліндричної форми зазвичай викреслюють не еліпси, а овали. Форма овалу близька до форми еліпса, але викреслити його простіше, оскільки побудова виконують циркулем за правилами сполучення.

Мал. 4. Побудова овалу на верхній грані куба.

Мал. 5. Прямокутні проекції моделі.

Овал на верхній грані куба будують наступним чином: - Проводять аксонометричні осі ох, оу і oz; потім з центру О - коло діаметром, рівним діаметрукола, зображеного на рис. 34; - Проводять велику вісь овалу під кутом 7° до осі ох і перпендикулярно до неї малу вісь. Продовження малої осі перетинає коло в точках O1 та 02; - з точок Oi і, 02, як з центрів, проводять допоміжні дуги радіусом 001 рівним 002, до перетину з продовженням малої осі в точках 03 і 04, що є центрами великих дуг овалу; - проводять прямі 04Л і 03В, які перетнуть велику вісь овалу в точках 06 і Ов, що є центрами малих дуг овалу; - З центрів 03 і 04 проводять великі дуги овалів радіусом 04А, рівним 03В; - З центрів 08 і 06 проводять малі дуги, що замикають овал, радіусом ОьА, рівним ОйВ.

Побудова овалу - наближеного зображення кола - у профільній площині аналогічна.

Розглянемо побудову фронтальної диметричної проекції моделі за кресленням, наведеним на рис. 5. Спочатку проводять осі проекцій ох, оу та oz. Найбільш характерним виглядоммоделі є вид спереду, тому побудова фронтальної проекції починають з креслення у площині осей ох-oz такого самого зображення, яким є вид спереду. У цій площині тонкими, ледь помітними лініями намічають прямокутник, відповідний найбільшій висотіта ширині моделі. Для цього по осі ох від точки ліворуч відкладають 60 мм (ширина моделі), а по осі oz вгору - 40 мм (висота моделі). З отриманих відміток проводять прямі, відповідно паралельні осямпроекції ох та oz. Посередині габаритного прямокутника проводять вертикальну осьову лінію.

По відношенню до цієї осьової лінії в габаритному прямокутнику викреслюють контур моделі, що відповідає обрису її зображення у вигляді спереду. З кутових точоквикресленого контуру проводять паралельні прямі під кутом 45° стосовно осі ох, відповідні напрямку осі оу у фронтальній проекції.

На похилих прямих відкладають розмір товщини моделі, зменшеної вдвічі, тобто 50: 2 = 25 мм. Отримані на похилих прямих позначки послідовно з'єднують прямими лініями, в результаті чого отримують зображення моделі у фронтальній проекції. Усе вказані побудовивиконують тонкими, ледь помітними лініями. Після закінчення побудови обводять отримане зображення контурними лініямиі видаляють лінії побудови та лінії невидимого контуру.

Мал. 6. Послідовність побудови фронтальної диметричної проекції моделі.

Мал. 7. Послідовність побудови фронтальної диметричної проекції кронштейна.

Для тривимірних об'єктів та панорам.

Обмеження аксонометричної проекції

Ізометрична проекція в комп'ютерних іграх та піксельній графіці

Малюнок телевізора в майже ізометричній піксельній графіці. У піксельного візерунка видно пропорцію 2:1

Примітки

1. За ГОСТ 2.317-69 - Єдина система конструкторської документації. Аксонометричні проекції.
2. Тут горизонтальною називається площина, перпендикулярна до осі Z (яка є прообразом осі Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR): журнал. - ACM, грудень 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.). GameSpot (29 лютого 2000). (недоступне посилання - історія) Перевірено 29 вересня 2008 року.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.). IGN (9 вересня 2003). Архівовано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.). IGN (25 березня 2004 року). Архівовано з першоджерела 19 лютого 2012 року. Перевірено 29 вересня 2008 року.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.

Для того, щоб отримати аксонометричну проекцію предмета (рис. 106), необхідно подумки: помістити предмет у систему координат; вибрати аксонометричну площину проекцій та розташувати предмет перед нею; вибрати напрямок паралельних проектуючих променів, який не повинен збігатися з жодною з аксонометричних осей; направити проецірующие промені через усі точки предмета і координатні осі до перетину з аксонометрической площиною проекцій, отримавши цим зображення проектованого предмета і координатних осей.

На аксонометричній площині проекцій одержують зображення - аксонометричну проекцію предмета, а також проекції осей систем координат, які називають аксонометричними осями.

Аксонометричною проекцією називається зображення, отримане на аксонометричній площині в результаті паралельного проектування предмета разом із системою координат, яке наочно відображає його форму.

Система координат складається з трьох площин, що взаємно перетинаються, які мають фіксовану точку - початок координат (точку О) і три осі (X, У, Z), що виходять з неї і розташовані під прямим кутом один до одного. Система координат дозволяє проводити вимірювання по осях, визначаючи положення предметів у просторі.

Мал. 106. Отримання аксонометричної (прямокутної ізометричної) проекції

Можна отримати безліч аксонометричних проекцій, по різномумаючи предмет перед площиною і вибираючи при цьому різний напрямокпроектуючих променів (рис. 107).

Найбільш вживаною є так звана прямокутна ізометрична проекція(надалі використовуватимемо її скорочену назву - ізометрична проекція). Ізометричною проекцією (див. рис. 107 а) називається така проекція, у якої коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях рівні, а кути між аксонометричними осями становлять 120°. Ізометрична проекція виходить за допомогою паралельного проектування.

Мал. 107. Аксонометричні проекції, встановлені ГОСТ 2.317-69:
а – прямокутна ізометрична проекція; б – прямокутна диметрична проекція;
в – косокутна фронтальна ізометрична проекція;
г - косокутна фронтальна диметрична проекція

Мал. 107. Продовження: д - косокутна горизонтальна ізометрична проекція

При цьому проецірующие промені перпендикулярні аксонометричній площині проекцій, а координатні осі однаково нахилені до аксонометричної площини проекцій (див. рис. 106). Якщо порівняти лінійні розміри предмета та відповідні їм розміри аксонометричного зображення, можна побачити, що у зображенні ці розміри менше, ніж дійсні. Величини, що показують відношення розмірів проекцій відрізків прямих до дійсних розмірів, називають коефіцієнтами спотворення. Коефіцієнти спотворення (К) по осях ізометричної проекції однакові і дорівнюють 0,82, проте для зручності побудови використовують так звані практичні коефіцієнти спотворення, які дорівнюють одиниці (рис. 108).

Мал. 108. Положення осей та коефіцієнти спотворення ізометричної проекції

Існують ізометричні, диметричні та триметричні проекції. До ізометричних проекцій відносяться такі проекції, які мають однакові коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях. Диметричними проекціями називають такі проекції, у яких два коефіцієнти спотворення по осях однакові, а величина третього відрізняється від них. До триметричних проекцій належать проекції, які мають всі коефіцієнти спотворення різні.

У багатьох випадках при виконанні технічних креслень виявляється корисним поряд зображенням предметів у системі ортогональних проекціймати більше наочні зображення. Для побудови таких зображень застосовуються проекції, які називаються аксонометричними .

Спосіб аксонометричного проектування полягає в тому, що даний предметразом з осями прямокутних координат, до яких ця система належить у просторі, паралельно проектується на деяку площину (Малюнок 4.1).

Малюнок 4.1

Напрямок проектування S визначає положення аксонометричних осей на площині проекцій α , і навіть коефіцієнти спотворення з них. При цьому необхідно забезпечити наочність зображення та можливість проводити визначення положень та розмірів предмета.

Як приклад на Рисунку 4.2 показано побудову аксонометричної проекції точки А за її ортогональними проекціями.

Малюнок 4.2

Тут літерами k, m, n позначені коефіцієнти спотворення по осях OX, OYі OZвідповідно. Якщо всі три коефіцієнти рівні між собою, то аксонометрична проекція називається ізометричної , якщо рівні між собою лише два коефіцієнти, то проекція називається диметричної , якщо ж k≠m≠n , то проекція називається триметричної .

Якщо напрям проектування S перпендикулярно до площини проекцій α , то аксонометрична проекція має назви прямокутної . В іншому випадку, аксонометрична проекція називається косокутної .

ГОСТ 2.317-2011 встановлює такі прямокутні та косокутні аксонометричні проекції:

• прямокутні ізометричні та диметричні;
• косокутні фронтально ізометричні, горизонтально ізометричні та фронтально диметричні;

Нижче наводяться параметри лише трьох аксонометричних проекцій, що найчастіше застосовуються на практиці.

Кожна така проекція визначається положенням осей, коефіцієнтами спотворення по них, розмірами та напрямками осей еліпсів, розташованих у площинах, паралельних координатним площинам. Для спрощення геометричних побудовкоефіцієнти спотворення по осях, як правило, округляються.

4.1. Прямокутні проекції

4.1.1. Ізометрична проекція

Напрямок аксонометричних осей наведено на малюнку 4.3.

Рисунок 4.3 – Аксонометричні осі у прямокутній ізометричній проекції

Дійсні коефіцієнти спотворення по осях OX, OYі OZрівні 0,82 . Але з такими значеннями коефіцієнтів спотворення працювати не зручно, тому на практиці використовуються наведені коефіцієнти спотворень. Ця проекція зазвичай виконується без спотворення, тому наведені коефіцієнти спотворень приймається k = m = n = 1 . Кола, що лежать у площинах, паралельних площинпроекцій, що проектуються в еліпси, велика вісь яких дорівнює 1,22 , а мала – 0,71 діаметра утворюючого кола D.

Великі осі еліпсів 1, 2 та 3 розташовані під кутом 90º до осей OY, OZі OXвідповідно.

Приклад виконання ізометричної проекції умовної деталі з вирізом наведено на малюнку 4.4.

Рисунок 4.4 – Зображення деталі у прямокутній ізометричній проекції

4.1.2. Диметрична проекція

Положення аксонометричних осей проводиться на малюнку 4.5.

Для побудови кута приблизно рівного 7º10´, будується прямокутний трикутник, катети якого становлять одну та вісім одиниць довжини; для побудови кута, приблизно рівного 41º25´- Катети трикутника, відповідно, рівні семи і восьми одиницям довжини.

Коефіцієнти спотворення по осях ОХ та OZ k=n=0,94а по осі OY - m=0,47. При заокругленні цих параметрів приймається k=n=1і m=0,5. У цьому випадку розміри осей еліпсів будуть: велика вісь еліпса 1 дорівнює 0,95Dта еліпсів 2 та 3 – 0,35D(D – діаметр кола). На Малюнку 4.5 великі осі еліпсів 1, 2 та 3 розташовані під кутом 90ºдо осей OY, OZ та OX, відповідно.

Приклад прямокутної диметричної проекції умовної деталі з вирізом наведено на малюнку 4.6.

Рисунок 4.5 – Аксонометричні осі у прямокутній диметричній проекції

Рисунок 4.6 – Зображення деталі у прямокутній диметричній проекції

4.2 Косокутні проекції

4.2.1 Фронтальна диметрична проекція

Положення аксонометричних осей наведено на малюнку 4.7. Допускається застосовувати фронтальні диметричні проекції з кутом нахилу до осі OY, що дорівнює 300 і 600.

Коефіцієнт спотворення по осі OY дорівнює m=0,5а по осях OX і OZ - k=n=1.

Рисунок 4.7 – Аксонометричні осі у косокутній фронтальній диметричній проекції

Кола, що лежать у площинах, паралельних передній площині проекцій, проектуються на площину XOZ без спотворення. Великі осі еліпсів 2 та 3 рівні 1,07D, а мала вісь – 0,33D(D - Діаметр кола). Велика вісь еліпса 2 складає з віссю ОХ кут 7º 14´а велика вісь еліпса 3 складає такий же кут з віссю OZ.

Приклад аксонометричної проекції умовної деталі з вирізом наведено на малюнку 4.8.

Як видно з малюнка, ця деталь розташовується таким чином, щоб її кола проектувалися на площину XОZ без спотворення.

Рисунок 4.8 – Зображення деталі у косокутній фронтальній диметричній проекції

4.3 Побудова еліпса

4.3.1 Побудови еліпса двома осями

На цих осях еліпса АВ і СD будуються як на діаметрах два концентричні кола (Малюнок 4.9, а).

Одна з цих кіл ділиться на кілька рівних (або нерівних) частин.

Через точки поділу та центр еліпса проводяться радіуси, які ділять також друге коло. Потім через точки поділу великого кола проводяться прямі, паралельні лініїАВ.

Точки перетину відповідних прямих і будуть точками, що належать еліпсу. На Малюнку 4.9, а показана лише одна потрібна точка 1.

а Б В

Малюнок 4.9 – Побудова еліпса двома осями (а), хордами (б)

4.3.2 Побудова еліпса з хордів

Діаметр кола АВ ділиться на кілька рівних частин, малюнку 4.9,б їх 4. Через точки 1-3 проводяться хорди паралельно діаметру CD. У будь-якій аксонометрической проекції (наприклад, в косоугольной диметричної) зображуються ці діаметри з урахуванням коефіцієнта спотворення. Так на малюнку 4.9,б А 1 В 1 = АВі З 1 D 1 = 0,5CD. Діаметр А 1 В 1 ділиться на те ж число рівних частин, що і діаметр АВ через отримані точки 1-3 проводяться відрізки, рівні відповідним хордам, помноженим на коефіцієнт спотворення (у нашому випадку - 0,5).

4.4 Штрихування перерізів

Лінії штрихування перерізів (розрізів) в аксонометричних проекціях наносяться паралельно до однієї з діагоналей квадратів, що лежать у відповідних координатних площинах, сторони яких паралельні аксонометричним осям(Малюнок 4.10: а – штрихування в прямокутної ізометрії; б – штрихування у косокутній фронтальній диметрії).

а б
Рисунок 4.10 – Приклади штрихування в аксонометричних проекціях