Аксонометричної фронтальної ізометричної проекції. Ізометрична проекція

Для наочного зображенняпредметів (виробів або їх складових частин) рекомендується застосовувати аксонометричні проекції, вибираючи в кожному окремому випадку найбільш підходящу з них.

Сутність методу аксонометричного проектування полягає в тому, що заданий предмет разом з координатною системою, До якої він віднесений у просторі, паралельним пучком променів проектується на деяку площину. Напрямок проектування на аксонометрічну площину не збігається з жодною з координатних осей і не паралельно жодній з координатних площин.

Усі види аксонометричних проекцій характеризуються двома параметрами: напрямом аксонометричних осей та коефіцієнтами спотворення по цих осях. Під коефіцієнтом спотворення розуміється відношення величини зображення в аксонометричної проекціїдо величини зображення в ортогональній проекції.

Залежно від співвідношення коефіцієнтів спотворення аксонометричні проекції поділяються на:

Ізометричні, коли всі три коефіцієнти спотворення однакові (k x = k y = z);

Диметричні, коли коефіцієнти спотворення однакові за двома осями, а третій не дорівнює їм (k x = k z ≠ k y);

Триметричні, коли всі три коефіцієнти спотворення не рівні між собою (k x ≠ k y ≠ k z).

Залежно від напрямку проектуючих променів аксонометричні проекції поділяються на прямокутні та косокутні. Якщо проецірующие промені перпендикулярні аксонометрической площині проекцій, така проекція називається прямокутною. До прямокутних аксонометричних проекцій відносяться ізометрична та диметрична. Якщо проецірующие промені спрямовані під кутом до аксонометричної площини проекцій, така проекція називається косокутною. До косокутних аксонометричних проекцій відносяться фронтальна ізометрична, горизонтальна ізометрична та фронтальна диметрична проекції.

У прямокутній ізометрії кути між осями дорівнюють 120°. Справжній коефіцієнт спотворення по аксонометрическим осям дорівнює 0,82, але практично для зручності побудови показник приймають рівним 1. Внаслідок цього аксонометрическое зображення виходить збільшеним у рази.

Ізометричні осі зображені малюнку 57.

Малюнок 57

Побудова ізометричних осейможна виконати за допомогою циркуля (рис. 58). Для цього спочатку проводять горизонтальну лінію і перпендикулярно до неї проводять вісь Z. З точки перетину осі Z з горизонтальною лінією (точка О) проводять допоміжне коло довільним радіусом, яка перетинає вісь Z в точці А. З точки А цим же радіусом проводять друге коло до перетину з першої в точках В і С. Отриману точку з'єднують з точкою Про - отримують напрямок осі Х. Таким же чином з'єднують точку З з точкою Про - отримують напрямок осі Y.

Малюнок 58

Побудова ізометричної проекції шестикутника представлена ​​малюнку 59. Для цього необхідно відкласти по осі X радіус описаного кола шестикутника в обидві сторони щодо початку координат. Потім, по осі Y відкласти величину розміру під ключ, отриманих точок провести лінії паралельно осі X і відкласти по них величину сторони шестикутника.

Малюнок 59

Побудова кола у прямокутній ізометричній проекції

Найбільш складною плоскою фігурою для креслення в аксонометрії є коло. Як відомо, коло в ізометрії проектується в еліпс, але побудова еліпса досить складно, тому ГОСТ 2.317-69 рекомендує замість еліпсів застосовувати овали. Існує кілька способів побудови ізометричних овалів. Розглянемо один із найпоширеніших.

Розмір великої осі еліпса 1,22d, малої 0,7d, де d - діаметр того кола, ізометрія якого будується. На малюнку 60 показано графічний спосібвизначення великої та малої осей ізометричного еліпса. Для визначення малої осі еліпса з'єднують точки З і D. З точок З і D, як із центрів, проводять дуги радіусів, рівних CD, до взаємного їх перетину. Відрізок АВ – велика вісь еліпса.

Малюнок 60

Встановивши напрямок великої та малої осей овалу в залежності від того, який координатної площининалежить коло, за розмірами великої і малої осі проводять два концентричні кола, у перетині яких з осями намічають точки О 1 , О 2 , О 3 , О 4 є центрами дуг овалу (рисунок 61).

Для визначення точок сполучення проводять лінії центрів, з'єднуючи О 1 , О 2 О 3 О 4 . з отриманих центрів О 1 , 2 , 3 , 4 проводять дуги радіусами R і R 1 . Розміри радіусів видно на кресленні.

Малюнок 61

Напрямок осей еліпса або овалу залежить від положення колу, що проектується. Існує наступне правило: велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до тієї аксонометричної осі, яка на цю площинупроектується в точку, а мала вісь збігається з напрямом цієї осі (рис. 62).

Малюнок 62

Штрихування та ізометричної проекції

Лінії штрихування перерізів в ізометричній проекції, згідно з ГОСТ 2.317-69, повинні мати напрямок, паралельний або лише великим діагоналям квадрата, або лише малим.

Прямокутною диметрією називається аксонометрична проекція з рівними показникамиспотворення по двох осях X і Z, а по осі Y показник спотворення вдвічі менший.

За ГОСТ 2.317-69 застосовують у прямокутній диметрії вісь Z, розташовану вертикально, вісь Х похилу під кутом 7°, а вісь Y-під кутом 41° до лінії горизонту. Показники спотворення осях X і Z рівні 0,94, а по осі Y-0,47. Зазвичай застосовують наведені коефіцієнти k x = z = 1, k y = 0,5, тобто. по осях X і Z або за напрямами їм паралельним, відкладають дійсні розміри, а осі Y розміри зменшують в два рази.

Для побудови осей диметрії користуються способом, вказаним на малюнку 63, який полягає у наступному:

На горизонтальній прямій, що проходить через точку, відкладають в обидві сторони вісім рівних довільних відрізків. З кінцевих точокцих відрізків вниз по вертикалі відкладають ліворуч один такий самий відрізок, а справа - сім. Отримані точки з'єднують з точкою О і отримують напрямок аксонометричних осей X і Y прямокутної диметрії.

Малюнок 63

Побудова диметричної проекції шестикутника

Розглянемо будову в диметрії правильного шестикутникарозташованого в площині П 1 (рисунок 64).

Малюнок 64

На осі Х відкладаємо відрізок, що дорівнює величині b, щоб його середина знаходилася в точці О, а по осі Y - відрізок а, розмір якого зменшено вдвічі. Через отримані точки 1 і 2 проводимо прямі паралельно осі ОХ, на яких відкладаємо відрізки рівні сторонішестикутника в натуральну величину із серединою в точках 1 і 2. Отримані вершини з'єднуємо. На малюнку 65а зображено в диметрії шестикутник, розташований паралельно до фронтальної площини, а на малюнку 66б - паралельно профільній площині проекції.

Малюнок 65

Побудова кола у диметрії

У прямокутній диметрії всі кола зображуються еліпсами,

Довжина великої осі всім еліпсів однакова і дорівнює 1,06d. Величина малої осі різна: для фронтальної площини дорівнює 0,95 d, для горизонтальної та профільної площин - 0,35 d.

Насправді еліпс замінюється четырехцентровым овалом. Розглянемо побудову овалу, що замінює проекцію кола, що лежить у горизонтальній та профільній площинах (рисунок 66).

Через точку О - початок аксонометричних осей, проводимо дві взаємно перпендикулярні прямі і відкладаємо на горизонтальній лінії величину великої осі АВ=1,06d, а на вертикальної лініївеличину малої осі CD=0,35d. Вгору і вниз від О по вертикалі відкладаємо відрізки 1 і 2, рівні за величиною 1,06d. Точки О 1 і 2 є центром великих дуг овалу. Для визначення ще двох центрів (О 3 і О 4) відкладаємо на горизонтальній прямій від точок А і В відрізки АТ 3 і 4 , рівні ¼ величини малої осі еліпса, тобто d.

Малюнок 66

Потім, з точок О1 та О2 проводимо дуги, радіус яких дорівнює відстанідо точок С та D, а з точок О3 та О4 - радіусом до точок А та В (рисунок 67).

Малюнок 67

Побудова овалу, що замінює еліпс, від кола, розташованого в площині П 2 , розглянемо малюнку 68. Проводимо осі диметрії: Х, Y, Z. Мала вісь еліпса збігається з напрямом осі Y, а велика перпендикулярна до неї. На осях Х і Z від початку відкладаємо величину радіуса кола і отримуємо точки M, N, K, L, що є точками сполучення дуг овалу. З точок M і N проводимо горизонтальні прямі, які в перетині з віссю Y і перпендикуляром до неї дають точки О1, О2, О3, О4 - центри дуг овалу (рисунок 68).

З центрів О 3 і 4 описують дугу радіусом R 2 =О 3 М, а з центрів О 1 і О 2 - дуги радіусом R 1 = О 2 N

Малюнок 68

Штрихування а прямокутної диметрії

Лінії штрихування розрізів і перерізів в аксонометричних проекціях виконуються паралельно до однієї з діагоналей квадрата, сторони якого розташовані у відповідних площинах паралельно до аксонометричних осей (рисунок 69).

Малюнок 69

1. Які види аксонометричних проекцій ви знаєте?
2. Під яким кутом розташовані осі в ізометрії?
3. Яку фігуру є ізометрична проекція кола?
4. Як розташована велика вісь еліпса для кола, що належить профільній площині проекцій?
5. Які прийняті коефіцієнти спотворення осях X, Y, Z для побудови диметричної проекції?
6. Під якими кутами розташовані осі у диметрії?
7. Якою фігурою буде диметрична проекція квадрата?
8. Як побудувати диметричну проекцію кола, розташованого у передній проскості проекцій?
9. Основні правила нанесення штрихування в аксонометричних проекціях.

Для тривимірних об'єктів та панорам.

Обмеження аксонометричної проекції

Ізометрична проекція в комп'ютерних іграх та піксельній графіці

Малюнок телевізора в майже ізометричній піксельній графіці. У піксельного візерунка видно пропорцію 2:1

Примітки

1. По ГОСТ 2.317-69 – Єдина система конструкторської документації. Аксонометричні проекції.
2. Тут горизонтальною називається площина, перпендикулярна до осі Z (яка є прообразом осі Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR): журнал. - ACM, грудень 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.). GameSpot (29 лютого 2000). (недоступне посилання - історія) Перевірено 29 вересня 2008 року.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.). IGN (9 вересня 2003). Архівовано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.). IGN (25 березня 2004 року). Архівовано з першоджерела 19 лютого 2012 року. Перевірено 29 вересня 2008 року.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.

ГОСТ 2.317-69* (СТ РЕВ 1979-79) встановлює прямокутні та косокутні аксонометричні проекції. Прямокутніпроекції поділяються на ізометричні та диметричні, косокутні- на фронтальні ізометричні, горизонтальні ізометричні та фронтальні диметричні.

Прямокутні проекції

Прямокутна ізометрична проекція. Положення аксонометричних осей наведено малюнку зліва вгорі. Коефіцієнт спотворення по осях х, у, z дорівнює 0,82; як правило, його округляють до 1. Кола, що лежать у площинах, паралельних площин проекцій, проектуються на ці площині в еліпси (дивися на той же малюнок трохи нижче). Великі осі еліпсів 1, 2, 3 перпендикулярні відповідно до осей у, z, x. Якщо коефіцієнт спотворення осях прийнятий рівним 1, то великі осі еліпсів рівні 1,22, а малі 0,71 діаметра кола.

Прямокутна диметрична проекція. Положення аксонометричних осей наведено малюнку справа. Коефіцієнт спотворення по осі у дорівнює 0,47, по осях х та z - 0,94; як правило, коефіцієнт спотворення по осі у округляють до 0,5, по осях x і z - до 1. Кола, що лежать у площинах, паралельних площин проекцій, проектуються на ці площини в еліпси, великі осі яких перпендикулярні відповідно до осей у, z х. Якщо коефіцієнт спотворення по осях х і у прийнятий рівним 1, то великі осі еліпсів дорівнюють 1,06 діаметра кола, мала вісь еліпса 1 дорівнює 0,95, а еліпсів 2 і 3 - 0,35 діаметра кола.

Косокутні проекції

Косокутна фронтальна ізометрична проекція. Положення аксонометричних осей наведено на малюнку нижче. Кут нахилу осі у горизонтальної лінії дорівнює 45°, допускається кут 30° або 60°. Коефіцієнт спотворення по осях х, у, 2 дорівнює 1.

Косокутна горизонтальна ізометрична проекція.Положення аксонометричних осей наведено малюнку (б). Кут нахилу осі у горизонтальної лінії дорівнює 30°, Допускається кут 45° і 60°. Коефіцієнт спотворення осях х, У, z дорівнює 1.

. Положення аксонометричних осей наведено на малюнку вище (в). Кут нахилу осі у до горизонтальної лінії дорівнює 45 °, допускається кут 30 ° і 60 °. Коефіцієнт спотворення по осі у дорівнює 0,5, по осях х і z - 1. Кола, що лежать у площинах, паралельних фронтальній площині проекції, проектуються в колі; у площинах, паралельних горизонтальній та профільній площинам проекцій, – у еліпси (рис. 5.31). Велика вісь еліпса 2 становить віссю х кут 7 ° 14 ", велика вісь еліпса 3 з віссю z - кут 7 ° 14". Великі осі еліпсів 2 і 3 дорівнюють 1,07, малі осі - 0,33 діаметра кола.

Штрихування та нанесення розмірів

Лінії штрихування перерізів в аксонометричних проекціях наносять паралельно одній з діагоналей квадратів, що лежать у відповідних координатних площинах, сторони яких паралельні до аксонометричних осей (рисунок нижче). Ребра жорсткості, спиці маховиків і подібні елементи, що потрапляють у площину, що січе, штрихуються.

Приклади зображення деталей в аксонометричних проекціях

Лінії штрихування в аксонометричних проекціях: а - у прямокутній ізометричній; 6 - у прямокутній диметричній; в - у косокутній фронтальній диметричній

Зображення деталі у прямокутній ізометричній проекції

Зображення деталі у прямокутній диметричній проекції

Зображення деталі у косокутній фронтальній диметричній проекції

Нанесення розмірів в аксонометричних проекціях

При нанесенні розмірів виносні лінії проводять паралельно осям координат, розмірні лінії - відрізку, що паралельно вимірюється (рисунок вище).

Косокутні аксонометричні проекції характеризуються двома основними ознаками: площина аксонометричних проекцій знаходиться паралельно одній з граней предмета, яка зображується без спотворення; напрям проектування вибирається косокутне (складає з площиною проекцій гострий кут), що дозволяє спроектувати і дві інші грані чи боку предмета, але з спотворенням.

Назва фронтальна чи горизонтальна визначає положення площини аксонометричних проекцій щодо основних сторін чи граней предмета.

Аксонометричні зображення предметів при косокутному проектуванні виявляються менш наочними, ніж прямокутному проектуванні. Зображені предмети сприймаються лише деформованими, зі скошеністю в напрямку, перпендикулярному площині проекцій. Однак зображення в косокутній аксонометрії мають важливою перевагою, яке досить часто використовують у технічному кресленні: плоскі елементи предмета, паралельні площиниаксонометричних проекцій, проектуються без спотворення. У кресленні косокутні аксонометричні проекції використовують у випадках, коли потрібно зобразити без викривлення частини предмета складної криволінійної форми.

Передня диметрична проекція. Аксонометричні осіфронтальній диметрії розташовуються наступним чином (Рис. 59а): вісь ОZ - вертикальна, вісь ОХ - горизонтальна, вісь OY ділить кут ZOX навпіл і спрямована вправо вниз. Ось OY можна побудувати, відклавши від горизонталі кут 45 °. По осях ОХ і OZ, розміри зображення проектуються справжню величину, а осі OY скорочуються вдвічі.

Фронтальна диметрична проекція куба з колами, вписаними у три видимі грані, показано на рис.596. У передній грані паралельної координатної площини XOZ коло зображується без спотворень, у двох інших гранях - однаковими еліпсами, великі осі яких дорівнюють 1,07D, а малі - 0.33D, де D - діаметр кола, вписаного в грані куба. Напрями великих осей еліпсів відхиляються від більшої діагоналі аксонометрії описаного квадрата (паралелограма) на 7°.

Фронтальну диметрію доцільно застосовувати в тих випадках, коли потрібно зберегти неспотвореними фігури, розташовані у фронтальних площинах, що спрощує побудову. аксонометричного зображення.

Фронтальна ізометрична проекція. У передній ізометрії положення осей (рис. 60а) аналогічно положенню осей у передній ди-метрії. По всіх осях розміри відкладають без скорочень, справжню величину. На рис. 606 побудовано фронтальну ізометрію куба. Спотворення загальної формизображеного предмета та неприродна витягнутість куба вздовж осі OY у цій проекції більше, ніж у фронтальній диметрії. Еліпси рекомендується будувати по восьми точках. Напрямок осей еліпсів збігається з діагоналями граней куба.

Розташування осей у фронтальній ізометрії, як і інших аксонометрических проекціях, дає вигляд предмета зверху.

Горизонтальна ізометрична проекція. Аксонометричні осі горизонтальної ізометрії мають у своєму розпорядженні наступним чином (рис. 61а): вісь 0Z - вертикальна, кут між осями ОХ і OY дорівнює 90°, вісь OY становить з горизонталлю кут 30°. ГОСТ 2.317-69* допускає застосовувати інші кути між горизонталлю і віссю OY - 45 і 60°, при цьому кут 90° між осями ОХ і OY зберігається. По всіх осях розміри відкладають без спотворень, справжню величину. Спотворення форми і витягнутість куба спрямовані вздовж осі OZ. (Мал. 616).

Розміри осей еліпса, розташованого в грані паралельної координатної площини Y0Z, дорівнюють осям еліпсів прямокутної ізометрії. Натомість еліпса можна побудувати овал. Другий еліпс будують по восьми точках. Осі еліпса збігаються із напрямком діагоналей граней куба.

У горизонтальній ізометрії плоскі фігури, розташовані на плані та в горизонтальних площинах, не спотворюються. Цю властивість проекції використовують при зображенні в аксонометрії будівельних об'єктів, коли треба зберегти неспотвореними конфігурацію та розмірні співвідношення плану.

8.2. Ортогональні проекції.

Прямокутне проеціювання на дві та три площини проекцій.

Аксонометричні і перспективні зображення мають гарну наочність, але з них важко визначити справжні розміри зображених предметів, і навіть відтворити в натурі. Тому в основу отримання зображень на кресленнях покладено метод прямокутного (ортогонального) проектування на дві або три взаємно перпендикулярні площиніпроекцій. (Рис.62). Прямокутні проекції (креслення) предмета мають таку перевагу: за наявності масштабу і розмірів за кресленнями можна відтворити зображені предмети точно відповідно до проектним задумом.

Дві проекції визначають положення, форму та розміри зображеного на кресленні предмета; третя проекція визначається перетином відповідних ліній зв'язку.

Креслення предмета повинен давати повне уявлення про форму зображуваного предмета, його пристрій, розміри, матеріал, з якого виготовлений предмет, а також містити відомості про способи його виготовлення. Водночас креслення предмета має бути лаконічним і містити мінімальна кількістьзображень та тексту, достатніх для вільного читання креслення, виготовлення по ньому деталі та її контролю.

Для кращого розумінняі читання креслення повинні складатися за загальним правилам. Усі вимоги до оформлення креслень, а також умовні позначення, що містяться на кресленнях, повинні бути однакові. Тому при складанні креслень необхідно керуватися основними положеннями та правилами ГОСТів. Єдиної системиконструкторської документації». Усі зображення на кресленнях залежно від змісту поділяються на види, розрізи, перерізи.

Зображення предметів на кресленнях утворюються за допомогою прямокутного проектування предмета на площині проекцій. При цьому передбачається, що предмет розташований між спостерігачем і відповідною площиною проекцій.

Предмет повинен розташовуватися щодо фронтальної площини проекцій так, щоб зображення на ній найбільш повно відображало форму та розміри предмета при найкраще використанняполя креслення.

За основні поверхні проекцій приймають шість граней куба. Предмет подумки поміщають усередині цього куба (задню його грань приймають за фронтальну площину проекцій) і будують проекції предмета кожної грані. Якщо після цього розгорнути грані куба до суміщення з фронтальною площиною, отримаємо зображення предмета на шести площинах проекцій.

На кожній площині проекцій виходить зображення зверненої до спостерігача видимої частини предмета; таке зображення називається видом. Залежно від напрямку проектування встановлені наступні назви видів, що одержуються на основних площинах проекцій: 1 - вид спереду ( головний вигляд); 2 – вид зверху; 3 – вид зліва; 4 - вид праворуч; 5 – вид знизу; 6 – вид ззаду.

Назви видів на кресленнях, виконаних у проекційному зв'язку, не вказують. Щоб зменшити кількість видів, допускається ними показувати невидимі частини поверхонь предметів штриховими лініями. Види предмета повинні бути ув'язані між собою, вид зверху розташовується під виглядом спереду, а види ліворуч і праворуч - на одному рівні з видом спереду (праворуч від нього при погляді на предмет ліворуч і ліворуч від нього при погляді на предмет праворуч). (Рис.63).

Мал. 63

Для того щоб правильно розмістити зображення предмета та його частин на робочому полі креслення необхідно:

Вибравши масштаб креслення, визначити кожному виду його основні габаритні розміри: виду зверху - найбільшу довжину і ширину предмета, виду спереду - найбільші довжинуі висоту тощо;

Отримані розміри перевести на вибраний масштаб креслення;

Кожне зображення виразити у вигляді прямокутника за встановленими у масштабі габаритними розмірами;

Для визначення формату креслення отримані розміри прямокутника розташувати з можливою рівномірною щільністю та з урахуванням необхідних місць для виносних та розмірних ліній та написів, що пояснюють;

Після схематичного компонування креслення приступають до детального зображення видів предмета усередині цих прямокутників.

На противагу ортографічним та аксонометричним проекціям, для яких проектори перпендикулярні площині проекції, косокутна проекція формується паралельними проекторами з центром, що лежить у нескінченності, і розташованими під косим кутом до площини проекції. Загальна схемапроекції зображено на рис. 3-20.

Косокутні проекції показують загальну тривимірну форму об'єкта. Проте справжні розмір і форма зображуються лише для граней об'єкта, розташованих паралельно площині проекції, тобто. кути та довжини зберігаються тільки для таких граней. Справді, косокутна проекція цих граней еквівалентна ортографічному виду спереду. Грані, які не паралельні площині проекції, піддаються спотворенню.

Особливий інтерес становлять дві косокутні проекції - кавальє та кабіні. Проекція кавальє виходить, коли кут між проекторами та площиною проекції становить . У цій проекції коефіцієнти спотворення всім трьох основних напрямів однакові. Результат цієї проекції виглядає неприродно стовщеним. Для корекції цього недоліку використовується проекція кабіні.

Проекцією кабіні називається така косокутна проекція, у якої коефіцієнт спотворення для ребер, перпендикулярних до площини проекції, дорівнює 1/2. Як буде показано нижче, для проекції кабіні кут між проекторами та площиною проекції становить .

Мал. 3-20 Косокутна проекція.

Мал. 3-21 Побудова косокутної проекції.

Щоб побудувати матрицю перетворення косоугольной проекції, розглянемо одиничний вектор уздовж осі , показаний на рис. 3-21. Для ортографічної чи аксонометрической проекції на площину вектор задає напрямок проекції. При косоугольной проекції проектори становлять кут із площиною проекції. На рис. 3-21 показані типові косокутні проектори та . Проектори і утворюють кут із площиною проекції. Зауважимо, що всі можливі проектори, що проходять через точку або утворюють кут з площиною , лежать на поверхні конуса з вершиною або . Таким чином, для заданого кутаіснує нескінченна кількість косокутних проекцій.

Проектор можна отримати за допомогою перенесення на крапки в крапку. У двовимірній площині, що проходить через перпендикулярно осі -матриця перетворення дорівнює

.

У тривимірному просторі це двовимірне перетворення еквівалентно зсуву вектора у напрямках і . Для цього необхідне перетворення

.

Проеціювання на площину дає

.

З рис. 3-21 отримуємо, що

де - Довжина спроектованого одиничного вектора на осі, тобто. коефіцієнт спотворення, а - кут між горизонталлю та спроектованою віссю. З рис. 3-21 також ясно, що кут між косими проекторами і площиною проекції дорівнює

Таким чином, перетворення для косокутної проекції має вигляд:

. (3-44)

При , отримуємо ортографічну проекцію. Якщо , то піддаються спотворенню ребра, перпендикулярні площині проекції. А це є умовою проекції кавальє. З рівності (3-43) маємо:

.

Зауважимо, що в проекції кавальє все ще є вільним параметром. На рис. 3-22 показані проекції кавальє для деяких значень. Найчастіше використовуються значення, рівні та. Також застосовується значення.

Проекцію кабіні можна отримати при коефіцієнті спотворення. Звідси

У цьому випадку знову кут є змінною величиною, як показано на рис. 3.23. Найчастіше зустрічаються значення і, застосовується також значення.

Мал. 3-22 Проекції кавальє. Зверху вниз кут змінюється від до з інтервалом, кут.

Мал. 3-23 Проекції в кабіні. Зверху вниз кут змінюється від до з інтервалом, коефіцієнт спотворення.

Мал. 3-24 косокутні проекції. Зліва направо при .

Мал. 3-25 Спотворення, що виникає в косокутних проекціях, , . (а) Кругла грань паралельна площині проекції; (b) кругла грань перпендикулярна площині проекції; (c) довга сторона перпендикулярна площині проекції; (d) довга сторона паралельна площині проекції.

На рис. 3-24 зображені косокутні проекції для коефіцієнтів спотворення з кутом.

Оскільки зображується справжня форма однієї грані, косоугольные проекції особливо підходять для ілюстрації об'єктів із круглими чи іншими викривленими гранями. Такі грані повинні бути паралельними площині проекції, щоб уникнути небажаних спотворень. Так само, як і у випадку паралельних проекцій, об'єкти з одним виміром, що істотно перевершують інші, піддаються значному спотворенню, якщо тільки цей вимір не паралельно площині проекції. Такі ефекти показано на рис. 3-25.