Дано дві коробки, що мають. Правильна чотирикутна призма

У 13 завданні ЄДІ базового рівнями будемо мати справу із завданнями зі стереометрії, але не абстрактними, а наочними прикладами. Це можуть бути завдання на рівень рідини в судинах, яку я розібрав нижче, або завдання на модифікації фігури - наприклад, у якої відрізали вершини. Потрібно бути готовим до вирішення простих завданьпо стереометрії - вони зазвичай зводяться одразу до завдань на площині, необхідно лише правильно подивитися на креслення.

Розбір типових варіантів завдань №13 ЄДІ з математики базового рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

Вода в посудині циліндричної форми знаходиться на рівні h = 80 см. На якому рівні опиниться вода, якщо її перелити в іншу циліндричну посудину, у якої радіус основи в 4 рази більший, ніж у цього? Відповідь дайте у сантиметрах.

Алгоритм виконання:

1. Записати формулу об'єму циліндра.
2. Підставити значення для циліндра з рідиною у першому та другому випадку.
3. Отримане рівняння розв'язати щодо другої висоти h 2 .
4. Підставити дані та обчислити шукану величину.

Рішення:

Запишемо формулу об'єму циліндра.

Якщо ви забули формулу об'єму циліндра, нагадаю, як її можна легко вивести. Об `єм простих фігур, таких як куб і циліндр, можна обчислити помноживши площу основи на висоту. Площа основи у випадку з циліндром дорівнює площі кола, яку, напевно, пам'ятаєте: π r 2 .

Отже, об'єм циліндра дорівнює π r 2 h

Підставимо значення для циліндра з рідиною в першому та у другому випадку.

V 1 = π r 1 2 h 1

V 2 = π r 2 2 h 2

Об'єм рідини не змінювався, отже, можна прирівняти обсяги.

Ліві частини рівні, отже, можна прирівняти і праві.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

Отримане рівняння розв'яжемо щодо другої висоти h 2 .

h 2 – невідомий множник. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на відомий множник.

h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2

За умовою площа основи стала в 4 рази більшою, тобто r 2 = 4 r 1 .

Підставимо r 2 = 4 r 1 вираз для h 1.

Отримаємо: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Отриманий дріб скоротимо на π, отримаємо h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Отриманий дріб скоротимо на r 1 отримаємо h 2 = h 1 / 16.

Підставимо відомі дані: h 2 = 80/16 = 5 см.

Другий варіант завдання

Дано дві коробки, що мають форму правильної чотирикутної призми. Перша коробка в чотири з половиною рази вища за другу, а друга втричі ширша за першу. У скільки разів об'єм першої коробки менший за об'єм другої?

Алгоритм виконання:

1. Знайти відношення обсягів.
2. Скоротити дроб, що вийшов.

Рішення:

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Знайдемо відношення обсягів.

За умовою c 1 = 4,5 c 2 (перша коробка в чотири з половиною рази вище за другу),

b 2 = 3 b 1 (друга коробка втричі ширша за першу).

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5 c 2) / (9a 1 · b 1 · c 2) = 4,5/9 = ½.

Об'єм першої коробочки в 2 рази менший за об'єм другої.

Третій варіант завдання

Дано дві коробки, що мають форму правильної чотирикутної призми. Перша коробка в півтора рази вища за другу, а друга втричі ширша за першу. У скільки разів об'єм першої коробки менший за об'єм другої?

Алгоритм виконання:

1. Записати формулу для обчислення об'єму правильної чотирикутної призми.
2. Записати в загальному виглядіформулу для знаходження обсягу у першому та другому випадку.
3. Знайти відношення обсягів.
4. Перетворити отриманий вираз з урахуванням співвідношення вимірювань першої та другої призми.
5. Скоротити дроб, що вийшов.

Рішення:

Запишемо формулу для обчислення об'єму правильної чотирикутної призми.

Запишемо у загальному вигляді формулу для знаходження обсягу у першому та другому випадку.

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Знайдемо відношення обсягів.

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1) / (a ​​2 · b 2 · c 2)

Перетворимо отриманий вираз з урахуванням співвідношення вимірювань першої та другої призми.

За умовою c 1 = 1,5 c 2 (перша коробка в півтора рази вище за другу), b 2 = 3 b 1 (друга коробка втричі ширша за першу).

Так як це правильні чотирикутні призми, то в основі лежить квадрат, а значить глибина другої коробки теж утричі більше глибинипершою, тобто a 2 = 3 a 1

Підставимо ці вирази у формулу відношення обсягів:

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

Скоротимо дроб, що вийшов на a 1 · b 1 · c 2 . Отримаємо:

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 1,5 c 2) / (9a 1 · b 1 · c 2) = 1,5 / 9 = 15 / (10 · 9) = 3 / (2 · 9 ) = 1/(2 · 3) = 1/6.

Об'єм першої коробочки в 6 разів менший за об'єм другої.

Відповідь:6.

Варіант тринадцятого завдання 2017

Від дерев'яного кубика відпилили всі його вершини (рис.). Скільки граней у багатогранника, що вийшов (невидимі ребра на малюнку не зображені)?

Спочатку згадаємо скільки всього граней та вершин у куба: шість граней та вісім вершин. Тепер на місці кожної вершини утворюється нова грань після відпилу, значить у модифікованого в завданні куба шість рідних граней та вісім нових (після відпилу). Разом отримуємо: 6 + 8 = 14 граней.

Якби нас спитали, а скільки вершин у нового "куба". Очевидно, якщо замість однієї стає три, а їх вісім, то отримуємо: 8 3 = 24

Слід зазначити, що комбінаторика є самостійним розділом вищої математики(а не частиною тервера) і з даної дисципліни написані важкі підручники, зміст яких часом анітрохи не легше абстрактної алгебри. Однак нам буде достатньо невеликої частки теоретичних знань, і у цій статті я постараюся у доступній формі розібрати основи теми з типовими комбінаторними завданнями. А багато хто з вас мені допоможуть;-)

Чим будемо займатись? У вузькому значенні комбінаторика - це підрахунок різних комбінацій, які можна скласти з деякої множини дискретнихоб'єктів. Під об'єктами розуміються якісь відокремлені предмети чи живі істоти – люди, звірі, гриби, рослини, комахи тощо. При цьому комбінаторику зовсім не хвилює, що безліч складається з тарілки манної каші, паяльника та болотяної жаби. Принципово важливо, що ці об'єкти піддаються перерахуванню – їх три (Дискретність)і суттєво те, що серед них немає однакових.

З безліччю розібралися, тепер про комбінації. Найпоширенішими видами комбінацій є перестановки об'єктів, їх вибірка з множини (поєднання) і розподіл (розміщення). Давайте прямо зараз подивимося, як це відбувається:

Перестановки, поєднання та розміщення без повторень

Не лякайтеся малозрозумілих термінів, тим більше деякі з них дійсно не дуже вдалі. Почнемо з хвоста заголовка – що означає « без повторень»? Це означає, що в даному параграфібудуть розглядатися безлічі, які складаються з різнихоб'єктів. Наприклад, … ні, кашу з паяльником і жабою пропонувати не буду, краще щось смачніше =) Уявіть, що перед вами на столі матеріалізувалося яблуко, груша і банан (за наявності таких ситуацію можна змоделювати і реально). Викладаємо фрукти зліва направо у такому порядку:

яблуко / груша / банан

Питання перше: Скільки способами їх можна переставити?

Одна комбінація вже записана вище та з іншими проблемами не виникає:

яблуко / банан / груша
груша / яблуко / банан
груша / банан / яблуко
банан / яблуко / груша
банан / груша / яблуко

Разом: 6 комбінацій або 6 перестановок.

Добре, тут не склало особливих труднощів перерахувати всі можливі випадки, але як бути, якщо предметів більше? Вже із чотирма різними фруктами кількість комбінацій значно зросте!

Будь ласка, відкрийте довідковий матеріал (методичку зручно роздрукувати)та у пункті № 2 знайдіть формулу кількості перестановок.

Жодних мук – 3 об'єкти можна переставити способами.

Питання друге: Скільки способами можна вибрати а) один фрукт, б) два фрукти, в) три фрукти, г) хоча б один фрукт?

Навіщо обирати? Так нагуляли апетит у попередньому пункті – для того, щоб з'їсти! =)

а) Один фрукт можна вибрати, очевидно, трьома способами - взяти або яблуко, грушу або банан. Формальний підрахунок проводиться за формулі кількості поєднань:

Запис у даному випадкуслід розуміти так: «скількими способами можна вибрати 1 фрукт із трьох?»

б) Перерахуємо всі можливі поєднання двох фруктів:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Кількість комбінацій легко перевірити за тією самою формулою:

Запис розуміється аналогічно: «скільки можна вибрати 2 фрукти з трьох?».

в) І, нарешті, три фрукти можна вибрати єдиним способом:

До речі, формула кількості поєднань зберігає сенс і для порожньої вибірки:
способом можна вибрати жодного фрукта - власне, нічого не взяти і все.

г) Скільки способами можна взяти хоча б одинфрукт? Умова «хоча б один» передбачає, що нас влаштовує 1 фрукт (будь-який) або 2 будь-яких фрукти або всі 3 фрукти:
способами можна вибрати хоча б один фрукт.

Читачі, які уважно вивчили вступний урокпо теорії ймовірностей, вже дещо здогадалися. Але про сенс знака "плюс" пізніше.

Для відповіді на наступне запитання мені потрібні два добровольці… …Ну що ж, якщо ніхто не хоче, тоді викликатиму до дошки =)

Питання третє: Скільки способами можна роздати по одному фрукту Даші та Наташі?

Для того, щоб роздати два фрукти, спочатку потрібно їх вибрати. Відповідно до пункту «бе» попереднього питання, зробити це можна засобами, перепишу їх заново:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Але комбінацій зараз буде вдвічі більше. Розглянемо, наприклад, першу пару фруктів:
яблуком можна пригостити Дашу, а грушею – Наташу;
або навпаки – груша дістанеться Даші, а яблуко – Наталці.

І така перестановка можлива кожної пари фруктів.

Розглянемо ту ж студентську групуяка пішла на танці. Скількими способами можна скласти пару з юнака та дівчини?

Способами можна вибрати 1 юнака;
способами можна вибрати 1 дівчину.

Таким чином, одного юнака іодну дівчину можна вибрати: методами.

Коли з кожної множини вибирається по 1 об'єкту, то справедливий наступний принциппідрахунку комбінацій: « коженоб'єкт з однієї множини може скласти пару з кожнимоб'єктом іншої множини».

Тобто Олег може запросити на танець будь-яку з 13 дівчат, Євген – теж будь-яку з тринадцяти, і аналогічний вибір має решта молодих людей. Разом: можливі пари.

Слід зазначити, що в даному прикладіне має значення "історія" утворення пари; однак якщо взяти до уваги ініціативу, то кількість комбінацій треба подвоїти, оскільки кожна з 13 дівчат також може запросити на танець будь-якого юнака. Все залежить від умови того чи іншого завдання!

Схожий принцип справедливий і для складніших комбінацій, наприклад: скількома способами можна вибрати двох юнаків ідвох дівчат для участі у сценці КВК?

Союз Інедвозначно натякає, що комбінації необхідно перемножити:

Можливі групи артистів.

Іншими словами, кожнапара юнаків (45 унікальних пар) може виступати з будь-якийпарою дівчат (78 унікальних пар). А якщо розглянути розподіл ролей між учасниками, то комбінацій буде ще більше. …Дуже хочеться, але все-таки утримаюсь від продовження, щоб не прищепити вам огиду до студентського життя =).

Правило множення комбінацій поширюється і на Велика кількістьмножників:

Завдання 8

Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?

Рішення: для наочності позначимо це числотрьома зірочками: ***

У розряд сотеньможна записати будь-яку з цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 чи 9). Нуль не годиться, тому що в цьому випадку число перестає бути тризначним.

А ось у розряд десятків(«посередині») можна вибрати будь-яку з 10 цифр: .

За умовою, число має ділитися на 5. Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або на 0. Таким чином, у молодшому розряді нас влаштовують 2 цифри.

Отже, існує: трицифрових чисел, які діляться на 5.

При цьому твір розшифровується так: «9 способами можна вибрати цифру в розряд сотень і 10 способами вибрати цифру в розряд десятків і 2 способами в розряд одиниць»

Або ще простіше: « кожназ 9 цифр у розряді сотенькомбінується з кожноюз 10 цифр розряду десятків і з кожноюз двох цифр у розряд одиниць».

Відповідь: 180

А зараз…

Так, мало не забув про обіцяний коментар до завдання № 5, в якому Борі, Дімі та Володі можна здати за однією картою способами. Множення тут має той самий сенс: способами можна витягти 3 карти з колоди І в кожнійвибірці переставити їх засобами.

А тепер завдання для самостійного рішення… зараз придумаю щось цікавіше, …нехай буде про ту ж російську версію блекджека:

Завдання 9

Скільки існує виграшних комбінацій з 2 карток при грі в «очко»?

Для тих, хто не знає: виграє комбінація 10 + ТУЗ (11 очок) = 21 очко і, давайте вважатимемо виграшною комбінацію з двох тузів.

(Порядок карт у будь-якій парі не має значення)

Коротке рішеннята відповідь наприкінці уроку.

До речі, не слід вважати приклад примітивним. Блекджек - це чи не єдина гра, для якої існує математично обґрунтований алгоритм, що дозволяє вигравати у казино. Бажаючі можуть легко знайти масу інформації про оптимальну стратегію та тактику. Щоправда, такі майстри досить швидко потрапляють до чорного списку всіх закладів.

Настав час закріпити пройдений матеріал парою солідних завдань:

Завдання 10

У Васі вдома живуть 4 коти.

а) скільки можна розсадити котів по кутах кімнати?
б) скільки можна відпустити гуляти котів?
в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів (одного на ліву, іншого - на праву)?

Вирішуємо: по-перше, знову слід звернути увагу на те, що в задачі йдеться про різнихоб'єктах (навіть якщо коти – однояйцеві близнюки). Це дуже важлива умова!

а) Мовчання котів. Цю кару зазнають відразу всі коти
+ важливе їх розташування, тому тут мають місце перестановки:
способами можна розсадити котів по кутах кімнати.

Повторюся, що при перестановках має значення лише кількість різних об'єктів та їх взаємне розташування. Залежно від настрою Вася може розсаджувати тварин півколом на дивані, ряд на підвіконні і т.д. – перестановок у всіх випадках буде 24. Бажаючі можуть для зручності уявити, що коти різнокольорові (наприклад, білий, чорний, рудий та смугастий) та перерахувати всі можливі комбінації.

б) Скільки можна відпустити гуляти котів?

Передбачається, що коти ходять гуляти тільки через двері, при цьому питання має на увазі байдужість щодо кількості тварин – на прогулянку можуть вийти 1, 2, 3 або всі 4 коти.

Вважаємо всі можливі комбінації:

Способами можна відпустити гуляти одного кота (будь-якого з чотирьох);
способами можна відпустити гуляти двох котів (варіанти перерахуйте самостійно);
способами можна відпустити гуляти трьох котів (якийсь один із чотирьох сидить удома);
способом можна випустити всіх котів.

Напевно, ви здогадалися, що отримані значення слід підсумувати:
способами можна відпустити гуляти котів.

Ентузіастам пропоную ускладнену версію завдання – коли будь-який кіт у будь-якій вибірці випадково може вийти на вулицю як через двері, так і через вікно 10 поверху. Комбінацій помітно побільшає!

в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів?

Ситуація передбачає не тільки вибір 2 тварин, а й їх розміщення по руках:
способами можна взяти на руки 2 коти.

Другий варіант вирішення: способами можна вибрати двох котів іспособами посадити кожнупару на руки:

Відповідь: а) 24, б) 15, в) 12

Ну і для очищення совісті щось конкретніше на збільшення комбінацій. Нехай у Васі додатково живе 5 котів =) Скільки способами можна відпустити гуляти 2 котів і 1 кішку?

Тобто, з кожноюпарою котів можна випустити кожнукішку.

Ще один баян для самостійного вирішення:

Завдання 11

У ліфт 12-поверхового будинку сіли 3 пасажири. Кожен, незалежно від інших, з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з 2-го) поверсі. Скількими способами:

1) пасажири можуть вийти на тому самому поверсі (Порядок виходу не має значення);
2) дві людини можуть вийти на одному поверсі, а третя – на іншому;
3) люди можуть вийти різних поверхах;
4) пасажири можуть вийти із ліфта?

І тут часто перепитують, уточнюю: якщо 2 чи 3 особи виходять на одному поверсі, то черговість виходу не має значення. ДУМАЙТЕ, використовуйте формули та правила додавання/множення комбінацій. У разі труднощів пасажирам корисно дати імена та поміркувати, у яких комбінаціях вони можуть вийти з ліфта. Не треба засмучуватися, якщо щось не вийде, наприклад, пункт № 2 досить підступний.

Повне рішенняз докладними коментарями наприкінці уроку.

Заключний параграф присвячений комбінаціям, які теж зустрічаються досить часто – за моєю суб'єктивною оцінкою, приблизно 20-30% комбінаторних завдань:

Перестановки, поєднання та розміщення з повтореннями

Перелічені видикомбінацій законспектовано у пункті № 5 довідкового матеріалу Основні формули комбінаторикиПроте деякі з них за першим прочитанням можуть бути не дуже зрозумілими. У цьому випадку спочатку доцільно ознайомитись з практичними прикладамиі лише потім осмислювати загальне формулювання. Поїхали:

Перестановки із повтореннями

У перестановках із повтореннями, як і в «звичайних» перестановках, бере участь відразу все безліч об'єктів, але є одне але: в даному множині один або більша кількість елементів (об'єктів) повторюються. Зустрічайте черговий стандарт:

Завдання 12

Скільки різних буквосполучень можна отримати перестановкою карток з наступними літерами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, І, К?

Рішення: у тому випадку, якби всі літери були різні, то слід було б застосувати тривіальну формулу , проте цілком зрозуміло, що для запропонованого набору карток деякі маніпуляції спрацьовуватимуть «вхолосту», наприклад, якщо поміняти місцями будь-які дві картки з літерами «К » у будь-якому слові, то вийде те саме слово. Причому фізично картки можуть сильно відрізнятися: одна бути круглою з надрукованою літерою «К», інша – квадратною з намальованою літерою «К». Але за змістом завдання навіть такі картки вважаються однаковими, оскільки в умові питається про буквосполучення.

Все дуже просто – всього: 11 карток, серед яких літера:

К - повторюється 3 рази;
Про - повторюється 3 рази;
Л – повторюється двічі;
Ь - повторюється 1 раз;
Ч – повторюється 1 раз;
І – повторюється один раз.

Перевірка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, що потрібно перевірити.

За формулою кількості перестановок із повтореннями:
різних буквосполучень можна отримати. Більше півмільйона!

Для швидкого розрахунку великого факторіального значення зручно використовувати стандартну функціюЕкселя: забиваємо в будь-яку комірку =ФАКТР(11)і тиснемо Enter.

На практиці цілком допустимо не записувати загальну формулуі, крім того, опускати поодинокі факторіали:

Але попередні коментарі про літери, що повторюються, обов'язкові!

Відповідь: 554400

Інший типовий приклад перестановок з повтореннями зустрічається в задачі про розміщення шахових фігур, яку можна знайти на складі готових рішеньу відповідній pdf-ці. А для самостійного рішення я вигадав менш шаблонне завдання:

Завдання 13

Олексій займається спортом, причому 4 дні на тиждень – легкою атлетикою, 2 дні – силовими вправамита 1 день відпочиває. Скільки способами він може скласти собі розклад занять на тиждень?

Формула тут не годиться, оскільки враховує збігаються перестановки (наприклад, коли міняються місцями силові вправи у середу із силовими вправами у четвер). І знову - за фактом ті ж 2 силові тренування можуть сильно відрізнятися один від одного, але за контекстом завдання (з точки зору розкладу) вони вважаються однаковими елементами.

Дворядкове рішення та відповідь наприкінці уроку.

Поєднання з повтореннями

Характерна рисацього виду комбінацій у тому, що вибірка проводиться із кількох груп, кожна у тому числі складається з однакових об'єктів.

Сьогодні всі добре попрацювали, тому настав час підкріпитись:

Завдання 14

У студентській їдальні продають сосиски в тесті, ватрушки та пончики. Скільки можна придбати п'ять пиріжків?

Рішення: відразу зверніть увагу на типовий критерій поєднань із повтореннями – за умовою на вибір запропоновано не безліч об'єктів як таке, а різні види об'єктів; при цьому передбачається, що у продажу є не менше п'яти хот-догів, 5 ватрушок та 5 пончиків. Тістечка в кожній групі, зрозуміло, відрізняються - бо абсолютно ідентичні пончики можна змоделювати хіба що на комп'ютері. Фізичні характеристикипиріжків за змістом завдання не суттєві, і хот-доги/ватрушки/пончики у своїх групах вважаються однаковими.

Що може бути у вибірці? Насамперед, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (обираємо 5 штук, а на вибір запропоновано 3 види). Варіанти тут на будь-який смак: 5 хот-догів, 5 ватрушок, 5 пончиків, 3 хот-доги + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончики і т.д.

Як і при «звичайних» поєднаннях, порядок вибору та розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали 5 штук та все.

Використовуємо формулу кількості поєднань із повтореннями:
способом можна придбати 5 пиріжків.

Смачного!

Відповідь: 21

Який висновок можна зробити із багатьох комбінаторних завдань?

Іноді найважче – це розібратися в умові.

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Завдання 15

У гаманці є достатньо велика кількість 1-, 2-, 5- та 10-рублевих монет. Скільки способами можна витягти три монети з гаманця?

З метою самоконтролю дайте відповідь на кілька простих питань:

1) Чи можуть у вибірці всі монети бути різними?
2) Назвіть найдешевшу і найдорожчу комбінацію монет.

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

З мого особистого досвіду, можу сказати, що поєднання з повтореннями - найрідкісніший гість на практиці, чого не скажеш про наступному виглядікомбінацій:

Розміщення з повтореннями

З множини, що складається з елементів, вибирається елементів, при цьому важливий порядок елементів у кожній вибірці. І все було б нічого, але досить несподіваний прикол полягає в тому, що будь-який об'єкт вихідної множиними можемо вибирати скільки завгодно разів. Образно кажучи, від «багато не убуде».

Коли таке буває? Типовим прикладомє кодовий замок з кількома дисками, але через розвиток технологій актуальніше розглянути його цифрового нащадка:

Завдання 16

Скільки існує чотиризначних пін-кодів?

Рішення: насправді для розрулювання завдання достатньо знань правил комбінаторики: способами можна вибрати першу цифру пін-коду іспособами – другу цифру пін-коду істільки ж способами – третю істільки ж – четверту. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти: способами.

А тепер за допомогою формули. За умовою нам запропоновано набір із цифр, з якого вибираються цифри та розташовуються в певному порядку , при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (тобто будь-якою цифрою вихідного набору можна користуватися довільну кількість разів). За формулою кількості розміщень із повтореннями:

Відповідь: 10000

Що тут спадає на думку… …якщо банкомат «з'їдає» картку після третьої невдалої спробивведення пін-коду, то шанси підібрати його навмання дуже примарні.

І хто сказав, що у комбінаториці немає жодного практичного сенсу? Пізнавальне завданнядля всіх читачів сайт:

Завдання 17

Згідно державному стандарту, автомобільний номерний знак складається з 3 цифр і 3 букв. При цьому неприпустимий номер із трьома нулями, а літери вибираються з набору А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (використовуються лише ті літери кирилиці, написання яких збігається з латинськими літерами).

Скільки номерних знаків можна скласти для регіону?

Не так їх, до речі, багато. У великих регіонахтакої кількості не вистачає, і тому для них існує кілька кодів до напису RUS.

Рішення та відповідь наприкінці уроку. Не забуваємо використовувати правила комбінаторики;-) …Хотів похвалитися ексклюзивом, та виявилося не ексклюзивом =) Заглянув у Вікіпедію – там є розрахунки, щоправда, без коментарів. Хоча в навчальних цілях, мабуть, мало хто вирішував.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і насамкінець я хочу сказати, що ви не даремно витратили час – з тієї причини, що формули комбінаторики знаходять ще одне насущне практичне застосування: вони зустрічаються в різних завданняхпо теорії ймовірностей,
і в завдання на класичне визначення ймовірності- Особливо часто =)

Всім дякую за активна участьі до швидких зустрічей!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: знайдемо кількість всіх можливих перестановок 4 карток:

Коли картка з нулем розташовується на 1-му місці, то число стає тризначним, тому ці комбінації слід виключити. Нехай нуль знаходиться на 1-му місці, тоді 3 цифри, що залишилися, в молодших розрядах можна переставити способами.

Примітка : т.к. карток небагато, то тут нескладно перерахувати всі такі варіанти:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким чином, із запропонованого набору можна скласти:
24 - 6 = 18 чотиризначних чисел
Відповідь : 18

Завдання 4: Рішення: способами можна вибрати 3 карти з 36
Відповідь : 7140

Завдання 6: Рішення: методами.
Інший варіант вирішення : способами можна вибрати двох осіб з групи та
2) «Найдешевший» набір містить 3 рублеві монети, а «найдорожчий» – 3 десятирублеві.

Завдання 17: Рішення: способами можна скласти цифрову комбінацію автомобільного номера, причому одну з них (000) слід виключити: .
способами можна скласти літерну комбінацію автомобільного номера.
За правилом множення комбінацій, всього можна скласти:
автомобільних номерів
(кожнацифрова комбінація поєднується з кожноюлітерною комбінацією).
Відповідь : 1726272

Комбінаторні завдання

1 . Катя, Маша та Іра грають із м'ячем. Кожна з них має по одному разу кинути м'яч у бік кожної подруги. Скільки разів кожна дівчинка повинна кидати м'яч? Скільки разів буде підкидатися м'яч? Визначте, скільки разів підкидатиметься м'яч, якщо у грі візьмуть участь: четверо дітей; п'ятеро дітей.

2 . Дано три фасади і два дахи, що мають однакову форму, але розфарбовані в різні кольори: фасади - у жовтий, синій та червоний кольори, а дахи - у синій та червоний кольори. Які будиночки можна звести? Скільки всього комбінацій?

3 . Дано три однакові за формою фасади будиночка: синій, жовтий і червоний - і три дахи: синій, жовтий і червоний. Які будиночки можна звести? Скільки всього комбінацій?

4 . Малюнки на прапорцях можуть мати вигляд кола, квадрата, трикутника чи зірки, причому їх можна розфарбувати у зелений чи червоний колір. Скільки всього може бути різних прапорців?

5. У шкільній їдальні на обід приготували як другі страви м'ясо, котлети та рибу. На солодке - морозиво, фрукти та пиріг. Можна вибрати одну другу страву та одну страву на десерт. Скільки існує різних варіантівобіду?

6. У шкільній їдальні на обід приготували як перші страви суп з м'ясом і вегетаріанський суп, на друге - м'ясо, котлети та рибу, на солодке - морозиво, фрукти та пиріг. Скільки існує різних варіантів обіду із трьох страв?

7. Скільки можна розсадити в ряд на стільці трьох учнів? Виписати усі можливі випадки.

8 . Скільки способами можуть чотири (п'ять) чоловік стати в ряд?

9 . З різних сторінна пагорб піднімаються три стежки і сходяться на вершині. Складіть безліч маршрутів, якими можна піднятися на пагорб і спуститися з нього. Розв'яжіть те саме завдання, якщо вгору і вниз треба йти різними стежками.

10 . З Акулово до Рибниці ведуть три дороги, а з Рибниці до Китового – чотири дороги. Скільки способами можна проїхати з Акулово в Китове через Рибницю?

11 . Склад називається відкритим, якщо він починається із приголосної літери, а закінчується голосною. Скільки відкритих дволітерних складів можна написати, використовуючи літери "а", "б", "в", "г", "е", "і", "о"? Випишіть ці склади.

12. Скільки різних варіантів костюмів з блузки та спідниці можна скласти, якщо є 4 блузки та 4 спідниці?

13. Коли Петя йде до школи, він іноді зустрічає одного чи кількох своїх приятелів: Васю, Леню, Толю. Перелічити всі можливі випадки, які можуть бути.

14 . Записати всі можливі двоцифрові числа, використовуючи цифри 7 і 4.

15 . Мишко запланував купити: олівець, лінійку, блокнот та зошит. Сьогодні він купив лише два різних предметів. Що міг купити Мишко, якщо вважати, що в магазині були всі необхідні йому навчальні приналежності?

16 . Чотири особи обмінялися рукостисканнями. Скільки було всього рукостискань?

17 . Скільки існує двоцифрових чисел, у запису яких відсутня цифра 0?

18 . Записати всі можливі трицифрові числа, які можна скласти з цифр 1 і 2.

19 . Виписати всі можливі парні трицифрові числа, складені з цифр 1 і 2.

20 . Записати всі можливі двоцифрові числа, при записі яких використовуються цифри 2, 8 і 5.

21 . Скільки існує різних двоцифрових чисел, усі цифри яких непарні?

22 . Які трицифрові числа можна записати за допомогою цифр 3, 7 та 1 за умови, що в записі числа не повинно бути однакових цифр? Скільки таких чисел?

23 . Скільки трицифрових чиселможна скласти із цифр 1, 2, 4, 6, якщо жодну цифру не використовувати більше одного разу? Скільки серед цих чисел буде парних? Скільки непарних?

24 . В машині п'ять місць. Скільки способами п'ять осіб можуть сісти в цю машину, якщо зайняти місце водія можуть лише двоє з них?

25. У класі 5 одномісних парт. Скількими способами можна розсадити на них двох (трьох) школярів, що знову прибули?

26 . Згадайте байку І. Крилова «Квартет»:

Проказниця Мавпа, Осел, Козел і клишоногий Ведмедик почали грати Квартет. Вдарили в смички, б'ють, а толку немає. «Стій, братики, стій! - кричить Мавпа. - Стривайте! Як йти музиці? Ви ж не так сидите». Скільки у різний спосібЧи можуть спробувати сісти ці музиканти? Чи може це покращити якість їхньої гри?

27 . Хлопчиків і дівчаток розсаджують у ряд на розташовані місця, причому хлопчики сідають на непарні місця, а дівчатка - на парні. Скільки способами можна це зробити, якщо:

а) на 6 місць розсаджують 3 хлопчиків та 3 дівчаток;

б) на 10 місць розсаджують 5 хлопчиків та 5 дівчаток?

28 . На порожню шашкову дошку треба помістити дві шашки – чорну та білу. Скільки різних положень можуть займати на дошці?

29. Нехай номер автомобіля складається з двох букв, за якими йдуть дві цифри, наприклад АВ-53. Скільки різних номерів можна скласти, якщо використовувати 5 літер та 6 цифр?

30 . Номер автомобіля складається з трьох літер та чотирьох цифр. Скільки існує різних автомобільних номерів(три літери беруться із 29 літер російського алфавіту)?

31 . Нехай вам потрібно було сходити до бібліотеки, ощадного банку, на пошту і віддати в ремонт черевики. Щоб вибрати найкоротший маршрут, необхідно розглянути всі можливі варіанти. Скільки існує варіантів шляху, якщо бібліотека, ощадна каса, пошта та шевська майстерня розташовані далеко один від одного?

32. Нехай вам потрібно було сходити до бібліотеки, ощадного банку, на пошту і віддати в ремонт черевики. Щоб вибрати найкоротший маршрут, необхідно розглянути всі можливі варіанти. Скільки існує розумних варіантів шляху, якщо бібліотека та пошта знаходяться поруч, але значно віддалені від ощадної каси та шевської майстерні, які розташовані далеко один від одного?

33. Серед пасажирів, що їдуть у вагоні, йшло жваве обговорення чотирьох журналів. Виявилося, що кожен виписує два журнали, причому кожна з можливих комбінацій двох журналів виписується однією людиною. Скільки людей було у цій групі?

34 . Є п'ять кубиків, які відрізняються один від одного лише кольором: 2 червоні, 1 білий і 2 чорні. Є два ящики А і Б, причому в А міститься 2 кубики, а в Б - 3. Скільки різними способами можна розмістити ці кубики в ящиках А і Б?

35. Щоб принести цареві-батюшці молодильні яблука, має Іван-царевич знайти єдиний правильний шляхдо чарівного саду. Зустрів Іван-царевич на роздоріжжі трьох доріг старого ворона і ось які поради від нього почув:

1) йди зараз правою стежкою;

2) на наступному роздоріжжі не вибирай праву стежку;

3) на третій розвилці не ходи лівою стежкою.

Голуб, що пролітав повз, шепнув Івану-царевичу, що тільки одна порада ворона вірна і що обов'язково треба пройти стежками різних напрямків. Наш герой виконав завдання і потрапив у чарівний сад. Яким маршрутом він скористався?

Запам'ятайте, що обсяг прямокутного паралелепіпеда(або звичайної коробки) дорівнює творуйого довжини, ширини та висоти. Якщо ваша коробка має прямокутну або квадратну форму, то вам потрібно лише дізнатися її довжину, ширину та висоту. Для отримання обсягу необхідно перемножити результати вимірювання. Формула розрахунку скороченому вигляді нерідко представляється так: V = Д x Ш x В.
Приклад завдання: "Якщо довжина коробки дорівнює 10 см, ширина – 4 см, а висота – 5 см, то який її об'єм?"
V = Д x Ш x В
V = 10 см x 4 см x 5 см
V = 200 см 3
"Висота" коробки може згадуватися як "глибина". Наприклад, у задачі могла бути зазначена наступна інформація: "Довжина коробки дорівнює 10 см, ширина – 4 см, а глибина – 5 см."

2
Виміряйте довжину коробки. Якщо подивитися на коробку зверху, то вона постане перед вашими очима у вигляді прямокутника. Довжиною коробки буде найдовша сторона цього прямокутника. Запишіть результат виміру цієї сторони як значення параметра "довжина".
Під час виконання вимірів обов'язково використовуйте єдині одиниці виміру. Якщо ви виміряли одну сторону в сантиметрах, то й інші сторони також необхідно виміряти в сантиметрах.

3
Виміряйте ширину коробки. Ширину коробки представлятиме інша, більш коротка, сторона видимого зверху прямокутника. Якщо візуально з'єднати вимірювані по довжині та ширині сторони коробки, то вони з'являться у вигляді літери "Г". Запишіть значення останнього виміруяк "ширина".
Ширина - це завжди більш короткий бік коробки.

4
Виміряйте висоту коробки. Це останній параметр, який ви ще не виміряли. Він є відстань від верхнього краюкоробки до нижньої. Запишіть значення цього виміру як "висота".
Залежно від того, на який бік ви покладете коробку, конкретні сторони, які ви позначите "довжиною", "шириною" або "заввишки", можуть бути різними. Тим не менш, це не має жодного значення, вам лише потрібні результати вимірів трьох різних сторін.

5
Перемножте результати трьох вимірювань між собою. Як згадувалося, формула розрахунку обсягу виглядає так: V = Довжина x Ширина x Висота; тому для отримання обсягу необхідно просто перемножити усі три сторони. Обов'язково вкажіть у розрахунку використані вами одиниці виміру, щоб не забути, що саме означають отримані значення.

6
При позначенні одиниць виміру обсягу не забудьте вказати третій ступінь "3". Розрахований обсяг має цифровий вираз, але без правильної вказівки одиниць виміру ваші розрахунки будуть безглуздими. Для коректного відображення одиниць виміру обсягу їх слід зазначити у кубі. Наприклад, якщо всі сторони були виміряні в сантиметрах, то одиниці виміру об'єму будуть вказані як см3.
Приклад завдання: "Якщо ящик має довжину 2 м, ширину - 1 м, а висоту 3 м, то який його об'єм?"
V = Д x Ш x В
V = 2 м x 1 м x 4 м
V = 8 м 3
Примітка: Вказівка ​​кубічних одиниць об'єму дозволяє зрозуміти скільки таких кубів можна помістити всередину коробки. Якщо звернутися до попереднього прикладу, це означає, що в ящик поміщається вісім кубічних метрів.

Розрахунок обсягу коробок інших форм

Визначте об'єм циліндра. Циліндр є круглою трубкою з колами на обох кінцях. Для визначення об'єму циліндра використовується формула: V = π x r 2 x h, де π = 3,14, r – радіус круглої сторони циліндра, а h – його висота.
Для визначення обсягу конуса, або піраміди з круглою основою, використовується та сама формула, але помножена на 1/3. Тобто обсяг конуса розраховується за формулою: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Визначте об'єм піраміди. Піраміда - це фігура, що має плоску основу і сходяться вгорі в одну точку сторони. Для визначення обсягу піраміди необхідно взяти 1/3 від добутку площі її основи на висоту. Тобто формула розрахунку виглядає так: Об'єм піраміди = 1/3 (Площа основи x Висота).
У більшості випадків піраміди мають квадратне або прямокутна основа. У такій ситуації площа основи розраховується множенням довжини основи на ширину.

Для визначення об'єму коробки складних форм складіть об'єми її частин. Наприклад, вам може знадобитися виміряти об'єм коробки, що має форму літери "Г". У такому випадку коробка матиме більше сторін, які необхідно виміряти. Якщо ви розіб'єте цю коробку на дві частини, то ви зможете стандартним чином виміряти об'єм цих двох частин, а потім скласти отримані значення. У випадку з коробкою у формі літери "Г", довшу частину можна розглядати як окрему довжину прямокутної коробки, а більш коротку – як приставлену до неї квадратну (або майже квадратну) коробку.
Якщо ваша коробка має зовсім складні форми, то знайте, що є безліч способів визначення обсягу предметів будь-якої форми.

20? У скільки разкілометр більшеміліметра? ... двасудини ємністю 3 та 5 літрів, набрати 4 літри води? 7) Дан ... радіус) 78. Твердження, яке треба довести (теорема) 79. Саме менше... кола циркуль Об `ємодного... розрізняча Кордон кулісфера Незалежна...