Напрямок потоку даний ротор. Інтуїтивний образ

Нехай поле - поле, що диференціюється (тобто проекції вектора поля на осі координат є диференційованими функціями).

Визначення.Вихрем векторного поля(позначається rot ) називається вектор, проекція якого на довільний вектор
визначається як межа відношення циркуляції поля за деяким контуром ( L), що містить точку M, і лежить у площині, перпендикулярній вектору
, до площі області, обмеженої цим контуром, за умови, що цей контур стягується до точки M, а площа області ( S) прагне до нуля:

. (1.13)

У тривимірному просторі
через декартові прямокутні координати вектора.
виражається так:

або у зручній для запам'ятовування символічній формі

. (1.15)

Теорема Стокс.Нехай координати вектора+

безперервні та мають безперервні приватні похідні. Тоді циркуляція векторного поля по замкнутому контуру ( L) дорівнює потоку вихрів поля через довільну поверхню ( S), натягнуту на цей контур:

. (1.16)

Передбачається, що орієнтація контуру ( L) та поверхні ( S) узгоджено: при позитивному обході контуру нормаль спрямована від “ніг до голови”.

Властивості ротора: 1); 2).

Визначення.Векторне поле називається безвихровим у цій галузі ( V), якщо.

приклад 1.Знайти ротор поля вектора напруженості магнітного поля
.

Рішення.
у координатній формі:


. Обчислимо ротор за формулою (1.15):

Поле напруженості
- безвихрове поле.

приклад 2.Обчислити циркуляцію вектора
по контуру
1) безпосередньо, 2) по теоремі Стокса.

Р ешение. 1) Контур ( L) – коло радіусу
, що лежить у площині z=3 (див. рис.5). Виберемо орієнтацію у ньому, як зазначено малюнку. Параметричні рівняння лінії
, так що
,. Для циркуляції вектора маємо:. 2) Для обчислення циркуляції по теоремі Стокса виберемо якусь поверхню ( S), натягнуту на контур ( L).Природно як ( S) взяти коло, що має лінію ( L) своїм кордоном. Відповідно до обраної орієнтації контуру нормаль до кола необхідно взяти рівною
. Обчислимо ротор:
. За теоремою Стокса
.

Завдання для самостійного вирішення

Знайти векторні лінії плоских векторних полів:

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Знайти векторні лінії:

6.
; 7.
, де
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, де
- постійні векторів.

Знайти векторні лінії, що проходять через задану точку:

14.
,
;15.
,
.

Обчислити потік векторного поля, використовуючи поверхневий інтеграл першого роду:

16.
, (S): верхня сторона трикутника, обмеженого площинами
,
.

17.
, (S): зовнішня сторона параболоїда
, обмеженого площиною
;

18.
,
: збоку кругового циліндра.
, обмеженого площинами
;

19.
, (S): зовнішня сторона частини параболоїда
, розташованої у першому октанті;

20.
, (S): повна поверхня конуса
, обмеженого площиною
;

21. , (S): замкнута поверхня, обмежена параболоїдом
та площиною z= 0;

22.
, (S): повна поверхня піраміди, обмеженої площинами
,
,
,
;

23.
, (S): сфера
.

Обчислити потік, використовуючи метод проектування на всі три координатні площини.

24.
, (S): верхня сторона кола, вирізаного конусом
на площині

25.
, (S): верхня сторона трикутника, отриманого перетином площини з координатними площинами;

26. , (S): частина площини
, обмежена коло
, у напрямку орта .

Визначити потік поля, використовуючи формулу Гауса-Остроградського:

27.
, (S): довільна шматково гладка замкнута поверхня;

28.
, (S): поверхня куба
,
,
;

29.
, (S): сфера
;

30.
, (S): частина параболоїда
, що відсікається площиною
; в негативний бікосі Ox;

31.
, (S): поверхня тіла
,
,
,

;

32. , (S): поверхня тіла
,
;

33. , (S):;

Знайти лінійний інтеграл вектор на площині:

36.
верхня половина еліпса
від крапки A(a,0), до точки B(-a,0);

37. а) відрізок прямий OB; б) дуга параболи
; в) дуга параболи
; г) ламана OAB, де A(1,0); д) ламана OCB, де C(0,1);

39. від точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Обчислити лінійний інтеграл:

41.
,
відрізок прямої від точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

44. відрізок прямої від точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45. Дана напруженість
силового поля. Знайти роботу поля під час переміщення маси mвздовж одного витка гвинтової лінії

,
з точки
в точку B(t=2);

46. Силове поле утворено силою, що дорівнює за величиною відстані від початку координат до точки її застосування і спрямованої на початок координат. Знайти роботу поля по переміщенню одиниці маси вздовж дуги параболи
від крапки з абсцисою
до крапки з абсцисою
.

У задачах 47- 51 знайти циркуляцію поля:

47. у негативному напрямку;

48.
замкнута лінія, утворена відрізками осей координат Oxі Ойта інші астроїди
,
, що лежить у першому квадранті;

51. лінія перетину параболоїда
з координатними площинами (у першому октанті);

52. Тверде тіло обертається з постійною кутовою швидкістю
навколо осі Oz. Обчислити циркуляцію поля лінійних швидкостей уздовж кола радіусу Rцентр якої лежить на осі обертання, якщо площина кола перпендикулярна осі обертання (циркуляція розглядається в напрямку обертання).

53. Знайти роботу поля
при переміщенні точки одиничної маси вздовж замкнутої лінії, Що складається з трьох прямолінійних відрізків, що лежать у координатних площинах, що відсікають на осях координат відрізки, рівні одиниці.

Знайти дивергенцію нижченаведених полів:

54.
. При якій функції
буде?

55.
;56.
- лінійна швидкість точок обертової рідини
- кутова швидкість);

57.
напруженість магнітного поля, J,- Постійні;

58.
; 59.
;

60. Обчислити
у точці (1,-1,1).

Знайти потік векторного поля через зазначені замкнуті поверхні: 1) безпосередньо; 2) за теоремою Гауса-Остроградського у векторному формулюванні:

64.
;

У задачах 73 та 74 обчислити ротор зазначених векторних полів:

73. 74.

75. Показати, якщо координати вектора мають безперервні приватні похідні другого порядку
.

76. Показати, що якщо і - постійні вектори, то
.

77. Показати що
.

78. Показати що
.

79. Показати, що векторне поле
є безвихровим.

80. Показати, що ротор поля лінійних швидкостей точок обертового твердого тілає постійний вектор, спрямований паралельно осі обертання, модуль якого дорівнює подвоєній кутовий швидкостіобертання:
.

81. Яка має бути функція
, щоб ротор векторного поля збігався з вектором
?

Знайти циркуляцію поля за вказаними контурами 1) безпосередньо, 2) по теоремі Стокса у векторному формулюванні:

84.
за контуром, утвореним перетином площини
з координатними площинами;

15.2. Окремі випадки векторні поля. Операції другого порядку

15.2.1. Потенційне векторне поле

Визначення.Векторне поле називається потенційним полемякщо існує деяка скалярна функція
, градієнт якої утворює це поле:

. (2.1)

Функція uназивається потенціалом векторного поля .

Теорема.Для того щоб поле було потенційним, необхідно і достатньо, щоб воно було безвихровим:

. (2.2)

Формула (2.2) є критерієм потенційності векторного поля .

Властивості потенційних полів.

1) у сфері безперервності потенціалу поля uлінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування та дорівнює збільшенню потенціалу

2) циркуляція (1.9) вектора за будь-яким замкнутим контуром, що повністю лежить в області безперервності поля, дорівнює нулю:

. (2.4)

3) потенціал
знаходиться за формулою (2.3):

, (2.5)

де ( AM) – довільна крива, що стягує крапки Aі M. Якщо шлях ( AM) взяти у вигляді ламаної, що складається з відрізків, паралельних осяхкоординат (кількість таких ламаних дорівнює шести), то для знаходження потенціалу може бути застосована одна з формул, що виражає потенціал
через певні інтеграли
;
):

приклад.Перевірте, що поле вектора є потенційним і знайти його потенціал.

Рішення.Складемо для даного полякритерій потенційності (2.2):

Поле потенційно. Знайдемо потенціал
за формулою (2.6): за початкову точкузручно взяти точку A(0,0,0):
.

Поняття дивергенції як локальної властивості векторного поля було введено під час розгляду потоку векторного поля замкнутої поверхні. Аналогічно можна запровадити відповідну характеристику під час розгляду циркуляції векторного поля.

Розглянемо деяку точку Mта векторне поле a . Виберемо деякий напрямок, що характеризується поодиноким вектором n та площину, перпендикулярну до вектора n і проходить через точку M. Оточимо крапку Mконтуром L, що лежить в заданої площини. Обчислимо циркуляцію векторного поля по цьому контуру та візьмемо відношення цієї циркуляції до площі S, обмеженою контуром L:

Знайдемо тепер межу цього відношення при S®0, за умови, що контур Lстягується в крапку M, не виходячи із площини. Ця межа називається ротором векторного поля a у точці M:

. (7.6)

Примітка 3. Ротор є характеристика "обертальної складової" векторного поля, тому його позначають як rot. Однак іноді замість слова ротор використовують термін " вихорі позначають символом curl.

Виведемо тепер формулу для ротора в декартовій системікоординат. Нехай n збігається з напрямком осі Oz, а контуром Lє прямокутник зі сторонами D xта D y, при цьому контур обходиться проти годинникової стрілки (рис. 7.3). Тоді отримаємо

.

Для першого доданку отримуємо

(відрізки DAі BCможна не враховувати, оскільки тут x=constі dx=0). Далі

.

Аналогічно отримуємо для другого доданку

.

В результаті, знаходимо

.

Аналогічно обчислюємо проекції інші осі координат:

, .

У векторної формице можна так:

Цю формулу можна записати компактніше у символічній формі:

. (7.8)

Формула (7.7) виходить із (7.8) шляхом розкладання визначника по першому рядку.

Приклад 7.4.Обчислити ротор векторного поля a =x 2 y 3 i +j +z k у точці M(1;1;1).

Рішення.Записуємо

Таким чином,

.

Приклад 7.5.Знайти ротор поля швидкостей обертового тіла v =-w y i +w x j .

Рішення.Оскільки v x=-w y, v y=w x, v z=0, то

.

Отже, ротор швидкостей твердого тіла у будь-якій його точці дорівнює подвоєної кутової швидкості. Знайдений механічний зміст ротора має ширше значення. Наприклад, колесо з лопатями в потоці рідини матиме максимальну швидкістьобертання, якщо вісь обертання буде спрямована вздовж rot a , при цьому швидкість обертання дорівнюватиме .

Нехай в деякій області G задано безперервне векторне поле а) і замкнутий орієнтований контур L. Визначення 1. Циркуляцією вектора а по замкнутому контуру L називається криволінійний інтеграл 2-го роду від оектора а по контуру L Тут dr - вектор, довжина якого дорівнює диференціалу дуги L, а напрямок збігаєтеся напрямком дотичної до L, оп Рис. 31 ределяемиморієнтацією контуру (рис. 31); символ f означає, що інтеграл береться по зам1«вугому контуру L. ь Приклад 1. обчислити циркуляцію векторного поля вздовж еліпса L: Параметричні рівнянняданого еліпса мають вигляд: , і, отже, . Підставляючи ці вирази у формулу (2), знайдемо циркуляцію векторного поля. Ротор вектор Теорема Стокса Ротор (вихор) векторного поля Інваріантне визначенняротора поля Фізичний зміст ротора поля Правила обчислення ротора 8.1. Ротор (вихор) векторного поля Розглянемо поле вектора Р, Q, R якого безперервні і мають безперервні похідні приватні першого порядку за всіма своїми аргументами. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) називається вектор, що позначається символом rot а і визначається рівністю або, у символічній, зручній для запам'ятовування формі, Цей визначник розкривають за елементами першого рядка, при цьому операції множення елементів другого рядка на елементи третього рядка розуміються як операції диференціювання, наприклад, Визначення 3. Якщо в деякій ділянці G маємо rot а = 0, то поле вектора а в ділянці G називаєте я безвихровим. Приклад 2. Знайти ротор вектора 4 Відповідно до формули (3) маємо Оскільки rot а - вектор, ми можемо розглядати векторне поле - поле ротора вектора а. Припускаючи, що координати вектора мають безперервні приватні похідні другого порядку, обчислимо дивергенцію вектора rot а. Отримаємо Таким чином, поле вектора rot а соленоїда льно. Теорема 7 (Стокса). Циркуляція вектора а вздовж орієнтованого замкнутого контуру L дорівнює потоку ротора цього вектора через будь-яку поверхню Е, натягнуту на контур L, При цьому передбачається, що координати вектора мають безперервні приватні похідні в деякій області G простору, що містить поверхню Е, і що орієнтація орта нормалі п° до поверхні ЄС G узгоджена з орієнтацією контуру L так, що з кінця нормші обхід контуру в заданому напрямку видно таким, що відбувається проти годинникової стрілки. Враховуючи, що і користуючись визначенням ротора (3), перепишемо формулу (4) у наступному вигляді: Розглянемо спочатку випадок, коли гладка поверхня Е та її контур L однозначно проектуються на область D площини хОу та її межу - контур А відповідно (рис. 32). Орієнтація контуру L породжує певну орієнтацію контуру А. Для визначеності вважатимемо, що контур L орієнтований так, що поверхня Е залишається ліворуч, так що вєєтор нормалі п до поверхні Е склавши єсоссю Oz гострий кут 7 (cos 7> 0). Нехай - рівняння поверхні Е і функція ф(х)у) безперервна і має безперервні похідні приватні gf і ^ в замкнутої області D. Розглянемо інтеграл Лінія L лежить поверхні Е. Тому, користуючись рівнянням цієї поверхні, ми можемо замінити г під знаком інтеграла на ^(ж, у). Координати перемсної точки кривої А дорівнюють координатам відповідної точкина кривій L, тому інтегрування по L можна замінити інтегруванням по А, Застосуємо до інтегралу, що стоїть праворуч, формулу Гріна. Маємо Перейдемо тепер від інтеграла по ділянці D до інтегралу по поверхні Е. Так як dS = cos 7 da, то з формули (8) отримаємо, що Вектор нормалі п° до поверхні Е визначається виразом до. Звідси видно, що. Тому рівність (9) можна переписати так: Вважаючи Е гладкою поверхнею, що однозначно проектується на всі три координатні площини, аналогічно переконуємося у справедливості формул Циркуляція векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихор) векторного поля Інваріантне визначення ротора поля Фізичний зміст ротора поля Правила обчислення ротора Складаючи рівності почленно, отримаємо формулу Стокса (5), або, коротше, Примітка 1. Ми показали, що поле вектора rote - соленоїд тому потік вектора rota не залежить від виду поверхні Е, натягнутої на контур L. Примітка 2. Формула (4) виведена в припущенні, що поверхня однозначно проектується на всі три координатні площини. Якщо ця умова не виконана, то розбиваємо £ на частини так, щоб кожна частина зазначеною умовоюзадовольняла, а потім користуємося адитивністю інтегралів. Приклад 3. Обчислити циркуляцію вектора лінії 1) користуючись визначенням; 2) за теоремою Стокса. 4 1) Задамо лінію L параметрично: Тоді 2) Знайдемо rota: Натягнемо на контур L шматок плоскості. Інваріантне визначення ротора поля З теореми Стокса можна отримати інваріантне визначення ротора поля, не пов'язане із вибором системи координат. Теорема 8. Проекція ротора на будь-який напрямок не залежить від вибору системи координат і дорівнює поверхневої щільностіциркуляції вектора а по контуру майданчика, перпендикулярної цьому напрямку, Тут (Е) - плоский майданчик, перпендикулярна векторул; 5 - площа цього майданчика; L - контур майданчика, орієнтований так, щоб обхід контуру був видно з кінця вектора проти ходу годинникової стрілки; (Е) М означає, що майданчик (Е) стягується до точки М, в якій розглядається вектор rot а, причому вектор нормалі п до цього майданчика залишається весь час одним і тим же (рис. 33). 4 Застосуємо спочатку до циркуляції (a,dr) вектора теорему Стокса, а потім до отриманого подвійному інтегралу- теорему про середнє значення: звідки ( скалярний твірбереться у деякій середній точці Мф майданчика (Е)). Пристягуванні майданчика (Е) до точки М середня точка Л/ср теж прагне до точки М і, в силу передбачуваної безперервності приватних похідних від координат вектора а (а значить, і безперервності rot а), ми отримуємо Оскільки проекція вектора rot а на довільний напрямок не залежить від вибору системи координат, то й сам вектор rota інваріантний щодо цього вибору. Звідси отримуємо наступне інваріантне визначення ротора поля: ротор поля є вектор, довжина якого дорівнює найбільшій поверхневій щільності циркуляції в даній точці, спрямований перпендикулярно до того майданчика, на якому ця найбільша щільністьциркуляції досягається; при цьому орієнтація вектора rota узгоджується з орієнтацією контуру, при якій позитивна циркуляція, за правилом правого гвинта. 8.3. Фізичний зміст ротора поля Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі I з кутовою швидкістю і. Не порушуючи спільності, вважатимуться, що вісь I збігається з віссю Oz (рис. 34). Нехай М(г) - точка тіла, що вивчається, де Вектор кутової швидкості в нашому випадку дорівнює з = wk, обчислимо вектор v лінійної швидкостіточки М, звідси циркуляція векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихор) векторного поля Інваріантне визначення ротора поля Фізичний зміст ротора поля Правила обчислення ротора Отже, вихор поля швидкостей твердого тіла, що обертається, однаковий у всіх точках поля, паралельний осі обертання і дорівнює подвоєної кутової швидкості обертання. 8.4. Правила обчислення ротора 1. Ротор постійного вектора дорівнює нульовому вектору, 2. Ротор має властивість лінійності постійні числа. 3. Ротор твору скалярної функції та(М) на векторну а(М) обчислюється за формулою

Найважливішими характеристиками векторного поля є ротор та дивергенція. У цьому параграфі ми розглянемо математичний описцих характеристик векторні поля та методи їх обчислення за допомогою диференціальних операцій. При цьому ми використовуватимемо лише декартову систему координат. Більше повне визначеннядивергенції та ротора та їх фізичний сенсрозглянемо у наступному розділі. Обчислення цих величин у криволінійних системах координат розглянемо пізніше.

Розглянемо векторне поле, задане у тривимірному просторі.

Визначення 1. Дивергенцією векторного поля називається число, що визначається виразом

При цьому передбачається, що відповідні приватні похідні існують у точці, що розглядається. Дивергенцію векторного поля, як і, як і градієнт, можна записати, використовуючи оператор набла

Тут дивергенція представлена ​​як скалярний твір векторів та F. Зазначимо без доказу, що дивергенція визначає густину джерел, що створюють поле.

Приклад 1. Обчислити дивергенцію векторного поля у точці.

Визначення 2. Ротором векторного поля називається вектор, що визначається виразом

Зазначимо, що у поданій сумі індекси у сусідніх доданках змінюються згідно з правилом кругової перестановки з урахуванням правила.

Ротор векторного поля можна записати за допомогою оператора

Ротор характеризує тенденцію до обертання чи завихрення векторного поля, тому іноді його називають вихором та позначають curlF.

Приклад 1. Обчислити ротор векторного поля у точці.

Іноді виникає необхідність обчислення векторного градієнта поля. У цьому випадку обчислюється градієнт кожної компоненти векторного поля. В результаті виходить тензор другого рангу, яким визначається градієнт вектора. Цей тензор можна описати матрицею

Для опису таких об'єктів зручно використовувати тензорні позначення

вважаючи. Використання тензорних методів спрощує математичні операціїнад такими об'єктами. Детальний виклад апарату тензорного обчислення дається в курсі «Основи тензорного аналізу», який читається паралельно курсу « Додаткові розділивищої математики».

Приклад 1. Розрахувати градієнт векторного поля.

Рішення. Для обчислень використовуємо тензорні позначення. Маємо

Тут символ Кронекера – одинична матриця.

Приклад 2. Обчислити градієнт скалярного поля та порівняти вирази в.

Деякі властивості оператора

Раніше ми запровадили оператор векторного диференціювання

За допомогою цього оператора ми записали основні диференціальні операції у тензорних полях:

Оператор є узагальненням оператора диференціювання і має відповідні властивості похідної:

1) похідна суми дорівнює сумі похідних

2) постійний множникможна виносити за знак оператора

У перекладі мовою векторних функцій ці властивості мають вигляд:

Виводяться ці формули так само, як і відповідні формули для похідних функції однієї змінної.

Використання оператора Гамільтона дозволяє спростити багато операцій, пов'язані з диференціюванням у тензорних полях. Однак слід мати на увазі, що цей оператор векторний і з ним треба поводитися акуратно. Розглянемо деякі застосування цього оператора. При цьому відповідні формули записуються як за допомогою оператора Гамільтона, і у звичайних позначеннях.