Векторний та тензорний аналіз. Концепція вектор

Найменування дисципліни : Векторний та тензорний аналіз.

Напрямок підготовки: 011200 Фізика

Профіль підготовки:

Кваліфікація (ступінь) випускника: бакалавр

Форма навчання: очна

1. Цілями освоєння дисципліни «Векторний та тензорний аналіз» є:

дати базові знанняза векторним та тензорним аналізом, необхідні для освоєння наступних курсів; навчити студентів найважливішим математичним методамфізики, а також проілюструвати використання цих методів на конкретних прикладах фізичних завдань; закріпити та розвинути знання, вміння та прийоми, отримані при вивченні математичних курсів, куди спирається даний курс; підготувати вихідний рівень знань та навичок, необхідних для подальшого навчаннястудентів.

2. Дисципліна «Векторний та тензорний аналіз» відноситься до базової частини циклу Б2. (математичний та природно-науковийцикл).

Цей курс є проміжним між традиційними курсами математики та теоретичної фізики. Для освоєння курсу необхідні вміння обчислювати похідні функцій однієї та кількох змінних, а також невизначених та певних інтегралів(курс «Математичного аналізу»), володіти матричним апаратом (курс «Лінійна алгебра»), використовувати геометричні методи (курс «Аналітична геометрія»), та знання основ класичної механіки(Курс "Механіка"). Математичний апарат, що викладається в рамках курсу «Векторний та тензорний аналіз», необхідний для успішного освоєння теоретичних курсівфізики: теоретична механіка, електродинаміка, квантова механіка та статистична фізика

3.В результаті освоєння дисципліни учень повинен:

визначення градієнта скалярного поля, дивергенції та ротора векторного поля;

диференціальні оператори Набла та Лапласа в декартовій системі координат;

визначення символу Кронекера і тензора Леві-Чевіта, їх основні властивості.

працювати з векторами в декартовій та криволінійних ортогональних (сферичній та циліндричній) системах координат;

обчислювати градієнт скалярного поля, дивергенцію та ротор векторного поля;

виконувати найпростіші операції над тензорами довільного рангу;

застосовувати теореми Остроградського-Гаусса та Стокса при обчисленнях інтегралів по поверхні та за обсягом.

навичками обчислень геометричних характеристиклінії у просторі;

диференціюванням векторних функцій однієї змінної;

алгеброю тензорів;

перетворенням тензорних функцій під час обертання;

вмінням обчислювати градієнт скалярного поля, дивергенцію та ротор векторного поля у сферичній та циліндричній системах координат.

4. Загальна трудомісткість дисципліни становить 2 залікові одиниці, 72 години.

6. Навчально-методичне та інформаційне забезпечення дисципліни

а) основна література:

1. Наринська О.М., Поваров А.В. Векторне та тензорне числення: навчальний посібник. – Ярославль: ЯрДУ, 2005. – 96 с.

2.Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. – С.-Петербург: Лань, 2003. – 832 с.

3.Краснов М.Л., Кисельов А.І., Макаренко Г.І. Векторний аналіз. Завдання та приклади з докладними рішеннями. – М.: Едиторіал УРСС, 2002. – 144 с.

4. Аківіс М.А., Гольдберг В.В. Тензорне літочислення. – М.: ФІЗМАТЛІТ, 2003. – 304 с.

5.Письмовий Д.Т. Лекції з вищої математики. Частина 2. - М: Аірф ПРЕС, 2004.

б) додаткова література:

1.Тамм І.Є. Основи теорії електрики. Додаток. - М: Наука, 1989.

2.Шилов Г.Є. Лекції з векторного аналізу. - М: Наука, 1954.

3.Победря Б.Є. Лекції з тензорного аналізу. - М: Вид-во МДУ, 1986.

4.Поздняк Е.Г., Шикін Є.В. Диференціальна геометрія: перше знайомство. - М: Вид-во МДУ, 1990.

5.Корєнєв Г.В. Тензорне літочислення. - М: Вид-во МФТІ, 1996.

6.Горшков А.Г., Рабінкій Л.М., Тарлаковський Д.В. Основи тензорного аналізу та механіки суцільного середовища: Підручник для вузів – М.: Наука, 2000. – 214 с.

7.Григор'єв А.І. та ін. Тензорна алгебра в прикладах та задачах: Навчальний посібник. – Ярославль: ЯрДУ, 1999. – 50 с.

8. Борисенко А.І., Тарапов І.Є. Векторний аналіз та початку тензорного обчислення. – М.: Вища школа, 1966. – 252 с.

9. Борисенко А.І. Механіка суцільного середовища: У 3 ч. Ч.1: Векторний аналіз та початки тензорного обчислення / Борисенко А.І., Тарапов І.Є. -Харків: Золоті сторінки, 2003. – 320 с.

Федеральне агентство з освіти

ГОУ ВПО ½Сиктивкарський державний університет\

Ю.М. БЕЛЯЇВ

ВСТУП У ВЕКТОРНИЙ

Навчальний посібник

Сиктивкар 2008

ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14

Друкується за постановою редакційно-видавничої ради Сиктивкарського держуніверситету

Ðå ö å í ç å í ò û:

кафедра математичного аналізу Комі державного педагогічного інституту,

Г.В. Уфимців канд. фіз.-матем. наук, доцент, Сиктивкарський лісовий інститут

Бєляєв Ю.М.

Á 43 Введення у векторний аналіз: Навчальний посібник. Сиктивкар: Èç-âî СиктДУ, 2008. 215 с.: іл.

ISBN 978-5-87237-601-1

Цей посібник містить основні відомості з алгебри векторів.

Правила диференціювання вектор-функції за скалярним аргументом демонструються на прикладах з механіки, зокрема з кінематики матеріальної точки та абсолютно твердого тіла.

Основні функції точки градієнт скалярного поля, розбіжність та вихор векторного поля дано в інваріантній по відношенню до вибору системи координат формі. Інтегральне уявлення вихору та розбіжності векторного поля використовуються для доказу теорем Остроградського та Стокса. Дані добірка формул для градієнта, дивергенції, ротора та оператора Лапласа в деяких ортогональних системах координат, а також завдання для самостійної роботистудентів з прикладами вирішення типових завдань, які використовуються для контролю засвоєння матеріалу.

Книжка призначена для студентів фізичних спеціальностей.

з Бєляєв Ю.М., 2008

c Сиктивкарський держуніверситет, 2008

ISBN 978-5-87237-601-1

1.5. Умноження вектора на число. . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Складання векторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Основні характеристики векторів. . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Правило багатокутника. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Різниця векторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ÿ 2. Приклади векторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Радіус вектор точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Переміщення, швидкість та прискорення. . . . . . . . . 22

2.3. Концепція сили. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ÿ 3. Лінійний простір. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Приклади лінійних просторів. . . . . . . . . . . 29

3.2. Розмірність та базис лінійного простору. . . . 34

4.1. Вектор базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Властивості координат вектора. . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Розмірність векторної множини. . . . . . . . . . 40

Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ÿ 5. Вектор проекції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. Вектор проекції на площині. . . . . . . . . . . . 43

5.2. Вектор проекції на вісь. . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Властивості векторної проекції на вісь. . . . . . . . . . 45

Ÿ 6. Додаток до тригонометрії. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1. Проекція одиничного вектор. . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Тригонометрична форма запису проекції. . . . 46

6.3. Основне тригонометрична тотожність. . . . . . 47

6.4. Формули наведення. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5. Теорема синусів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1. Координати вектора в ортонормованому базисі. 50

7.2. Довжина вектор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3. Напрямні косинуси. . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4. Кут між напрямками. . . . . . . . . . . . . . 52

7.5. Радіус-вектор у декартовій системі координат. . 53

7.6. Визначення векторної суми шляхом проекцій. 55

Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ÿ 8. Скалярне твір векторів. . . . . . . . . . . . . 59

8.1. Властивості скалярного твору. . . . . . . . . . 60

8.2. Евклідовий простір. . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3. Теорема косінусів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4. Скалярне твір в ортонормованому базисі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ 9. Векторний твір векторів. . . . . . . . . . . . . 68

9.1. Властивості векторного твору. . . . . . . . . . 69

9.2. Векторний твір в ортонормованому базисі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.3. Вираз векторного твору через

1.1. Геометричний зміст похідної. . . . . . . . . 79

1.2. Основні властивості похідних. . . . . . . . . . . 82

Ÿ 2. Інтеграл від вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ÿ 3. Осі природного тригранника. . . . . . . . . . . . . . 91

3.1. Формули Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2. Швидкість та прискорення в осях натурального тріедра. 96

3.3. Обчислення кривизни просторової кривої. . 99

3.4. Кручення просторової кривої. . . . . . . . . 103 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ÿ 4. Криволінійні ортогональні системикоординат. . . 104

4.1. Базисні вектори та коефіцієнти Ламе. . . . . . 107

4.2. Швидкість та прискорення матеріальної точки у криволінійній ортогональній системі координат. 108

Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Ÿ 5. Складання рухів. Додаток до кінематики. . . . . 112

5.1. Переміщення системи відліку. Кутова швидкість. 113

5.2. Швидкості точок твердого тіла. . . . . . . . . . . . . 116

5.3. Прискорення твердого тіла. . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4. Абсолютна швидкість руху матеріальної точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5. Складання прискорень. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Ÿ 1. Скалярне поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.1. Поверхня рівня скалярного поля. . . . . . . . 133

1.2. Диференційоване скалярне поле. . . . . . . . . 134

1.3. Похідна за напрямком. . . . . . . . . . . . . 135

1.4. Геометричний сенс градієнта. . . . . . . . . . . 136

1.5. Градієнт суми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.6. Градієнт складної функції. . . . . . . . . . . . . . 141

1.7. Градієнт в ортогональній системі координат. . . . 143 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ÿ 2. Векторні поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.1. Рівняння векторної лінії. . . . . . . . . . . . . . 148

2.2. Криволінійний інтеграл від векторного поля. . . . 151

2.3. Обчислення криволінійного інтегралу. . . . . . . 153

2.4. Вихор вектор поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1. Потік швидкості. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2. Потік векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3. Нормаль до поверхні. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.4. Обчислення потоку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.5. Потік через замкнуту поверхню. . . . . . . . . 170 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Ÿ 4. Розбіжність векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1. Розбіжність у ортогональній системі координат. 172

4.2. Соленоїдальне вектор поле. Векторний потенціал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3. Лапласово вектор поле. . . . . . . . . . . . . . . 175 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ÿ 5. Символічні позначення основних дифферен-

ційних операцій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.1. Символічний вектор набла. . . . . . . . . . . . . 177

5.2. Оператор Лапласа, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3. Похідна вектор по іншому вектору. . . . . 179

5.4. Диференціальні операції від творів функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5. Диференціальні операції другого порядку. . 183 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ÿ 6. Деякі ортогональні системи координат. . . . . . 184

6.1. Система циліндричних координат. . . . . . . . . 185

6.2. Сферична система координат. . . . . . . . . . . 186

6.3. Система параболічних циліндричних координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4. Система параболоїдальних координат. . . . . . . . 188

6.5. Система еліптичних циліндричних координат. 189

6.6. Система витягнутих еліпсоїдальних координат. 190 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ÿ 7. Теорема Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ÿ 8. Теорема Остроградського та пов'язані з нею формули. 195

8.1. Теорема Остроградського. . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2. Формула для градієнта. . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3. Формула для вихору. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4. Формули Гріна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Бібліографічний список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Відповіді та рішення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З АЛГЕБРИ ВЕКТОРІВ

Ÿ 1. Геометричне поняття вектора

1.1. Вступ. Одне з основних геометричних понять вектор, що виникло як математична абстракція об'єктів, що характеризуються величиною та напрямком, у працях кількох вчених майже одночасно в середині XIX століття. Перше векторне обчислення на площині розвинув в 1835 італійський вчений Беллавітіс (Guito Bellavitis, 1835-1880). Приблизно в цей же час набули популярності роботи Аргана (Jean Robert Argand, 1768-1822) та Весселя (Caspar Wessel, 17451818) про геометричну інтерпретацію комплексних чисел. Остаточне оформлення векторної алгебри було виконано у роботах Германа Грассмана (Hermann Grassmann, 18091877), Вільяма Гамільтона (William Rowen Hamilton, 18051865) та Дж.У. Гіббса (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).

Концепція вектор грає найважливішу рольв сучасній математиці та її додатках, наприклад в механіці, теорії відносності, електродинаміці, квантової фізикита інших розділах природознавства.

1.2. Скаляри та вектори.Величини називаються скалярними, якщо вони після вибору одиниці виміру повністю характеризуються одним числом. Прикладами скалярів є час t, обсяг V маса m температура T , робота сили A, електричний заряд q та ін.

Два скаляри однієї й тієї ж розмірності рівні, якщо при вимірі їх однією і тією самою одиницею заходи виходять один-

накові числа.

Такі величини, як швидкість ~v, прискорення ~a, сила F, на-

напруга електричного поля E , що вимагають для свого за-

давання не тільки вказівки числового значення, а й напрями у просторі, називаються векторними величинами, або

векторів.

Терміни скаляр (1843) та вектор (1845) були придумані Гамільтоном, який утворив їх відповідно від латинських слів scale шкала та vector несучий.

Найпростішим скаляром є абстрактне число, а найпростішим вектором прямолінійний відрізок, що має певну довжинуі певний напрямок від початкової точки відрізка до його кінцевої точки.

1.3. Зображення та позначення векторних величин. Існує декілька різних формпозначення векторних величин. Одна з найстаріших рисочка над літерою. Саме так позначав спрямований відрізок Аргана. Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831-1879) позначав вектори готичними літерами, Гамільтон та Гіббс грецькими літерами. Позначення векторів жирними літерами було запропоновано Хевісайдом (Oliver Heaviside, 1850-1925).

У цій роботі геометричні вектори позначаються бук-

вами зі стрілкою вгорі: ~a, b, ~c тощо. Іноді ми будемо про-

значати вектор, початкова точка якого є A, а кінцева

B, символ AB. На малюнках вектори зображуються у вигляді прямолінійних відрізків, що мають не тільки певну довжину, а й певний напрямок, що вказується стрілкою на кінці відрізка.

Довжина вектора, яка інакше називається модулем вектора, позначається тією ж літерою, що вектор, але без стрілки. Іноді позначення модуля вектора береться позначення самого вектора, поміщеного в прямі дужки. Наприклад, p = jp~j модуль вектора p~.

Нуль-вектор вектор 0, довжина якого дорівнює нулю, може мати будь-який напрямок у просторі.

Кут між векторами p~ та q~ це найменший кут, на який потрібно повернути один вектор, щоб він збігся у напрямку з іншим (рис.1). Будемо позначати цей кут сім-

волом (p; ~ q ~).

1.4. Рівність векторів.Коли ми порівнюємо векторні фізичні величини, мається на увазі, що вони мають однакову фізичну розмірність.

Розрізняють три різних типіввекторів. Кожен їх об'єднує сукупність векторів з однаковими властивостями.

Вільні вектори визначаються напрямом лінії дії та модулем. Такі вектори рівні, якщо вони рівні за мо-

дулю f = g однаково спрямовані, тобто. (f; ~ g) = 0: Іншими

словами, ми не розрізняємо двох вільних векторів f і ~g, які мають різні точкипрограми та виходять один з одного паралельним переносом.

Рівність двох векторів f і ~g символічно записується так:

Пов'язаний вектор. Для визначення зв'язаного вектора AB потрібно вказати його лінію дії (на рис. 2a це лінія xx0), напрямок на цій лінії (від x до x0), його початок (A) та довжину вектора. Пов'язані вектори це вектори, для еквівалентності яких необхідна їхня рівність за довжиною, однаковий напрямок і загальний початок. Прикладом такого вектора може бути сила, прикладена до певної точки пружного

Ковзкий вектор. Визначення залишається таким самим, як і в попередньому випадку, якщо виключити вимогу про закріплення початку вектора. Воно може бути в будь-якій точці осі xx0 . Ковзаючими називають такі вектори, які вважають-

ються еквівалентними, якщо вони рівні за модулем, однаково

спрямовані та лежать на одній прямій (наприклад, AB = A B на (рис. 2b)). Прикладами таких векторів є сили, роз-

дивляться в статичній механіці.

Оскільки напрямки нульового векторане визначено, чи всі нульові вектори вважаються рівними.

Усі нижченаведені правила, зокрема множення вектора на скалярні величиниі правило складання векторів, будуть дані стосовно вільних векторів. Поширення цих визначень на пов'язані і ковзаючі вектори не складно.

1.5. Умноження вектора на число. При множенні вектора ~a на дійсне число виходить вектор ~c, такий, що його модуль дорівнює j ja, і спрямований у ту ж сторону, що і вектор ~a при > 0 і в протилежний бік, якщо< 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,

Вектори ~c та ~a, пов'язані рівністю (1.1), паралельні один одному або лежать на одній прямій. Такі вектори називають колінеарними 1 .

На рис. 3 як приклад показано вектор ~a і ви- ходи з нього в результаті множення на числа 2 і 0:5 вектори 2~a та 0:5~a.

Відповідно до даного визначення множення вектора на число будь-який вектор ~a можна подати у вигляді твору

1 Термін утворений від латинських co разом èlinearis лінійний і означає буквально солінійність . Гамільтон у своєму векторному вираху-

лені ввів назву termino-collinear для векторів, які мають загальний початок і кінці яких лежать на одній прямій. Цю назву спростив Гіббс, завдяки якому термін колінеарність увійшов у векторну

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про даному розділі вищої математики…. Напевно, вам зараз згадався курс шкільна геометріяз численними теоремами, їхніми доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та « аналітичний методрішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних дій. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розумінняматеріалу я постараюся наводити їх понад потребу.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школивам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий із базовими геометричними поняттямиі фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У даному випадкупочатком відрізка є точка, кінцем відрізка - точка. Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти в двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальної літературиіноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим, що це вектор

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

То були елементарні відомостіпро вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть вектор довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все математично коректно – вектор можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора в загальному випадкунекоректно, і точка програми вектора має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсігеометрії розглядається ряд дій та правил з векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний твірвекторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні сторони, то вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори– це той самий вектор, про що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких в суворої послідовності перераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійної алгебри, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Переставте доданки місцями і простежте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичні завданнявикористовуються всі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного просторуможна, можливо єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, в даному випадку трьох, Векторів: . Вектор суми починається в вихідній точцівідправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для здачі теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилювикладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий часна поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати в прямокутної системикоординат. Відкладати крапки на координатної площиниДумаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворим місцемна площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за потреби ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, очевидно, справедливо й у простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще пара важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Це було дуже давно, коли я навчався класу в десятому. Серед досить мізерного в науковому плані фонду районної бібліотеки мені попалася книга - Угаров В. А. « Спеціальна теоріявідносності». Ця тема цікавила мене на той час, але інформації шкільних підручників та довідників було явно недостатньо.

Однак, книгу цю читати не зміг, тому що більшість рівнянь представлялися там у вигляді тензорних співвідношень. Пізніше в університеті програма підготовки за моєю спеціальністю не передбачала вивчення тензорного обчислення, хоча малозрозумілий термін «тензор» випливав досить часто в деяких спеціальних курсах. Наприклад, було дуже незрозуміло, чому матриця, що містить моменти інерції твердого тіла гордо називається тензором інерції.

Занурення у спеціальну літературу не давало просвітлення. Технарю досить важко переварити строгу абстрактну мову чистої математики. Тим не менше, час від часу я повертався до цього питання, і ось майже через шістнадцять років настало просвітлення, про що і буде розказано під катом. Можливо, мої міркування здадуться примітивними та спрощеними, але розуміння будь-якої складної речі прийнято розгортати від процесу оперування простими поняттямитому почнемо.

1. Вектор плоскості. Контраваріантні, коваріантні координати та зв'язок між ними

Розглянемо вектор і без втрати спільності наших міркувань розглянемо вектор заданий на площині. Як відомо з курсу ще шкільної геометрії, будь-який вектор можна задати на площині за допомогою двох векторів неколінеарних

Тут - коефіцієнти розкладання, (під верхнім індексом слід розуміти саме номер компоненти, а не повернення до ступеня), звані контрваріантнікоординати вектора. Геометрично це можна зобразити так, як показано на малюнку нижче. Вектори називають базисними, кут між ними, за умови , може бути довільним, так само ненульова довжина базисних векторів. Зазначений базис задає косокутну систему координат на площині з осями .

Виходячи з креслення довжини відрізків і рівні

Проте, це єдиний спосіб визначити вектор у цій системі координат. Його можна так само поставити ортогональними проекціямина осі. Неважко бачити, що ці проекції рівні

Де і - підступнікоординати вектора.

Порівнюємо (3), (5) та (4), (6)

Набір контраваріантних і коваріантних компонентів, по суті, задають у вибраному базисі той самий вектор. При використанні контраваріантних координат цей вектор задається матрицею-стовпцем

2. Скалярний добуток векторів

3. Правило Ейнштейна

4. Аналіз на простих прикладах

Ще приклад, щоб не захаращувати який, будемо працювати у двох вимірах. Нехай система координат подібна до тієї, що зображена на малюнку з параграфа 1, і в ній заданий вектор своїми контраваріантними ординатами. Тоді

Що виходить? Працюючи в різних системахкоординат, використовували одну єдину формулу (20) для обчислення скалярного твору. І її вигляд зовсім не залежить ні від базису, ні від кількості вимірів простору, в якому ми працюємо. Базисом визначаються лише конкретні значеннякомпонент матриці.

Так от, рівняння (20) виражає скалярний добуток двох векторів тензорною, тобто незалежною від обраного базису формі.

Матриця задає так званий метричний тензор. Її вигляд
визначає, яким чином у вибраних координатах обчислюється відстань між двома точками.

Але чому ми називаємо цю матрицю тензором? Слід розуміти, що математична форма, в даному випадку квадратна матриця, що містить набір компонентів, це ще не тензор. Поняття тензора трохи ширше, і як ми скажемо, що таке тензор, ми розглянемо ще одне питання.

5. Перетворення метричного тензора при зміні базису

В останньому виразі

Тепер, використовуючи правило Ейнштейна, перепишемо (22) та (23) у тензорній формі

Тепер розглянемо конкретний приклад, на площині, щоб не писати надмірно громіздких викладок

Нехай вектор заданий у двох нормованих базисах: прямокутному
та косокутному. Перетворення з косокутної системи координат у прямокутну виражається матрицею

Тобто

Висновок та висновки

Що ми побачили у попередньому параграфі? Якщо властивості простору, в якому задані вектори відомі, то нам не важко виконати, строго формальним чином, дії над векторами, використовуючи співвідношення, вид яких від форми простору незалежний. Причому співвідношення (20), (24) і (25) дають нам алгоритм обчислення і спосіб перетворення компонент виразів, використовуваних алгоритмом. У цьому – міць і сила тензорного підходу.

Багато фізичних теорій, наприклад ОТО, оперують викривленим простором-часом, і там інший підхід просто неприйнятний. У викривленому просторі-часі метричний тензор заданий локально, у кожній його точці, і якщо спробувати обійтися без тензорів, у нас нічого не вийде – ми отримаємо громіздкі та неповороткі рівняння, якщо отримаємо їх взагалі.

У прикладних галузях науки тензорна запис виразів застосовна там, де потрібно отримувати рівняння, незалежні від системи координат.

Але це ще не все. Ми не поговорили про властивості метричного тензора, не розглянули векторний твір та тензор Леві-Чевіти. Не поговорили про ранг тензорів та операції з ними, не розібралися до кінця з правилами індексації компонентів тензорів та багато іншого. Про це буде написано дещо пізніше, а поки що - дякую всім моїм читачам за увагу. Додати теги