Визначення замкнутої множини. Замкнуті та відкриті множини

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типівточкових множин. Ми познайомимо читача із цією теорією на двох прикладах. Саме ми вивчимо тут властивості так званих замкнутих і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим, якщо воно містить усі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим, якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих та відкритих множин. Кожен відрізок є замкнута множина, а всякий інтервал - відкрита множина. Невласні напівінтервали

замкнуті, а невласні інтервали відкриті. Вся пряма є одночасно замкненою і відкритою безліччю. Зручно вважати порожню множину теж одночасно замкненою і відкритою. Будь-яке кінцеве безліч точок на прямій замкнуте, оскільки воно не має граничних точок. Безліч, що складається з точок

замкнуто; це безліч має єдину граничну точку, яка належить безлічі.

Наше завдання полягає в тому, щоб з'ясувати, як влаштовано довільну замкнуту чи відкриту множину. Для цього нам знадобиться низка допоміжних фактів, які ми ухвалимо без доказу.

1. Перетин будь-якої кількості замкнених множин замкнутий.

2. Сума будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.

3. Якщо замкнута множина обмежена зверху, то вона містить свою верхню грань. Аналогічно, якщо замкнута множина обмежена знизу, воно містить свою нижню грань.

Нехай Е - довільна множина точок на прямій. Назвемо доповненням множини Е і позначимо через безліч усіх точок на прямій, не що належать безлічіЕ. Ясно, що якщо х є зовнішня точка для Е, то вона є внутрішньою точкоюдля множини і назад.

4. Якщо безліч F замкнуто, його доповнення відкрито і назад.

Пропозиція 4 показує, що між замкнутими та відкритими множинами є дуже тісний зв'язок: одні є доповненнями інших. В силу цього достатньо вивчити одні замкнуті чи одні відкриті множини. Знання властивостей множин одного типу дозволяє відразу з'ясувати властивості множин іншого типу. Наприклад, всяке відкрите безліч виходить шляхом видалення з прямої деякої замкненої множини.

Приступаємо до вивчення властивостей замкнених множин. Введемо одне визначення. Нехай F - замкнута множина. Інтервал володіє тим властивістю, що жодна з його точок не належить множині а точки а і належать називається суміжним інтервалом множини. До суміжних інтервалів ми також відноситимемо невласні інтервали або якщо точка а або точка належить множині а самі інтервали з F не перетинаються. Покажемо, що якщо точка х не належить замкнутій множині, то вона належить одному з його суміжних інтервалів.

Позначимо через частину множини розташовану правіше точки х. Так як сама точка х не належить множині то можна уявити у формі перетину

Кожна з множин F замкнута. Тому, через пропозицію 1, безліч замкнуто. Якщо безліч порожньо, весь напівінтервал належить безлічі Припустимо тепер, що безліч не порожньо. Так як ця множина цілком розташована на напівінтервалі то вона обмежена знизу. Позначимо через його нижню грань. Відповідно до пропозиції отже. Далі, так як є нижня грань множини , то напівінтервал ліворуч точки не містить точок множини і, отже, не містить точок множини Отже, ми побудували напівінтервал не містить точок множини причому або або точка належить множині або а Тепер ясно, що інтервал містить точку х і є суміжним інтервалом множини Легко бачити, що якщо - два суміжні інтервали множини, то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямий деякого числа інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини. що число всіх суміжних інтервалів більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множиниможуть мати дуже складну будову.

Канторово безліч. Побудуємо одну спеціальну замкнуту множину, що має поруч чудових властивостей. Насамперед видалимо з прямої невласні інтервали та . Після цієї операції у нас залишиться відрізок. Далі, видалимо з цього відрізку інтервал, що становить його середню третину.

З кожного з двох відрізків, що залишилися, видалимо його середню третину. Цей процес видалення середніх третин у відрізків, що залишаються, продовжимо необмежено. Безліч точок на прямій, що залишається після видалення всіх цих інтервалів, називається досконалим канторовим безліччю; ми позначатимемо його літерою Р.

Розглянемо деякі властивості цієї множини. Безліч Р замкнуте, так як воно утворюється шляхом видалення з прямої деякої множини інтервалів, що не перетинаються. Безліч Р не порожнеч принаймні у ньому містяться кінці всіх викинутих інтервалів.

Замкнене множина F називається досконалим, якщо воно не містить ізольованих точок, тобто якщо кожна його точка є граничною точкою. Покажемо, що безліч Р зовсім. Справді, якби деяка точка х була ізольованою точкою множини Р, вона служила б загальним кінцемдвох суміжних інтервалів цієї множини. Але, згідно з побудовою, суміжні інтервали множини Р не мають спільних кінців.

Безліч Р не містить жодного інтервалу. Справді, припустимо, деякий інтервал цілком належить множині Р. Тоді він цілком належить одному з відрізків, виходять на етапі побудови множини Р. Але це неможливо, оскільки за довжини цих відрізків прагнуть кулю.

Можна показати, що множина Р має потужність континууму. Зокрема, звідси випливає, що досконале канторово містить, крім кінців суміжних інтервалів, ще й інші точки. Справді, кінці суміжних інтервалів утворюють лише численне безліч.

Різноманітні типи точкових множин постійно зустрічаються в різних розділах математики, і знання їх властивостей зовсім необхідне при дослідженні багатьох математичних проблем. Особливо велике значеннямає теорія точкових множин для математичного аналізута топології.

Наведемо кілька прикладів появи точкових множин у класичних розділах аналізу. Нехай - безперервна функція, задана на відрізку Зафіксуємо число а і розглянемо безліч тих точок х, для яких Неважко показати, що це безліч може бути довільним замкнутим безліччю, розташованим на відрізку Точно так само безліч точок х, для яких може бути будь-яким відкритим безліччю Якщо є послідовність безперервних функцій, заданих на відрізку безліч тих точок х, де ця послідовність сходиться, не може бути довільним, а належить до цілком певного типу.

Математична дисципліна, що займається вивченням будови точкових множин, називається дескриптивною теорією множин. Дуже великі заслуги у справі розвитку дескриптивної теорії множин належать радянським математикам - Н. Н. Лузіну та його учням П. С. Александрову, М. Я. Сусліну, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьєву, П. С. Новікову , Л. В. Келдиш, А. А. Ляпунову та ін.

Дослідження М. М. Лузіна та його учнів показали, що є глибокий зв'язок між дескриптивною теорією множин і математичною логікою. Труднощі, що виникають при розгляді низки задач дескриптивної теорії множин (зокрема, задач про визначення потужності тих чи інших множин), є труднощами логічної природи. Навпаки, методи математичної логікидозволяють глибше проникнути деякі питання дескриптивної теорії множин.

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типів точкових множин. Познайомимося з цією теорією на двох прикладах і вивчимо властивості про замкнених і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим якщо воно містить всі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих і відкритих множин .

Кожен відрізок є замкнута множина, а всякий інтервал (a, b) - відкрита множина. Невласні напівінтервали та замкнуті, а невласні інтервали та відкриті. Вся пряма є одночасно замкненою і відкритою безліччю. Зручно вважати порожню множину теж одночасно замкненою і відкритою. Будь-яке кінцеве безліч точок на прямій замкнуте, оскільки воно не має граничних точок.

Безліч, що складається з точок:

замкнуто; ця множина має єдину граничну точку x=0, яка належить множині.

Основне завдання полягає в тому, щоб з'ясувати, як влаштовано довільну замкнуту або відкриту множину. Для цього нам знадобиться низка допоміжних фактів, які ми ухвалимо без доказу.

• 1. Перетин будь-якої кількості замкнених множин замкнутий.
• 2. Сума будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.
• 3. Якщо замкнута множина обмежена зверху, воно містить свою верхню грань. Аналогічно, якщо замкнута множина обмежена знизу, воно містить свою нижню грань.

Нехай E - довільна множина точок на прямій. Назвемо доповненням множини E і позначимо через CE множину всіх точок па прямий, що не належать множині E. Зрозуміло, що якщо x є зовнішня точка для E, то вона є внутрішньою точкою для множини CE і назад.

4. Якщо безліч F замкнуто, його доповнення CF відкрито і назад.

Пропозиція 4 показує, що між замкнутими та відкритими множинами є дуже тісний зв'язок: одні є доповненнями інших. З огляду на це досить вивчити одні замкнуті чи одні відкриті множини. Знання властивостей множин одного типу дозволяє відразу з'ясувати властивості множин іншого типу. Наприклад, всяке відкрите безліч виходить шляхом видалення з прямої деякої замкненої множини.

Приступаємо до вивчення властивостей замкнених множин. Введемо одне визначення. Нехай F - замкнута множина. Інтервал (a, b), що володіє тим властивістю, що жодна з його точок не належить множині F, а точки a і b належать F, називається суміжним інтервалом множини F.

До суміжних інтервалів ми також відноситимемо невласні інтервали або, якщо точка a або точка b належить множині F, а самі інтервали з F не перетинаються. Покажемо, що якщо точка x не належить замкнутій множині F, вона належить одному з його суміжних інтервалів.

Позначимо через частину множини F, розташовану правіше точки x. Так як сама точка x не належить множині F, то можна уявити у формі перетину:

Кожна з множин F і замкнута. Тому, через пропозицію 1, безліч замкнуто. Якщо безліч порожньо, весь напівінтервал не належить безлічі F. Припустимо тепер, що безліч не порожньо. Так як ця множина цілком розташована на напівінтервалі, то вона обмежена знизу. Позначимо через b його нижню грань. Відповідно до пропозиції 3, отже. Далі, оскільки b є нижня грань множини, то напівінтервал (x, b), що лежить ліворуч від точки b, не містить точок множини і, отже, не містить точок множини F. Отже, ми побудували напівінтервал (x, b), що не містить точок множини F, причому або, або точка b належить множині F. Аналогічно будується напівінтервал (a, x), що не містить точок множини F, причому або. Тепер ясно, що інтервал (a, b) містить точку x і є суміжним інтервалом множини F. Легко бачити, що якщо і - два суміжні інтервали множини F, то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямої деякої кількості інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини F. Оскільки кожен інтервал містить принаймні одну раціональну точку, а всіх раціональних точок на прямій - лічильна множина, то легко переконатися, що кількість всіх суміжних інтервалів не більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множини можуть мати дуже складну будову.

Відкриті та замкнуті множини

Додаток 1 . Відкриті та замкнуті множини

Безліч Mна прямий називається відкритим, якщо кожна його точка збереться в цій множині разом з деяким інтервалом. Замкнутимназивається безліч, що містить всі свої граничні точки (тобто такі, що будь-який інтервал, що містить цю точку, перетинається з безліччю ще хоча б по одній точці). Наприклад, відрізок є замкненою множиною, але не є відкритим, а інтервал, навпаки, є відкритим множиною, але не є замкнутим. Бувають множини, які не є ні відкритими, ні замкнутими (наприклад, напівінтервал). Існують дві множини, які одночасно і замкнуті, і відкриті - це порожнє і все Z(Доведіть, що інших немає). Легко бачити, що якщо Mвідкрито, то [` M] (або Z \ M- Доповнення до безлічі Mдо Z) замкнуто. Справді, якщо [ M] не замкнуте, воно не містить якусь свою граничну точку m. Але тоді mПро M, причому кожен інтервал, що містить m, перетинається з безліччю [ M], тобто має точку, що не лежить в M, а це суперечить тому, що M- Відкрите. Аналогічно, теж прямо з визначення, доводиться, що якщо Mзамкнуто, то [ M] відкрито (перевірте!).

Тепер доведемо таку важливу теорему.

Теорема. Будь-яке відкрите безліч Mможна у вигляді об'єднання інтервалів з раціональними кінцями (тобто з кінцями в раціональних точках).

Доведення . Розглянемо об'єднання Uвсіх інтервалів з раціональними кінцями, які є підмножинами нашої множини. Доведемо, що це об'єднання збігається з усією множиною. Справді, якщо m- Якась точка з M, то існує інтервал ( m 1 , m 2) М M, що містить m(це випливає з того, що M- Відкрите). На будь-якому інтервалі можна знайти оптимальну точку. Нехай на ( m 1 , m) – це m 3 , на ( m, m 2) - це m 4 . Тоді точка mпокрита об'єднанням U, а саме, інтервалом ( m 3 , m 4). Таким чином, ми довели, що кожна точка mз Mпокрита об'єднанням U. Крім того, як очевидно випливає з побудови U, ніяка точка, що не міститься в M, не покрита U. Значить, Uі Mзбігаються.

Важливим наслідком цієї теореми є той факт, що будь-яке відкрите безліч є лічильнийпоєднання інтервалів.

Ніде нещільні множини і безлічі міри нуль. Канторове безліч>

Додаток 2 . Ніде не щільні множини і безлічі міри нуль. Канторове безліч

Безліч Aназивається ніде не щільним, якщо для будь-яких різних точок aі bзнайдеться відрізок [ c, d] М [ a, b], що не перетинається з A. Наприклад, безліч точок послідовності a n = [ 1/(n)] є ніде не щільним, а безліч раціональних чисел- Ні.

Теорема Бера. Відрізок не можна у вигляді рахункового об'єднання ніде не щільних множин.

Доведення . Припустимо, що існує послідовність A kніде не щільних множин, таких що І i A i = [a, b]. Побудуємо наступну послідовність відрізків. Нехай I 1 – якийсь відрізок, вкладений у [ a, b] і не перетинається з A 1 . За визначенням ніде не щільної множини на відрізку I 1 знайдеться відрізок, що не перетинається з безліччю A 2 . Назвемо його I 2 . Далі, на відрізку I 2 візьмемо аналогічним чином відрізок I 3 , що не перетинається з A 3 , і т. д. I kвкладених відрізків є загальна точка(це одне з основних властивостей дійсних чисел). Ця точка з побудови не лежить в жодній з множин A k, отже, ці множини не покривають весь відрізок [ a, b].

Назвемо безліч M що мають міру нульякщо для будь-якого позитивного e знайдеться послідовність I kінтервалів із сумарною довжиною менше e , що покриває M. Очевидно, що будь-яка лічильна множина має міру нуль. Однак бувають і численні множини, що мають міру нуль. Побудуємо одне таке, дуже відоме, зване канторовим.

Візьмемо відрізок. Поділимо його на три рівні частини. Середній відрізок викинемо (рис. 11, а). Залишиться два відрізки сумарної довжини [2/3]. З кожним з них проробимо таку саму операцію (рис. 11, б). Залишиться чотири відрізки сумарної довжини [4/9] = ([2/3]) \ B 2 . Продовжуючи так далі (рис. 11, в–е) до нескінченності, отримуємо безліч, яка має міру менше будь-якогонаперед заданою позитивною, тобто міру нуль. Можна встановити взаємно однозначну відповідність між точками цієї множини та нескінченними послідовностями нулів та одиниць. Якщо при першому "викиданні" наша точка потрапила у правий відрізок, поставимо на початку послідовності 1, якщо в лівий – 0 (рис. 11, а). Далі, після першого "викидання", отримуємо маленьку копію великого відрізка, з якої робимо так само: якщо наша точка після викидання потрапила у правий відрізок, поставимо 1, якщо в лівий - 0, і т. д. (перевірте взаємну однозначність) , Мал. 11, б, в. Оскільки безліч послідовностей нулів та одиниць має потужність континуум, канторова безліч також має потужність континуум. Крім того, неважко довести, що воно ніде не щільне. Однак невірно, що воно має сувору міру нуль (див. визначення суворої міри). Ідея доказу цього факту наступного: візьмемо послідовність a n, що дуже швидко прагне до нуля. Для цього підійде, наприклад, послідовність a n = [ 1/(2 2 n)]. Після чого доведемо, що цією послідовністю не можна покрити канторово безліч (зробіть це!).

Додаток 3 . Завдання

Операції над множинами

Безліч Aі Bназиваються рівними, якщо кожен елемент множини Aналежить безлічі B, і навпаки. Позначення: A = B.

Безліч Aназивається підмножиноюбезлічі B, якщо кожен елемент множини Aналежить безлічі B. Позначення: AМ B.

1. Для кожних двох з наступних множин вказати, чи є одна з них підмножиною іншого:

2. Доведіть, що безліч Aтоді і тільки тоді є підмножиною множини B, коли кожен елемент, що не належить B, не належить A.

3. Доведіть, що для довільних множин A, Bі C

а) AМ A; б) якщо AМ Bі BМ C, то AМ C;

в) A = Bякщо і тільки якщо AМ Bі BМ A.

Безліч називається порожнімякщо воно не містить жодного елемента. Позначення: Ж .

4. Скільки елементів у кожної з наступних множин:

5. Скільки підмножин у множини з трьох елементів?

6. Чи може у множини бути рівно а) 0; б *) 7; в) 16 підмножин?

Об'єднанняммножин Aі B x, що xПро Aабо xПро B. Позначення: AІ B.

Перетиноммножин Aі Bназивається безліч, що складається з таких x, що xПро Aі xПро B. Позначення: AЗ B.

Різницямножин Aі Bназивається безліч, що складається з таких x, що xПро Aі xП B. Позначення: A \ B.

7. Дано безлічі A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Знайдіть безліч:

8. Нехай A– безліч парних чисел, а B– множина чисел, що діляться на 3. Знайдіть AЗ B.

9. Доведіть, що для будь-яких множин A, B, C

а) AІ B = BІ A, AЗ B = BЗ A;

б) AІ ( BІ C) = (AІ B)І C, AЗ ( BЗ C) = (AЗ B)З C;

в) AЗ ( BІ C) = (AЗ B)І ( AЗ C), AІ ( BЗ C) = (AІ B)З ( AІ C);

г) A \ (BІ C) = (A \ B)З ( A \ C), A \ (BЗ C) = (A \ B)І ( A \ C).

10. Чи правда, що для будь-яких множин A, B, C

Відображення множин

Якщо кожному елементу xбезлічі Xпоставлений у відповідність рівно один елемент f(x) множини Y, то кажуть, що поставлено відображення fз множини Xу безліч Y. При цьому, якщо f(x) = y, то елемент yназивається чиномелемента xпри відображенні f, а елемент xназивається прообразомелемента yпри відображенні f. Позначення: f: X ® Y.

11. Намалюйте всілякі відображення з множини (7,8,9) до множини (0,1).

Нехай f: X ® Y, yПро Y, AМ X, BМ Y. Повним прообразом елемента y при відображенні fназивається безліч ( xПро X | f(x) = y). Позначення: f - 1 (y). Образом безлічі AМ X при відображенні fназивається безліч ( f(x) | xПро A). Позначення: f(A). Прообразом множини BМ Y називається безліч ( xПро X | f(x) Про B). Позначення: f - 1 (B).

12. Для відображення f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), заданого картинкою, знайдіть f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. Нехай f: X ® Y, A 1 , A 2 М X, B 1 , B 2 М Y. Чи завжди вірно, що

а) f(X) = Y;

б) f - 1 (Y) = X;

в) f(A 1 І A 2) = f(A 1)І f(A 2);

г) f(A 1 З A 2) = f(A 1) З f(A 2);

д) f - 1 (B 1 І B 2) = f - 1 (B 1)І f - 1 (B 2);

е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1) З f - 1 (B 2);

ж) якщо f(A 1) М f(A 2), то A 1 М A 2 ;

з) якщо f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?

Композицієювідображень f: X ® Yі g: Y ® Zназивається відображення, що зіставляє елементу xбезлічі Xелемент g(f(x)) безлічі Z. Позначення: g° f.

14. Доведіть, що для довільних відображень f: X ® Y, g: Y ® Zі h: Z ® Wвиконується таке: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Нехай f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5)– відображення, показані на малюнку:

Намалюйте картинки для наступного відображення:

а) g° f; б) h° g; в) f° h° g; г) g° h° f.

Відображення f: X ® Yназивається бієктивним, якщо для кожного yПро Yзнайдеться рівно один xПро Xтакий, що f(x) = y.

16. Нехай f: X ® Y, g: Y ® Z. Чи правда, що якщо fі gбієктивні, то й g° fбієктивно?

17. Нехай f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3) – відображення, зображені на малюнку:

18. Про кожні два з наступних множин з'ясуйте, чи існує біокція з першого до другого (треба вважати, що нуль – натуральне число):

а) безліч натуральних чисел;

б) безліч парних натуральних чисел;

в) множина натуральних чисел без числа 3.

Метричним просторомназивається множиться Xіз заданою метрикою r : X× X ® Z

1) " x,yПро X r ( x,y) і 0, причому r ( x,y) = 0, якщо і тільки якщо x = y (невід'ємність ); 2) " x,yПро X r ( x,y) = r ( y,x) (симетричність ); 3) " x,y,zПро X r ( x,y) + r ( y,z) і r ( x,z) (нерівність трикутника ). 19 19. X

а) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C[a,ba,b] функцій,

відкритим(відповідно, замкнутим) кулею радіусу rв просторі Xз центром у точці xназивається безліч U r (x) = {yПро x: r ( x,y) < r) (відповідно, B r (x) = {yПро X: r ( x,y) Ј r}).

Внутрішньою точкоюбезлічі UМ X U

відкритим околицеюцієї точки.

Граничною точкоюбезлічі FМ X F.

замкнутим

20. Доведіть, що

21. Доведіть, що

б) об'єднання множини A замикання A

Відображення f: X ® Yназивається безперервним

22.

23. Доведіть, що

F (x) = inf yПро F r ( x,y

F.

24. Нехай f: X ® Y- . Чи правда, що протилежне до нього безперервно?

Безперервне взаємно однозначне відображення f: X ® Y гомеоморфізмом. Простору X, Yгомеоморфними.

25.

26. Для яких пар X, Y f: X ® Y, яке не склеюєточки (тобто. f(x) № f(y) при x № y вкладеннями)?

27*. локальним гомеоморфізмом(Тобто у кожної точки xплощині та f(x) тора існують такі околиці Uі V, що fгомеоморфно відображає Uна V).

Метричні простори та безперервні відображення

Метричним просторомназивається множиться Xіз заданою метрикою r : X× X ® Z, що задовольняє наступним аксіомам:

1) " x,yПро X r ( x,y) і 0, причому r ( x,y) = 0, якщо і тільки якщо x = y (невід'ємність ); 2) " x,yПро X r ( x,y) = r ( y,x) (симетричність ); 3) " x,y,zПро X r ( x,y) + r ( y,z) і r ( x,z) (нерівність трикутника ). 28. Доведіть, що наступні пари ( X,r) є метричними просторами:

а) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

б) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C[a,b] - безліч безперервних на [ a,b] функцій,

відкритим(відповідно, замкнутим) кулею радіусу rв просторі Xз центром у точці xназивається безліч U r (x) = {yПро x: r ( x,y) < r) (відповідно, B r (x) = {yПро X: r ( x,y) Ј r}).

Внутрішньою точкоюбезлічі UМ Xназивається така точка, яка міститься в Uразом із деякою кулею ненульового радіусу.

Безліч, всі точки якого внутрішні, називається відкритим. Відкрита множина, що містить дану точку, називається околицеюцієї точки.

Граничною точкоюбезлічі FМ Xназивається така точка, в будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато точок множини F.

Безліч, що містить усі свої граничні точки, називається замкнутим(порівняйте це визначення з тим, що було дано у додатку 1).

29. Доведіть, що

а) множина відкрита тоді і лише тоді, коли її доповнення замкнуте;

б) кінцеве об'єднання та лічильний перетин замкнутих множин замкнуто;

в) лічильне об'єднання та кінцеве перетин відкритих множин відкрито.

30. Доведіть, що

а) безліч граничних точок будь-якої множини є замкненою множиною;

б) об'єднання множини Aі безлічі його граничних точок ( замикання A) є замкнутим безліччю.

Відображення f: X ® Yназивається безперервним, якщо прообраз кожної відкритої множини відкритий.

31. Доведіть, що це визначення узгоджується з визначенням безперервності функцій прямої.

32. Доведіть, що

а) відстань до множини r F (x) = inf yПро F r ( x,y) є безперервною функцією;

б) безліч нулів функції пункту а) збігається із замиканням F.

33. Нехай f: X ® Y

Безперервне взаємно однозначне відображення f: X ® Y, зворотне до якого також безперервно, називається гомеоморфізмом. Простору X, Y, для яких таке відображення існує, називаються гомеоморфними.

34. Для кожної пари з таких множин встановіть, чи гомеоморфні вони:

35. Для яких пар X, Yпросторів із попереднього завдання існує безперервне відображення f: X ® Y, яке не склеюєточки (тобто. f(x) № f(y) при x № y– такі відображення називають вкладеннями)?

36*. Придумайте безперервне відображення площини на тор, яке було б локальним гомеоморфізмом(Тобто у кожної точки xплощині та f(x) тора існують такі околиці Uі V, що fгомеоморфно відображає Uна V).

Повнота. Теорема Бера

Нехай X– метричний простір. Послідовність x nйого елементів називається фундаментальної, якщо

37. Доведіть, що послідовність, що сходить, фундаментальна. Чи вірне зворотне твердження?

Метричний простір називається повнимякщо всяка фундаментальна послідовність у ньому сходиться.

38. Чи правда, що простір, гомеоморфний повному, повно?

39. Доведіть, що замкнутий підпростір повного простору самий повний; повний підпростір довільного простору замкнутий у ньому.

40. Доведіть, що у повному метричному просторі послідовність вкладених замкнутих кульз радіусами, що прагнуть нуля, має загальний елемент.

41. Чи можна в попередньому завданні усунути умову повноти простору або прагнення до нуля радіусів куль?

Відображення fметричного простору Xв себе називається стискаючим, якщо

42. Доведіть, що стискаюче відображення безперервне.

43. а) Доведіть, що стискаюче відображення повного метричного простору має рівно одну нерухому точку.

б) На карту Росії масштабу 1:5000000 поклали карту Росії масштабу 1:20000000. Доведіть, що знайдеться точка, зображення якої на обох картах співпадуть.

44*. Чи існує неповний метричний простір, в якому правильне затвердження задачі?

Підмножина метричного простору називається всюди щільнимякщо його замикання збігається з усім простором; ніде не щільним- якщо його замикання не має непустих відкритих підмножин (порівняйте це визначення з тим, що було дано в додаток 2).

45. а) Нехай a, b, a , b Zі a < a < b < b. Доведіть, що безліч безперервних функцій на [ a,b], монотонних на , ніде не щільно у просторі всіх безперервних функцій на [ a,b] з рівномірною метрикою.

б) Нехай a, b, c, e Про Zі a < b, c> 0, e > 0. Тоді безліч безперервних функцій на [ a,b], таких що

46. (Узагальнена теорема Бера .) Доведіть, що повний метричний простір не можна уявити у вигляді об'єднання лічильного числа ніде не щільних множин.

47. Доведіть, що безліч безперервних, не монотонних ні на якому непустому інтервалі і ніде не диференційованих функцій, визначених на відрізку , всюди щільно в просторі всіх безперервних функцій з рівномірною метрикою.

48*. Нехай f– функція, що диференціюється на відрізку . Доведіть, що її похідна безперервна на всюди щільній множині точок. Це визначення лебеговийміри нуль. Якщо лічильну кількість інтервалів замінити на кінцеве, то вийде визначення жердановоїміри нуль.

Нехай дано топологічний простір $(X,\backslash mathcal(T))$. Безліч $V\; \backslash subset\; X$називається замкнутимщодо топології $\backslash mathcal(T)$якщо існує відкрита безліч $U\; \backslash in\; \backslash mathcal(T)$таке, що $U\; =\; X\; \backslash setminus\; V$.

Замикання

Замиканням множини $U$топологічного простору $X$називають мінімальну за включенням замкнуту множину $Z$, що містить $U$.

Замикання множини $U\; \backslash subset\; X$зазвичай позначається $\backslash bar\; U$, $\backslash mathop(\backslash rm\; Cl)U$або $\backslash mathrm(Cl)\_X\; U$; останнє позначення використовується, якщо треба наголосити, що $\backslash bar\; U$розглядається як безліч у просторі $X$.

Властивості

• Безліч $U$замкнуто тоді і лише тоді, коли $\backslash bar\; U=U$.

Приклади

• Порожня безліч $\backslash varnothing$завжди замкнуто (і, водночас, відкрито).
• Відрізок $\backslash subset\; \backslash mathbb(R)$замкнутий у стандартній топології на речовій прямій , оскільки його доповнення відкрито.
• Безліч $\backslash mathbb(Q)\; \backslash cap$замкнуто у просторі раціональних чисел $\backslash mathbb(Q)$, але не замкнуто у просторі всіх дійсних чисел $\backslash mathbb(R)$.

Варіації та узагальнення

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Замкнене безліч"

Примітки

Література

• Завало С. Т.Елементи аналізу. Алгебра багаточленів. – Київ: Радянська школа, 1972.
• Колмогоров А. Н., Фомін С. В.Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. – М.: Фізматліт, 2004. – 575 с. - ISBN 5-9221-0266-4.
• Фіхтенгольц Р. М.Основи математичного аналізу. – М.: Наука, 1954.

Уривок, що характеризує Замкнене безліч

В курсі математичного аналізуна першому курсі ВНЗ зустрічається багато незрозумілого та незвичного. Одна з перших таких «нових» тем – це відкриті та замкнуті множини. Постараємося дати пояснення з цієї тематики.

Перед тим, як приступити до постановки визначень і завдань, нагадаємо значення позначень, що використовуються і кванторів :
∈ - належить
∅ — порожня множина
Ε — безліч дійсних чисел
х* - закріплена точка
А* - безліч граничних точок
: - Таке, що
⇒ - отже
∀ – для кожного
∃ - існує
U ε (х) - околиця х по ε
Uº ε (х) - проколота околиця х по ε

Отже,
Визначення 1: Безліч М ∈ Ε називається відкритим, якщо для будь-якого у ∈ М знайдеться таке ε > 0, що околиця y по ε строго менша за М
За допомогою кванторів визначення запишеться так:
М ∈ Ε — відкрите, якщо ∀ у∈М ∃ ε>0: U ε (y)< M

Простим мовою - відкрите безліч складається з внутрішніх точок. Прикладами відкритої множини є порожня множина, пряма, інтервал (а, b)

Визначення 2: Точка x* ∈ E називається граничною точкою множини М, якщо в будь-якому околиці точки х містяться точки як з множини М, так і з її доповнення.
Тепер за допомогою кванторів:
х*∈ E — гранична точка, якщо ∀U ε (x) ∩ М ≠ ∅ та ∀U ε (x) ∩ Е\М

Визначення 3: Безліч називається замкнутим, якщо йому належать усі граничні точки. Приклад - відрізок

Варто відзначити, що існують множини, які одночасно і відкриті, і замкнуті. Це, наприклад, вся множина дійсних чисел і порожня множина (пізніше буде доведено, що це 2 можливі і єдині випадки).

Доведемо кілька теорем, пов'язаних із відкритим та замкнутим множинами.

Теорема 1: Нехай безліч А відкрите. Тоді доповнення до множини А є замкненою множиною.

В = Е\А

Припустимо, що В незамкнуте. Тоді існує гранична точка х*, яка не належить В, а значить належить А. За визначенням граничної точки околиця х* має перетин як з В, так і з А. Однак з іншого боку х* є внутрішньою точкою відкритої множини А, тому вся околиця точки х* лежить в А. Звідси робимо висновок, що множини А і В перетинаються не по порожній множині. Такого бути не може, тому наше припущення невірне і є замкненою безліччю, ч. т. д.
У кванторах доказ можна записати коротше:
Припустимо, що В незамкнуте, тоді:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ∩ В ≠ ∅ (визначення граничної точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ А ≠ ∅ (визначення листівки множини)
З (1) і (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Але А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Суперечність. В - замкнене, ч. т. д.

Теорема 2: Нехай безліч А - замкнене. Тоді доповнення до множини А є відкритою множиною.
Доказ: Позначимо доповнення множини А як множина В:
В = Е\А
Доводитимемо від протилежного.
Припустимо, що В — замкнута множина. Тоді будь-яка гранична точка лежить у У. Але оскільки А — також замкнуте безліч, всі граничні точки належать і йому. Однак точка не може одночасно належати множині та її доповненню. Протиріччя. В - відкрите безліч, ч. т. д.
У кванторах це виглядатиме так:
Припустимо, що В замкнуте, тоді:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (з умови)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (з припущення)
З (1) і (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Але А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Суперечність. В - відкрите, ч. т. д.

Теорема 3: Нехай безліч А - замкнене та відкрите. Тоді А = Е чи А = ∅
Доказ: Почнемо записувати докладно, але одразу використовую квантори.
Припустимо, що безліч С - замкнена і відкрита, причому С ≠ ∅ і С ≠ Е. Тоді очевидно, що С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U ε (x) ∩ Е\С ≠ ∅ (визначення граничної точки, що належить С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ В (визначення відкритої множини С)
З (1) і (2) випливає, що Е С ∩ С ≠ ∅, але це невірно. Протиріччя. З не може бути одночасно і відкритим, і замкнутим, т.д.

Математичний аналіз – це фундаментальна математика, складна та незвична для нас. Але сподіваюся, щось стало зрозумілішим після прочитання статті. В добрий шлях!

Posted by |