Відкриємо дужки запишемо вираз. Розкриття дужок: правила, приклади, рішення

У цій статті ми докладно розглянемо основні правила такої важливої ​​темикурс математики, як розкриття дужок. Знати правила розкриття дужок потрібно для того, щоб правильно вирішувати рівняння, в яких вони використовуються.

Як правильно розкривати дужки під час додавання

Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак.

Це найпростіший випадок, бо якщо перед дужками стоїть знак додавання, при розкритті дужок знаки всередині них не змінюються. Приклад:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак.

У даному випадкутреба переписати всі доданки без дужок, але при цьому змінити всі знаки всередині них на протилежні. Знаки змінюються лише у доданків із тих дужок, перед якими стояв знак «-». Приклад:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Як розкрити дужки при множенні

Перед дужками стоїть число-множник

У цьому випадку потрібно помножити кожен доданок на множник і розкрити дужки, не змінюючи знаків. Якщо множник має знак "-", то при перемноженні знаки доданків змінюються на протилежні. Приклад:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Як розкрити дві дужки зі знаком множення між ними

В даному випадку потрібно кожне доданок з перших дужок перемножити з кожним доданком з других дужок і потім скласти отримані результати. Приклад:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Як розкрити дужки у квадраті

У разі, якщо сума або різниця двох доданків зведена у квадрат, дужки слід розкривати за такою формулою:

(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.

У разі мінусу всередині дужок формула не змінюється. Приклад:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Як розкрити дужки в іншій мірі

Якщо сума чи різницю доданків зводиться, наприклад, в 3 чи 4-й ступінь, потрібно просто розбити ступінь дужки на «квадрати». Ступені однакових множників складаються, а при розподілі зі ступеня поділеного віднімається ступінь дільника. Приклад:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Як розкрити 3 дужки

Бувають рівняння, в яких перемножуються одразу 3 дужки. У такому разі потрібно спочатку перемножити між собою доданки перших двох дужок, а потім суму цього перемноження помножити на складові третьої дужки. Приклад:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Дані правила розкриття дужок однаково поширюються на вирішення як лінійних, і тригонометричних рівнянь.

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та буквених виразах, а також у виразах із змінними. Від виразу зі дужками зручно перейти до тотожно рівному виразубез дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Розкрити дужки означає позбавити вираз цих дужок.

На окрему увагу заслуговує ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу
3−(5−7) ми отримуємо вираз 3−5+7. Обидва ці вирази ми можемо записати як рівності 3−(5−7)=3−5+7.

І ще один важливий момент. У математиці для скорочення записів прийнято не писати знак плюс, якщо він стоїть у виразі чи дужках першим. Наприклад, якщо ми складаємо два позитивні числа, наприклад, сім і три, то пишемо не +7+3, а просто 7+3, незважаючи на те, що сімка теж додатне число. Аналогічно, якщо ви бачите, наприклад, вираз (5+x) – знайте, що і перед дужкою стоїть плюс, який не пишуть, і перед п'ятіркою стоїть плюс +(+5+x).

Правило розкриття дужок під час додавання

При розкритті дужок, якщо перед дужками стоїть плюс, цей плюс опускається разом із дужками.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2+ (7+3) Перед дужками плюс, значить знаки перед числами у дужках не міняємо.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило розкриття дужок під час віднімання

Якщо перед дужками стоїть мінус, цей мінус опускається разом із дужками, але доданки, які були у дужках, змінюють свій знак на протилежний. Відсутність знака перед першим доданком у дужках має на увазі знак +.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2 − (7 + 3)

Перед дужками стоїть мінус, отже, потрібно поміняти знаки перед числами з дужок. У дужках перед цифрою 7 знака немає, це означає, що сімка позитивна, вважається, що перед нею знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При розкритті дужок прибираємо з прикладу мінус, який був перед дужками, і самі дужки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, що були у дужках, міняємо протилежні.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Розкриття дужок під час множення

Якщо перед дужками стоїть знак множення, то кожне число, що стоїть усередині дужок, множиться на множник, що стоїть перед дужками. При цьому множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Таким чином, дужки у творах розкриваються відповідно до розподільною властивістюмноження.

приклад. 2 · (9 - 7) = 2 · 9 - 2 · 7

При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Насправді немає необхідності запам'ятовувати всі правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: c(a−b)=ca−cb. Чому? Тому що якщо в нього замість c підставити одиницю, вийде правило (a-b) = a-b. Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило −(a−b)=−a+b. Ну а якщо замість c підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.

Розкриваємо дужки при розподілі

Якщо після дужок стоїть знак поділу, то кожне число, що стоїть усередині дужок, ділиться на дільник, що стоїть після дужок, і навпаки.

приклад. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Як розкрити вкладені дужки

Якщо у виразі присутні вкладені дужки, їх розкривають по порядку, починаючи із зовнішніх чи внутрішніх.

При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати решту дужок, просто переписуючи їх як є.

приклад. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Скрізь. Скрізь і всюди, куди не глянь, зустрічаються такі конструкції:

Ці «конструкції» у грамотних людей викликають неоднозначну реакцію. Як мінімум типу «невже так – правильно?».
Взагалі, особисто я не можу зрозуміти, звідки пішла «мода» не закривати зовнішні лапки. Перша і єдина аналогія, що приходить з цього приводу - аналогія з дужками. Ніхто не сумнівається, що дві дужки поспіль - це нормально. Наприклад: "Сплатити весь тираж (200 шт. (З них 100 - шлюб))". А ось у нормальності постановки двох лапок поспіль хтось засумнівався (цікаво, хто перший?)… І тепер усі поголовно стали з чистою совістю плодити конструкції на кшталт ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
Але навіть якщо ви в житті не бачили правила, про які мова підетрохи нижче, то єдиним логічно обґрунтованим варіантом (на прикладі дужок) був би наступний: ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко"".
Отже, безпосередньо правило:
Якщо на початку або в кінці цитати (те ж стосується прямої мови) зустрічаються внутрішні і зовнішні лапки, то вони повинні відрізнятися між собою малюнком (так звані «ялинки» і «лапочки»), причому зовнішні лапки не повинні опускатися, наприклад: борти пароплава передали по радіо: «„Ленінград“ увійшов у тропіки і слідує далі своїм курсом». Про Жуковського Бєлінський пише: «Сучасники юності Жуковського дивилися нею переважно як у автора балад, й у одному своєму посланні Батюшков називав його «баладником»».
© Правила російської орфографії та пунктуації. – Тула: Автограф, 1995. – 192 с.
Відповідно... якщо у вас немає можливості набрати лапки-«ялинки», то, що вже поробиш, доведеться користуватися такими значками. Однак, неможливість (або небажання) використовувати російські лапки аж ніяк не є причиною, через яку можна не закривати зовнішні лапки.

Таким чином з невірністю констукції ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко" начебто розібралися. Зустрічаються ще конструкції виду ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
З правила цілком зрозуміло, що й такі конструкції неписьменні... (Правильно: ТОВ «Фірма „ПупковЪ і Ко“)

Проте!
У «Довіднику видавця та автора» А. Е. Мільчина (видання 2004 року) зазначено, що можна використовувати два варіанти оформлення у подібних випадках. Використання «ялинок» та «лапок» та (за відсутності технічних засобів) використання тільки «ялинок»: двох відкриваючих та однієї закриваючої.
Довідник це «свіжий» і особисто у мене тут відразу виникає 2 питання. По-перше, з якою все ж таки радості можна використовувати одну закриваючу лапку-ялинку (ну нелогічно це, див. вище), а по-друге, особливо привертає увагу фраза «за відсутності технічних засобів». Це як, вибачте? Ось відкрийте Notepad і наберіть там «тільки ялинки: дві, що відкривають, і одну, що закриває». На клавіатурі таких символів немає. Надрукувати «ялинку» не виходить... Поєднання Shift + 2 видає знак "(який, як відомо, і лапкою-то не є). А тепер відкрийте Microsoft Wordі знову натисніть Shift + 2. Програма виправить на «(або »). «ПупковЪ і Ко», то нехай тепер це буде допустимо та коректно???
Схоже, що так. А якщо це так, то є всі підстави засумніватися у правильності такого нововведення.

Так, і ще одне уточнення... про ту саму «відсутність технічних засобів». Справа в тому, що на будь-якому комп'ютері з Windows завжди є « технічні засобидля введення і «ялинок», і «лапок», так що це нове «правило» (для мене воно – саме в лапках) неправильно спочатку!

Всі спеціальні символи шрифту можна легко набрати, знаючи відповідний номер цього символу. Достатньо затиснути Alt та набрати на NumLock-клавіатурі (NumLock натиснутий, індикаторна лампочка горить) відповідний номер символу:

„Alt + 0132 (ліва «лапка»)
Alt + 0147 (права «лапка»)
«Alt + 0171 (ліва «ялинка»)
» Alt + 0187 (права «ялинка»)

Практично в будь-якому тексті можна зустріти дужки та тире. Але не завжди користувачі правильно оформлюють їх. Наприклад, нерідко можна зустріти тире без однієї чи двох прогалин, коли текст прилипає до символу. Те саме стосується і дужок, використання яких не доречно або без урахування правил написання перевантажує текст. У цій статті розглядаються питання написання дужок та тире відповідно до загальноприйнятих правил.

Правила запису дужок

При написанні дужок керуються тими самими правилами, що й лапок. Наприклад, не ставляться поспіль дві дужки.

Прийнято кілька випадків, коли використовуються дужки:

Окремі слова, групи слів та цілі пропозиції, що не мають прямого відношеннядо основної думки, що висловлюється автором. Фрази, що вимовляються побіжно, коли автор не загострює на них увагу читача. Вирази у дужках випадають із синтаксичної структурипропозиції.

Приклад: « І хоча я і сам розумію, що коли вона і вихори мої б'є, то б'є їх не інакше як від жалю серця (бо, повторюю без збентеження, вона б'є мені вихри, молодий чоловік, - підтвердив він з суто гідністю, почувши знову хихикання) , Але, боже, що якби вона хоча один раз ... Але ні! ні! все це в туні, і нема чого говорити! нема чого говорити!.. бо й неодноразово вже бувало бажане, і не один раз шкодували мене, але... така вже риса моя, а я природжена худоба!» (Ф.М. Достоєвський, «Злочин і кара»)

Короткі зауваження для пояснення того чи іншого слова чи фрази у реченні, поміщаються у дужки.

Приклад: « Пішла нормальна, заспокійлива балаканина, коли разом зі щирою симпатією (Всі ми тут свої, і всі, загалом, люди добрі)вгадується і частка глузливого полегшення. Не я! Не я зробив цю дурість, – читалося в обличчях.»(С.Лук'яненко, «Тіні снів»)

Приклад: « Я попросив напідпитку йога
(Він бритви, цвяхи їв, як ковбасу):
«Послухай, друже, відкрийся мені – їй бога,
З собою в могилу таємницю заберу!»
(В.Висоцький, «Пісенька про йогів»)

Посилання на формули та ілюстрації обрамляються круглими дужками, наприклад (рис. 2), (діаг. 3, стор. 184) , « Формула (1) є наслідком теореми Піфагора. Формули (2) і (3) виходять із формули (1) . » а джерела інформації (література, публікації) квадратними дужками, наприклад: , , і т.д.

У дужки полягають ремарки, яскравий приклад– сценарії, де у ремарках вказується словесне втілення безперервної дії, наприклад:
« Вілл сміється.
СКІЛАР (продовжує)
Як ти це робиш? Я не ... У сенсі навіть самим розумним людям, Яких я знаю, у нас є парочка в Гарварді, доводиться вчитися – багато. Це складно.
(Пауза)
Слухай, Вілл, якщо ти не хочеш мені говорити…»
(Сценарій до х/ф «Розумниця Уїлл Хантінг»

Прямі дужки також використовуються при дописуванні незакінчених слів у авторських паперах.

Нумерація в тексті записується за допомогою дужок у наступному форматі:
1)
а)
*)
Подібним чином оформляються знаки виносок (виносок).

Правила запису тире

Тире відноситься до розділових знаків, при написанні до і після тирі завжди пишеться пробіл.

Є кілька винятків, коли тире пишеться без обох або одного пропуску:
коли абзац починається з тире, пробіл ставиться лише після.
коли тире стоїть між двома числами, виконуючи роль дефісу. Наприклад: « кожну добу наш сайт відвідує 3000 - 3500 відвідувачів».
Наприклад: « – О-о… Е-е… – тільки й зміг промимрити ошелешений Пейдж.»(Філіп К. Дік, «Особлива думка»)

Більшість розділових знаків, у тому числі кома, питання, знаки окликуставляться перед тире. Приклад: « Центральний гірський регіон, в якому розташовані гори Пінд , - найменш населений. Найвища точкаГреція гора Олімп (2917 м) знаходиться у цьому регіоні. Центральна Греція – найбільш населений регіон.»(Еклопедичний довідник «Весь світ. Країни»)

Тире вживається у кількох випадках:
- як розділовий знак;
- як з'єднувач пари граничних чисел, наприклад: 80-90% ;
- як математичний знакмінус;
- як роздільник символ або умовного позначеннявід пояснюючого тексту, наприклад, коли наводиться розшифровка позначень, що входять до формули, або пояснення до ілюстрації;
- як знак перенесення, при цьому тире пишеться разом з нестерпною частиною слова і не повинно повторюватися на початку наступного рядка;
- як сполучна рисочка або дефіс.

То частини рівняння знаходиться вираз у дужках. Щоб розкрити дужки, подивіться на знак перед дужками. Якщо стоїть знак плюс, при розкриванні дужок у записі виразу нічого не зміниться: просто заберіть дужки. Якщо стоїть знак мінус, при розкритті дужок необхідно поміняти всі знаки, що стоять спочатку в дужках, на протилежні. Наприклад, -(2х-3)=-2х+3.

Перемноження двох дужок.
Якщо в рівнянні є добуток двох дужок, розкриття дужок по стандартному правилу. Кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки. Отримані числа підсумовуються. У цьому твір двох " плюсів " чи двох " мінусів " дає доданку знак " плюс " , і якщо множники мають різні знакито отримує знак "мінус".
Розглянемо.
(5х+1)(3х-4)=5х*3х-5х*4+1*3х-1*4=15х^2-20х+3х-4=15х^2-17х-4.

Розкриттям дужок іноді зведення виразу. Формули зведення в квадрат і куб треба знати напам'ять і пам'ятати.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули зведення виразу більше трьох можна за допомогою трикутника Паскаля.

Джерела:

• формула розкриття дужок

Ув'язнені у дужки математичні діїможуть містити змінні та вирази різного ступеняскладності. Для перемноження таких виразів доведеться шукати рішення у загальному вигляді, розкриваючи дужки та спрощуючи отриманий результат. Якщо ж у дужках містяться операції без змінних, тільки з чисельними значеннями, то розкривати дужки не обов'язково, тому що за наявності комп'ютера його користувачеві доступні значні обчислювальні ресурси - простіше скористатися ними, ніж спрощувати вираз.

Інструкція

Перемножуйте послідовно кожне (або зменшується з ), що міститься в одній дужці, на вміст решти всіх дужок, якщо потрібно отримати результат у загальному вигляді. Наприклад, нехай вихідний вираз записано так: (5+x)∗(6-х)∗(x+2). Тоді послідовне перемноження (тобто розкриття дужок) дасть наступний результат: (5+x)∗(6-х)∗(x+2) = (5∗6-5∗х)∗(5∗x+5∗2) + (6∗x-х∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗х∗5∗x+5∗ х∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (х∗x∗x∗x+х∗x∗2∗x) = 5∗6∗5∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗х∗5∗x - 5∗х∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - х∗x∗x∗x - х ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Спрощуйте після результат, скорочуючи вирази. Наприклад, отримане на попередній кроквираз можна спростити таким чином: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗x² - 8 x∗x³.

Скористайтеся калькулятором, якщо потрібно перемножити ікс дорівнює 4.75, тобто (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Для обчислення цього значення перейдіть на сайт пошукача Google або Nigma і введіть вираз у полі запиту у його вихідному вигляді (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google покаже 82.265625 відразу, без натискання кнопки, а Nigma потребує надсилання даних на сервер натисканням кнопки.