Метод послідовного виключення невідомих зворотної матриці. Системи лінійних рівнянь

Розглянемо точні методи вирішення системи; тут - матриця розмірності

Метод розв'язання задачі відносять до класу точних, якщо у припущенні відсутності округлень він дає точне розв'язання задачі після кінцевого числаарифметичних та логічних операцій. Якщо число ненульових елементів матриці системи має порядок, то більшості поточних методів вирішення таких систем, що використовуються в даний час, необхідне число операцій має порядок. Тому для застосування точних методів необхідно, щоб такий порядок числа операцій був прийнятний для даної ЕОМ; інші обмеження накладаються обсягом та структурою пам'яті ЕОМ.

Застереження про «використані в даний час методи» має такий зміст. Існують методи вирішення таких систем із меншим порядком числа операцій, проте вони не використовуються активно через сильну чутливість результату до обчислювальної похибки.

Найбільш відомим із точних методів вирішення систем лінійних рівняньє метод виключення Гауса. Розглянемо одну з його можливих реалізацій. У припущенні, що , перше рівняння системи

ділимо на коефіцієнт , в результаті отримуємо рівняння

Потім із кожного з інших рівнянь віднімається перше рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт . В результаті ці Рівняння перетворюються на вигляд

Перше невідоме виявилося виключеним із усіх рівнянь, крім першого. Далі у припущенні, що , ділимо друге рівняння на коефіцієнт і виключаємо невідоме з усіх рівнянь, починаючи з другого, і т. д. У результаті послідовного виключення невідомих система рівнянь перетворюється на систему рівнянь з трикутною матрицею

Сукупність проведених обчислень, у ході яких вихідна задача перетворилася на вид (2), називається прямим перебігом методу Гаусса.

З рівняння системи (2) визначаємо , і т. д. до . Сукупність таких обчислень називають зворотним ходом методу Гаусса.

Неважко перевірити, що реалізація прямого ходу методу Гауса потребує арифметичних операцій, а зворотного – арифметичних операцій.

Виняток відбувається в результаті наступних операцій: 1) поділу рівняння на , 2) віднімання рівняння, що отримується після такого поділу, помноженого на , з рівнянь з номерами до . Перша операція рівнозначна множенню системи рівнянь зліва діагональну матрицю

друга операція рівносильна множенню зліва на матрицю

Таким чином, система (2), яка отримується в результаті цих перетворень, запишеться у вигляді

Добуток лівих (правих) трикутних матриць є лівою (правою) трикутною матрицею, тому матриця С ліва трикутна. З формули для елементів зворотної матриці

слід, що матриця, зворотна до лівої (правої) трикутної, є лівою (правою) трикутною. Отже, матриця трикутна ліва.

Введемо позначення. Відповідно до побудови все і матриця D права трикутна. Звідси отримуємо уявлення матриці А у вигляді добутку лівої та правої трикутних матриць:

Рівність разом з умовою утворює систему рівнянь щодо елементів трикутних матриць В і : . Оскільки при та при , ця система може бути записана у вигляді

(3)

або, що те саме,

Скориставшись умовою, що всі отримуємо систему рекурентних співвідношень для визначення елементів і :

Обчислення проводяться послідовно для сукупностей. Тут і далі у разі, коли верхня межапідсумовування менше від нижнього, вважається, що вся сума дорівнює нулю.

Таким чином, замість послідовних перетворень системи (1) до виду (2) можна безпосередньо провести обчислення матриць і за допомогою формул (4). Ці обчислення можна здійснити, якщо всі елементи виявляться відмінними від нуля. Нехай – матриці головних мінорів порядку матриць А, В, D. Згідно (3). Оскільки, то. Отже,

Отже, для здійснення обчислень за формулами (4) необхідне та достатньо виконання умов

У ряді випадків наперед відомо, що умова (5) виконана. Наприклад, багато завдань математичної фізикизводяться до вирішення систем з позитивно визначеною матрицею А. Однак загальному випадкуцього заздалегідь сказати не можна. Можливий і такий випадок: все, але серед величин є дуже малі і при розподілі на них виходитимуть великі числаз більшими абсолютними похибками. Внаслідок цього рішення сильно спотвориться.

Позначимо. Оскільки і, то справедливі рівність. Таким чином, після розкладання матриці вихідної системи на добуток лівої та правої трикутних матриць рішення вихідної системи зводиться до послідовного вирішення двох систем трикутними матрицями; це вимагатиме арифметичних операцій.

Послідовність операцій з розкладання матриці на добуток трикутних матриць і визначення вектора d часто зручно об'єднати. Рівняння

системи можна записати у вигляді

Отже, значення можуть обчислюватись одночасно з іншими значеннями за формулами (4).

При вирішенні практичних завданьчасто виникає необхідність вирішення систем рівнянь із матрицею, що містить велика кількістьнульових елементів.

Зазвичай ці матриці мають так звану стрічкову структуру. Більш точно, матрицю А називають діагональною або має стрічкову структуру, якщо при . Число називають шириною стрічки. Виявляється, що при вирішенні системи рівнянь зі стрічковою матрицею методом Гауса число арифметичних операцій та необхідний обсяг пам'яті ЕОМ можуть бути значно скорочені.

Завдання 1. Дослідити характеристики методу Гаусса та методу вирішення системи за допомогою розкладання стрічкової матриці А на добуток лівої та правої трикутних матриць. Показати, що знаходження рішення потрібно арифметичних операцій (при ). Знайти головний членчисла операцій за умови.

Завдання 2. Оцінити обсяг завантажуваної пам'яті ЕОМ у методі Гауса для стрічкових матриць.

При обчисленнях самостійно ЕОМ велика можливість випадкових похибок. Для усунення таких похибок іноді вводять контрольний системи, що складається з контрольних елементів рівнянь системи

При перетворенні рівнянь над контрольними елементами виконуються самі операції, як і над вільними членами рівнянь. Внаслідок цього контрольний елемент кожного нового рівняння повинен дорівнювати сумі коефіцієнтів цього рівняння. Велика розбіжність з-поміж них вказує на похибки у обчисленнях чи нестійкість алгоритму обчислень стосовно обчислювальної похибки.

Наприклад, у разі приведення системи рівнянь до виду за допомогою формул (4) контрольний елемент кожного з рівнянь системи обчислюється за тими самими формулами (4). Після обчислення всіх елементів під час фіксованого контролю здійснюється перевіркою рівності

Зворотний хід методу Гауса також супроводжується обчисленням контрольних елементів рядків системи.

Щоб уникнути катастрофічного впливу обчислювальної похибки застосовують метод Гаусса з вибором головного елемента.

Його відмінність від описаної вище схеми методу Гауса полягає в наступному. Нехай під час виключення невідомих отримано систему рівнянь

Знайдемо таке, що й перепозначимо і ; далі зробимо виняток невідомої з усіх рівнянь, починаючи з . Таке перепозначення призводить до зміни порядку виключення невідомих і у багатьох випадках суттєво зменшує чутливість рішення до похибок округлення під час обчислень.

Часто потрібно вирішити кілька систем рівнянь , з однією і тією ж матрицею А. Зручно вчинити так: ввівши позначення

зробимо обчислення за формулами (4), причому елементи обчислимо при . В результаті будуть отримані р систем рівнянь з трикутною матрицею, що відповідають вихідному завданню

Вирішуємо ці системи кожну окремо. Виявляється, що загальне число арифметичних дійпри рішенні систем рівнянь таким способом .

Описаний вище прийом іноді використовується для того, щоб без додаткових витрат отримати судження про похибку рішення, що є наслідком похибок округлення при обчисленнях. Задаються вектором z з компонентами, що мають по можливості той же порядок і знак, що компоненти шуканого рішення; Часто через відсутність достатньої інформації беруть . Обчислюється вектор, поряд із вихідною системою рівнянь вирішується система.

Нехай і z - реально одержувані рішення цих систем. Судження про похибку шуканого рішення можна отримати, ґрунтуючись на гіпотезі: відносні похибкипри вирішенні методом виключення систем з однією і тією ж матрицею і різними правими частинами, якими є відповідно величини і відрізняються не в дуже велике числоразів.

Інший прийом для отримання судження про реальну величину похибки, що виникає за рахунок округлень при обчисленнях, полягає у зміні масштабів, що змінює картину накопичення обчислювальної похибки.

Поряд із вихідною системою тим же методом вирішується система

При і не є цілими ступенями двійки, порівняння векторів і дає уявлення про величину обчислювальної похибки. Наприклад, можна взяти .

Вивчення багатьох завдань призводить до необхідності розв'язання систем лінійних рівнянь із симетричною позитивно визначеною матрицею. Такі системи виникають, наприклад, під час вирішення диференціальних рівняньметодом кінцевих елементів або кінцево-різницевими методами. У цих випадках матриця системи має також стрічкову структуру.

Для вирішення таких систем, а також систем рівнянь більш загального виду з ермітовою не обов'язково позитивно визначеною матрицею застосовується метод квадратного кореня(Метод Холецького). Матриця А представляється як

де S - права трикутна матриця, - пов'язана з нею, тобто.

причому все - діагональна матриця з елементами, рівними або -1. Матрична рівність (6) утворює систему рівнянь

Аналогічні рівняння при відкинуті, оскільки рівняння, що відповідають парам і еквівалентні. Звідси отримуємо рекурентні формулидля визначення елементів та:

Матриця S є правою трикутною, і, таким чином, після отримання подання (6) рішення вихідної системи також зводиться до Послідовного вирішення двох систем із трикутними матрицями. Зауважимо, що у випадку все і .

Завдання 3. Оцінити число арифметичних операцій та завантаження пам'яті ЕОМ (за умови обсяг пам'яті, необхідний для запам'ятовування матриці А, зменшується) при вирішенні системи з позитивною речовою матрицею А методом квадратного кореня.

Багато пакетів прикладних програмдля вирішення крайових завдань математичної фізики методом кінцевих елементів організовано за наступною схемою. Після формування матриці системи А шляхом перестановки рядків і стовпців (одночасно переставляються рядки і стовпці) система перетворюється до виду з найменшою шириною стрічки. Далі застосовується метод квадратного кореня. При цьому з метою зменшення обсягу обчислень під час вирішення системи з іншими правими частинами матриця S запам'ятовується.

Сьогодні розбираємося з методом Гауса для вирішення лінійних систем. алгебраїчних рівнянь. Про те, що це за системи, можна почитати у попередній статті, присвяченій рішенню тих самих СЛАУ методом Крамера. Метод Гауса не вимагає якихось специфічних знань, потрібна лише уважність та послідовність. Незважаючи на те, що з точки зору математики для його застосування вистачить і шкільної підготовки, У студентів освоєння цього методу часто викликає складності. У цій статті спробуємо звести їх нанівець!

Метод Гауса

М етод Гауса- Найбільш універсальний методрішення СЛАУ (за винятком ну вже дуже великих систем). На відміну від розглянутого раніше, він підходить не тільки для систем, що мають єдине рішення, але й для систем, у яких рішень нескінченна безліч. Тут можливі три варіанти.

1. Система має єдине рішення (визначник головної матриці системи не дорівнює нулю);
2. Система має безліч рішень;
3. Рішень немає, система несумісна.

Отже, ми маємо систему (нехай у неї буде одне рішення), і ми збираємося вирішувати її методом Гауса. Як це працює?

Метод Гауса складається з двох етапів – прямого та зворотного.

Прямий хід методу Гауса

Спочатку запишемо розширену матрицю системи. Для цього до головної матриці додаємо стовпець вільних членів.

Вся суть методу Гауса полягає в тому, щоб шляхом елементарних перетворень привести цю матрицю до ступінчастого (або як ще кажуть трикутного) вигляду. У такому вигляді під (або над) головною діагоналлю матриці мають бути одні нулі.

Що можна робити:

1. Можна переставляти рядки матриці місцями;
2. Якщо у матриці є однакові (або пропорційні) рядки, можна видалити їх усі, крім одного;
3. Можна множити чи ділити рядок на будь-яке число (крім нуля);
4. Нульові рядки видаляються;
5. Можна додавати до рядка рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

Зворотний хід методу Гауса

Після того як ми перетворимо систему таким чином, одна невідома Xn стає відома, і можна в зворотному порядкузнайти всі невідомі, підставляючи вже відомі ікси в рівняння системи, аж до першого.

Коли інтернет завжди під рукою, можна вирішити систему рівнянь методом Гаусса онлайн.Достатньо лише вбити в онлайн-калькулятор коефіцієнти. Але погодьтеся, набагато приємніше усвідомлювати, що приклад вирішено не комп'ютерною програмою, а вашим власним мозком.

Приклад розв'язання системи рівнянь методом Гаусс

А тепер – приклад, щоб усе стало наочно та зрозуміло. Нехай дана система лінійних рівнянь і потрібно вирішити її методом Гауса:

Спочатку запишемо розширену матрицю:

Тепер займемося перетвореннями. Пам'ятаємо, що нам потрібно досягти трикутного виглядуматриці. Помножимо 1-ий рядок на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го і отримаємо:

Потім помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:

Помножимо 1-ий рядок на (6). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:

Вуаля – система наведена до відповідного виду. Залишилось знайти невідомі:

Система в даному прикладімає єдине рішення. Вирішення систем з безліччю рішень ми розглянемо в окремій статті. Можливо, спочатку Ви не знатимете, з чого почати перетворення матриці, але після відповідної практики наб'єте руку і клацатимете СЛАУ методом Гауса як горішки. А якщо Ви раптом зіткнетеся зі СЛАУ, яка виявиться занадто міцним горішком, звертайтесь до наших авторів! ви можете, залишивши заявку у Заочнику. Разом ми вирішимо будь-яке завдання!

Розділ 3. Чисельні методирозв'язання рівнянь

Види математичних моделей(Рівнянь) в теорії електричних ланцюгів

1. - системи лінійних рівнянь алгебри –

лінійні ланцюги постійного та синусоїдального змінного (комплексний метод) струму.

2 . - системи нелінійних алгебраїчних або

трансцендентних рівнянь – нелінійні ланцюги постійного чи синусоїдального струму.

3. . – системи нелінійних диференціальних

рівнянь першого порядку у звичайних похідних – перехідні в нелінійних ланцюгах.

Тут Fі ψ - Вектор-функції, тобто. еквівалентного запису:

f 1 (X, b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

f n (X, b n) = 0

а - запису:

ψ 1 (dX/dt,X,b 1 ,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b 2 ,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,b n ,t) = 0

Розглянемо найбільш ефективні методирозв'язання цих рівнянь.

Численні методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (ЛАУ)

Метод Гауса (виключення невідомих)

Методи вирішення ЛАУ мають важливе значення, оскільки вони застосовуються (ітераційно) на вирішення складніших рівнянь.

Нехай система ЛАУ задана у вигляді:

,

де – квадратна матриця n- го порядку з ненульовими діагональними елементами; - Вектор невідомих; - Вектор правих частин.

Алгоритм методу Гауса складається з прямогоі зворотногоходу. Під час прямого ходу здійснюється послідовний виняток невідомих. Система набуває вигляду:

Перерахунок коефіцієнтів провадиться за формулою:

, де i, j = k+1, …nза винятком k-го невідомого.

При цьому стовпець правих частин зручно розглядати як n + 1стовпець матриці коефіцієнтів, тобто. j = k+1, …n+1.

Зворотний хід полягає у визначенні невідомих, починаючи з останнього рівняння, де залишилася одна невідома x n. Отримане значення x nпідставляється в попереднє рівняння та визначається x n -1і т.д.

Для довільного x kвиходить така формула:

де k = n, n -1, ... 1.

Трудомісткість методу Гаусса оцінюється кількістю арифметичних операцій, що виконуються:

.

Кубична залежність від розмірності завдання суттєво обмежує складність аналізованих ланцюгів. Однак якщо частина коефіцієнтів a ikу матриці дорівнює нулю, тобто. вона є розрідженою, З'являється можливість скорочення трудомісткості.

Основна ідея методу розріджених матриць полягає в обліку при обчисленнях та зберіганні тільки ненульових елементів матриці. Ступінь розрідженості матриці характеризується коефіцієнтом заповнення:

де n не-Кількість ненульових елементів.

Існують матриці коефіцієнтів спеціального виду: стрічкові, коли ненульові елементи розташовуються вздовж головної діагоналі; і блочно-діагональні, коли вздовж головної діагоналі розташовуються ненульові блоки. Ще зустрічаються блочно-діагональні з облямівкою.

Приклад стрічкової матриці Приклад блочно-діагональної матриці

Приклад блочно-діагональної матриці з облямуванням

Їх розроблені спеціальні ефективні методи рішення. Для діагональної – метод прогонки. Блокова розпадається окремі групи рівнянь по блокам, які вирішуються методом Гаусса. Для блочно-діагональних з облямівкою існують діакоптичні методи розв'язання.

Діакоптика- Підхід до дослідження складних систем, що полягає у розчленування системи на частини та її аналізі вроздріб при обліку всіх зв'язків між виділеними частинами.

Метод Гаусса, званий також методом послідовного виключення невідомих, ось у чому. За допомогою елементарних перетворень систему лінійних рівнянь призводять до такого виду, щоб її матриця з коефіцієнтів виявилася трапецієподібної (те ж саме, що трикутної або ступінчастої) або близькою до трапецієподібної (прямий хід методу Гаусса, далі – просто прямий хід). Приклад такої системи та її рішення – на малюнку зверху.

У такій системі останнє рівняння містить лише одну змінну та її значення можна однозначно знайти. Потім значення цієї змінної підставлять у попереднє рівняння ( зворотний хід методу Гауса , Далі - просто зворотний хід), з якого знаходять попередню змінну, і так далі.

У трапецієподібній (трикутній) системі, як бачимо, третє рівняння вже не містить змінних yі x, а друге рівняння - змінною x .

Після того, як матриця системи набула трапецієподібної форми, вже не важко розібратися в питанні про спільність системи, визначити число рішень і знайти самі рішення.

Переваги методу:

1. при вирішенні систем лінійних рівнянь з числом рівнянь і невідомих більше трьох метод Гауса не такий громіздкий, як метод Крамера, оскільки при вирішенні методом Гауса необхідно менше обчислень;
2. методом Гауса можна вирішувати невизначені системи лінійних рівнянь, тобто такі, що мають загальне рішення(і ми розберемо їх на цьому уроці), а використовуючи метод Крамера, можна лише констатувати, що система невизначена;
3. можна вирішувати системи лінійних рівнянь, у яких число невідомих не дорівнює кількості рівнянь (також розберемо їх на цьому уроці);
4. метод заснований на елементарних (шкільних) методах – методі підстановки невідомих та методі складання рівнянь, яких ми торкнулися у відповідній статті.

Щоб всі перейнялися простотою, з якою вирішуються трапецієподібні (трикутні, ступінчасті) системи лінійних рівнянь, наведемо рішення такої системи із застосуванням зворотного ходу. Швидке рішенняцієї системи було показано на зображенні на початку уроку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь, застосовуючи зворотний хід:

Рішення. У цій трапецієподібній системі змінна zоднозначно з третього рівняння. Підставляємо її значення у друге рівняння та отримуємо значення зміною y:

Тепер нам відомі значення вже двох змінних - zі y. Підставляємо їх у перше рівняння та отримуємо значення змінної x:

З попередніх кроківвиписуємо рішення системи рівнянь:

Щоб отримати таку трапецієподібну систему лінійних рівнянь, яку ми вирішили дуже просто, потрібно застосовувати прямий хід, пов'язаний з елементарними перетвореннямисистеми лінійних рівнянь Це також не дуже складно.

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

Повторюючи шкільний метод алгебраїчного складання рівнянь системи, ми з'ясували, що одного з рівнянь системи можна додавати інше рівняння системи, причому кожне з рівнянь може бути помножено деякі числа. В результаті отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній. У ній вже одне рівняння містило лише одну змінну, підставляючи значення якої інші рівнянь, ми приходимо до рішення. Таке додавання - одне із видів елементарного перетворення системи. При використанні методу Гауса можемо користуватися кількома видами перетворень.

На анімації вище показано, як система рівнянь поступово перетворюється на трапецієподібну. Тобто таку, яку ви бачили на першій анімації і самі переконалися в тому, що з неї просто знайти значення всіх невідомих. Про те, як виконати таке перетворення і, звичайно, приклади, йтиметься далі.

При вирішенні систем лінійних рівнянь з будь-яким числом рівнянь та невідомих у системі рівнянь та у розширеній матриці системи можна, можливо:

1. переставляти місцями рядки (це і було згадано на початку цієї статті);
2. якщо внаслідок інших перетворень з'явилися рівні або пропорційні рядки, їх можна видалити, крім одного;
3. видаляти "нульові" рядки, де всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
4. будь-який рядок множити чи ділити на деяке число;
5. до будь-якого рядка додавати інший рядок, помножений на деяке число.

В результаті перетворень отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній.

Алгоритм та приклади вирішення методом Гауса системи лінійних рівнянь із квадратною матрицею системи

Розглянемо спочатку рішення систем лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює кількості рівнянь. Матриця такої системи - квадратна, тобто в ній число рядків дорівнює числу стовпців.

приклад 2.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь

Вирішуючи системи лінійних рівнянь шкільними способами, ми почленно множили одне із рівнянь на деяке число, так, щоб коефіцієнти при першій змінній у двох рівняннях були протилежними числами. При додаванні рівнянь відбувається виключення цієї змінної. Аналогічно діє метод Гауса.

Для спрощення зовнішнього виглядурішення складемо розширену матрицю системи:

У цій матриці зліва до вертикальної межі розташовані коефіцієнти при невідомих, а праворуч після вертикальної межі - вільні члени.

Для зручності розподілу коефіцієнтів при змінних (щоб отримати розподіл на одиницю) переставимо місцями перший і другий рядки матриці системи. Отримаємо систему, еквівалентну даній, оскільки в системі лінійних рівнянь можна переставляти місцями рівняння:

За допомогою нового першого рівняння виключимо змінну xз другого та всіх наступних рівнянь. Для цього до другого рядка матриці додамо перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ), до третього рядка – перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Це можливо, оскільки

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь перший рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті отримаємо матрицю еквівалентну даній системі нової системирівнянь, у яких усі рівняння, починаючи з другого не містять змінну x :

Для спрощення другого рядка отриманої системи помножимо її і отримаємо знову матрицю системи рівнянь, еквівалентної даній системі:

Тепер, зберігаючи перше рівняння отриманої системи без змін, за допомогою другого рівняння виключаємо змінну y із усіх наступних рівнянь. Для цього до третього рядка матриці системи додамо другий рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь другий рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті знову отримаємо матрицю системи, еквівалентної даній системі лінійних рівнянь:

Ми отримали еквівалентну дану трапецієподібну систему лінійних рівнянь:

Якщо кількість рівнянь і змінних більше, ніж у прикладі, процес послідовного виключення змінних триває до того часу, поки матриця системи стане трапецієподібної, як і нашому демо-примере.

Рішення знайдемо "з кінця" - зворотний хід. Для цього з останнього рівняння визначимо z:
.
Підставивши це значення у попереднє рівняння, знайдемо y:

З першого рівняння знайдемо x:

Відповідь: розв'язання даної системи рівнянь - .

: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення. Якщо ж система має безліч рішень, то такою буде і відповідь, і це вже предмет п'ятої частини цього уроку.

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса самостійно, а потім переглянути рішення

Перед нами знову приклад спільної та певної системилінійних рівнянь, у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих. Відмінність від нашого демо-прикладу з алгоритму - тут уже чотири рівняння та чотири невідомі.

приклад 4.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Проведемо підготовчі роботи. Щоб було зручніше з відношенням коефіцієнтів, потрібно отримати одиницю у другому стовпці другого рядка. Для цього з другого рядка віднімемо третій, а отриманий в результаті другий рядок помножимо на -1.

Проведемо тепер власне виняток змінної з третього та четвертого рівнянь. Для цього до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на . Отримуємо розширену матрицю трапецієподібної форми.

Отримали систему рівнянь, якою еквівалентна дана система:

Отже, отримана та дана системи є спільними та певними. Остаточне рішеннязнаходимо «з кінця». З четвертого рівняння безпосередньо можемо виразити значення змінної "ікс четверте":

Це значення підставляємо у третє рівняння системи та отримуємо

,

,

Зрештою, підстановка значень

У перше рівняння дає

,

звідки знаходимо "ікс перше":

Відповідь: дана система рівнянь має єдине рішення .

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Рішення методом Гауса прикладних задач на прикладі задачі на сплави

Системи лінійних рівнянь використовуються для моделювання реальних об'єктів фізичного світу. Вирішимо одне з таких завдань – на сплави. Аналогічні завдання - завдання на суміші, вартість або питома вага окремих товарів у групі товарів тощо.

Приклад 5.Три шматки сплаву мають загальну масу 150 кг. Перший сплав містить 60% міді, другий – 30%, третій – 10%. При цьому у другому та третьому сплавах разом узятих міді на 28,4 кг менше, ніж у першому сплаві, а у третьому сплаві міді на 6,2 кг менше, ніж у другому. Знайти масу кожного шматка металу.

Рішення. Складаємо систему лінійних рівнянь:

Помножуємо друге та третє рівняння на 10, отримуємо еквівалентну систему лінійних рівнянь:

Складаємо розширену матрицю системи:

Увага, прямий перебіг. Шляхом додавання (у нашому випадку - віднімання) одного рядка, помноженого на число (застосовуємо двічі) з розширеною матрицею системи відбуваються наступні перетворення:

Прямий хід завершився. Отримали розширену матрицю трапецієподібної форми.

Застосовуємо зворотний перебіг. Знаходимо рішення з кінця. Бачимо, що .

З другого рівняння знаходимо

Із третього рівняння -

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера : у цьому випадку буде видана відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Про простоту методу Гауса говорить хоча б той факт, що німецькому математику Карлу Фрідріху Гауссу на його винахід знадобилося лише 15 хвилин. Крім методу його імені з творчості Гауса відомо вислів "Не слід змішувати те, що нам здається неймовірним і неприродним, з абсолютно неможливим" - свого роду коротка інструкціящодо здійснення відкриттів.

В багатьох прикладних задачахможе й бути третього обмеження, тобто, третього рівняння, тоді доводиться вирішувати методом Гаусса систему двох рівнянь із трьома невідомими, чи, навпаки - невідомих менше, ніж рівнянь. Вирішення таких систем рівнянь ми зараз і приступимо.

За допомогою методу Гауса можна встановити, спільна чи несумісна будь-яка система nлінійних рівнянь з nзмінними.

Метод Гауса і системи лінійних рівнянь, що мають безліч рішень

Наступний приклад - спільна, але невизначена система лінійних рівнянь, тобто має безліч рішень.

Після виконання перетворень у розширеній матриці системи (перестановки рядків, множення та поділу рядків на деяке число, додатку до одного рядка інший) могли з'явитися рядки виду

Якщо у всіх рівняннях мають вигляд

Вільні члени рівні нулю, це означає, що система невизначена, тобто має безліч рішень, а рівняння цього виду – «зайві» та їх виключаємо з системи.

Приклад 6.

Рішення. Складемо розширену матрицю системи. Потім за допомогою першого рівняння виключимо змінну наступних рівнянь. Для цього до другого, третього та четвертого рядків додамо перший, помножений відповідно на :

Тепер другий рядок додамо до третього та четвертого.

В результаті приходимо до системи

Останні два рівняння перетворилися на рівняння виду. Ці рівняння задовольняються за будь-яких значень невідомих і їх можна відкинути.

Щоб задовольнити друге рівняння, ми можемо і вибрати довільні значення , тоді значення для визначиться вже однозначно: . З першого рівняння значення також знаходиться однозначно: .

Як задана, так і остання системиспільні, але невизначені, і формули

за довільних і дають нам всі рішення заданої системи.

Метод Гауса та системи лінійних рівнянь, які не мають рішень

Наступний приклад - несумісна системалінійних рівнянь, тобто немає рішень. Відповідь такі завдання так і формулюється: система немає рішень.

Як уже говорилося у зв'язку з першим прикладом, після виконання перетворень у розширеній матриці системи могли з'явитися рядки виду

відповідні рівняння виду

Якщо серед них є хоча б одне рівняння з відмінним від нуля вільним членом (тобто ), то дана система рівнянь є несумісною, тобто немає рішень і на цьому її рішення закінчено.

Приклад 7.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь:

Рішення. Складаємо розширену матрицю системи. За допомогою першого рівняння виключаємо з наступних рівнянь змінну. Для цього до другого рядка додаємо перший, помножений на , до третього рядка - перший, помножений на , до четвертого - перший, помножений на .

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Щоб отримати цілі відносини коефіцієнтів, поміняємо місцями другий і третій рядки розширеної матриці системи.

Для виключення з третього і четвертого рівняння до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на .

Задана системаеквівалентна таким чином наступній:

Отримана система несумісна, оскільки її останнє рівняння може бути задоволене ніякими значеннями невідомих. Отже, ця система не має рішень.

Даний онлайн калькуляторзнаходить рішення системи лінійних рівнянь (СЛП) методом Гаусса. Дається докладне рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних та кількість рівнянь. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

Подання чисел:

Число знаків після десяткового роздільника

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Метод Гауса

Метод Гауса - це метод переходу від вихідної системи лінійних рівнянь (за допомогою еквівалентних перетворень) до системи, яка вирішується простіше, ніж вихідна система.

Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь є:

• зміна місцями двох рівнянь у системі,
• множення будь-якого рівняння у системі на ненульове дійсне число,
• додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Запишемо систему (1) в матричному вигляді:

(3)

A-називається матриця коефіцієнтів системи, b − права частинаобмежень, x− вектор змінних, яку потрібно знайти. Нехай rang( A)=p.

Еквівалентні перетворення не змінюють ранг матриці коефіцієнтів та ранг розширеної матриці системи. Не змінюється безліч рішень системи при еквівалентних перетвореннях. Суть методу Гауса полягає у приведенні матраца коефіцієнтів Aдо діагонального чи ступінчастого.

Побудуємо розшрену матрицю системи:

На наступному етапі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче елемента . Якщо даний елементнульовий, то цей рядок міняємо місцями з рядком, що лежить нижче за цей рядок і має ненульовий елемент у другому стовпці. Далі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче провідного елемента a 22 . Для цього складемо рядки 3, ... mз рядком 2, помноженим на − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 відповідно. Продовжуючи процедуру, отримаємо діагональну матрицю або східчастого вигляду. Нехай отримана розширена матриця має вигляд:

Так як rangA=rang(A|b), то безліч рішень (7) є ( n−p) - Різноманітність. Отже n−pневідомих можна вибрати довільно. Інші невідомі із системи (7) обчислюються так. З останнього рівняння виражаємо x p через інші змінні та вставляємо у попередні вирази. Далі з передостаннього рівняння виражаємо x p−1 через інші змінні та вставляємо у попередні вирази тощо. Розглянемо метод Гауса на конкретних прикладах.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Приклад 1. Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса:

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

Виключимо елементи 1-го стовпця матриці нижче елемента a 1 1 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -2/3,-1/2 відповідно:

Ділимо кожен рядок матриці на відповідний провідний елемент (якщо провідний елемент існує):

Підставивши верхні вирази у нижні, отримаємо рішення.