Отриманому рівнянні відкриваємо дужки. Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів

То частини рівняння знаходиться вираз у дужках. Щоб розкрити дужки, подивіться на знак перед дужками. Якщо стоїть знак плюс, при розкриванні дужок у записі виразу нічого не зміниться: просто заберіть дужки. Якщо стоїть знак мінус, при розкритті дужок необхідно поміняти всі знаки, що стоять спочатку в дужках, на протилежні. Наприклад, -(2х-3)=-2х+3.

Перемноження двох дужок.
Якщо в рівнянні є добуток двох дужок, розкриття дужок по стандартному правилу. Кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки. Отримані числа підсумовуються. У цьому твір двох " плюсів " чи двох " мінусів " дає доданку знак " плюс " , і якщо множники мають різні знаки, то отримує знак " мінус " .
Розглянемо.
(5х+1)(3х-4)=5х*3х-5х*4+1*3х-1*4=15х^2-20х+3х-4=15х^2-17х-4.

Розкриттям дужок іноді зведення виразу. Формули зведення в квадрат і куб треба знати напам'ять і пам'ятати.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули зведення виразу більше трьох можна за допомогою трикутника Паскаля.

Джерела:

• формула розкриття дужок

Ув'язнені у дужки математичні діїможуть містити змінні та вирази різного ступеняскладності. Для перемноження таких виразів доведеться шукати рішення у загальному вигляді, розкриваючи дужки та спрощуючи отриманий результат. Якщо ж у дужках містяться операції без змінних, тільки з чисельними значеннями, то розкривати дужки не обов'язково, тому що за наявності комп'ютера його користувачеві доступні значні обчислювальні ресурси - простіше скористатися ними, ніж спрощувати вираз.

Інструкція

Перемножуйте послідовно кожне (або зменшується з ), що міститься в одній дужці, на вміст решти всіх дужок, якщо потрібно отримати результат у загальному вигляді. Наприклад, нехай вихідний вираз записано так: (5+x)∗(6-х)∗(x+2). Тоді послідовне перемноження (тобто розкриття дужок) дасть наступний результат: (5+x)∗(6-х)∗(x+2) = (5∗6-5∗х)∗(5∗x+5∗2) + (6∗x-х∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗х∗5∗x+5∗ х∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (х∗x∗x∗x+х∗x∗2∗x) = 5∗6∗5∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗х∗5∗x - 5∗х∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - х∗x∗x∗x - х ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Спрощуйте після результат, скорочуючи вирази. Наприклад, отримане на попередній кроквираз можна спростити таким чином: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗x² - 8 x∗x³.

Скористайтеся калькулятором, якщо потрібно перемножити ікс дорівнює 4.75, тобто (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Для обчислення цього значення перейдіть на сайт пошукача Google або Nigma і введіть вираз у полі запиту у його вихідному вигляді (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google покаже 82.265625 відразу, без натискання кнопки, а Nigma потребує надсилання даних на сервер натисканням кнопки.

Розкриття дужок є одним із видів перетворення виразу. У цьому розділі ми опишемо правила розкриття дужок, а також розглянемо приклади завдань, що найчастіше зустрічаються.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що називається розкриттям дужок?

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від виразу зі дужками зручно перейти до тотожно рівному виразубез дужок. Наприклад, замінити вираз 2 · (3 + 4) на вираз виду 2 · 3 + 2 · 4без дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Визначення 1

Під розкриттям дужок маються на увазі прийоми позбавлення від дужок і розглядають його зазвичай щодо виразів, які можуть містити:

• знаки «+» або «-» перед дужками, які містять суми чи різниці;
• добуток числа, літери або кількох літер та суми чи різниці, яка поміщена у дужки.

Так ми звикли розглядати процес розкриття дужок у курсі шкільної програми. Однак ніхто не заважає нам подивитися на цю дію ширше. Ми можемо назвати розкриттям дужок перехід від виразу, який містить негативні числа в дужках, до виразу, що не має дужок. Наприклад, ми можемо перейти від 5+(−3)−(−7) до 5−3+7. Фактично це теж розкриття дужок.

Так само ми можемо замінити добуток виразів у дужках виду (a + b) · (c + d) на суму a · c + a · d + b · c + b · d . Такий прийом також суперечить сенсу розкриття дужок.

Ось ще один приклад. Ми можемо припустити, що у виразах замість чисел та змінних можуть бути використані будь-які вирази. Наприклад, виразу x 2 · 1 a - x + sin (b) буде відповідати вираз без дужок виду x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Окремої увагизаслуговувати на ще один момент, що стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу 3 − (5 − 7) ми отримуємо вираз 3 − 5 + 7 . Обидва ці вирази ми можемо записати у вигляді рівності 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведення дій з громіздкими виразами може вимагати запису проміжних результатів. Тоді рішення матиме вигляд ланцюжка рівностей. Наприклад, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 або 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила розкриття дужок, приклади

Приступимо до розгляду правил розкриття дужок.

У одиночних чисел у дужках

Негативні числа у дужках часто зустрічаються у виразах. Наприклад, (−4) та 3+(−4) . Позитивні числа в дужках теж мають місце.

Сформулюємо правило розкриття дужок, у яких укладено поодинокі позитивні числа. Припустимо, що а – це будь-яке позитивне число. Тоді (а) ми можемо замінити а, + (а) на + а, - (а) на – а. Якщо замість взяти конкретне число, то згідно з правилом: число (5) запишеться як 5 , вираз 3 + (5) без дужок набуде вигляду 3 + 5 , оскільки + (5) замінюється на + 5 , а вираз 3 + (− 5) еквівалентний виразу 3 − 5 , так як + (− 5) замінюється на − 5 .

Позитивні числа зазвичай записуються без використання дужок, оскільки дужки у разі зайві.

Тепер розглянемо правило розкриття дужок, у яких міститься одиночне негативне число. + (− a)ми замінюємо на − a, − (− a) замінюється на + a . Якщо вираз починається з негативного числа (− a), Яке записано в дужках, то дужки опускаються і замість (− a)залишається − a.

Наведемо приклади: (− 5) можна записати як − 5 , (− 3) + 0 , 5 набуває вигляду − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) перетворюється на 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) після розкриття дужок набуває вигляду 4 + 3 , оскільки − (− 4) та − (− 3) замінюється на +4 і +3.

Слід розуміти, що записати вираз 3 · (-5) як 3 · - 5 не можна. Про це мова підеу наступних пунктах.

Давайте подивимося, на чому ґрунтуються правила розкриття дужок.

Відповідно до правила різницю a − b дорівнює a + (− b) . На основі властивостей дій з числами ми можемо скласти ланцюжок рівностей (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aяка буде справедлива. Цей ланцюжок рівностей через сенс віднімання доводить, що вираз a + (− b) - це різниця a − b.

Грунтуючись на властивостях протилежних чиселта правил віднімання негативних чиселми можемо стверджувати, що − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Зустрічаються вирази, які складаються з числа, знаків мінусу та кількох пар дужок. Використання наведених вище правил дозволяє послідовно позбавлятися від дужок, просуваючись від внутрішніх дужок до зовнішніх або зворотному напрямку. Прикладом такого виразу може бути - (- ((- (5)))) . Розкриємо дужки, просуваючись зсередини назовні: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Також цей приклад можна розібрати і у зворотному напрямку: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Під aі b можна розуміти не тільки числа, але також довільні числові або буквені виразизі знаком «+» попереду, які не є сумами чи різницями. У всіх цих випадках можна застосовувати правила так само, як ми робили це щодо одиночних чисел у дужках.

Наприклад, після розкриття дужок вираз − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z)набуде вигляду 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Як ми це зробили? Ми знаємо, що − (− 2 · x) є + 2 · x , тому що цей вираз стоїть спочатку, то + 2 · x можна записати як 2 · x , − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x та − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z.

У творах двох чисел

Почнемо з правила розкриття дужок у добутку двох чисел.

Припустимо, що aі b – це два позитивних числа. У цьому випадку добуток двох негативних чисел − aі − b виду (− a) · (− b) ми можемо замінити на (a · b) , а добутки двох чисел із протилежними знаками виду (− a) · b та a · (− b) замінити на (− a · b). Множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Вірність першої частини записаного правила підтверджується правилом множення негативних чисел. Для підтвердження другої частини правила ми можемо використовувати правила множення чисел з різними знаками.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1

Розглянемо алгоритм розкриття дужок у творі двох негативних чисел - 4 3 5 і - 2, виду (-2) · - 4 3 5 . Для цього замінимо вихідний вираз на 2 · 4 3 5 . Розкриємо дужки та отримаємо 2 · 4 3 5 .

А якщо ми візьмемо приватне негативних чисел (−4) : (−2) , то запис після розкриття дужок матиме вигляд 4:2

На місці негативних чисел − aі − b можуть бути будь-які вирази зі знаком мінус попереду, які не є сумами чи різницями. Наприклад, це можуть бути твори, приватні, дроби, ступеня, коріння, логарифми, тригонометричні функціїі т.п.

Розкриємо дужки у виразі - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5). Відповідно до правила, ми можемо зробити такі перетворення: - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = - 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Вираз (−3) · 2можна перетворити на вираз (−3 · 2). Після цього можна розкрити дужки: − 3 · 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Поділ чисел з різними знаками також може вимагати попереднього розкриття дужок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 і 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

Правило може бути використане для виконання множення та поділу виразів із різними знаками. Наведемо два приклади.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = - sin (x) · x 2

У творах трьох та більшої кількості чисел

Перейдемо до твору та приватних, які містять Велика кількістьчисел. Для розкриття дужок тут діятиме наступне правило. При парній кількості негативних чисел можна опустити дужки, замінивши числа протилежними. Після цього необхідно укласти отриманий вираз у нові дужки. При непарному кількості негативних чисел, опустивши дужки, замінити числа протилежні. Після цього отриманий вираз необхідно взяти у нові дужки та поставити перед ним знак мінус.

Приклад 2

Наприклад, візьмемо вираз 5 · (− 3) · (− 2) , який є добутком трьох чисел. Негативних чисел два, отже, ми можемо записати вираз як (5 · 3 · 2) і потім остаточно розкрити дужки, отримавши вираз 5 · 3 · 2 .

У творі (−2, 5) · (−3): (−2) · 4: (−1,25): (−1) п'ять чисел є негативними. тому (−2, 5) · (−3) : (−2) · 4: (−1, 25) : (−1) = (−2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Остаточно розкривши дужки, отримуємо −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обґрунтувати наведене вище правило можна в такий спосіб. По-перше, такі вирази ми можемо переписати як твір, замінивши множенням на зворотне числорозподіл. Представляємо кожне негативне число як добуток розмножувального числа і - 1 або - 1 замінюємо на (− 1) · a.

Використовуючи переміщувальна властивістьмноження міняємо місцями множники та переносимо всі множники, рівні − 1 , На початок висловлювання. Добуток парного числа мінус одиниць дорівнює 1 , а непарного – одно − 1 що дозволяє нам використовувати знак мінус.

Якби ми не використовували правило, то ланцюжок дій з розкриття дужок у виразі - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 виглядав би наступним чином:

2 3: (-2) · 4: - 6 7 = - 2 3 · - 1 2 · 4 · - 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Наведене вище правило може бути використане при розкритті дужок у виразах, які є творами і приватними зі знаком мінус, що не є сумами або різницями. Візьмемо для прикладу вираз

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Його можна призвести до вираження без дужок x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Розкриття дужок, перед якими стоїть знак.

Розглянемо правило, яке можна застосувати для розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс, а вміст цих дужок не множиться і не ділиться на якесь число або вираз.

Згідно з правилом дужки разом зі знаком, що стоїть перед ними, опускаються, при цьому знаки всіх доданків у дужках зберігаються. Якщо перед першим доданком у дужках не стоїть ніякого знака, потрібно поставити знак плюс.

Приклад 3

Для прикладу наведемо вираз (12 − 3 , 5) − 7 . Опустивши дужки, ми зберігаємо знаки доданків у дужках і ставимо перед першим доданком знак плюс. Запис матиме вигляд (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . У наведеному прикладі знак перед першим доданком ставити не обов'язково, тому що + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Приклад 4

Розглянемо ще один приклад. Візьмемо вираз x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x і проведемо з ним дії x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ось ще один приклад розкриття дужок:

Приклад 5

2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 - 1 + x + x 2

Як розкриваються дужки, перед якими стоїть знак мінус

Розглянемо випадки, коли перед дужками стоїть знак мінус, і які не множаться (чи діляться) на якесь число чи вираз. Згідно з правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак "-", дужки зі знаком "-" опускаються, при цьому знаки всіх доданків усередині дужок змінюються на протилежні.

Приклад 6

Наприклад:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Вирази зі змінними можуть бути перетворені з використанням того самого правила:

X + x 3 - 3 - - 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2

отримуємо x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Розкриття дужок при множенні числа на дужку, вирази на дужку

Тут ми розглянемо випадки, коли потрібно розкрити дужки, які множаться чи поділяються на якесь число чи вираз. Тут застосовні формули виду (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) або b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), де a 1 , a 2 , … , a nі b – деякі числа чи вирази.

Приклад 7

Наприклад, проведемо розкриття дужок у виразі (3 − 7) · 2. Відповідно до правила, ми можемо провести такі перетворення: (3 - 7) · 2 = (3 · 2 - 7 · 2) . Отримуємо 3 · 2 - 7 · 2 .

Розкривши дужки у виразі 3 · x 2 · 1 - x + 1 x + 2, отримуємо 3 x 2 · 1 - 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Розмноження дужки на дужку

Розглянемо добуток двох дужок виду (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Це допоможе нам отримати правило для розкриття дужок під час проведення множення дужки на дужку.

Для того щоб вирішити наведений приклад, позначимо вираз (b 1 + b 2)як b. Це дозволить нам використовувати правило множення дужки на вираз. Отримаємо (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Виконавши зворотну заміну bна (b 1 + b 2), знову застосуємо правило множення виразу на дужку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Завдяки ряду нескладних прийомів ми можемо дійти суми творів кожного з доданків з першої дужки на кожне з доданків з другої дужки. Правило можна поширити на будь-яку кількість складених усередині дужок.

Сформулюємо правила множення дужки на дужку: щоб перемножити між собою дві суми, необхідно кожне із доданків першої суми перемножити на кожне із доданків другої суми і скласти отримані результати.

Формула матиме вигляд:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + +. . . + + a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n

Проведемо розкриття дужок у виразі (1 + x) · (x 2 + x + 6) Воно є добутком двох сум. Запишемо рішення: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Окремо варто зупинитися на тих випадках, коли в дужках є знак мінус поряд зі знаками плюс. Наприклад візьмемо вираз (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Спочатку представимо вирази у дужках у вигляді сум: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Тепер ми можемо застосувати правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Розкриємо дужки: 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y 3 - x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Розкриття дужок у творах кількох дужок та виразів

За наявності у виразі трьох і більше виразів у дужках розкривати дужки необхідно послідовно. Почати перетворення необхідно з того, що два перші множники беруть у дужки. Усередині цих дужок ми можемо проводити перетворення згідно з правилами, розглянутими вище. Наприклад, дужки у виразі (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8).

У виразі міститься відразу три множники (2 + 4) , 3 та (5 + 7 · 8) . Розкриватимемо дужки послідовно. Укладемо перші два множники ще в одні дужки, які для наочності зробимо червоними: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8).

Відповідно до правила множення дужки на число ми можемо провести такі дії: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8).

Помножуємо дужку на дужку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Дужка в натуральному ступені

Ступені, основами яких є деякі вирази, записані в дужках, натуральними показникамиможна розглядати як добуток кількох дужок. При цьому за правилами із двох попередніх пунктів їх можна записати без цих дужок.

Розглянемо процес перетворення виразу (a + b + c) 2 . Його можна записати у вигляді твору двох дужок (a + b + c) · (a + b + c). Зробимо множення дужки на дужку і отримаємо a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Розберемо ще один приклад:

Приклад 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Поділ дужки на число та дужки на дужку

Розподіл дужки на число передбачає, що необхідно розділити на число всі укладені в дужки доданки. Наприклад, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Поділ можна попередньо замінити множенням, після чого можна скористатися відповідним правилом розкриття дужок у творі. Це ж правило застосовується і при розподілі дужки на дужку.

Наприклад, нам необхідно розкрити дужки у виразі (x + 2): 2 3 . Для цього спочатку замінимо розподіл множенням на зворотне число (x + 2): 23 = (x + 2) · 23. Помножимо дужку на число (x + 2) · 23 = x · 23 + 2 · 23.

Ось ще один приклад поділу на дужку:

Приклад 9

1 x + x + 1: (x + 2).

Замінимо поділ множенням: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Виконаємо множення: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок розкриття дужок

Тепер розглянемо порядок застосування правил, розібраних вище у виразах загального вигляду, тобто. у виразах, що містять суми з різницею, твори з приватними, дужки у натуральному ступені.

Порядок виконання дій:

• насамперед необхідно виконати зведення дужок у натуральний ступінь;
• на другому етапі проводиться розкриття дужок у творах та приватних;
• заключним кроком буде розкриття дужок у сумах та різницях.

Розглянемо порядок виконання дій на прикладі виразу (-5) + 3 · (-2) : (-4) - 6 · (-7). Намнемо перетворення з виразів 3 · (− 2) : (− 4) та 6 · (− 7) , які мають набути вигляду (3 · 2: 4)та (− 6 · 7) . При підстановці отриманих результатів у вихідний вираз отримуємо: (−5) + 3 · (− 2) : (−4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7). Розкриваємо дужки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Маючи справу з виразами, що містять дужки в дужках, зручно проводити перетворення, просуваючись зсередини назовні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми докладно розглянемо основні правила такої важливої ​​темикурс математики, як розкриття дужок. Знати правила розкриття дужок потрібно для того, щоб правильно вирішувати рівняння, в яких вони використовуються.

Як правильно розкривати дужки під час додавання

Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак.

Це найпростіший випадок, бо якщо перед дужками стоїть знак додавання, при розкритті дужок знаки всередині них не змінюються. Приклад:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак.

У даному випадкутреба переписати всі доданки без дужок, але при цьому змінити всі знаки всередині них на протилежні. Знаки змінюються лише у доданків із тих дужок, перед якими стояв знак «-». Приклад:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Як розкрити дужки при множенні

Перед дужками стоїть число-множник

У цьому випадку потрібно помножити кожен доданок на множник і розкрити дужки, не змінюючи знаків. Якщо множник має знак "-", то при перемноженні знаки доданків змінюються на протилежні. Приклад:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Як розкрити дві дужки зі знаком множення між ними

В даному випадку потрібно кожне доданок з перших дужок перемножити з кожним доданком з других дужок і потім скласти отримані результати. Приклад:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Як розкрити дужки у квадраті

У разі, якщо сума або різниця двох доданків зведена у квадрат, дужки слід розкривати за такою формулою:

(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.

У разі мінусу всередині дужок формула не змінюється. Приклад:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Як розкрити дужки в іншій мірі

Якщо сума чи різницю доданків зводиться, наприклад, в 3 чи 4-й ступінь, потрібно просто розбити ступінь дужки на «квадрати». Ступені однакових множників складаються, а при розподілі зі ступеня поділеного віднімається ступінь дільника. Приклад:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Як розкрити 3 дужки

Бувають рівняння, в яких перемножуються одразу 3 дужки. У такому разі потрібно спочатку перемножити між собою доданки перших двох дужок, а потім суму цього перемноження помножити на складові третьої дужки. Приклад:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Дані правила розкриття дужок однаково поширюються на вирішення як лінійних, і тригонометричних рівнянь.

Серед різних виразів, які розглядаються в алгебрі, важливе місцезаймають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.

Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.

Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.

За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.

Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена

За допомогою розподільної властивостімноження можна перетворити (спростити) на багаточлен твір одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.

Цей результат зазвичай формулюють як правила.

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.

Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.

Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів

Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються наступним правилом.

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів

З деякими виразами в алгебраїчних перетворенняхдоводиться мати справу частіше, ніж із іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - Квадрат суми дорівнює суміквадратів та подвоєного твору.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.

А+(b+с) можна записати без дужок: a+(b+c)=a+b+c. Цю операцію називають розкриттям дужок.

приклад 1.Розкриємо дужки у виразі а + (- b + c).

Рішення. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Якщо перед дужками стоїть знак +, то можна опустити дужки і цей знак + зберігши знаки доданків, що стоять у дужках. Якщо перший доданок у дужках записано без знака, його треба записати зі знаком « + ».

приклад 2.Знайдемо значення виразу -2,87 + (2,87-7,639).

Рішення.Розкриваючи дужки, отримаємо - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Щоб знайти значення виразу – (- 9 + 5), треба скласти числа-9 і 5 і знайти число, протилежне до отриманої суми: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Те саме значення можна отримати по-іншому: спочатку записати числа, протилежні даним доданком (тобто змінити їх знаки), а потім скласти: 9 + (-5) = 4. Таким чином, -(- 9 + 5) = 9 – 5 = 4.

Щоб записати суму, протилежну сумі кількох доданків, треба змінити знаки даних доданків.

Значить - (а + b) = - а - b.

приклад 3.Знайдемо значення виразу 16 – (10 -18 + 12).

Рішення. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", треба замінити цей знак на "+", помінявши знаки всіх доданків у дужках на протилежні, а потім розкрити дужки.

приклад 4.Знайдемо значення виразу 9,36-(9,36 – 5,48).

Рішення. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Розкриття дужок та застосування переміщувального та поєднаного властивостей додаваннядозволяють спрощувати обчислення.

Приклад 5.Знайдемо значення виразу (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Рішення.Спочатку розкриємо дужки, а потім знайдемо окремо суму всіх позитивних та окремо суму всіх негативних чисел і, нарешті, складемо отримані результати:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Приклад 6.Знайдемо значення виразу

Рішення.Спочатку представимо кожне доданок у вигляді суми їх цілої та дробової частин, потім розкриємо дужки, потім складемо окремо цілі та окремо дробовічастини та, нарешті, складемо отримані результати:

Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак «+»? Як можна знайти значення виразу, протилежне сумі кількох чисел? Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак «-»?

1218. Розкрийте дужки:

а) 3,4 + (2,6 + 8,3); в) m+(n-k);

б) 4,57 + (2,6 - 4,57); г) з + (-a + b).

1219. Знайдіть значення виразу:

1220. Розкрийте дужки:

а) 85 + (7,8 + 98); г) -(80-16) + 84; ж) a-(b-k-n);
б) (4,7 -17) +7,5; д) -а + (m-2,6); з) -(а-b + с);
в) 64-(90 + 100); е) с+(- а-b); і) (m-n)-(p-k).

1221. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:

1222. Спростіть вираз:

1223. Напишіть сумудвох виразів і спростіть її:

а) - 4 - m та m + 6,4; г) а+b та р - b
б) 1,1+а та -26-а; д) - m + n та -k - n;
в) а + 13 та -13 + b; е) m - n і n - m.

1224. Напишіть різницю двох виразів і спростіть її:

1226. Розв'яжіть за допомогою рівняння задачу:

а) На одній полиці 42 книги, а на іншій 34. З другої полиці зняли кілька книг, а з першої – стільки, скільки залишилося на другій. Після цього на першій полиці залишилось 12 книг. Скільки книг зняли з другої полиці?

б) У першому класі 42 учні, у другому на 3 учні менше, ніж у третьому. Скільки учнів у третьому класі, якщо всього у цих трьох класах 125 учнів?

1227. Знайдіть значення виразу:

1228. Обчисліть усно:

1229. Знайдіть найбільше значеннявирази:

1230. Вкажіть 4 послідовних цілих числа, якщо:

а) менша з них дорівнює -12; в) менша з них дорівнює n;
б) більша з них дорівнює -18; г) більша з них дорівнює k.