Пряме дискретне перетворення фур'є одержання комплексних чисел. Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ)

Позначимо через

двовимірне поле (двовимірний сигнал), що описує дискретне зображення розміру рядків та стовпців. Поза вказаними межами цей сигнал не визначено. Виконаємо періодичне продовження цього фінітного сигналу, ввівши двовимірний періодичний сигнал

. (3.21)

Якщо сигнал існує лише всередині прямокутника зі сторонами елементів (рис. 3.4.а), то сигнал визначений по всій площині і є на ній прямокутно-періодичним (рис. 3.4.б).

Будь-який періодичний сигнал може бути представлений у вигляді ряду Фур'є, але, на відміну від одновимірних сигналів, двовимірні описуються двовимірним рядом Фур'є, що має вигляд:

Базисні функції цього двовимірного уявлення – двовимірні комплексні експоненти (іноді звані комплексними синусоїдами)

(3.23)

мають, як і сигнал, прямокутну періодичність з тим самим періодом. Тут (,) – двомірний номер базисної функції, а величини мають сенс просторових частот. Іноді просторовими частотами називають цілочисельні величини та .

Коефіцієнти Фур'є ряду (3.22) утворюють двовимірний частотний спектр сигналу та визначаються формулою прямого перетворення Фур'є:

(3.24)

Вираз (3.22), що відновлює сигнал за його спектром є зворотним перетворенням Фур'є. У справедливості перетворень (3.22) та (3.24), званих двовимірним ДПФ, можна переконатися, підставивши (3.24) у (3.22) і навівши праву частинуотриманого рівності до значення лівої, тобто. до.

Зауважимо, що з точного подання дискретного сигналу з двовимірним періодом елементів згідно з формулами БПФ досить кінцевого числа базисних функцій (3.23) - ряд (3.22) є кінцевим. Це і зрозуміло, оскільки сам сигнал, що представляється, містить в одному періоді кінцеве числоточок, тобто. має кінцеву кількість ступенів свободи. Зрозуміло, що кількість ступенів свободи в спектрі не може відрізнятись від числа ступенів свободи в самому сигналі.

Зупинимося найбільш істотних властивостях двовимірного дискретного спектра Фур'є. Обчислимо спектральні коефіцієнти (3.24) у частотних точках :

Оскільки за будь-яких цілих значень і останній множник в отриманому вираженні дорівнює одиниці, то звідси маємо рівність:

,

що означає прямокутну періодичність двовимірного ДПФ. Отже, картина двовимірного ДПФ подібна до картини двовимірного періодично продовженого сигналу, якісно показаної на рис. 3.4.б (якщо у ньому просторові координати замінити частотними ). Проте необхідно пам'ятати, що спектральні коефіцієнти , як це випливає з (3.24), є комплексними числами, зокрема і за речовому сигналі . Але тоді постає питання. Загальна кількість спектральних компонентів, як встановлено, дорівнює . Комплексне число еквівалентне парі дійсних чисел - дійсної і уявної частин при алгебраїчному або модулі і фазі при експоненційному поданні. Отже, повний спектр описується речовими числамищо вдвічі перевищує розмірність самого сигналу. У цьому, здавалося б, міститься протиріччя. Воно знаходить своє роз'яснення при подальшому вивченнівластивостей двовимірного ДПФ

Перетворимо співвідношення (3.25) в такий спосіб. По-перше, замість частот підставимо частоти. По-друге, здійснимо комплексне поєднання обох елементів, що не порушить рівності. В результаті неважко отримати вираз:

,

яким встановлюється однозначний зв'язок між спектральними коефіцієнтами у двох різних точках спектрального прямокутника. Отриманим співвідношенням і знімається суперечність, оскільки кількість незалежних спектральних коефіцієнтів зменшується завдяки даній спектральній симетрії вдвічі. Відповідно до встановленого властивості, спектрально-спряженої залежністю пов'язані між собою спектральні коефіцієнти, що належать лівому верхньому і правому нижньому кутах прямокутника . Аналогічно також пов'язані між собою коефіцієнти Фур'є з правого верхнього та лівого нижнього ділянок спектрального прямокутника.

На закінчення даного пункту вкажемо, що за практичному застосуваннідвовимірного ДПФ - як прямого, і зворотного, не потрібно оперувати періодичними сигналами і спектрами, як і передбачається, начебто, перетвореннями (3.22) і (3.24). Цю необхідність позбавляють самі співвідношення (3.22) і (3.24). Справді, пряме перетворенняФур'є (3.24) містить у правій частині значення періодично продовженого сигналу лише не більше одного “головного” прямокутника . Але у цих межах вихідний і періодично продовжений сигнали повністю збігаються, що дозволяє використовувати у формулі (3.24) вихідний сигнал . Аналогічні пояснення можна зробити і щодо зворотного перетворення (3.22), звідки слід, що у процесі обчислень оперувати слід “основним” ділянкою спектра, які стосуються спектральної області .

Зі зроблених пояснень, що мають лише виключно обчислювальне значення, не слід робити висновку про штучність та непотрібність розглянутих математичних моделейперіодичні поля. При обробці зображень виникають численні завдання, правильне тлумачення та вирішення яких можливе лише на основі цих математичних інтерпретацій. Однією з таких найважливіших завданьє цифрова двовимірна фільтрація в спектральній ділянці, здійснення якої пов'язане з виконанням так званої циклічної згортки.

Я вважаю, що все в загальних рисахзнають існування такого чудового математичного інструменту як перетворення Фур'є. Однак у ВНЗ його чомусь викладають настільки погано, що розуміють, як це перетворення працює і як ним правильно слід користуватися порівняно небагато людей. Тим часом математика даного перетворення напрочуд красива, проста і витончена. Я пропоную всім бажаючим дізнатися трохи більше про перетворення Фур'є та близьку йому тему того, як аналогові сигналивдається ефективно перетворювати для обчислювальної обробки на цифрові.

Без використання складних формулі матлаба я постараюся відповісти на такі питання:

• FT, DTF, DTFT - у чому відмінності і як різні здавалося б формули дають настільки концептуально схожі результати?
• Як правильно інтерпретувати результати швидкого перетворення Фур'є (FFT)
• Що робити якщо дано сигнал зі 179 семпл а БПФ вимагає на вхід послідовність по довжині рівну мірідвійки
• Чому при спробі отримати за допомогою Фур'є спектр синусоїди замість очікуваної одиночної палиці на графіку вилазить дивна загогулина і що з цим можна зробити
• Навіщо перед АЦП та після ЦАП ставлять аналогові фільтри
• Чи можна оцифрувати АЦП сигнал із частотою вище половини частоти дискретизації (шкільна відповідь невірна, правильна відповідь - можна)
• Як за цифровою послідовністю відновлюють вихідний сигнал

Я виходитиму з припущення що читач розуміє що таке інтеграл , комплексне число (а також його модуль і аргумент), згортка функцій , плюс хоча б “на пальцях” уявляє що таке дельта-функція Дірака . Не знаєте - не біда, прочитайте наведені вище посилання. Під “твором функцій” у даному текстія скрізь розумітиму “поточкове множення”

Почати треба, напевно, з того що звичайне перетворення Фур'є - це така штука яка, як можна здогадатися з назви, перетворює одні функції в інші, тобто ставить у відповідність кожної функції дійсного змінного x(t) її спектр або фур'є-образ y (w):

Якщо наводити аналогії, то прикладом аналогічного за змістом перетворення може бути наприклад диференціювання, що перетворює функцію на її похідну. Тобто перетворення Фур'є - така сама, по суті, операція як і взяття похідної, і її часто позначають подібним чином, малюючи трикутну "шапочку" над функцією. Тільки на відміну диференціювання яке можна визначити й у дійсних чисел, перетворення Фур'є завжди “працює” з більш загальними комплексними числами. Через це постійно виникають проблеми з відображенням результатів цього перетворення, оскільки комплексні числавизначаються не однією, а двома координатами на оперуючому дійсними числамиграфіку. Найзручніше, як правило, виявляється представити комплексні числа у вигляді модуля та аргументу і намалювати їх за окремістю як два окремі графіки:

Графік аргументу комплексного значеннячасто називають у даному випадку"Фазовим спектром", а графік модуля - "амплітудним спектром". Амплітудний спектр зазвичай представляє набагато більший інтерес, а тому "фазову" частину спектру нерідко пропускають. У цій статті ми теж зосередимося на амплітудних речах, але забувати про існування пропущеної фазової частини графіка не слід. Крім того, замість звичайного модуля комплексного значення часто малюють його десятковий логарифмпомножений на 10. В результаті виходить логарифмічний графік, значення на якому відображаються децибелах (дБ).

Зверніть увагу, що не дуже сильно негативним числамлогарифмічного графіка (-20 дБ і менше) при цьому відповідають практично нульові числа на графіку "звичайному". Тому довгі та широкі “хвости” різноманітних спектрів на таких графіках при відображенні у “звичайні” координати зазвичай практично зникають. Зручність подібного дивного на перший погляд уявлення виникає з того, що фур'є-образи різних функційчасто необхідно перемножувати між собою. При подібному поточковому множенні комплекснозначних фур'є-образів їх фазові спектри складаються, а амплітудні - перемножуються. Перше виконується легко, а друге – порівняно складно. Однак логарифми амплітуди при перемноженні амплітуд складаються, тому логарифмічні графікиАмплітуди можна, як і графіки фаз, просто поточечно складати. Крім того, в практичні завданнячасто зручніше оперувати не «амплітудою» сигналу, яке «потужністю» (квадратом амплітуди). На логарифмічній шкалі обидва графіки (і амплітуди і потужності) виглядають ідентично і відрізняються лише коефіцієнтом - усі значення на графіці потужності рівно вдвічі більші ніж на шкалі амплітуд. Відповідно для побудови графіка розподілу потужності по частоті (у децибелах) можна не зводити нічого в квадрат, а порахувати десятковий логарифм і помножити його на 20.

Занудьгували? Чекайте, ще трохи, з занудною частиною статті, яка пояснює як інтерпретувати графіки, ми скоро покінчимо :). Але перед цим слід зрозуміти одну вкрай важливу річ: хоча всі наведені вище графіки спектрів були намальовані для деяких обмежених діапазонів значень (зокрема, позитивних чисел), всі ці графіки насправді продовжуються в плюс і мінус нескінченність. На графіках просто зображується деяка “найбільш змістовна” частина графіка, яка зазвичай дзеркально відбивається для негативних значеньпараметра і часто періодично повторюється з деяким кроком, якщо розглядати її у більшому масштабі.

Визначившись про те, що малюється на графіках, давайте повернемося власне до перетворення Фур'є та її властивостям. Існує декілька різних способівяк визначити це перетворення, що відрізняються невеликими деталями (різними нормуваннями). Наприклад, у наших ВНЗ чомусь часто використовують нормування перетворення Фур'є визначальну спектр у термінах кутової частоти (радіанів на секунду). Я використовуватиму більш зручну західне формулювання, Що визначає спектр у термінах звичайної частоти (герцах) Пряме та зворотне перетворенняФур'є в цьому випадку визначаються формулами зліва, а деякі властивості цього перетворення, які нам знадобляться - списком із семи пунктів праворуч:

Перша з цих властивостей – лінійність. Якщо ми беремо якусь лінійну комбінацію функцій, то перетворення Фур'є цієї комбінації буде такою ж лінійною комбінацією образів Фур'є цих функцій. Ця властивість дозволяє зводити складні функціїта їх фур'є-образи до більш простих. Наприклад, фур'є-образ синусоїдальної функції з частотою f і амплітудою a є комбінацією з двох дельта-функцій, розташованих у точках f і -f і з коефіцієнтом a/2:

Якщо взяти функцію, що складається з суми множини синусоїд з різними частотами, то відповідно до властивості лінійності, фур'є-образ цієї функції буде складатися з відповідного набору дельта-функцій. Це дозволяє дати наївну, але наочну інтерпретацію спектру за принципом “якщо у спектрі функції частоті f відповідає амплітуда a, то вихідну функцію можна як суму синусоїд, однієї з яких буде синусоїда з частотою f і амплітудою 2a”. Строго кажучи, ця інтерпретація неправильна, оскільки дельта-функція і точка на графіці - це зовсім різні речі, але як ми побачимо далі, для дискретних перетвореньФур'є вона буде не така вже й далека від істини.

Друга властивість перетворення Фур'є - це незалежність амплітудного діапазону від зсуву сигналу за часом. Якщо ми підсунемо функцію ліворуч або праворуч по осі x, то зміниться лише її фазовий спектр.

Третя властивість - розтягування (стиснення) вихідної функції по осі часу (x) пропорційно стискає (розтягує) її фур'є-образ за шкалою частот (w). Зокрема, спектр сигналу кінцевої тривалості завжди нескінченно широкий і навпаки, спектр кінцевої ширини відповідає сигналу необмеженої тривалості.

Четверта і п'ята властивості най, мабуть, корисні з усіх. Вони дозволяють звести згортку функцій до поточкового перемноження їх фур'є-образів і навпаки - поточечне перемноження функцій до згортки їх фур'є-образів. Трохи далі я покажу, наскільки це зручно.

Шоста властивість говорить про симетрію фур'є-образів. Зокрема, з цієї властивості випливає що у фур'є-образі дійсно значної функції (тобто будь-якого "реального" сигналу) амплітудний спектрзавжди є парною функцієюа фазовий спектр (якщо його призвести до діапазону -pi...pi) - непарний. Саме з цієї причини на графіках спектрів практично ніколи не малюють негативну частину спектру - для дійсно значних сигналів вона не дає ніякої нової інформації(але, повторюся, і нульової при цьому не є).

Нарешті остання, сьома властивість, свідчить, що перетворення Фур'є зберігає “енергію” сигналу. Воно осмислене тільки для сигналів кінцевої тривалості, енергія яких кінцева, і говорить про те, що спектр подібних сигналів на нескінченності швидко наближається до нуля. Саме з цієї властивості на графіках спектрів зазвичай зображують лише “основну” частину сигналу, несучу у собі левову часткуенергії - решта графіка просто прагне нуля (але, знову ж таки, нулем не є).

Озброївшись цими 7 властивостями, погляньмо на математику “оцифровки” сигналу, що дозволяє перевести безперервний сигнал у послідовність цифр. Для цього нам знадобиться взяти функцію, відому як “гребінка Дірака”:

Гребінка Дірака - це просто періодична послідовність дельта-функцій з одиничним коефіцієнтом, що починається в нулі і йде з кроком T. Для оцифрування сигналів, T вибирають по можливості малим числом, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Замість безперервної функції після такого перемноження виходить послідовність дельта-імпульсів певної висоти. При цьому відповідно до властивості 5 перетворення Фур'є, спектр дискретного сигналу, що вийшов, є згортка вихідного спектру з відповідним гребінцем Дірака. Нескладно зрозуміти, що виходячи з властивостей згортки, спектр вихідного сигналу при цьому "копіюється" нескінченне число разів уздовж осі частот з кроком 1/T, а потім підсумовується.

Зауважимо, що й вихідний спектр мав кінцеву ширину і ми використовували досить велику частоту дискретизації, то копії вихідного спектра нічого очікувати перекриватися, отже й підсумовуватися друг з одним. Нескладно зрозуміти що за подібним "згорнутим" спектром буде легко відновити вихідний - достатньо буде просто взяти компоненту спектра в районі нуля, "обрізавши" зайві копії, що йдуть на нескінченність. Найпростіший спосіб це зробити - це примножити спектр прямокутну функцію, рівну T в діапазоні -1/2T...1/2T і нулю - поза цим діапазоном. Подібний Фур'є-образ відповідає функції sinc (Tx) і згідно з властивістю 4, подібне множення рівнозначне згортку вихідної послідовності дельта-функцій з функцією sinc(Tx)

Тобто за допомогою перетворення Фур'є ми отримали спосіб легко відновити вихідний сигнал з дискретизованого за часом, що працює за умови, що ми використовуємо частоту дискретизації, принаймні вдвічі (через наявність у спектрі негативних частот), що перевищує максимальну частоту, що присутня у вихідному сигналі. Цей результат широко відомий і називається "теорема Котельникова / Шеннона-Найквіста". Однак, як неважко тепер (розуміючи доказ) помітити, цей результат всупереч широко поширеній помилці визначає достатня, але не необхіднеумова відновлення вихідного сигналу. Все що нам потрібно - це домогтися того, щоб частина спектру, що цікавить нас, після дискретизації сигналу не накладалася один на одного і якщо сигнал досить вузькосмуговий (має малу "ширину" ненульової частини спектру), то цього результату часто можна досягти і при частоті дискретизації набагато нижче ніж подвоєна максимальна частота сигналу. Подібна техніка називається "undersampling" (субдискретизація, смугова дискретизація) і досить широко використовується при обробці різних радіосигналів. Наприклад, якщо ми беремо FM-радіо, що діє в смузі частот від 88 до 108 МГц, то для його оцифрування можна використовувати АЦП з частотою всього 43.5 МГц замість передбачуваних за теоремою Котельникова 216 МГц. При цьому, щоправда, знадобиться якісний АЦП та гарний фільтр.

Зауважу, що "дублювання" високих частот частотами менших порядків (аліасинг) - безпосередня властивість дискретизації сигналу, що незворотно "псує" результат. Тому якщо в сигналі в принципі можуть бути частоти високого порядку (тобто практично завжди) перед АЦП ставлять аналоговий фільтр, "відсікає" все зайве безпосередньо у вихідному сигналі (оскільки після дискретизації робити це вже буде пізно). Характеристики цих фільтрів, як аналогових пристроїв, неідеальні, тому деяка "псування" сигналу при цьому все одно відбувається, і на практиці з цього випливає, що найбільші частоти в спектрі, як правило, недостовірні. Щоб зменшити цю проблему, сигнал нерідко семплюють із підвищеною частотою дискретизації, ставлячи при цьому аналоговий вхідний фільтр на меншу смугу пропускання і використовуючи тільки нижню частину теоретично доступного частотного діапазону АЦП.

Ще одна поширена помилка, до речі, - це коли сигнал на виході ЦАП малюють "сходинками". "Сходинки" відповідають згортку дискретизованої послідовності сигналів з прямокутною функцією ширини T і висоти 1:

Спектр сигналу при такому перетворенні множиться на фур'є-образ цієї прямокутної функції, а у подібної прямокутної функції це знову sinc(w), "розтягнутий" тим сильніше, чим менше ширина прямокутника. Спектр дискретизованого сигналу при подібному ЦАП поточково множиться на цей спектр. У цьому непотрібні високі частоти з “зайвими копіями” діапазону обрізаються в повному обсязі, а верхня частина “корисної” частини діапазону, навпаки, послаблюється.

Насправді так, звісно, ​​ніхто робить. Існує багато різних підходів до побудови ЦАП, але навіть найбільш близьких за змістом ЦАП зважувального типу прямокутні імпульси в ЦАП навпаки вибираються по можливості короткими (наближаються до справжньої послідовності дельта-функцій) щоб уникнути зайвого придушення корисної частини спектра. "Зайві" частоти в широкосмуговому сигналі, що вийшов, практично завжди гасять, пропускаючи сигнал через аналоговий фільтр низьких частот, так що "цифрових сходинок" немає ні "всередині" перетворювача, ні, тим більше, на його виході.

Однак повернемося назад до перетворення Фур'є. Описане вище перетворення Фур'є, застосоване до заздалегідь дискретизованої послідовності сигналів називається перетворенням дискретного Фур'є дискретного часу (DTFT). Спектр отримуваний подібним перетворенням завжди 1/T-періодичний, тому спектр DTFT повністю визначається її значеннями на відрізку = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N )

Якщо за цими формулами розкласти в спектр дійсний сигнал, то перші N/2+1 комплексних коефіцієнтів спектра збігатимуться зі спектром «звичайного» дійсного ДПФ, представленим у «комплексному» вигляді, а решта коефіцієнтів буде їх симетричним відображенням щодо

Перетворення Фур'є (§ 1.5) можна розглядати як лінійне перетворення з ядром

Знайдемо його дискретне уявлення щодо базису

для сигналів з обмеженим на інтервалі спектром, для яких справедливе подання

Перетворення Фур'є такого сигналу дорівнює

Розглянемо тепер періодичний сигнал

Його спектр дорівнює

де-відліки спектра сигналу взятого на відрізку (див. табл. 1.2, рядок 19). Якщо Т досить велике, а сигнал досить швидко спадає до нуля на цьому інтервалі, так що його спотворення в сумі (3.60) за рахунок накладання періодів можна знехтувати, то Звідси

причому підсумовування по проводиться в межах

Значення Т можна завжди вибрати так, щоб величина була цілою. Позначимо її N. Позначимо також

Тут обрано так, щоб підсумовування в (3.62) могло проводитися від 0 до Тоді отримаємо

Це співвідношення називається дискретним перетворенням Фур'є

Дискретне перетворення Фур'є оборотне:

Його ядро ​​– матриця

є дискретним уявленням ядра безперервного перетворення Фур'є.

Формула (3.65) є аналогом (3.3). Зазначимо, що її можна отримати відразу з базису (3.3)

Коефіцієнти послідовності приблизно рівні відлікам спектра сигналу періодично продовженого з періодом Т, взятим з кроком Така зв'язок ДПФ з безперервним перетворенням Фур'є. З припущення обмеженої протяжності сигналу випливає, що з його спектра справедлива теорема відліків і що, отже, може бути відновлено за величинами - коефіцієнтами ДПФ отсчетов сигналу.

Найбільш уживані властивості одновимірного ДПФ наведено у табл. 3.1. Для зручності зіставлення їх із властивостями безперервного перетворення Фур'є у правій колонці табл. 3.1 вказано номери відповідних рядків табл. 1.2. Головна відмінність ДПФ від

(Див. скан)

(Див. скан)

(Див. скан)

Продовження табл. 3.1 (див. скан)

безперервного перетворення Фур'є - циклічність, або періодичність: номери відліків послідовності та її ДПФ відраховуються за модулем N, тобто як би по колу; число точок у циклі дорівнює N (табл. 3.1, рядок 2).

За аналогією з одновимірним ДПФ, застосувавши двовимірну теорему відліків до двовимірних сигналів та спектрів, можна отримати двовимірне ДПФ. Зазвичай використовується тільки таке двовимірне ДПФ, яке випливає із двовимірної теореми відліків у прямокутних координатах:

Воно зручно тим, що факторизується на два одновимірні ДПФ, тобто є роздільним.

Зворотне двовимірне ДПФ записується як

Деякі властивості двовимірного ДПФ наведено у табл. 3.2. Для двовимірного ДПФ характерна двовимірна циклічність (періодичність). Можна вважати, що коефіцієнти двовимірного ДПФ - це відліки безперервного двовимірного спектру сигналу, періодично розмноженого на площині в прямокутній системі координат, як на рис. 3.4 а.

Сучасну техніку зв'язку неможливо уявити без спектрального аналізу. Подання сигналів у частотній області необхідне як аналізу їх характеристик, так аналізу блоків і вузлів приймачів систем радіозв'язку. Для перетворення сигналів у частотну область застосовується пряме перетворення Фур'є. Узагальнена формула прямого перетворення Фур'є записується так:

Як видно з цієї формули для частотного аналізу проводиться обчислення кореляційної залежності між сигналом, представленим у часовій області та комплексною експонентою із заданою частотою. При цьому за формулою Ейлера комплексна експонента розкладається на реальну та уявну частину:

Сигнал, представлений у частотній області, можна знову перевести в тимчасове подання за допомогою зворотного перетворення Фур'є. Узагальнена формула зворотного перетворення Фур'є записується так:

У формулі прямого перетворення Фур'є використовується інтегрування в часі від мінус нескінченності до нескінченності. Звичайно це є математичною абстракцією. У реальних умовах ми можемо провести інтегрування від даного моменту часу, який ми можемо позначити за 0, до моменту часу T. Формула прямого перетворення Фур'є при цьому буде перетворена на такий вид:

В результаті істотно змінюються властивості перетворення Фур'є. Спектр сигналу замість безперервної функції стає дискретним рядом значень. Тепер мінімальною частотою та одночасно кроком частотних значень спектра сигналу стає:

Тільки функції sin та cos з частотами k/Tбудуть взаємно ортогональні, а це є неодмінною умовою перетворення Фур'є. Набір перших функцій розкладання ряд Фур'є наведено малюнку 1. У цьому тривалість функцій збігається з тривалістю аналізу T.

Тепер спектр сигналу буде виглядати так, як показано на малюнку 2.

В даному випадку формула обчислення прямого перетворення Фур'є (4) перетворюється на такий вид:

Формула зворотного перетворення Фур'є для випадку визначення спектру на обмеженому відрізку часу виглядатиме так:

Подібним чином можна визначити формулу прямого перетворення Фур'є для цифрових сигналів. Враховуючи, що замість безперервного сигналу використовуються його цифрові відліки, у виразі (6) інтеграл замінюється на суму. У разі тривалість аналізованого сигналу визначається кількістю цифрових отсчетов N. Перетворення Фур'є для цифрових відліків сигналу називається дискретним перетворенням Фур'єі записується наступним чином:

Тепер розглянемо, як змінилися властивості дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) порівняно з прямим перетворенням Фур'є на обмеженому інтервалі часу. Коли ми розглядали дискретизацію аналогового сигналу, з'ясували, що спектр вхідного сигналу може бути обмежений по частоті. Ця вимога обмежує кількість дискретних складових спектра сигналу. Спочатку може здатись, що ми можемо обмежити спектр сигналу частотою fд /2, що відповідає кількості частотних складових K = N/2. Однак, це не так. Незважаючи на те, що спектр сигналу для дійсних відліків сигналу для позитивних частот і негативних частот симетричний щодо 0, негативні частоти можуть знадобитися для деяких алгоритмів роботи зі спектрами, наприклад, . Ще більша відмінність виходить при виконанні дискретного перетворення Фур'є над комплексними відліками вхідного сигналу. В результаті для повного опису спектра цифрового сигналу потрібно Nчастотних відліків ( k = 0, ..., N/2).